数理方法习题解

数学物理方法作业解答：

习题1.1

P6 .1下列式子在复平面上具有这样的意义 (2) | z-a |= | z-b | 解：

| z-a | 表示z 到a 点的距离，| z-b |表示b 点的距离 即a 与b 的连线的垂直平分线。 (3) Re(z) > 1

2

解:Re z = x 有 x >

1 2

Re z > 1

2表示坐标x 大于

1

2的一切点即x=

1

2的右边平

面

(8) Re (1

z) = 2

解：因为z = x+iy

所以Re(1

z)=Re(

1

x+iy)=Re(

x-iy

x2+y2)=

x

x2+y2=2 得

x2+y2- x

2=0 即(x-

1

4)

2+y2=1

16=(

1

4)

2

所以Re(1

z)为以（

1

4，0）为圆心，以

1

4为半径的圆

P6. 2把下列复数代数式，三角式和指数式几种形式表示出来

(1)i

解：i = cos(π

2)+isin(

π

2)=e

i

π

2

(2)-1

解：-1= cos(π)+isin(π)=e iπ

(3) 1+i 2

3

解：1+i 2

3 =2(cos

π

3+isin

π

3)=2e

i

π

3

(4)1-cosα+isinα

解：1-cosα+isinα=ρ(cosφ+isinφ)= ρe iφ

其中ρ=2

(1-cosα)2+sinα= 2sin(

α

2)

Φ =arctg

sinα

1-cosα

= arctg(ctg

α

2)

原式=2sin α

2[cos arctg(ctg

α

2)+isin arctg(ctg

α

2)]

=2sin α

2e

iarctg(ctg

α

2

)

（5）z3

解：z3 =(x+iy)3 =(x3-3xy2) +i(3x2y-y3) ρ3e i3φ=ρ3(cos3φ+isin3φ)

其中ρ=2

x2+y2φ =arctg

y

x

(7) 1-i

1+i=

(1-i)2

(1-i)(1+i)=- i =cos

3π

2+isin

3π

2=e

(i

3π

2

)

3.计算下列数值P6.3

(1). 2

a+ib

解：x+iy=2

a+ib →(x+iy)2=a+ib

X2-y2+i2xy=a+ib

得到：{ X2-y2=a →4 X44a X2-b2=0 →x2=a+

2

a2+b2

2

2xy=b } →4y4+4ay2-b2=0→ y2=-a+

2

a2+b2

2

所以x=+

2

2

2

2

a+

2

a2+b2=

+

A

y =+

2

2

2

2

-a+

2

a2+b2=

+

B

2

a+ib = A+iB →-A-iB →A-iB →-A+iB

(2) 3 i

解：3

i =

3

e i(

π

2+2nπ

)

=e i(π

6+

2nπ

3

)

=→ e i π

6(n=0)

→ e i 5π

6(n=1)

→ e i 3π

2(n=2)

(3) i i

解：i i =[ e i(3π

2

+2nπ)]i = e-(π

2+

znπ)

(4) i

i =

i

e i(

π

2+

znπ)=π

2+

znπ

(5) cos 5φ

解：cos 5φ =Re(cos 5φ+i sin 5φ)=Re(cos 5φ+i sin 5φ)5

=Re(cos 5φ+5 cos 4φ(i sin φ)+10 cos 3φ(i sin φ)2+10 cos 2φ(i sin φ)3+10 cos φ(i sin φ)4+(i sin φ)5)

= cos 5φ-10cos3φsin2φ+5cosφsin4φ

(7) cos φ + cos2φ +cos3φ +.....cosnφ

解：原式=Re(e iφ+ e i2φ+ e i3φ+ e i4φ...... e inφ)