数理统计考试题及答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
数理统计考试试题及答案
一、(满分12分）设X X X n ,,,12为来自均匀分布θU (0,)的随机样本，θθ,ˆˆ12分别为未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量。
(1)证明nT n =+θθ和ˆˆ112都是未知参数θ的无偏估计; (2)比较两个估计量的优劣性.二、(满分14分）设X 服从伽玛分布Γαβ(,),其特征函数为=−−βϕαt itX ()(1).(1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差； (2)设X X X n ,,,12是独立同分布的随机变量，其概率密度为，⎩≤⎨=>⎧λλx f x e x x 0,0.(),0-试用特征函数法证明：∑=Γ=λY X n i i n~(,)1 三、（满分14分）从两个独立的正态总体中抽取如下样本值： 甲(X ) 4.4 4.0 2.0 4.8 乙（Y ）5.01.03.20.4经计算得x s y s ====3.8, 1.547, 2.4, 4.45312*2*2，在显著性水平=α0.05下，能否认为两个总体同分布？ 四、(满分10分）设X X X ,,,129是总体μσX N ~(,)2的一个样本.记Y X Y X k k k k ∑∑===63,=,11171269SS X Y Z Y Y k k ∑=−=−=2(),12()7212229求统计量 Z 的分布。
五、（满分14分）设X X X n ,,,12是总体X 的一个样本，X 的密度函数为f x x x ⎩⎨=<<⎧−θθθ他其0,.(;),01,1>θ0求未知参数g =θθ()1的最大似然估计量gθ()ˆ,并求g θ()的有效估计量.六、 (满分20分）观测某种物质吸附量y 和温度x 时，得到数据如下：x i 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 y i4.85.77.08.310.912.413.113.615.3应用线性模型N y a bx ⎩⎨⎧=++εσε~(0,)2(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；(3)在温度x =60时，求吸附量y 0的置信水平为α−=10.95的预测区间; (4) 若要使吸附量在5-10之间，温度应该如何控制（=α0.05）.七、 (满分16分) 为了观察燃烧温度是否对砖块的密度有显著性影响，今在4种温度下做试验，得砖块密度的观察值如下： 温度（摄氏度） 砖块密度100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 22.9 22. 8 22.8 22.6 22.5 17521.9 21.7 21.8 21.4试问燃烧温度对砖块密度是否有显著影响？(=α0.01) 附注：计算中可能用到的数据如下：t r F F t F F ===Φ=====5(7) 2.3646,(7)0.6664,(1,7) 5.59,(1.96)0.976(3,3)15.5,(6) 2.4469,(2,15) 3.68,(3,14) 5.50.9750.050.950.9750.9750.950.99一、（满分12分）解：（1）总体X 的密度函数为总体X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x θθθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩；由于2θ=EX ，得X 2ˆ1=θθ的矩估计量为 1ˆ[2]2θθ===E E X EX ，故的无偏估计量。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。
则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。
若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。
随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。
则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。
解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。
抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。
所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。
2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。
问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。
设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。
要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。
首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。
数理统计试卷及答案
数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、设n X X X ,,,21 是取自总体)1,0(~2N X 的样本,则 ni i X Y 12~________。
2、设总体),(~2 N X ，X 是样本均值，则)(X D ________。
3、设总体),(~2N X ，若 未知,2已知，n 为样本容量，总体均值 的置信水平为1的置信区间为),(nX nX，则 的值为________。
4、设总体),(~2 N X ,2已知，在显著性水平下，检验假设0100:,:u H u H ，拒绝域是________。
5、设总体0],,0[~ U X 为未知参数，n X X ,,1 是来自X 的样本，则未知参数 的矩估计量是______。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（）（A ）Y X 服从正态分布（B ）22Y X 服从2布 （C ）22Y X 和都服从2分布（D ）22/Y X 都服从F 分布2、设)9,1(~N X ，921,...,,X X X 为取自总体X 的一个样本，则有（ ）。
（A ）)1,0(~11N X （B ）)1,0(~31N X （C ）)1,0(~91N X （D ）)1,0(~31N X 3、设X 服从参数为p 的(0-1)分布，0 p 是未知参数，n X X X ,...,,21为取自总体X 的样本，X为样本均值，212)(1X X n S i ni n，则下列说法错误的是（ ）。
（A ）X 是p 的矩估计（B ）2n S 是)(X D 的矩估计（C ）2X 是)(2X E 的矩估计（D ）)1(X X 是)(X D 的矩估计4、设总体)4,(~ N X ,由它的一个容量为25的样本，测得样本均值10 x ，在显著性水平下进行假设检验， 975.0)96.1( ，则以下假设中将被拒绝的是（ ）。
（A ）90 ：H （B ）5.90 ：H （C ）100 ：H （D ）5.100 ：H 5、设总体),(~2 N X ,样本容量为n ，已知在显著性水平下，检验00: H ,01: H 的结果是拒绝0H ，那么在显著性水平下，检验0100:,:u H u H的结果（ ）。
《应用数理统计》考试试题与参考答案
《应用数理统计》试卷 第 1 页 共 4 页《应用数理统计》期末考试试卷一、单项选择题：(每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1、设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则（ ）A.P(A)=1-P （B ）B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A ∪B)=1D.P(AB )=1 2、设A ，B 为随机事件，P(A)>0,P （A|B ）=1，则必有（ ） A.P(A ∪B)=P(A) B.A ⊂B C.P(A)=P(B) D.P(AB)=P(A)3、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ ）A.2422B .C C 2142 C .242!A D.24!!4、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ ） A.()343B.41)43(2C. 43)41(2D.C 4221434()5、已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令Y=-2X ，则Y 的概率密度f Y (y)为（ ）A.2f X (-2y)B.f X ()-y2C.--122f y X () D.122f y X ()- 6、如果函数f(x)=x a x b x a x b,;,≤≤或0<>⎧⎨⎩是某连续随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是（ ）A.〔0，1〕B.〔0，2〕C.〔0,2〕D.〔1，2〕7、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）A.F x xx 1211(),=+-∞<<+∞B..0,1;0,0)(2x x x x x F ≤C.F x e x x 3(),=-∞<<+∞-D.F x arctgx x 43412(),=+-∞<<+∞π8 则P{X=0}=A.112B.212 C. 412 D. 5129、已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 10、设Ф(x)为标准正态分布函数，X i =10,,事件发生；事件不发生，A A ⎧⎨⎩ i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X 1,X 2,…,X 100相互独立。
高校统计学专业数理统计期末试卷及详解
高校统计学专业数理统计期末试卷及详解一、选择题1. 在统计学中，数据可分为以下哪两种类型？A.连续型和离散型B. 定量型和定性型C. 正态分布型和偏态分布型D. 样本数据和总体数据答案：B. 定量型和定性型解析：定量型数据是指可用数值表示且具有可比较性的数据，如身高、体重等；定性型数据则是以描述性质的方式呈现，如性别、颜色等。
2. 下列哪个统计指标用来度量数据的集中趋势？A. 标准差B. 方差C. 中位数D. 最大值答案：C. 中位数解析：中位数是将数据按升序排列后，位于中间位置的数值，它可以较好地度量数据的集中趋势。
3. 若两个事件A和B相互独立，则下列说法正确的是：A. P(A并B) = P(A) × P(B)B. P(A或B) = P(A) + P(B)C. P(A|B) = P(A)D. P(A且B) = P(A) + P(B)答案：A. P(A并B) = P(A) × P(B)解析：当事件A和B相互独立时，它们的联合概率等于各自概率的乘积。
4. 假设一组数据的标准差为0，则该组数据的变异程度是？A. 高B. 低C. 无法确定D. 不存在答案：B. 低解析：标准差反映了数据的变异程度，当标准差为0时，数据的变异程度为低。
5. 在一组数据中，75%的数据落在均值两侧的范围内，这个范围可以用以下哪个统计指标来度量？A. 标准差B. 方差C. 百分位数D. 偏度答案：A. 标准差解析：标准差描述了数据的离散程度，当数据的标准差较小时，就说明数据集中在均值附近，75%的数据落在均值两侧可以通过标准差来衡量。
二、填空题1. 在正态分布曲线上，μ代表_______，σ代表_______。
答案：μ代表均值，σ代表标准差。
2. 甲、乙两个班的考试成绩平均数分别为75和80，标准差分别为8和10。
如果将甲、乙两个班的成绩合并，合并后的成绩标准差为_____。
答案：合并后的成绩标准差无法确定。
数理统计试题及答案
一、 (满分12分）X X X n ,,,12是总体X 的随机样本， X 的密度函数为）（ ⎩≥⎨=><<∞⎧-λλλx f x e x x 0,0()0,0（1） 求X 的特征函数；（2） 利用X 的特征函数,求EX D X ,(); （3） 求∑==S X k k n1的概率密度函数. 二、(满分8分））（>X X X n n ,,,1122是总体μσN (,)2的随机样本，记 ，∑∑∑∑+--===-=-=-==+==+S S n n n n Y X Y X S X Y S X Y Z n Y Y k k n k k n k k k k n n n n 11,,(),()1111()121111*2*212112212*22*2222求统计量Z 的分布.三、 (满分14分）总体X 服从均匀分布θU (0,), X X X n ,,,12为其样本，(1) 证明，==+=+θθθn X n X X n n ,(1)2ˆˆˆ11()2(1)3都是未知参数θ的无偏估计; (2) 比较这三个估计量的优劣性.四、（满分14分）测得两批电子器材的电阻值(单位：Ω）分别为：A 批： 30， 32， 34， 36， 38， 42， 48， 52， 52， 56B 批： 31， 33， 37， 42， 46， 48， 53， 55， 56， 59设A 批器材的电阻μσX N ~(,),112B 批器材的电阻μσY N ~(,)222，而且总体相互独立.在显著性水平=α0.05下，能否认为两批器材的电阻的分布相同？ 五、（满分14分）X X X n ,,,12是总体X 的随机样本,X 的密度函数为他其）（ ⎩⎪⎨=>⎪<<⎧-θθθθf x x x 0,(;)0,01111（1）求未知参数θ的极大似然估计量θˆ; （2）证明θˆ是未知参数θ的UMVUE .六、（满分8分）将一颗骰子掷了120次,所得结果如下： 点数i 1 2 3 4 5 6 出现次数νi232718221416试在显著性水平=α0.05下,检验一颗骰子是否均匀、对称？七、 (满分16分）假定在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的数据如下：x s / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 μy m /7101316182123252730应用线性模型⎩⎨⎧=++εσεεεεN y a bx n ~(0,),,,,212为其样本.（1） 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；（3）预测腐蚀时间为=x s 6.50时，腐蚀深度y 0的范围-=a (10.95)； (4) 若要使腐蚀深度在20-26μm 之间，腐蚀时间应该如何控制（=α0.05）.八、 (满分14分) 某种型号的电池4批，分别为四个工厂所生产.各随机抽取5只电池样品，得它们的寿命如下：A 140 48 40 42 45 A 2 26 34 30 28 32 A 339 40 41 50 50 A 43634404035试在显著性水平=α0.05下,检验各批电池的平均寿命有无显著性的差异. 附注：计算中可能用到的数据如下：,，，，,,）（======Φ===χF F F r F t t (99) 4.03(1,8) 5.32,(3,16) 3.24.511.071(8)0.6319(99) 3.18(1.96)0.975,(18) 2.101,(8) 2.306,0.9750.950.950.950.050.9520.9750.975一、（满分12） 解：(1)X 的特征函数为())1)00()()|1()it xitxit xX e itt f x e dx edx it λλλφλλλ---∞∞---∞-∞====---⎰⎰（（（2）21222222221()1(0)(0)222()1(0)(0)1()X X X X X X i it i t EX i it t EX i DX EX EX φφφλλλλφφφλλλλλ----⎛⎫'''=-=== ⎪⎝⎭--⎛⎫''''''=-=== ⎪⎝⎭=-=，，；，，；.（3）S 的特征函数为S ()[()](1/)n n X t t it φφλ-==-所以），（λn Γ~ S ，其密度函数为.0,00,!1)(1S ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--y y n e y y f yn n ）（λλ 二、（满分8）解：根据抽样分布定理得，*2*22222121222*2*21212(1)(1)11~(,),~(,),~(1)~(1),,n S n S Y N Y N n n n n Y Y S S μσμσχχσσ----，并且，，相互独立.于是，212*2*212*2*2122~(0,)~(0,1)(1)(1)2~(22)21)(1)2Y Y N N n n S n S n n S n S σχσσ--+---+-，，相互独立. 由t 分布的定义得 ,~(16)~(22)t Z t n =-，即. 三、（满分14分）解： （1）X 的密度函数为X 的分布函数为 0,0(),01,x F x x x x θθθθ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩；)(n X 的密度函数为()11,0()[()]()0,n n n nX n x x f x n F x f x θθθθ--⎧<<⎪==⎨⎪⎩;;其他 ()1()01ˆ.1nn n nx n n EX n dx E E X n n θθθθθ+⎡⎤====⎢⎥+⎣⎦⎰， (1)X 的密度函数为(1)11(),0()[1()]()0,n n n X n x x f x n F x f x θθθθθ--⎧-<<⎪=-=⎨⎪⎩;；其他 1(1)2(1)0()ˆ(1)1n nx x EX n dx E E n X n θθθθθθ--⎡⎤===+=⎣⎦+⎰，. 3ˆ(2)2E E X EX θθ===. 所以，1()2(1)31ˆˆˆ,(1),2n n X n X X nθθθ+==+=都是θ的无偏估计量. 2）122222()()()()2()()2(2)(1)n n n n n nx n n EXn dx D X EX EX n n n θθθθ+===-=+++⎰， ()2122222(1)(1(1)(1)2()2()(2)(1)(2)(1)n nx x n EX n D X EX EX n n n n θθθθθ--===-=++++⎰，.10()0,x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，；其他()()2221()2(1)31ˆˆˆ()()()(1)()2(2)23n n n D D X D D n X D D X n n n n nθθθθθθ+===+===++，，所以，当1n >，132ˆˆˆ()()()D D D θθθ<<， 132ˆˆˆθθθ最有效，次之，效果最差. 四、（满分14）解：首先检验 2222012112:,:H H σσσσ=≠ 当0H 成立时， *21*22~(9,9)S F F S =拒绝域为 0,975(9,9) 4.03F F ≥= 或0.0251(9,9)0.2484.03F F ≤== 得 *2*21242,88,46,99.3333x S y S ====*21*220.8859S F S ==由于0.2480.8859 4.03F <=<，所以接受0H ，即认为两批器材的电阻的方差没有显著性差异.在此基础上检验012112:,:H H μμμμ=≠ 当0H 成立时，~(18)t t =拒绝域为 0.975||(18) 2.101t t ≥= 计算可得0.9242t ==- 由于||0.9242 2.101t =<，所以接受0H ，即认为两批器材的电阻的均值没有显著性的差异.综合以上，可以认为两批器材的电阻的分布相同. 五、（满分14分）解：(1) 11111()(;)()0nnk kn k k L f x x θθθθθ-====>∏∏，取对数得，11ln ()ln 1ln nk k L n x θθθ=⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∑令211ln ()ln 0n k k d n L x d θθθθ==--=∑ 解得 =11ˆln nkk x n θ=-∑ 所以，未知参数θ的极大似然估计量 11ˆln n k k X n θ-=-∑. (2) :(;)0f x θθ>｛｝=(0,1)与未知参数θ无关.[]11101211222202111(ln )ln 1(ln )ln 2ln 11ˆˆln ,()ln ttn nk k k k tE X xx dx e dt t E X xx dx e dt D X E E X D D X n n n θθθθθθθθθθθθθθθ--∞--∞==-===-===-=⎡⎤⎡⎤=-==-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰∑∑，，，，，2223222121ln 21);(ln )(θθθθθθθθ=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=X E X f E I 由于 21ˆ()()D nnI θθθ==， 所以，=11ˆln nkk X n θ=-∑是未知参数θ的有效估计量，也是未知参数θ的UMVUE . 六、（满分8分）解： 0111:(1,2,,6),:(1,2,,6)66i i H p i H p i ===不全是当0H 成立时， 26221()(5).k k k k np np νχχ=-=∑近似服从 拒绝域为 22210.95(5)=(5)11.071αχχχ-≥=经计算得 2621() 5.911.071k k k knp np νχ=-==<∑ 所以接受0H ，可以认为这个骰子是均匀、对称的. 七、（满分16）解：（1）21112111155,()82.5,19,()512,205.n nn k xx k k k k k n nyy k xy k k k k x x L x x y y n n L y y L x y nx y ========-====-==-⨯=∑∑∑∑∑.设a 和b 的最小二乘估计分别为aˆ和b ˆ，则 205ˆˆˆ 5.3333, 2.484882.5xy xx L ay bx b L =-==== 回归方程为 ˆˆˆ 5.3333 2.4848ya bx x =+=+. （2）0:,0:10≠=b H b H当0H 成立时， )2(~ˆˆ-=n t L bt xx e σ拒绝域为 1-/20.975||(2)(8) 2.306t t n t α≥-==计算可得，ˆ0.570839.541e t σ====,由于||39.541 2.306t =>，所以，拒绝0H ，认为回归效果显著．（３）当0 6.5x =时，ε++=00bx a y ，00ˆˆˆ21.4848y a bx =+= 由于, )2(~)(11ˆˆ2000--++-=n t Lxxx x n y yt e σ得到, αα-=-<-1)}2(|{|21n tt P所以，成本0y 的置信水平为α-1的预测区间为120012ˆˆˆˆ(2)(2).yt n y t n αασσ--⎛--+- ⎝代入数据计算可得，001122ˆ20.1ˆˆˆ((22.870e e y t n y t n αασσ----+-=，所以,当06x =.5，腐蚀深度0y 的置信水平为95.0的预测区间为20.10,22.87（）.（4）当腐蚀深度在20-26m μ之间，近似地有0.97511ˆˆ'(')(200.5708 1.96 5.3333) 6.35ˆ 2.4848e x y u a b σ=+-=+⨯-=0.97511ˆˆ''('')=(260.5708 1.96 5.3333)7.87ˆ 2.4848e x y u a bσ=---⨯-= 所以，腐蚀时间控制6.35~7.87s ，可以使腐蚀深度在20-26m μ之间. 八（满分14）、解：20,5,44321======n n n n n r)4,,2,1(:,:143210 ====k H H k μμμμμ不全相同．当0H 成立时， ),1(~1r n r F rn S r S F e A----=拒绝域为 10.95(1,)(3,16) 3.24F F r n r F α-≥--== ． 计算可得，1122111111111143,()48n n k k k k x x n S x x n =====-=∑∑2222222222112130,()40n n kk k k x xn S x x n =====-=∑∑3322333333113144,()122n n k k k k x x n S x x n =====-=∑∑4422444444114137,()32n n kk k k x xn S x x n =====-=∑∑24212==∑=rk kk e S n S 42211()5()625rA k k k k k S n x x x x ===-=-=∑∑由于 113.77 3.24Ae S r F S n r-==>-，所以拒绝0H ，即认为不同厂家的电池的平均寿命有显著性差异．。
数理统计试题及答案
数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知，则=________；3、设总体，若和均未知,为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________;4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2≤,则相应的备择假设为________;5、设总体,已知，在显著性水平0.05下,检验假设，，拒绝域是________。
1、；2、0.01;3、；4、；5、.二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A）(B) (C）(D)2、设为取自总体的样本,为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（）。
（A）（B) （C）（D）3、设是来自总体的样本，存在, ，则( )。
(A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为,在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。
(A) （B)（C）（D)5、设总体，已知，未知,是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5。
69)，则取显著性水平时,检验假设的结果是（）。
（A）不能确定(B)接受(C）拒绝（D）条件不足无法检验1、B；2、D；3、C；4、A;5、B。
三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本,求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。
解：(1) ,令，得为参数的矩估计量。
（2)似然函数为：，而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为.四、(本题14分)设总体，且是样本观察值,样本方差，(1）求的置信水平为0.95的置信区间;(2）已知，求的置信水平为0。
95的置信区间；(，)。
解:（1)的置信水平为0。
95的置信区间为,即为(0。
数理统计考试题及答案
数理统计考试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是中心极限定理的主要内容？A. 样本均值的分布趋近于正态分布B. 样本方差的分布趋近于正态分布C. 样本中位数的分布趋近于正态分布D. 样本最大值的分布趋近于正态分布答案：A2. 假设检验中的两类错误是什么？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 抽样误差和非抽样误差答案：A二、填空题1. 总体均值的估计量是_________。
答案：样本均值2. 在进行假设检验时，如果原假设被拒绝，则我们犯的是_________错误。
答案：第一类三、简答题1. 简述什么是置信区间，并说明其在统计分析中的作用。
答案：置信区间是指在一定置信水平下，用于估计总体参数的一个区间范围。
它的作用是在统计分析中提供对总体参数估计的不确定性度量，帮助我们了解估计值的可信度。
2. 解释什么是点估计和区间估计，并给出它们的区别。
答案：点估计是用样本统计量来估计总体参数的单个值。
区间估计是在一定置信水平下，给出总体参数可能落在的区间范围。
它们的区别在于点估计提供了一个具体的数值，而区间估计提供了一个包含该数值的区间，反映了估计的不确定性。
四、计算题1. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本均值为50mm，样本标准差为1mm，样本容量为100。
求95%置信水平下的总体均值的置信区间。
答案：首先计算标准误差：\( SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。
然后根据正态分布的性质，95%置信水平下的置信区间为：\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \)。
计算得到：\( 50 \pm 1.96 \times 0.1 = (49.84, 50.16) \)。
2. 假设某公司员工的日均工作时长服从正态分布，样本均值为8小时，样本标准差为0.5小时，样本容量为36。
数理统计学试题答案(2)
湖北中医药大学期末考试《数理统计学》试卷一、选择题（每题1分，共30分）1、样本是总体中：（）A、任意一部分B典型部分C、有意义的部分D、有代表性的部分E、有价值的部分2、参数是指：（）A、参与个体数B研究个体数C总体的统计指标D样本的总和E、样本的统计指标3、抽样的目的是：（）A、研究样本统计量B、研究总体统计量C、研究典型案例D、研究误差E、样本推断总体参数4、脉搏数（次/分）是：（）A、观察单位B、数值变量C、名义变量D.等级变量E.研究个体5、疗效是：（）A、观察单位B、数值变量C、名义变量D等级变量E、研究个体6、抽签的方法属于（）A、分层抽样B、系统抽样C、整群抽样D单纯随机抽样E、二级抽样7、统计工作的步骤正确的是（）A、收集资料、设计、整理资料、分析资料B、收集资料、整理资料、设计、统计推断C、设计、收集资料、整理资料、分析资料D、收集资料、整理资料、核对、分析资料E、搜集资料、整理资料、分析资料、进行推断8、实验设计中要求严格遵守四个基本原则，其目的是为了：（）A、便于统计处理B严格控制随机误差的影响C、便于进行试验D减少和抵消非实验因素的干扰E、以上都不对9、对照组不给予任何处理，属（）A、相互对照B、标准对照C、实验对照D自身对照E、空白对照10、统计学常将PO.05或PO.01的事件称（）A、必然事件B、不可能事件C、随机事件D小概率事件E、偶然事件11、医学统计的研究内容是（）A、研究样本B、研究个体C、研究变量之间的相关关系D研究总体E、研究资料或信息的收集.整理和分析12、统计中所说的总体是指：（）A、根据研究目的确定的同质的研究对象的全体B、随意想象的研究对象的全体C根据地区划分的研究对象的全体D、根据时间划分的研究对象的全体E、根据人群划分的研究对象的全体13、概率P=0，则表示（）A、某事件必然发生B、某事件必然不发生C某事件发生的可能性很小D、某事件发生的可能性很大E、以上均不对14、总体应该由（）A、研究对象组成B研究变量组成C研究目的而定D同质个体组成E个体组成15、在统计学中，参数的含义是（）A、变量B、参与研究的数目C、研究样本的统计指标D总体的统计指标E、与统计研究有关的变量16、调查某单位科研人员论文发表的情况，统计每人每年的论文发表数应属于（）A、计数资料B、计量资料C、总体D个体E、样本17、统计学中的小概率事件，下面说法正确的是：（）A、反复多次观察，绝对不发生的事件B、在一次观察中，可以认为不会发生的事件C发生概率小于0.1的事件D发生概率小于0.001的事件E、发生概率小于0.1的事件18、统计上所说的样本是指：（）A、按照研究者要求抽取总体中有意义的部分B随意抽取总体中任意部分C、有意识的抽取总体中有典型部分D、按照随机原则抽取总体中有代表性部分E、总体中的每一个个体19、以舒张压 >12.7KPa为高血压，测量1000人，结果有990名非高血压患者，有10名高血压患者，该资料属（）资料。
数理统计 期末试题及答案
数理统计期末试题及答案注意事项：本文为数理统计期末试题及答案，按照试题的要求，将试题和答案进行整理和排版，以便学生们参考和复习。
以下为试题及答案的详细内容。
一、选择题1. 下列哪个统计图可以用于表示定性变量的分布情况？A. 饼图B. 直方图C. 线图D. 散点图答案：A2. 假设某地区的年降雨量服从正态分布，平均降雨量为50mm，标准差为10mm。
设有一天的降雨量为X，X~N(50,10^2)，则P(X≥60)等于多少？A. 0.1587B. 0.3413C. 0.5000D. 0.8413答案：D3. 在一场篮球赛中，甲队的命中率为75%，乙队的命中率为80%。
已知甲队共投篮20次，乙队共投篮30次。
问：甲队在这场比赛中命中球的次数比乙队多多少次？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 某投资公司第一天投资100万美元，以后每天投资额为前一天的1/4。
设投资额构成一个等比数列，求该公司的总投资额。
A. 200万美元B. 240万美元C. 250万美元D. 300万美元答案：C5. 一个城市中共有A、B、C三个医院，过去一年中A医院门诊病人数占总病人数的1/3，B医院门诊病人数占总病人数的1/4，C医院门诊病人数占总病人数的1/6。
如果某天随机选择一位门诊病人，那么他就诊于C医院的概率是多少？A. 1/6B. 1/5C. 1/4D. 1/3答案：A二、计算题1. 设X为正态分布随机变量，已知X~N(50,16)，求P(45≤X≤55)。
答案：要求P(45≤X≤55)，可以使用标准正态分布表计算。
先求得标准化后的值：(45-50)/4=-1.25，(55-50)/4=1.25。
查表可得P(-1.25≤Z≤1.25)=0.7881-0.1056=0.6825。
故P(45≤X≤55)≈0.6825。
2. 甲、乙两人独立地各自以相同的速率生产零件，甲人生产的零件平均每小时有2个次品，乙人生产的零件平均每小时有3个次品。
(完整版)数理统计考试题及答案
1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X •=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。
数理统计期中考试试题及答案
数理统计期中考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的度量？A. 方差B. 标准差C. 平均值D. 极差答案：C2. 在统计学中，正态分布曲线的对称轴是什么？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 标准差答案：A3. 以下哪个不是描述数据离散程度的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均值D. 极差答案：C4. 假设检验中，拒绝原假设意味着什么？A. 原假设是正确的B. 原假设是错误的C. 无法确定原假设的正确性D. 需要更多的数据答案：B5. 以下哪个统计量用于衡量两个变量之间的相关性？A. 均值B. 标准差C. 相关系数D. 方差答案：C6. 以下哪个选项是描述数据分布形状的度量？A. 平均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布中心位置的度量？A. 方差B. 标准差C. 中位数D. 众数答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布集中程度的度量？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：B9. 以下哪个选项是描述数据分布的峰值的度量？A. 方差B. 标准差C. 峰度D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布的偏斜程度的度量？A. 方差B. 标准差C. 偏度D. 峰度答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 一组数据的均值是50，标准差是10，则这组数据的方差是______。
答案：1002. 如果一组数据服从正态分布，那么它的均值和中位数是______。
答案：相等的3. 相关系数的取值范围是______。
答案：-1到14. 在进行假设检验时，如果p值小于显著性水平α，则我们______原假设。
答案：拒绝5. 一组数据的偏度为0，说明这组数据是______。
答案：对称的三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是置信区间，并给出其计算方法。
答案：置信区间是用于估计一个未知参数的区间，它表明了在给定的置信水平下，参数值落在这个区间内的概率。
数理统计期中考试试题及答案
数理统计期中考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪项是描述数据离散程度的统计量？A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D2. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 均匀分布D. 二项分布答案：D3. 以下哪个公式是计算样本方差的？A. \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \)B. \( s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} \)C. \( \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} \)D. \( \mu = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \)答案：B4. 以下哪个统计量用于衡量两个变量之间的相关性？A. 标准差B. 相关系数C. 回归系数D. 均值答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一组数据的均值是50，中位数是45，众数是40，这组数据的分布是_____。
答案：右偏分布2. 如果一个随机变量服从标准正态分布，那么其均值μ和标准差σ分别是_____和_____。
答案：0，13. 在回归分析中，如果自变量X的增加导致因变量Y的增加，那么X和Y之间的相关系数是_____。
答案：正数4. 假设检验的目的是确定一个统计假设是否_____。
答案：成立三、计算题（每题10分，共30分）1. 已知样本数据：2, 4, 6, 8, 10，求样本均值和样本方差。
答案：均值 = 6，方差 = 82. 假设一个二项分布的随机变量X，其成功概率为0.5，试求X=2的概率。
答案：\( P(X=2) = C_4^2 \times 0.5^2 \times 0.5^2 = 0.25 \)3. 已知两个变量X和Y的相关系数为0.8，求X和Y的线性回归方程。
答案：需要更多信息，如X和Y的均值和方差，才能求解。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
数理统计期末考试试题答案
1. Let n X X X ,,,21 be a random sample from the ),(βαGamma distributionβααβαβαxe x xf --Γ=1)(1),|(, 0>x , 0>α, 0>β.(a) ( 8 %) Find the method of moment estimates of α and β. (b) ( 7 %) Find the MLE of β, assuming α is known.(c) ( 7 %) Giving 0>α, find the Cramer-Rao lower bound of estimates of β. (d) ( 8 %) Giving 0>α, find the UMVUE of β.2. Suppose that n X X X ,,,21 are iid ~),2(p B , )1,0(∈p . Let )1(2)(p p p -=τ.(a) ( 5 %) Show that ∑==ni i X T 1 is a sufficient statistic for p .(b) ( 5 %) Let ⎩⎨⎧≠==1 if ,01if ,111X X Y . Show that Y is an unbiased estimate of )(p τ.(c) (10%) Find the UMVUE W of )(p τ.3. Let n X X X , , ,21 be a random sample from a )(λPoisson ,0>λ, distribution. Consider testing 1:0=λH vs 3:1=λH . (a) (10%) Find a UMP level α test, 10<<α.(b) ( 7 %) For 3=n , the test rejects 0H , if 5321≥++X X X .Find the power function )(λβ of the test.(c) ( 8 %) For 3=n , the test rejects 0H , if 5321≥++X X X .Evaluate the size and the power of the test.4. (10%) Let n X X X , , ,21 be iid )(ΛPoisson distribution, and let the priordistribution of Λ be a ),(βαGamma distribution, 0>α, 0>β. Find the posterior distribution of Λ.5. Let n X X X , , ,21 be a random sample from an exponential distribution with meanθ,0>θ. (a) ( 5 %) Show that ∑==ni i X T 1 is a sufficient statistic n for θ.(b) ( 5 %) Show that the Poisson family has a monotone likelihood ratio, MLR. (c) ( 5 %) Find a UMP level α test of 10:0≤<θH vs 1:1>θH by theKarlin-Rubin Theorem shown below.[Definition] A family of pdfs or pmfs }|)|({Θ∈θθt g has a monotone likelihood ratio,MLR, if for every 12θθ>, )|()|(12θθt g t g is a monotone function of t .[Karlin-Rubin Theorem] Suppose that T is a sufficient statistic for θ and the pdfs orpmfs }|)|({Θ∈θθt g has a non-decreasing monotone likelihood ratio. Consider testing 00:θθ≤H vs 01:θθ>H . A UMP level α test rejects 0H if and only if 0t T >, where )(00t T P >=θα.數理統計期末考試試題答案1. (a) Since αββαβαβαααβαα=Γ+Γ=Γ=+∞-⎰)()1()(1)(10dx e x X E xand22012)1()()2()(1)(βααβαβαβαααβαα+=Γ+Γ=Γ=+∞-+⎰dx e xX E x,Let αβ=1m and 22)1(βαα+=m ⇒αα1212+=m m ⇒ 21221~m m m -=α, 12121~~m m m m -==αβ. Furthermore, X m =1,2122212212)1()(11S nn X X n X X n m m ni i ni i -=-=-=-∑∑==, The MME of α.and β are 22)1(~Sn X n -=α, X n S n 2)1(~-=β(b) βααβααβαβααβ∑--=--==∏Γ=Γ∏=ni iix i ni n x i ni ex e x x L 1)(])([1])(1[)~,|(1111⇒ βαβαααβ∑∑==--+-Γ-=ni ni i x x n n x L 111ln )1(ln )(ln )~,|(lnLet 01)~,|(ln 12=+-=∂∂∑=n i i x n x L ββααββ ⇒ ααβx x n ni i ==∑=11ˆ. Furthermore, 32132222ln 2)~,|(ln ββαββααββx n n x n x L n i i -=-=∂∂∑= ⇒02ˆ2ˆ)~,|ˆ(ln 233222<-=-=-=∂∂x n x x n x n x n n x L ββααββ, So, αβX =ˆ is the MLE of β. (c) 232132222)2()]~,|(ln [βαβαββαββααββββn n n X n E x L E n i i =+-=+-=∂∂-∑=⇒ CRLB =αβαβββn x L E 222)]~,|(ln [1=∂∂- (d) Since βααβα==)(XE , αβX =ˆ is an unbiased estimate of β, and===αβαβααn nXVar 2221)(CRLB, αβX =ˆ is the UMVUE of β. [Or] βααβαβαxe x x I xf --∞Γ=1),0()()(1),|()]1(exp[)()(11),0(ββααα-Γ=-∞x x x I⇒ Given α, )}|({βx f is an exponential family in β.⇒ ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic for β.Since ααβn T X ==ˆ is an unbiased estimate of β and a function of sufficient statistics T , by Rao-Blackwell Theorem, αβX =ˆ is the UMVUE of β.2. (a) ∏∏==--⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ni n i x x ii i n i i p p x I x p x f p x x x f 112}2,1,0{21])1()(2[)|()|,,,( n x n i i i n i x i i p p p x I x p p p x I x ni i i 21}2,1,0{12}2,1,0{)1()1]()(2[])1()1)((2[1--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑===∏∏ Let n x T p p p p x T g 2)~()1()1()),~((--= and )(2)(}2,1,0{1i n i i x I x x h ∏=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. By factorization theorem, ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic for p .[Or] )]1ln(exp[)1()(2)1()(2)|(2}2,1,0{2}2,1,0{p p x p x I x p p x I x p x f x x --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- ⇒ )}|({p x f is an exponential family ⇒ ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic.(b) )1(2)1(12)1(0)1(1)(12111p p p p X P X P Y E -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠⋅+=⋅=-, so Y is an unbiased estimate of )(p τ. (c) If n X X X ,,,21 , N n ∈, are iid ~),2(p B , then ),2(~1p n B X T ni i ∑==.⇒ )()1 & 1()()& 1()()& 1()|(211t T P t X X P t T P t T X P t T P t T Y P t T Y E ni i =-============∑=t n t t n t ni i p p t n p p t n p p t T P t X P X P ----=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-===∑212121)1(2)1(122)1(2)()1()1( )12()2()!2()!2(!)!12()!1()!22(2--=-----=n n t n t n t n t t n t n , n t 2,,2,1,0 =.By Rao-Blackwell Theorem, )12(2)()|(--==n T n T T Y E W is the UMVUE of λλτ-=e )(.3. (a) By Neyman-Pearson Lemma, a UMP level α test rejects 0H if and only if)1|,,,()3|,,,(2121=>=λλn n x x x kf x x x f .⇔ ])!(1[])!(3[1131-=-=∏>∏e x k e x i x n i i x ni ii ⇔ n x ke i 23>∑ ⇔ k n x n i i ln 23ln )(1+>∑= ⇔c kx ni i =+>∑=3ln ln 21 Since)(~1λn Poisson X ni i ∑=, a UMP level α test rejects0H if and only ifc X ni i >∑=1, where c is the smallest integer satisfying α≤-∞+=∑nc i i e i n 1!. [Or] ∑==ni i X T 1is sufficient for λ and )(~λn Poisson T .By the corollary of Neyman-Pearson Lemma, a UMP level α test rejects 0H if and only if )1|()3|(=>=λλt kg t g .⇔ 13!1!3-->e t k e t t t ⇔ 23ke t > ⇔ k x ni ln 23ln )(11+>∑=(b) )4(1)5()(321321≤++-=≥++=X X X P X X X P λλλβλλλλλλ343210]!4)3(!3)3(!2)3(!1)3(!0)3([1-++++-=e, 0>λ (c) The size of this test is 1847.0]!43!33!23!13!03[1)1(343210=++++-=-e β The power of this test is 9450.0]!49!39!29!19!09[1)3(943210=++++-=-e β 4. Since ∑==ni i X T 1 is sufficient for λ and )(~λn Poisson T .λλλλn tT e t n t f -=!)()|(|; and βλααλβαλ--ΛΓ=e f 1)(1)(⇒ βλααλλβαλλ---Γ=e e t n tf n t1)(1!)(),(λβααλβα)1(1)(!+--+Γ=n t tet n, 0>λ⇒ ααλβααββαβαλλβα+∞+--+++ΓΓ=Γ=⎰t tn t tT n t t n d et nt f )1)(()(!)(!)(0)1(1⇒ αλβαααλβααββαλββαβαλβαλλ++--+++--+Λ++Γ=++ΓΓΓ==t n t t t n t tT t n t e n t t n et nt f t f t f )1)(()1)(()(!)(!)(),()|()1(1)1(1|, 0>λThe posterior distribution of Λ is )1,(++ββαn t Gamma .5. (a) )(1))(1()|()|,,,(),0(111),0(211i n i x n ni ni i x i n x I e x I e x f x x x f i ∞=∑-==∞-∏===∏∏θθθθθθLet θθθ)~(1)),~((x T n ex T g -= and )()~(),0(1i n i x I x h ∞=∏=. By factorization theorem, ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic for θ.[Or])]1(exp[1)()(1)|(),0(),0(βθθθθ-==∞∞-x x I x I e x f x⇒ )}|({θx f is an exponential family.⇒ ∑==ni i X T 1is a sufficient statistic.Since ααβn T X ==ˆ is an unbiased estimate of β and a function of sufficient statistics T , by Rao-Blackwell Theorem, αβX =ˆ is the UMVUE of β. (b) )(~1λn Poisson X T ni i ∑== ⇒ λλλn t et n t g -=!)()|(, ,2,1,0∈t ⇒ )(1212121212!)(!)()|()|(λλλλλλλλλλ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n t n t n t e e t n et n t g t g If 12λλ> ⇒ 112>λλ ⇒ )|()|(12λλt g t g is an increasing function of t ,Hence }0|)|({>λλt g of T has MLR. (c) ),(~1θn Gam m a X T ni i ∑== ⇒ θθθtn ne t n t g --Γ=1)(1)|(, 0>t⇒tn tn n tn n e e t n e t n t g t g )11(211112121212)(1)(1)|()|(θθθθθθθθθθ------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΓΓ=, 0>t If 12θθ> ⇒ 0)11(211212>-=--θθθθθθ ⇒ )|()|(12θθt g t g is increasing in t .Hence }0|)|({>θθt g of T has an MLR.By Karlin-Rubin Theorem, the UMP size α test rejecting 0H if c X T ni i >=∑=1, where csatisfies that αθ==>∑=}1|{1c X P ni i ; i.e.,α=Γ⎰∞--cxn dx e x n 1)(1.。
数理统计试卷及答案
课程名称： 概率论与数理统计 以下为可能用到的数据或公式（请注意：计算结果按题目要求保留小数位数）： 0.058=2.306t （），0.059=2.262t （），0.02t (20)=2.528，0.05220=2.086t （），20.058=15.507χ（），20.958=2.733χ（），..χ=2010（1）2706，..χ=2090（1）0016，0.012 2.58u =，0.0521.96u =，X YT -=，w S =2211(||0.5)c r ij ij j i ij O E E χ==--=∑∑ 一、单项选择题（共5小题, 每小题3分, 共15分）.1. 将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为( c). (A) 18 (B) 14 (C) 38 (D) 122. 为了解某中学学生的身体状况，从该中学学生中随机抽取了200名学生的身高进行统计分析。
试问，随机抽取的这200名学生的身高以及数据200分别表示( b ).(A) 总体，样本容量 (B) 从总体中抽取的一个样本，样本容量(C) 个体，样本容量 (D) ,,A B C 都不正确3. 设随机变量X 服从正态分布，其概率密度函数为2(2)21()()x f x x --=-∞<<+∞，则2()E X =( c ).(A) 1 (B)4 (C) 5 (D) 84. 已知随机变量(0,1)X N ，2()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则2X Y n （b ）.(A)(,1)F n (B)(1,)F n (C)()t n (D)(1)t n -5. 设随机变量(5)t t ，且0.0525=2.571t （），则下列等式中正确的是( a ). (A) ( 2.571)0.05P t >= (B) ( 2.571)0.05P t <=(C) ( 2.571)0.05P t >= (D) ( 2.571)0.05P t <-=二、填空题（共5小题, 每小题3分, 共15分）.1. 设()0.5P A =，()0.3P B =，()0.6P A B =，则()P AB =__0.3___.2. 两人约定在下午2点到3点的时间在某地会面，先到的人应等候另一人 15分钟才能离去，问他们两人能会面的概率是_____.3. 若相互独立的事件A 与B 都不发生的概率为49，且()()P A P B =，则()P A =_1/3___4. 在有奖摸彩中，有200个奖品是10元的，20个奖品是30元的，5个奖品是1000元的.假如发行了10000张彩票，并把它们卖出去.那么一张彩票的合理价格应该是__0.76元.5. 对随机变量X 与Y 进行观测，获得了15对数据，并算得相关数据：121xx l =，101xy l =，225yy l =，则样本相关系数r =_101/165____（保留二位小数）.三、计算与应用题1. 设某批产品是由3个不同厂家生产的.其中一厂、二厂、三厂生产的产品分别占总量的30%、35%、35%，各厂的产品的次品率分别为3%、3%、5%，现从 中任取一件，(1)求取到的是次品的概率；0.037(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是三厂生产的概率.0.492. 设随机变量X 的概率密度为2,11()0,Cx x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它，求常数C 以及随机 变量X 落在1(0,)2内的概率.c=3/2 p=1/16 3. 检查某大学225名健康大学生的血清总蛋白含量(单位：g/dL)，算得样本均数为7.33，样本标准差为0.31.试求该大学的大学生的血清总蛋白含量的95%置信区间（结果保留二位小数）.4. 为判定某新药对治疗病毒性流行感冒的疗效性，对500名患者进行了调查，结果如下：试求：（1）求表格中理论频数E，21E；12e12=232 ,e21=42（2）判断疗效与服药是否有关（结果保留三位小数）？5. 正常人的脉搏平均为每分钟72次.某职业病院测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏（单位：次/min）如下：55 68 69 71 67 79 68 71 66 70假定患者的脉搏次数近似服从正态分布，试问四乙基铅中毒患者和正常人的脉搏次数是否有显著性差异？（0.01α=）6.某公司生产两种品牌的洗发水，现分别对这两种洗发水的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量做抽检，结果如下：甲品牌：n=10 x=3.6 21s =3.38 乙品牌：2n=12 y=2.012s =2.42若洗发水中的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量服从正态分布，并且这两种品牌洗发水中的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量具有方差齐性，试问这两种品牌洗发水中的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量有无显著性差异？（0.05α=，结果保留三位小数）？欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在概率论中，随机变量X的数学期望E(X)表示的是（）。
A. X的众数B. X的中位数C. X的均值D. X的方差答案：C2. 以下哪项是描述性统计中常用的数据集中趋势的度量方法？（）。
A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：A3. 假设检验中，原假设H0通常表示的是（）。
A. 研究者想要证明的假设B. 研究者想要否定的假设C. 研究者认为正确的假设D. 研究者认为错误的假设答案：C4. 在回归分析中，如果自变量X与因变量Y之间存在线性关系，则回归系数β1表示的是（）。
A. X每增加一个单位，Y平均增加β1个单位B. X每增加一个单位，Y平均减少β1个单位C. X每减少一个单位，Y平均增加β1个单位D. X每减少一个单位，Y平均减少β1个单位答案：A5. 以下哪项是统计学中用于衡量数据离散程度的指标？（）。
A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D6. 抽样分布是指（）。
A. 总体数据的分布B. 样本数据的分布C. 样本统计量的分布D. 总体统计量的分布答案：C7. 在统计学中，置信区间是用来估计（）。
A. 总体均值B. 总体方差C. 总体标准差D. 以上都是答案：D8. 以下哪项是统计学中用于衡量数据分布形态的指标？（）。
A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C9. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A10. 在方差分析中，如果F统计量大于临界值，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A二、多项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪些是统计学中常用的数据收集方法？（）。
A. 观察法B. 实验法C. 调查法D. 抽样法答案：ABCD2. 描述性统计中，以下哪些是数据的集中趋势的度量方法？（）。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni i p2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ∙=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=n i iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=n i iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i iX X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i iX X，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi i i i X X P X X P sP s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752三．设总体X 的概率密度为f(x)=(1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。
)X 1/()1X 2(ˆ,)2/()1()1()()(11--==++=+==⎰⎰++∞∞-ααααα得X dx xdx x xf x E 极大似然估计：∑∑∑∑∏∏∏=======--==++=∂∂++=++=+=+==ni ini ini in i ini i nni ini i xnxnL x n xn x L x x f L 1111111ln 1ˆ0ln 1)(ln ln )1ln(ln )1ln()1(ln)(ln )1();()(αααααααααααααααα求得：：求导并令它等于零，得上式对两边取对数得：似然函数：四．设瓶装食用醋容量X N （2,μσ），现从中取出16个瓶测得容量下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496（毫升），试求均值μ置信度为0.95的置信区间。
解：{}），）即（，故置信区间为（所以有分布分位数表得：查由题意知的置信区间为的置信度为得：所以由因为：则修正样本方差）（样本平均值：05.50745.5003.375.5033.375.5033.342.6*1315.2)1(1315.2)15(05.0)1(,)1(11)1(P )1(~/X T 2.638.46667)(116175.503496509502506496493505514512497510504503499508506161*2205.0*2*22**2161*2+-==-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----=-<--=≈=--==+++++++++++++++=∑=nS n t t t n S n t X n S n t X n t T n t nS S X X SX nn n n n i inααααααμαμ五．设一批螺钉长度X N （2,μσ），随即抽取5枚检验长度如下试问在α=0.05的水平下，这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）？解：假设H 0：25.1≤μ，H 1：25.1>μ n=5,05.0=α035.0,00123.0)(151246.1X *251*2==--==∑=n i inS X X S则，修正样本方差平均值统计量：)1(~/X T *0--=n t nS nμ，则拒绝域：)1(/*0-≥-n t nS x nαμ从而计算得：2556.05/35.0.025.1246.1/25.1x t *-≈-=-=nS n查t 分布分位数表得：1318.2)4(05.0=t ，由于t=-0.2556<1318.2)4(05.0=t , 故接受原假设H 0，即这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）六．现随即投一枚骰子600次，记录朝上点数如下表问在α=0.05的水平下，该枚骰子是否均匀？解：均匀的。
即可以认为这颗骰子是，故接受假设）（因为）（分布表得，查对计算得假设0205.02205.022222226120210,5ˆ.1.111605.046/600)6/60093(6/600)6/600108(6/600)6/60089(6/600)6/600109(6/600)6/60094(61*600)61*600107()(ˆ)6,...,2,1(61:61:H np np N i p H p H n i i i i n i i χχχχαχ<=-==-+-+-+-+-+-=-==≠↔=∑=七．设三种类型电路的反应时间，随机测试5次结果如下表利用方差分析的方法，在α=0.05下，试检验电路型号这一因素对反应时间有无显著差异？解：r=3,n1=n2=n3=5n=n1+n2+n3=15由excel方差分析得：方差分析：单因素方差分析SUMMARY组观测数求和平均方差1 5 12.1 2.42 0.002452 5 12.8 2.56 0.0013 5 13.1 2.62 0.00135方差分析差异源SS df MS F P-value F crit组间0.105333 2 0.052667 32.91667 1.34E-05 3.885294组内0.0192 12 0.0016总计0.124533 14因为F=32.91667>F0.05(2,12)=3.885294,故电路型号这一因素对反应时间有显著差异。
注意：Excel方差分析步骤1.点击“工具”—“加载宏”—勾选“分析工具库和规划求解”—确定2.点击“工具”—“数据分析”—选择“方差分析：单因素分析”—确定3.输入区域选择图中虚线部分，按下图选择数据的话就不需要勾选标准那个选项，分组方α，输出选项随便—确定，即可式选择行，填好05.0值为八．下表给出了12个父亲和他们长子身高的观察值：（1） 试求Y 关于x 的线性回归方程（2） 在α=0.05下，利用F 检验法检验回归方程的显著性解：（1）、由公式⎪⎭⎪⎬⎫=+=+∑∑==ni i i ni iY x x x n Y n x n n 112ˆˆˆˆβαβα得：⎩⎨⎧==476378.0ˆ8248.35ˆβα Excel 回归分析如下：SUMMARY OUTPUT回归统计Multiple R 0.702652 R Square0.493719 Adjusted R Square 0.443091 标准误差 1.403665观测值 12方差分析dfSS MS F Significance F回归分析 1 19.21391 19.21391 9.751890.010822249残差 10 19.70276 1.970276总计 1138.91667Coefficients标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept 35.8248 10.17795 3.519844 0.00554 13.14691045 58.5027 13.14691 58.5027 X Variable 10.476378 0.152548 3.1228020.010822 0.13647925 0.8162770.1364790.816277（2）、经计算F=9.75189，查F 分布表得F 0.05(1,10)=4.96,因为F> F 0.05(1,10)=4.96,故所求线性回归方程是显著的。