p-稳定群的特征p-子群
群的p-群与p-子群研究
群的p-群与p-子群研究引言在群论中，p-群和p-子群是两个重要的概念。
p-群是指阶为p的幂的群，其中p是一个素数。
p-子群是指一个群的子群，其阶是p的幂。
研究p-群和p-子群对于理解群的结构和性质具有重要意义。
p-群的研究p-群是一个经典的研究对象，已经取得了大量的重要成果。
其中比较著名的有：•Sylow定理：对于任何有限群G，对于每个素数p，G中存在一个阶为p的幂的子群，称为Sylow p-子群。
•Burnside定理：任何阶为p的幂的群都是可解的。
•Frobenius定理：任何阶为p^2的群都是可解的。
这些定理为研究p-群提供了重要的理论基础。
p-子群的研究p-子群的研究也是群论中的一个重要课题。
p-子群的一个重要性质是，它与群的中心化子是一致的。
也就是说，如果H是群G的p-子群，那么H的中心化子也是H。
这为研究p-子群提供了有效的工具。
p-子群的另一个重要性质是，它与群的特征子是一致的。
也就是说，如果H是群G 的p-子群，那么H的特征子也是H。
这为研究p-子群的结构提供了重要的信息。
p-群与p-子群的研究应用p-群和p-子群的研究在数学的各个领域都有着广泛的应用。
例如：•在数论中，p-群和p-子群被用来研究素数的性质。
•在代数中，p-群和p-子群被用来研究环和域的结构。
•在几何中，p-群和p-子群被用来研究多面体和对称群。
结论p-群和p-子群的研究是群论中的一个重要课题。
它们对于理解群的结构和性质具有重要意义。
p-群和p-子群的研究在数学的各个领域都有着广泛的应用。
关于循环群和交换群的等价刻画
关于循环群和交换群的等价刻画史江涛; 毕凌霄; 李娜【期刊名称】《《云南民族大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(028)006【总页数】3页(P563-565)【关键词】循环群; 交换群; 极小子群; 初等交换子群; 正规化子【作者】史江涛; 毕凌霄; 李娜【作者单位】烟台大学数学与信息科学学院烟台264005【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言设G为有限群,A是G的子群.用NG(A)={g∈G|Ag=g-1Ag=A}表示A在G中的正规化子,CG(A)={g∈G|ag=ga,∀a∈A}表示A在G中的中心化子.Zassenhaus 在文献[1]定理7中证明了：如果有限群G的每个交换子群的正规化子皆等于它的中心化子,则G是交换群(亦可参考[2]定理3.6.6).在文献[3]定理0.3中,陈重穆进一步证明了:若G的每一个交换(Abel)p-子群的正规化子一致于其中心化子,则G为交换群(Abel).作为上述结果的改进,李世荣、史江涛和何宣丽在文献[4]推论2.1中,证明了：有限群G交换当且仅当对每个二元生成交换p-子群及初等交换p-子群A 均有CG(A)=NG(A),p为|G|的任一素因子.沈如林、史江涛和施武杰在文献[5]定理2.1中仅考虑子群的正规化子给出了循环群的一个刻画:设G为有限群,则G循环当且仅当对每个极小子群X均有NG(X)循环．在这个结论的证明中我们用到了内循环群的分类.在文献[6]中史江涛对这个刻画做了进一步讨论,但是在证明中用到了有限p-群的一个结构性质：其中心大于1. 在本文中,我们将不应用内循环群的分类以及有限p-群的中心大于1的特性,用初等的方法给出文献[5]定理2.1一个新的证明.我们将用初等方法证明交换群的一个等价刻画：定理1 有限群G交换当且仅当G的每个初等交换子群的正规化子皆是交换群.注记1 在定理1中,如果假设有限群G的每个循环子群的正规化子都是交换群,则得不到G是交换群.反例：在四次交错群A4中,2阶循环子群的正规化子是4阶的初等交换2-群,3阶循环子群的正规化子等于它自身,都是交换群,但A4是非交换的.1 引理引理1文献[2]例1.3.14 设G是有限群,H<G,则H的所有共轭子群的并集为G的真子集.引理2文献[2]命题1.4.7 若K是H的特征子群,H是G的正规子群,则K是G的正规子群.2 文献[5]定理2.1的初等证明证明只需证充分性.在证明G为循环群之前先证G是交换群.反证,假设G非交换.令A为G的任一极大交换子群,下证A=NG(A).首先,显然有A≤NG(A).取X为A的一个极小子群,有A≤NG(X).由题设条件知NG(X)循环.于是A也循环.由A为G的极大交换子群,有A=NG(X).因为A是循环群且而X≤A,得于是有NG(A)≤NG(X).从而NG(A)≤A.故A=NG(A).下证对于G的任意两个不同的极大交换子群A和B,有A∩B=1.反证,若A∩B≠1,由上面讨论知A和B皆是循环群.因为交换群的子群皆是正规子群,有且于是取X为A∩B的一个极小子群,因为A∩B是循环群,则说明〈A,B〉≤NG(X).由题设条件NG(X)循环,于是〈A,B〉也循环.但是〈A,B〉>A,与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.因为G非交换,对于极大交换子A有A<G,由引理1,知因此存在h∈G但h不包含在A的任一共轭子群内.设B为G的极大交换子群满足〈h〉≤B,这里B与A不共轭.由上面的讨论知,∀x,y∈G,Ax∩By=1.设|A|=m1,|B|=m2,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1,|G∶ NG(B)|=|G∶ B|=n2.于是有和因为所以有得注意这里m1≥2,m2≥2,于是得到矛盾.说明假设不成立,故G是交换群.又交换群的极小子群都是它的正规子群,进而由题设条件知G是循环群.3 定理1的初等证明证明同样只需要证明充分性.反证,假设G非交换.对于G的任一极大交换子群A,令Y为A的一个极大初等交换子群,则Y是A的特征子群.由知A≤NG(Y).由题设条件,NG(Y)是交换群A.考虑A的极大性,有A=NG(Y).因为Y是A的特征子群且A正规于NG(A),由引理2,得于是NG(A)≤NG(Y),又A=NG(Y),有NG(A)≤A，因此A=NG(A).设A和B是G的任两个不同的极大交换子群,如果A∩B≠1,令Y为A∩B的一个极大初等交换子群.由且知这里Y是A∩B的特征子群,于是由引理2,有于是〈A,B〉≤NG(Y).由题设知NG(Y)交换,说明〈A,B〉也是交换群.这里A和B是G的两个不同的子群,有〈A,B〉>A,这与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.对于G的任一极大交换子群A,因为A<G,由引理1,有则必存在G的极大交换子群B使得B不与A共轭.设|A|=m1,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1;设|B|=m2,则|G∶ NG(B)|=|G∶B|=n2.由于G的任两个不同的极大交换子群的交都是1,则分别有以及因此有移项整理得,又m1≥2,m2≥2,于是有这是矛盾的,由反证法知G是交换群.参考文献:【相关文献】[1] ZASSENHAUS H J.A group-theoretic proof of a theorem of MacLagan-Wedderburn [J].Glasgow Mathematical Journal,1952,1(2):53-63.[2] 徐明曜.有限群初步[M].北京:科学出版社,2014.[3] 陈重穆.内外-∑群与极小非∑群[M].重庆:西南师范大学出版社,1998.[4] 李世荣,史江涛,何宣丽.交换群和循环群的若干充分必要条件[J].广西科学,2006,13(1):1-3.[5] 沈如林,史江涛,施武杰.极小子群与有限群的结构研究[J].苏州大学学报(自然科学版),2009,25(1):1-3.[6] SHI Jiang-tao.A note on finite groups in which the normalizer of every minimal subgroup is cyclic or abelian [J].South Asian Journal of Mathematics,2012,2(2):119-121.。
p-群与Abel群的判定
p-群与Abel群的判定杨艳【摘要】-群是有限群中非常重要的一类群,这一点在sylow定理中就得以体现,而阶群总是幂零的,因此对阶群和交换群的关系可以从两个方面考虑:1)阶的群在什么情况下是交换的,并找出相应的类型,2)通过研究群的sylow子群以判断群的交换性.【期刊名称】《湖北文理学院学报》【年(卷),期】2010(031)011【总页数】3页(P17-19)【关键词】sylow子群;幂零群;p-群;Abel群【作者】杨艳【作者单位】襄樊学院,数学与计算机科学学院,湖北,襄樊,441053【正文语种】中文【中图分类】O157群论中，依照群的交换性对群进行分类是很自然也很重要的问题，因此可以把群分为Abel群和非Abel群. 而Abel群的理论作为群论的一个分支本身也具有相当丰富的内容，就像Laszlo Fuchs说过的，群论中很少有性质能够像交换性这样具有深远的影响. 事实上，群论中非常重要的一些概念，如可解、幂零等都是由交换性衍生而来的[1-3].国内外对于Abel群的研究一直没有停止过，这其中包括对交换性的判定、Abel 群的自同构、自由群、有限p-群、可解群、幂零群等诸多问题. Hall. P、Higman.G、Kulikov. L. Ya、Robison. D. J. S等人对这些问题就进行过深入的研究，并取得了很好的结果[4-5].给出一个群G，判断它是否为Abel群甚至是循环群、有限生成Abel群等是很基础也是很重要的理论.对于不同形式的群，因为它所具有的性质的独特性，通常会找出一些相对应的特别的方法. 同时，也可以从不同的角度对其进行判断，比如它的一些特殊子群、有限群的阶、它的自同构群的结构等. 这部分内容在Abel群理论中是很丰富的.引理1 非平凡的有限p-群的中心是非平凡的.定理1 有限p-群是幂零的.证明：令G是一个有限p-群，且|G|>1，则由引理1可知Z(G)>1，因此我们可以对群的阶作归纳，即知G/Z(G)是幂零的.然后做一个自然同态，这样可以找到一个G的一个中心列：其中，的一个中心列.定理2 若|G|=p2，则G是Abel群，其中p是素数.证明：由引理1可知|Z(G)|=p或p2，因此|G/Z(G)|=p或1，即G/Z(G)是循环群，设G/Z(G)=gZ(G)，由此G=g,Z(G)，即G是Abel的.但当|G|=pn,n≥3时，此定理不一定成立.例：对称群D8={T,T2,T3,T4,ST,ST2,ST3,ST4}，其中T4=1,S2=1,ST=T−1S，显然|D8|=23，但不是交换群.接下来重点考察p3阶群的情形.若群G的阶为p3且G为交换群，则G一定与以下群同构1) G≅Zp3，此时G为循环群；2) G≅Zp2⊕Zp;3) G≅Zp⊕Zp⊕Zp定理3 若群G的阶为p3且G为非交换群，则G一定与以下群同构：1) 当p=2时证明：任取G的正规子群N，则因为|G/N|≤p2，G/N为交换群，得再注意到G中必无p3阶元素，可以分下面两种情形.设G中有p2阶元素a，这时a是G的极大子群，即aG，因为ap是a的特征子群，所以apG，由前面的分析知G'=ap在a外取一元b1，再分两种情形：b的阶为p. 因为G=a,b，换位子[a,b]≠1，但因G'=ap，故可设[a,b]=akp，这里(k,p)=1.1111取i满足ik≡1(mod p)，令b=b1i，则有于是G有关系b1的阶不为p. 因为b1p∈a，可令b1p=akp，如果p≠2，则由知a外有p阶元b1a−k，因此可化为上一种情形.而如果p=2，则有这时以b代b1，得G有如下关系式G中无p2阶元素.若p=2，由G的指数为2可知G一定是交换群.若p≠2.则假定G/G'=aG',bG'，于是G=a,b,G'，但由G非交换，必有令c=[a,b]，这时有引理2 设G为有限群，A为G的极大交换子群，则A=CG(A).证明：若CG(A)>A，取x∈CG(A)，令B=x,A，则B交换且B>A，，矛盾于A的选取，故A=CG(A).引理3 G为幂零群，若H<G，则H<NG(H).定理4 设G幂零，则G交换当且仅当对每个sylow子群的极大子群A有CG(A)=NG(A)证明：必要性显然成立，下面证明充分性.设P为G的任一sylow子群，A为P的极大子群.则由CG(A)=NG(A)，可知A交换. 若P不交换，则A为P的极大交换子群，由引理2，A=CP(A)=NP(A). 再由引理3，知P=A，矛盾，故P交换，又G幂零，由P的任意性，G交换.【相关文献】[1] ROSE JOHN S. A Course on Group Theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1978.[2] DEREK J S ROBINSON, GEHRING F W, AXLER SHELDON. A Course in the Theory of Groups[M]. New York: Springer, 1995.[3] WARFIELD R B. Nilpotent Groups[M]. Berlin: Springer, 1976.[4] LASZLO FUCHS. .Abelian groups in Hungary [J]. Rocky Mountain J. Math., 2002,32(4):1181-1195.[5] CURRAN M J. The automorphism group of a non split metacyclic p-group[J]. Arch. Math. (Basel), 2008, 90(6): 483–489.。
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表李德乐【摘要】通过群的同构分类的观点,分析了12阶群的生成关系,再利用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表.【期刊名称】《四川职业技术学院学报》【年(卷),期】2011(021)001【总页数】3页(P90-91,113)【关键词】12阶群;生成关系;特征标【作者】李德乐【作者单位】福建水利电力职业技术学院,福建,永安,366000【正文语种】中文【中图分类】G712群表示论是代数学的一个重要分支,它除用于研究群的结构以外,在众多的数学分支和其他自然科学领域中也有着重要的应用。
对于12阶群的生成关系和特征标表零散分布在各类文献中，本文通过12阶群的生成关系来构造其特征标表。
1.1 定义定义1[1]置换群：Cn=<a│an=1>。
定义2[1]狄利克雷群（二面体群）：D2n=<a,b│an=b2=1, b-1ab=a-1>。
定义3[1]n次交代群：置换群Sn中全体偶置换作成一个阶的群。
定义4[1]双循环群（四元数群）：Q2n=<a,b│a2n=1,an=b2, b-1ab=a-1>。
定义5[1]（共轭（元素、子群）类）若我们称元素x与y共轭。
若，我们称子群H与K共轭。
由此可知群G之一切子群能分类，使属于同类中的子群互为共轭，属于异类中的子群互不共轭，这样的每个类叫共轭子群类（简称共轭类）。
定义6[2]（群的子集的正规化子与中心化子）：设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足H=g-1Hg，则g称正规化H，而称G中所有正规化H的元的集合为H在G中的正规化子。
设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足h=g-1hg对一切h∈H，则称g中心化H，而称G中所有中心化H的元的集合为H在G中的中心化子。
定义7[3]（特征标）设(ρ,V)∈RF（G）+，在G上定义F值函数：这里trρ(g)是V上线性变换ρ(g)的迹。
称为G上的表示ρ的特征标。
如则称为不可约特征标，如F=C，则称复特征标。
pq3阶群的完全分类
pq3阶群的完全分类陈松良;欧阳建新;李惊雷【摘要】设P,q均为素数,且P>q,对pq3阶群进行了完全分类并获得了其全部构造:1)当q不整除P-1且P不整除(q2+q+1)时,G恰有5个彼此不同构的类型;2)当q不整除P-1但P整除(q2+q+1)时,G恰有6个彼此不同构的类型;3)当q整除P-1但q2不整除P-1且P不整除(q2+q+1)时,G恰有12个彼此不同构的类型;4)当q整除P-1且P整除(q2+q+1)但q2不整除p-1时,G恰有13个彼此不同构的类型;5)当q2整除P-1但q3不整除P-1时,G恰有14个彼此不同构的类型;6)当q3整除P-1时,G恰有15个彼此不同构的类型.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(023)003【总页数】4页(P253-255,263)【关键词】有限群;同构分类;群的表写【作者】陈松良;欧阳建新;李惊雷【作者单位】贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018;贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018;贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018【正文语种】中文【中图分类】O152.1设p，q是奇素数，p＞q.文献 [1]用了不少篇幅，经过繁杂的计算与推理，得到了23p阶群的全部构造.本文将用不同于文[1]的方法来研究pq3阶群，并决定pq3阶群的全部构造.利用本文的方法，也不难重新确定23p阶群的全部构造.以下恒设G是pq3阶群，P是 G的一个Sylow p-子群，Q是G的一个Sylow q-子群.显然，P是p阶循环群，设.由[1]之定理 7.1，Q必为下列5种类型之一：下面我们来讨论G的构造.显然 G=PQ，且 G/CG（P）同构于 Aut（P）的一个子群.众所周知Aut（P）是p－1阶循环群，并且P ≤ CG（P）.于是 G/CG（P）同构于（G/P）/（CG（P）/P）≌ Q/CQ（P），由此知 Q/CQ（P）是一个循环群.1）若 q不整除 p－1，则必有 CQ（P）=Q，于是G是循环群，它的构造如下：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则除了有CQ（P） =Q 外，还可能 CQ （P）是 q2阶群.即 G 除了是循环群外，还可能是如下的构造其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.3）若 q2整除 p－1，但 q3不整除 p－1，则除了有CQ（P） =Q 或〈aq〉外，还可能 CQ（P） = 〈aq2〉.即 G除了有构造（1）与（2）外，还可能是如下的构造其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.4） q3整除 p－1，则除了有 CQ（P）=Q 或〈aq〉或〈aq2外，还可能CQ（P）=1.即 G 除了有构造（1）、（2）、（3）外，还可能是如下的构造其中t= α（p－1）/q3，而α 是模p的一个原根.1）若 q不整除 p－1，则必有 CQ（P） =Q，于是G是一交换群，它的构造如下：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则除了有 CQ（P） =Q 外，还可能 CQ （P） = 〈a〉或〈aq，b〉.所以G除为交换群（5）外，还有如下两种构造：在（6）、（7）中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.3）若 q2整除 p－1，则 CQ（P）除了可为 2）中的情形外，还可为〈b〉(注意Q/CQ（P）是一个循环群，从而CQ（P）不可能是〈aq〉.所以 G 除为构造（5）、（6）、（7）外，还有如下构造：其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.不难证明（5）、（6）、（7）、（8）是互不同构的.1）若 q不整除 p－1，则显然有 CQ（P） =Q，于是G必是一交换群，其构造是：2）若 q 整除 p－1，则因为 Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P）=Q 外，CQ（P）还可以且仅可以是一个p2阶初等交换群，不妨设CQ（P）= 〈b，c〉，从而G有如下构造：其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.1）若q不整除p－1，则显然G是一幂零群，其构造是：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则因为Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P） =Q 外，CQ（P）还可以是〈a〉或〈aq，b〉.所以 G 除为幂零群（11）外，还有如下两种构造：在（12）、（13）中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.不难证明（12）、（13）是互不同构的.3）若 q2整除 p－1，则CQ（P）除了可为 2）中的情形外，还可为〈b〉（注意Q/CQ（P）是一个循环群，从而CQ（P）不可能是〈aq〉）.所以 C 除为构造（11）、（12）、（13）外，还可能有如下构造：其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.但此时由（a-1ga）b=gs易得，s1+q≡ s m od p，从而sq≡ 1 mod p，这不可能.因此G不可能有构造（14）.1）若q不整除p－1，则显然G是一幂零群，其构造是：2）若 q 整除 p－1，则因为 Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P） =Q 外，CQ（P）还可以且仅可以是一个 p2阶初等交换群，不妨设 CQ（P）= 〈b，c〉，从而G有如下构造：其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.这时，因为p＞ q，所以（p，q2－1） =1，再据Sylow定理得p整除q3－1，从而p整除（q2+q+1），且必有（p－1，q3） =1或 q.又由[2]之定理 8.5.3知G是可解群，所以存在G的正规q-子群B＞1.若，则P在PB中必正规，从而P char PB.然而G/B的Sylow p-子群又显然正规，所以PB是G的正规子群，因而P是G的正规子群，矛盾.因此B只能是q3阶初等交换群，即B=Q且Q是G的唯一极小正规子群.将Q看成是q元域Fq上的3维向量空间，则g可看成是Fq上的3阶矩阵，不妨记其行列式为.因为gp=1，所以又显然，再由（p，q－1）=1 得.故g的特征多项式可设为f（λ）=λ3－βλ2－γλ－1.由Q 的极小正规性可知，f（λ）必是Fq上的3次不可约多项式.从而G有如下的构造：其中β，γ 使得λ3－βλ2－γλ－1是 Fq上多项式λp－1的一个不可约因式.反之，若p整除（q2+q+1）且p＞q，则（p，q2－1） =1，从而（λp－1，λq2-1－1）= λ－1.于是（λp－1）/（λ－1）无1次和2次不可约因式.再由（p，q3－1）=（p，q2+q+1）=p可见（λp－1）/（λ－1）全是3次不可约因式之积，所以必有p≡1 mod 3.记gi的特征多项式为 fi（λ），i=1，2，…，p－1，则fi（λ）都不可约，且都是λp－1的因式.又对任何i：1≤ i≤ p－1，易见 i，qi，q2i模 p是互不同余的.但，所以 fi（λ）=fqi（λ） =fq2i（λ）.从而 fi（λ），i=1，2，…，p－1，中恰有（p－1）/3 个是不同的.显然取λp－1的不同的不可约3次因式得到的G的构造是彼此同构的.因此，当p整除（q2+q+1）且p＞q时，如果G的Sylow p-子群不正规，那么必有p≡1 mod 3，且在同构意义下G只有一种构造（17）.综上所述，我们得到下面的定理：定理 1 设p，q为奇素数，且p＞q，而G是pq3阶群.则：（i）当 q不整除p－1且p不整除（q2+q+1）时，G恰有5个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（5），（9），（11），（15）；（ii）当 q不整除 p－1但 p整除（q2+q+1）时，G恰有6个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（5），（9），（11），（15），（17）；（iii）当q整除p－1但q2不整除p－1且p不整除（q2+q+1）时，G恰有12个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（2），（5）～（7），（9）～（13），（15），（16）；（iv）当q整除p－1且p整除（q2+q+1）但q2不整除p－1时，G恰有13个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（2），（5）～（7），（9）～（13），（15）～（17）；（v）当q2整除p－1但q3不整除p－1时（这时必有p不整除（q2+q+1）），G恰有14个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1）～（3），（5）～（13），（15），（16）；（vi）当q3整除p－1时（这时必有p不整除（q2+q+1）），G 恰有 15个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1）～（13），（15），（16）.对于23p（p≠ 3）阶群，类似于以上讨论（但应注意在1.5中，Q5要用8阶四元数群代替，且8阶四元数群没有循环的4阶商群，从而Sylow2-子群是四元数群且Sylow p-子群正规的23p阶非幂零群恰有一个），我们立即得到文[1]中的相同结果.如果p=3，即G是24阶群，则当G的Sylow3-子群正规时，类似于以上讨论，可知G有12个互不同构的类型.如果G的Sylow3-子群（用P表示）不正规，则由Sylow定理可知，NG（P）必是6阶群.如果NG（P）是交换群，则NG（P）=CG（P），于是由Burnside定理（文[3]之定理）得，G是3-幂零的，从而Q是G的正规子群，因而Q有一个3阶自同构.不难证明，有3阶自同构的8阶群只有Z2×Z2×Z2与四元数群Q8.若Q≌Z2×Z2×Z2，则易见 CQ（P）是2阶群，不妨设CQ（P）=〈c〉.又由[4]之定理知，〈c〉在Q中有补子群，不妨设其为〈a，b〉.因为P不正规，于是不难证明〈a，b〉P≌A4，故必有G≌Z2×A4；若Q≌Q8，则CQ（P）是Q的唯一2阶元，从而Z（G） =Z（Q8）是2阶群.由此不难证明G≌SL（2，3）.如果NG（P）不是交换群，则显然NG（P）不是G的正规子群.事实上，P char NG（P），如果NG（P）是G的正规子群，那么P将是G的正规子群，矛盾.众所周知，G是可解群，所以G的极小正规子群N是2阶或4阶的.若N是2阶的，则PN是6阶循环群，这与NG（P）不是交换群矛盾.记 H=NG（P），则HG=1，令为H的全体右陪集的集合，则规定G在Ω上的一个作用ρ：显然作用ρ是忠实的，因而G≌S4.综上所述，可知Sylow3-子群不正规的24阶群恰有3个不同构的类型，从而24阶群共有15个互不同构的类型.这与文[1]在10.4中的结果是一致的，但值得一提的是我们的方法比文[1]要简单明了得多.【相关文献】［1］张远达.有限群构造[M].北京:科学出版社,1982.［2］Robinson D J S.A course in the theory of groups[M].Graduate Texts in Mathematics 80,Springer-Verlag,New York,Heidelberg,Berlin,1982.［3］徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社,1999.［4］Kurzweil H,Stellmacher B.The Theory of Finite Groups[M].Springer-Verlag,New York,Inc.,2004.。
稳定子群
子群
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子 群H≠G，则称H为G的真子群，记为H G或简记为H<G。任何一个非单位元群G至少有两个子群，G自身以及由单位 元e作成的单位元群{e}(或用{1}或1表示)，称它们为G的平凡子群。不是平凡子群的子群称为非平凡子群。群G的 非空子集H为G的子群的充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一 个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。
稳定子群
群论概念
01 定义
03 群 05 的概念
目录
02 性质 04 子群
基本信息
稳定子群亦称稳定化子。一种特殊的子群。设群G作用在集合X上，x∈X，G中作用在x上使x不变的元素的全 体，即{g∈G|xg=x}，它是G的一个子群，称为x的稳定子群，记为SG(x)，或StG(x)。
稳定子群的概念还可以推广。设Δ是Ω的一个子集合，可自然地得到两个子群。第一个子群由G中那些把Δ中 每个元素都不变的元素组成，这个子群称为子集Δ的点不变稳定子群。第二个子群由G中那些把Δ作为整体还变成 Δ的元素组成，这个子群称为Δ的集不变稳定子群，分别记为GΔ和G{Δ}。
的概念
的概念
稳定子群置换群内的一种特殊子群。置换群G中把某点α保持不动的全体元素组成的子群。它记为Gα，称为 α在G内的稳定子群。若β是G中另外一个点，而G中有元素g使α=β，则。所以同一轨道内的各点有相互共轭的 稳定子群。若Δ={α1，α2，…，αr}为G的轨道，取xi∈G (i=1，2，…，r)，使α1=αi，则陪集Gα1xi就是 G中把α1变成αi的全部元素所成的子集。于是，Δ中的元素和Gα1在G内的各陪集之间可以建立一一对应。因此 Δ的长度r就是Gα1在G内的指数。
p可解群中子群的相互作用及有关论题
有关定义及常用结论
定义１ １称群Ｇ的子群Ｈ为Ｇ的极大子群，如果日＜Ｇ，并且由Ｈ≤Ⅳ≤Ｇ 可推出日一Ｋ或Ｋ＝Ｇ．
定义１．２我们常以＊表示一个由素数组成的集合，而以”’表示”在全体 素数集合中的补集．称Ｇ为一个”．群，如果｝Ｇｊ。＝吲．称Ｇ的子群Ｈ为Ｇ 的一个”～Ｈ。“子群，如果ｌＨｆ＝ＩＧＩ。．而称日为Ｇ的Ｈｎ“子群，如果对某个 素数集合”来说，Ｈ是Ｇ的”一日。“子群．
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐｒ。ｐｅｒｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ａ乩ｉｏｎ。Ｈ ｓｕｂｇｒ。ｕｐ。ｆ ８。ｈ。ａｂｌｅ
ｇｒ。ｕｐｓ，ｉｎ Ｐ８０１ｖａｂｌｅ ｇｒ。ｕｐｓ ｗｅ ｅｓｐｅｃｉ出ｌｙ∞ｎｇ试ｅｒ ｉｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ（砖，（Ｇ）＝１协Ｐ８。１７８ｂ１８ ｇｒｏｕｐｓ Ａｎｄ ｗｅ ｓｅ雒幽ｔｈｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｎ。ｒｍ胡ｅｄ ｂｙ ｐ８ｕｂｇｒｏｕｐ ｉｎ ８ ｇ。。ｕｐ·Ｉｎ
Ｐ＜ＪⅣ。（Ｐ）．
命题１ １０设Ｇ是有限群，Ⅳ旦Ｇ，Ｈ≤Ｇ．若Ⅳ冬≠（Ｈ），则Ⅳ曼≯（Ｇ）． 命题１．１１（Ｆｒａｔｃｉｎｉ论断）设Ⅳ塑Ｇ，Ｐ∈ｓ妈（Ⅳ），则Ｇ＝％（尸）Ａ，， 定义１．１６群Ｇ的所有幂零正规子群的乘积Ｆ（Ｇ），叫做Ｇ的Ｆｉｔｔｊｎｇ子群． 显然， Ｆ（Ｇ）ｃ＾ｎ７’Ｇ． 定义ｌ １７群Ｇ称为完全的，若Ｇ＝Ｇ７．群Ｇ称为亚单的，若Ｇ完全，且 Ｇ／ｚ（Ｇ）为单群．Ｎ茎Ｇ说是Ｇ的一个成分，若Ⅳ亚单且Ⅳ鱼望Ｇ． 命题１．１２设Ｋ为Ｇ的一个成分，￡，９笪Ｇ．则成立Ｋ ｓⅣ或夥吲＝１． 命题ｌ １３设Ｋ１，Ｋ。为Ｇ的成分，则成立甄＝Ｋ。或【确Ｋｔ】；１．特别 地，成分之积为子群． 定义¨８令Ｅ（Ｇ）＝＜Ｋ１Ｎ为Ｇ的成分＞，显然Ｅ（Ｇ）曲ｗＧ． 定义１ １９令Ｆ＋（Ｇ）＝Ｆ（Ｇ）Ｅ（Ｇ），称，＋（ｇ）为Ｇ的广义Ｆｉｔｃｊ”ｇ子群，显然
p-换位子的几个性质
（ ）［ｂＣ ４ ａ ，］＝ ［ ，］［ ，］＝［ ，］ ａ ｃｂ ［ ，］ ａ ｃ ｂＣ ａｃ ［ ，， ］ ｂＣ ；
（ ）［ ， ］＝ ［ ，］ ａ ｂ 。＝［ ，］ ａ ６ ［ ，，］ ５ ａｂ ｃ ａ ｃ ［ ，］ ａｃ ［ ，］ ａ ｂＣ． 下 面利用 Ｐ一导 群 和特 征子群 的定 义 以及 引理 １ 到 Ｐ一导群 和特 征子 群 的性质 ： 得
证 设 Ｖｏ Ｅ ｕ （ ） 由引 理 １ ｔ Ｇ ， ｒＡ ，
Ｂ ．
定 理 ２ 设 Ｇ为群 ， 均 为 Ｇ的正 规 子 群 ， Ａ ｃａ Ｂ ｃａ 则 ［ ］ 也 是 Ｇ 的正 规 子群 ， Ａ， 若 ｈ ｒ Ｂ， ｈ ｒＧ， Ａ， 。 且
日， 则称子群 日为 Ｇ的特征 子群 ， 记作
Ｈｃａ ， 中 ｒ 其 ｈ Ｇ
引理 １４ 设 Ｇ是群 ，，， 则 ［ ］ ａ ｂＣＥＧ，
（ ）ａ １ ＝ａ ａ ｂ ； ［ ， ］
（ ）［ ，］ ＝ ［。ｂ］ ２ ａ６ ａ，。 ；
（ ）［ ，］ ＝［ ，］＝［ ，一］ ＝［ 一，］ ； ３ ａｂ 一 ｂａ ａ ｂ ａ ｂ
（） ３ 由于 Ｂ 冬 ＮＧＡ 甘 ６ ｂ Ａ， ＥＢ， （ ） Ａ Ｖｂ 可得 Ｖ口ＥＡ， ｂＥＢ，ｎ ａ ｉｅ ，０ ｂ ＥＡ 因此 ， ３ ｂ ｂＥＡ，，． ［ ，］ ． ［ Ｂ］ Ａ， Ａ， 结合 （ ）的证 明过 程 ， 论 得证． ２ 结 同理 可得 ： Ａ ≤ ＮＧＢ） 则 ［ Ｂ］ 若 （ ， ４， ［ Ｂ］ｃａ ． Ａ， 。ｈ ｒ Ｇ
本文 中约定有记号 ： 。Ａ Ⅳ （ ）＝｛ ｇ ， ＝Ａ ，ｕ（ ） ｇＩ Ｇ Ａ Ｅ ｝Ａ ｔＧ 是群 Ｇ的全体 自同构组成的集合 ； １ 用 代表单
位元 ． 文献 ［ 受 １—３ ］的启发 ， 文 围绕 Ｐ一换 位子 研究 得 到 了Ｐ一导群 、 本 特征 子群 、 零群 及 Ｐ一中心群 列 的 幂
非交换的非平凡子群均有唯一非平凡特征子群的有限p群
非交换的非平凡子群均有唯一非平凡特征子群的有限p群曹建基;毛月梅
【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(023)001
【摘要】本文得到了以下结果:设G为非内交换的有限非交换p-群,本文给出了非交换的非平凡子群均有唯一非平凡特征子群的群G结构.
【总页数】3页(P12-14)
【作者】曹建基;毛月梅
【作者单位】山西大同大学数学与计算机科学学院,山西,大同,037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西,大同,037009
【正文语种】中文
【中图分类】O152
【相关文献】
1.非平凡子群皆自中心化的有限群 [J], 张良才;陈顺民
2.非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群 [J], 史江涛;张翠
3.Sylow p-子群的非平凡子群与有限群的p-超可解性 [J], 韦华全;李娜;周宇珍
4.非平凡正规子群的阶相同的有限群(英文) [J], 张勤海;曹建基
5.非平凡正规子群的阶相同的有限群 [J], 张勤海; 曹建基
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关于108阶群的完全分类
关于108阶群的完全分类陈松良;蒋启燕【摘要】设G是108阶群,对群G进行了完全分类,证明了G共有45种互不同构的类型.若Sylow子群都正规,则G有10种；若Sylow 2-子群正规而Sylow 3-子群不正规,则G有7种；若Sylow 3-子群正规而Sylow 2-子群不正规,则G有28种；若Sylow子群都不正规,则G不存在.%Let G be finite groups of order 108. It was showed that G had 45 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was normal, G had 10 nonisomorphic types. If every Sylow 2-subgroup was normal and every Sylow 3-subgroup was non-normal, G had 7 nonisomorphic types. If every Sylow 3-subgroup was normal and every Sylow 2-subgroup was non-normal, G had 28 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was non-normal, G had 0 nonisomorphic types.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(045)001【总页数】5页(P10-14)【关键词】有限群;同构分类;群的构造【作者】陈松良;蒋启燕【作者单位】贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州贵阳550001【正文语种】中文【中图分类】O152.1决定n阶群的构造是有限群论中一个基本分类问题.当p是奇素数且p≠3时，文[1]确定了22p3阶群的构造，所用方法与文[2-3] 的相同. 本文用新方法确定2233，即108阶群的全部构造，结论见定理1.定理 1 设G是108阶群，则G共有45种互不同构的类型，其中Sylow子群都正规的有10种，Sylow 2-子群正规而Sylow 3-子群不正规的有7种，Sylow 3-子群正规而Sylow 2-子群不正规的有28种，并且不存在Sylow子群都不正规的108阶群.本文中，Cn表示n阶循环群，Epn表示pn阶初等交换群，Sn，An分别表示n次对称群与n次交错群，，分别表示群G与元素g的阶，A∝B表示群A与B的半直积且其中A不正规，其他符号意义请参考文献[4-8].设G是108阶群，易见G是可解群. 设P，Q分别是G的Sylow 3-子群与Sylow 2-子群，则P同构于下列5个群之一[6]：循环群C27，交换群C9×C3，初等交换群E27，非交换群A=〈x,yx3=y3=z3=1=[x,z]=[y,z]，[x,y]=z〉，而Q是4阶循环群C4或4阶初等交换群E4. 显然，有引理1.引理1 如果G是108阶有限幂零群，则G恰有10种互不同构的类型：1)G1≅C108；2) G2≅C54×C2；3) G3≅C36×C3；4) G4≅C18×C6；5)G5≅E27×C4；6) G6≅E27×E4；7) G7≅A×C4；8) G8≅A×E4；9) G9≅B×C4；10) G10≅B×E4.下面讨论G是108阶非幂零群的同构分类问题.引理2 如果108阶群G的Sylow 2-子群Q正规，而Sylow 3-子群P不正规，那么G共有7种互不同构的类型：1) G11≅E4∝C27，其中E4=〈a〉×〈b〉，C27=〈x〉，且ax=b，bx=ab；2) G12≅C6×(C9∝E4)，其中C6=〈y〉，C9=〈x〉，E4=〈a〉×〈b〉且ax=b，bx=ab；3) G13≅C9×A4；4) G14≅E9×A4；5)G15≅〈x〉∝(〈y〉∝(〈a〉×〈b〉))，其中,=9，=3，==2，且xy=x4，xa=xb=x，ay=b，by=ab；6)G16≅〈x,y〉∝(〈a〉×〈b〉)，其中,=9,=3，==2，且xy=x4，ya=yb=y，ax=b，bx=ab；7)G17≅〈x,y,z〉∝(〈a〉×〈b〉)，其中,===3，==2，且[x，y]=z，zx=zy=z，ya=yb=y，za=zb=z，ax=b，bx=ab.证明这时P共轭作用在Q上诱导Q的一个非单位的自同构群P/CP(Q)，于是3是的因子，从而Q只能是初等交换群E4，设E4=〈a〉×〈b〉. 又=6，所以P/CP(Q)必是3阶群，因而CP(Q)是P的9阶正规子群.(i) P是27阶循环群.设P=〈x〉，则CP(Q)=〈x3〉.于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构,因此不难得知G的构造是G11.(ii) P是交换群C9×C3.设P=〈x,y|x9=y3=1=[x,y]〉，则CP(Q)可为P的9阶循环子群，也可为P的9阶初等交换子群.首先，设CP(Q)是P的9阶初等交换子群，则CP(Q)=〈x3,y〉，于是x作用在Q 上诱导Q的一个3阶自同构，可设ax=b,bx=ab. 这时〈y〉◁G，〈a,b,x〉◁G，从而G=〈y〉×〈x,a,b〉=〈y〉×(〈x〉∝(〈a〉×〈b〉))≅C3×(C9∝E4),因此G 的构造是G12.其次，设CP(Q)是9阶循环群.注意到P的每个9阶元都可看成P的一个生成元，于是不妨设CP(Q)=〈x〉，而y作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以可设ay=b,by=ab. 显然G=〈x〉×(〈y〉∝(〈a〉×〈b〉))≅C3×(C9∝E4)，C3∝E4≅A4，故G的构造是G13.(iii) P是初等交换群E27.这时CP(Q)只能是9阶初等交换群，不妨设CP(Q)=〈y,z〉，于是G=〈y,z〉×(〈x〉∝〈a,b〉)，而〈x〉∝〈a,b〉≅A4，故G的构造是G14.(iv) P是非交换群A.这时CP(Q)可为P的9阶循环子群，也可为P的9阶初等交换子群.当CP(Q)为P的9阶正规循环子群时，不妨设CP(Q)=〈x〉，于是y作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G=〈x〉∝(〈y〉∝〈a,b〉)≅Z9∝A4，故G的构造是G15.当CP(Q)为P的9阶正规初等交换子群时，必有CP(Q)=〈x3〉×〈y〉，于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G的构造是G16.(v) P是非交换群B.这时CP(Q)只能是9阶初等交换群，不妨设CP(Q)=〈y,z〉，于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G的构造是G17. 证毕.引理3 如果108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶循环群，那么G共有2种互不同构的类型：1) G18=〈x,a〉，其中,=27，=4且xa=x-1；2) G19=〈x〉∝(〈a〉×〈b〉)，其中,=27，==2，xa=x-1，xb=x.证明设P=Z27=〈x〉，则Aut(P)是18阶循环群. 又因为Q不正规，所以Q/CQ(P)是2阶群，从而CQ(P)也是2阶群. 当Q是4阶循环群时，设Q=〈a〉，则CQ(P)=〈a2〉，故G的构造是G18. 当Q是4阶初等交换群时，设Q=〈a〉×〈b〉，不妨设CQ(P)=〈b〉，从而G的构造是G19. 证毕.引理4 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是交换群C9×C3，那么G共有7种互不同构的类型：1)G20=C9×〈y,a〉，其中,=3,=4，且ya=y-1；2)G21=C18×S3；3)G22=C3×〈x,a〉，其中,=9,=4，且xa=x-1；4)G23=C6×〈a,x〉，其中,=9,=2，且xa=x-1；5) G24=〈a〉∝(〈x〉×〈y〉)，其中,=9,=3,=4且xa=x-1，ya=y-1；6)G25=C3×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，其中，=9,=3,=2，且xa=x-1，ya=y-1；7) G26=〈a,x〉×〈b,y〉，其中,=9,=3，==2，且xa=x-1，yb=y-1.证明此时显然P的Frattini子群Φ(P)=〈x3〉是3阶群，而Φ(P)char P,P◁G,于是Φ(P)◁G.又不难证明〈x3,y〉是 P 的唯一的9阶初等交换子群，从而它是P的特征子群，于是它又必是G的正规子群. 既然〈x3〉与〈x3,y〉都是Q-不变的，由Maschke定理[4]知,〈x3〉在〈x3,y〉中有3阶Q-不变补子群，不妨设其为〈y〉. 又〈x3,y〉/〈x3〉是9阶初等交换群〈x,y〉/〈x3〉的Q-不变子群，再由Maschke定理知〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中有3阶Q-不变的补子群〈xiyj〉/〈x3〉，其中i=1,2,4,5,7,8, j=0,1,2. 但〈xiyj,y〉=〈x,y〉，故不妨设〈x〉/〈x3〉是〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中的3阶Q-不变的补子群，因而〈x〉，〈y〉都是Q-不变的. 由于Q/CQ(x)同构于Aut(〈x〉)的一个子群，但Aut(〈x〉)是6阶循环群，所以CQ(x)是2阶群或等于Q. 同理，CQ(y)也是2阶群或等于Q，但显然CQ(x)与CQ(y)不能同时等于Q.若CQ(x)是Q，而CQ(y)是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有CQ(y)=〈a2〉且ya=y-1，因此得G 的构造为G20.当Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群时，不妨设CQ(y)=〈b〉，而ya=y-1，于是G=〈x,b〉×〈a,y〉≅C18×S3，因此G的构造为G21.若CQ(y)是Q，而CQ(x)是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有CQ(x)=〈a2〉且xa=x-1，因此得G的构造为G22.又当Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群时，不妨设CQ(x)=〈b〉，而xa=x-1，于是G=〈y,b〉×〈a,x〉≅C6×〈a,x〉，因此G的构造为G23.若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有xa=x-1，ya=y-1，因此G的构造为G24.若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，而Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群，则当CQ(x)=CQ(y)时，不妨设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，于是xa=x-1，ya=y-1，因此G 的构造为G25.若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群，但C Q(x)≠CQ(y)，则不妨设CQ(x)=〈b〉，CQ(y)=〈a〉，于是xa=x-1，yb=y-1，因此G的构造为G26. 证毕.引理5 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶初等交换群，那么G共有11种互不同构的类型：1) G27=〈y〉×〈z〉×〈x,a〉，其中,===3,=4，且xa=x-1；2) G28=〈z〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，其中,===3,=4，且xa=x-1,ya=y-1；3) G29=〈a〉∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉)，其中,===3,=4，且xa=x-1,ya=y-1,za=z-1；4)G30=E9×C2×S3；5)G31=〈z,b〉×〈x,y,a〉，其中,===3,==2，且xa=x-1,ya=y-1；6)G32=C3×S3×S3；7)G33=〈b〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉))，其中,===3,==2，且xa=x-1,ya=y-1,za=z-1；8)G34=S3×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，其中,==3,=2，且xa=x-1，ya=y-1；9)G35=(〈a〉×〈b〉)∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉)，其中,===3,==2，且xa=x，xb=x-1，ya=y-1，yb=y，za=zb=z-1；10)G36=(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))×〈z〉，其中,===3，=4，且xa=y,ya=x-1；11) G37=〈a〉∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉)，其中,===3,=4，且xa=y，ya=x-1，za=z-1.证明设P=E27=〈x〉×〈y〉×〈z〉.(i)假定G是超可解的.这时G的主因子都是素数阶循环群，所以不妨设〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不变子群，于是CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是Q或2阶群，但不能全是Q. 当Q=〈a〉是4阶循环群时，Q中只有一个2阶子群〈a2〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2个是Q时，不妨设CQ(y)=CQ(z)=Q，则CQ(x)=〈a2〉，且必有xa=x-1，从而G的构造为G27.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有一个是Q时，不妨设CQ(z)=Q，则CQ(x)=CQ(y)=〈a2〉，且必有xa=x-1，ya=y-1，从而G的构造为G28.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2阶群，则xa=x-1,ya=y-1,za=z-1，因此G的构造为G29.当Q=〈a〉×〈b〉时，Q中有3个2阶子群〈a〉，〈b〉，〈ab〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2个是Q时，不妨设CQ(y)=CQ(z)=Q，CQ(x)=〈b〉，则xa=x-1，所以G=〈y,z,b〉×〈x,a〉≅E9×C2×S3，于是得G的构造为G30.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中只有一个是Q时，不妨设CQ(z)=Q. 则当CQ(x)，CQ(y)是2个相同的2阶群时，可设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，从而G的构造为G31. 而当CQ(x)，CQ(y)是不同的2阶群时，不妨设CQ(x)=〈a〉,CQ(y)=〈b〉，于是不难看出G=〈z〉×〈x,b〉×〈y,a〉≅C3×S3×S3，从而G的构造为G32.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2阶群时，则当它们都相同时，不妨设都是〈b〉，于是易见G的构造为G33.而当它们中有2个相同但另一个不同时，不妨设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈a〉，于是G=〈z,b〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，且〈z,b〉≅S3，xa=x-1,ya=y-1，从而G的构造为G34.而当CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)是3个互不相同的2阶群时，不妨设CQ(x)=〈a〉，CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈ab〉，于是xb=x-1，ya=y-1，za=zb=z-1，故G的构造为G35.(ii)假定G不是超可解的.由于P可看成是3元域F3上的3维线性空间，对于Q中任意一个元素a，它在P上的作用对应F3上3维线性空间的一个线性变换，仍用a表示. 如果P是G的极小正规子群，则Q在P上的作用是不可分解的. 于是Q中至少有一个元素a的特征多项式f(λ)是F3上的3次不可约多项式. 但a4=1，所以f(λ)应为λ4-1的因式，这是不可能的. 因此P不是G的极小正规子群. 又G不是超可解的，所以G应有一个9阶极小正规子群，不妨设其为〈x〉×〈y〉. 这时Q中至少有一个元素a的特征多项式f(λ)有一个2次不可约因式，且是λ4-1的因式．由此不难得出f(λ)=(λ2+1)(λ-1)或f(λ)=(λ2+1)(λ+1)，从而Q只能是4阶循环群，这时G有2种不同的构造G36，G37. 证毕.引理6 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶非交换群A，那么G共有2种互不同构的类型：1) G38=〈x,y,a〉，其中,=9,=3,=4，且xy=x4，xa=x-1,ya=y；2) G39=〈b〉×〈x,y,a〉，其中,=9,=3,==2，且xy=x4，xa=x-1,ya=y.证明设P=〈x,y|x9=1=y3,xy=x4〉，不难验证Z(P)=〈x3〉且〈x3,y〉是P的唯一的9阶初等交换子群，因而它们都是G的正规子群，从而G是超可解的. 类似于引理4的证明，可设〈x〉，〈y〉都是Q-不变的. 若Q是4阶循环群〈a〉，则因为[x,y]=x3∈Z(P)，所以当xa=x-1,ya=y-1时，[x,y]a=[xa,ya]=x3≠(x3)a，矛盾；当xa=x,ya=y-1时，[x,y]a=[x,ya]=x-3≠(x3)a，亦矛盾，因此只能有xa=x-1,ya=y，于是G的构造为G38. 若Q是4阶初等交换群〈a〉×〈b〉，则CQ(x)与CQ(y)是2阶群或Q. 类似于上段的讨论，必有CQ(y)=Q，从而CQ(x)必是2阶群，不妨设CQ(x)=〈b〉，于是G的构造为G39. 证毕.引理7 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶非交换群B，那么G共有6种互不同构的类型：1) G40=〈x,y,z,a〉，其中，===3,=4，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1，ya=y，za=z-1；2) G41=〈x,y,z,a〉，其中，===3,=4，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1，ya=y-1，za=z；3) G42=〈b〉×〈x,y,z,a〉，其中，===3,==2，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1,ya=y,za=z-1；4) G43=〈b〉×〈x,y,z,a〉，其中，===3,==2，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1,ya=y-1,za=z；5) G44=(〈a〉×〈b〉)∝〈x,y,z,〉，其中，===3，==2，[x,y]=z，且zx=zy=z， xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y-1,zb=z；6) G45=〈a〉∝〈x,y,z,〉，其中,===3,=4，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=y,ya=x-1，za=z.证明 P=〈x,y,z|x3=y3=z3=1=[x,z]=[y,z],[x,y]=z〉，则Z(P)=〈z〉，于是P/〈z〉=〈x,y〉/〈z〉是Q-不变的9阶初等交换群.首先，如果G是超可解的，那么〈x,y〉/〈z〉有3阶Q-不变子群，不妨设其是〈x,z〉/〈z〉，由此又知〈x,z〉是Q-不变的9阶初等交换群，所以由Maschke定理知〈z〉在〈x,z〉中有3阶Q-不变的补子群，不妨设其是〈x〉. 同理，因为〈x,z〉/〈z〉是〈x,y〉/〈z〉的3阶Q-不变子群，所以〈x,z〉/〈z〉在〈x,y〉/〈z〉中有3阶Q-不变的补子群，不妨设其是〈y,z〉/〈z〉，从而〈y〉也是Q-不变子群. 总之，可设〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不变子群. 若Q是4阶循环群〈a〉，则xa=x或xa=x-1，ya=y或ya=y-1，za=z或za=z-1，注意到[x,y]=z且Q不正规，所以能够成立的情况有3种：(i) xa=x-1,ya=y,za=z-1；(ii) xa=x-1，ya=y-1，za=z；(iii) xa=x,ya=y-1,za=z-1. 但在(iii)中，若将x,y互换，同时将z,z2互换，则得(i)，因此由(i)或(iii)得到的G的构造同构，这时G的构造为G40. 由(ii)得到的G的构造为G41.若Q是4阶初等交换群〈a〉×〈b〉，则类似于上段的讨论可知，〈a〉在P上的作用可得到2种不同构的54阶非幂零超可解群〈a〉P. 同理，〈b〉在P上的作用也可得到2种不同构的54阶非幂零超可解群〈b〉P. 所以，如果CP(a)，CP(b)中恰有一个是P时，不妨设CP(b)=P，则G=〈b〉×〈x,y,z,a〉，于是得G的2种不同的构造G42，G43.如果CP(a)，CP(b)都不是P时，则可能有4种情况出现：(a) xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(b) xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y-1,zb=z；(c) xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(d) xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y-1,zb=z.若条件(a)或(d)成立，则CP(ab)=P，又〈a,b〉=〈ab,b〉=〈a,ab〉，由此不能得到G的新的构造. 若在条件(c)中将a,b互换位置，则得条件(b)，所以由(b)或(c)可得到G的一种新的构造G44.其次，如果G不是超可解的，那么Q在〈x,y〉/〈z〉上的作用是不可分解的. 又〈x,y〉/〈z〉可看成是3元域F3上的2维线性空间，Q中任意一个元素a可看成是F3上的2维线性空间的一个可逆线性变换. 类似于引理5的证明中(ii)讨论，可知Q只能是4阶循环群，且可设Q=〈a〉，xa=y,ya=x-1，再由[x,y]=z得za=z，从而G的构造为G45. 证毕.引理8 设群G的阶为108=22·33，则G的Sylow 2-子群或Sylow 3-子群正规.证明假设群G的Sylow 2-子群与Sylow 3-子群都不正规. 任取P∈Syl3(G)，由Sylow定理知考虑G在集合Ω={Pg|g∈G}上的右乘作用，易知此作用的核为PG=O3(G). 但=4，故G/O3(G)同构于S4的一个子群，于是PG必是9阶群，迫使G/PG≅A4. 我们断定O2(G)=1. 事实上，如果O2(G)≠1，则O2(G)必是G的2阶正规子群，于是由N/C定理[6]可得O2(G)≤Z(G). 此时G/O2(G)是54阶群，其Sylow 3-子群PO2(G)/O2(G)是正规的，于是P char PO2(G)◁G，从而P◁G，矛盾，因此，O2(G)=1. 由此及文[5]的定理9.3.1得CG(O3(G))≤O3(G)，但O3(G)是交换群，于是G/O3(G)≅A4忠实作用于O3(G)上，从而O3(G)是9阶初等交换群，这说明A4同构于Aut(O3(G))≅GL(2,3)的一个子群. 但这是不可能的，因为GL(2,3)中的4阶初等交换子群必有一个元素(矩阵)的行列式是1，故属于SL(2,3). 但SL(2,3)只有一个2阶元I，于是GL(2,3)的每个4阶初等交换子群均包含中心对合I，而A4的中心是1，所以A4不能嵌入到GL(2,3)中. 此矛盾说明G存在正规的Sylow 子群，引理证毕.由以上8个引理可知，定理1成立.【相关文献】[1] 刘立，景乃桓. 22p3阶群的构造(p≠3)[J]. 应用数学，1989，2(3)：91-96.[2] Zhang Y D. 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群的融合自由积的πn-Frattini子群和πc-Frattini子群
关键词：７ ｒ ｎ Ｆ ｒ ａ ｔ ｔ ｉ ｎ ｉ 子群； ７ ｒ ｃ Ｆ ｒ ａ ｔ ｔ ｉ ｎ ｉ 子群；群的融合 自由积．
Ｍ Ｒ（ ２ ０ ０ ０ ） 主题分类：２ ０ Ｄ２ ５ ； ２ ０ Ｅ ２ ８ 中图分类号：０ １ ５ ２ 文献标识码： Ａ
文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — １ ２ ３ — ０ ４
元．
群 Ｇ的 ￣ ｎ Ｆ ｒ ａ ｔ ｔ ｉ ｎ ｉ 子 群等 于其 丌 ｎ一 非生成元 组成 的集合 定义 ２ ． ３ ［ ］ 设 Ｇ 是 群，令 ＝ ｛ Ｋｃ ｈ ａ ｒ ＧＩ Ｋ ≠ Ｇ， Ｉ Ｇ： Ｋｌ 是 一个 ７ ｒ 一数 ，如果 Ｋｃ ｈ ａ ｒ Ｌ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， 那么 Ｋ ＝Ｌ或 Ｌ＝Ｇ｝ ． 当 ≠０时，定义 ７ ｒ ｃ Ｆ ｒ ａ ｔ （ Ｇ） ＝Ｎ Ｋ ∈ ； 当 ＝ 时， 定义 ７ ￣ ｃ Ｆ ｒ ａ ｔ （ Ｇ） ＝Ｇ． ７ ｒ ｃ Ｆ ｒ ａ ｔ （ Ｇ） 称为 Ｇ 的 ￣ ｃ Ｆ ｒ ａ ｔ ｔ ｉ ｎ ｉ 子 群． 定义 ２ ． ４ 【 ］ 设 Ｇ 是 群 ，对 任 意 的 Ｘ ∈ Ｇ， 如 果对 Ｇ 的 任意 满足 下述 性质 的子 集 ：
１ ２ ４
数
学 物
理 学
报 பைடு நூலகம்
、 厂 ０ １ ． ３ ３ Ａ
定义 ２ ． １ 【 ］ 设 Ｇ是群 ， 令 Ⅳ丌＝ ｛ Ⅳ Ｇｌ Ⅳ ≠Ｇ，ｌ Ｇ： ＮＩ 是 一个 ７ ｒ 一 数， 如果 Ⅳ司 ｑ Ｇ， 那
么 Ｎ ＝ Ｌ或 Ｌ＝Ｇ） ． 当
≠０ ， 定义 ７ ￣ ｎ Ｆ ｒ ａ ｔ （ Ｇ） ＝Ａ Ｎ∈ Ｊ ７ ｖ ； 当
ｌ Ｇ： ｓ Ａ ｕ （ Ｇ ） ｌ 是一个 ７ ｒ 一 数且 Ｇ＝（ ， ｓ ） Ａ ｕ 【 ， 总有 Ｇ＝ｓ Ａ “ （ ， 那么我们就称 Ｘ为 Ｇ的
高斯整数
高斯整数自然数整数 二进分数 有限小数循环小数有理数 代数数 实数复数 高斯整数 负数 分数 单位分数 无限小数 规矩数 无理数 超越数 二次无理数虚数 艾森斯坦整数双复数四元数 共四元数 八元数 超数 上超实数 超复数 十六元数 复四元数 Tessarine大实数 超实数 对偶数 双曲复数 序数 质数 同余可计算数阿列夫数 公称值 超限数 基数 P 进数 规矩数 整数序列 数学常数 π = 3.141592653...e = 2.718281828...虚数单位 i 2 = − 1无穷 ∞。
[隐藏]∙ 1 作为唯一分解整环o 1.1 作为整闭包o 1.2 作为欧几里德环∙ 2 未解决的问题∙ 3 参见∙ 4 参考文献[编辑]作为唯一分解整环高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为1、-1、i，以及-i。
Z[i]的素元素又称为高斯素数。
高斯素数的分布高斯整数a + bi是素数当且仅当：∙a、b中有一个是零，另一个是形为4n+ 3或其相反数−(4n+3)的素数；∙或a、b均不为零，而a2 + b2为素数。
以下给出这些条件的证明。
必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。
这是因为对于任何高斯整数g，。
现在，N(g)是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数的乘积。
根据素数的定义，如果g是素数，则它可以整除p i，对于某个i。
另外，可以整除，因此。
于是现在只有两种选择：要么g的范数是素数，要么是素数的平方。
如果实际上对于某个素数p，有N(g) = p2，那么g和都能整除p2。
它们都不能是可逆元，因此g = pu，以及，其中u是可逆元。
这就是说，要么a = 0，要么b = 0，其中g = a + bi。
然而，不是每一个素数p都是高斯素数。
2就不是高斯素数，因为2 = (1 + i)(1 −i)。
高斯素数不能是4n + 1的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成a2+ b2的形式，其中a和b是整数，且a2+ b2 = (a + bi)(a−bi)。
全特征子群,特征子群,正规子群的关系
《近世代数》论文课程：《近世代数》姓名：XXX学号：XXXXXXX专业：XXXXXXXXXXXXX全特征子群，特征子群，正规子群的关系内容：1）引入群的定理2）表述其关系3）证明并且举例4）总结摘要：本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。
从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。
本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。
本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。
经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群正规子群。
一、有关群的定理定理1设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有θ（H）∈H，则称H为群G的一个全特征子群。
定理2设H是群G的一个子群，a∈G。
则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。
而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。
左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。
⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H）⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH定理3对群G的所有自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有ε（N）∈N的子群N，叫做G的一个特征子群。
定理4如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。
而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。
则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。
第5章 群论
主要讨论半群与群两个代数系统
5.1半群
定义5.1半群:(S,)中二元运算“ ”满足结 合律则称此代数系统为半群。
注:半群的子系统是半群。
1
第5章 群论
定义5.2 交换半群:半群(S,)如满足交换律则称其为 可换半群。 定义5.3 单元半群(幺半群):半群(S,)中如存在单位 元则称其为单位半群,也称独异点。
3
实例
例： (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),· >都是半 群，也都是独异点，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵乘 法。 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运 算。 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法 。 (5) <R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如 下：x, yR*, x◦y=y。
29
第5章 群论
定义5.13:一个阶为n的有限集合S上的所有变换所组成的集 合Sn及其复合运算所构成的变换群(Sn,)称为S的对称群,若有 限集S上若干个变换所组成的集合S及其复合运算所组成的变 换群(S,)称为S的置换群。 由定义可知有限集上的变换群称置换群或对称群。
13
群的性质：方程存在惟一解
例: 设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 解下列 群方程： {a}X=，Y{a,b}={b} 解 X={a}1={a}={a}， Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}
p-可解群中子群的相互作用
核子相互作用
1. 什么是核子间相互作用
核子间相互作用（NQI）是一种由真空中电磁场及核子的强相互作用的综合体，它可以在科学实验中被测量。
核子间相互作用有助于人们了解原子及其组成的原子能级的结构，以及原子核间相互作用的机制和条件的探讨。
2. 核子群的内在相互作用
核子同群内的核子之间存在引力相互作用，即两个核子受到引力作用，会相互拉近或推离而发生运动。
内在相互作用由所有核子所共有的引力构成。
核子群中子群中子间引力越强，核子群受到的激发能级就越少，也就降低了核子群破裂的可能性。
3. 核子群外在相互作用
核子群同外部核子之间存在电磁相互作用，即两个核子有一定的量子状态，需要满足特定电偶极条件才能以吸收或发射光子而发生变化。
由于核子群与外部核子的电磁相互作用，才能实现核子群处于各种状态的转变，促进核子群能量的流动，从而影响核子群的特性。
4. 核子群同其它粒子的相互作用
核子群同其它粒子之间还存在胶体或相弱作用，即当核子群与其它粒子交互时，双方粒子交换的能量有可能会被两个粒子所吸收。
此外，核子群同其它粒子之间还可以通过时空曲线进行相互作用，使彼此之间能够相遇，从而影响核子群中子群的状态。
总结
核子群中子群的性质受核子群中子之间引力相互作用、电磁相互作用，以及与外部粒子的胶体或相弱作用以及时空曲线等多种因素的影响而发生变化，它们之间的力学运动状态与化学运动及其它粒子之间的相互作用密切相关，至关重要，尤其是对核子群破裂的研究有重要意义。
6.3 子群及其陪集_2018
1 2
群 、环、域
代数系统 群的定义
5 6
环 域的特征 素域 多项式 有限域
3
4
子群及其陪集
群的同态及同构
7
8
6.3.1 子 群 的 定 义
子群 ：设（G，· ）是一个群， H G， 如果按 照G中的乘法运算· ，(H， · ) 仍是一个群，则
(H，· ）叫做（G，· ）的子群。 真子群：如果G的一个子群H不等于G，即H G 则（H，· ）叫做 (G，· ）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样， 比如, （C*，· ）不是（C，+）的子群。
定理6.3.5 若群G中元素a的周期为n，则 （1）1, a, a2, a3,…,an-1为n个不同元素； （2）am=1当且仅当n∣m; （3）as=at当且仅当n∣(s-t)。
证明：因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r，0≤r<n 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar； 由于0≤r<n，故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff n∣m 即（2）得证。由（2）即知 as=at iff as-t=1 iff n∣(s-t)， 即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。
因此，x· yH1∪H2，而x· y∈G，
所以H1∪H2≠G。
定理6.3.2（判别条件二）
定理6.3.1中的两个条件(1)，(2)可以换成下面 一个条件 (*)若a∈H, b∈H，则a· b-1∈H。
证明：设(1), (2)成立，往证(*)成立。设a∈H，b∈ H，由(2), b-1∈H，故由(1)，ab-1∈H，因而(*)成立 设(*)成立，往证(1), (2)成立。设a∈H，由(*)可推 得，a∈H, a∈H，故a· a-1∈H，即1∈H。又由(*)可 推得，1∈H，a∈H，故1· a-1∈H，即a-1∈H，因而 (2)成立。
50阶以下群分类
1.主要用半直积的方法。
p群要按中心非平凡逐渐归纳。
需要用到的会说出自同构群。
未知的群记为G，若能找到正规子群，一般记做N；和N构成半直积的子群一般记做H，同态H→Aut(N)记做φ。
为了方便，循环群记做Cn，二面体群Dn等，不再用下标。
元素的幂次记为x^n。
每一个不同的同构类型用蓝色标出，如果指出了自同构群，用红色标出。
2.2阶群C2，自同构群平凡群1。
3.3阶群，素数阶。
C3，Aut(C3)≌C2，由乘以-1生成。
4.4阶群，素数平方阶，交换。
C4，循环群，Aut(C4)≌C2，由乘以-1生成；C2xC2，Klein4群，Aut(C2xC2)≌GL2(F2)≌S3。
S3作用于C2xC2上任意置换3个2阶元，GL2(F2)作用在上面表示为矩阵作用于线性空间。
5.5阶群，素数阶。
C5，循环群，Aut(C5)≌C4，由乘以模5的原根2生成。
6.6阶群，2p型，3阶群正规，C2与C3半直积，要考察同态C2→Aut(C3)≌C2。
平凡同态得到C2xC3≌C6；非平凡同态得到D3≌S3。
7.7阶群，p型。
C7，循环群，Aut(C7)≌C6，由乘以3生成。
8.8阶群，素数幂型或p群。
A) 若G有8阶元，则G≌C8，Aut(G)≌C2xC2，由乘以3和乘以5生成。
B) 若G无8阶有4阶元x，N=<x>正规，取y∈G\N；y^2∈N。
BA) 若y^2=1，则要考虑y在N上作用（半直积）。
Aut(C4)≌C2。
考察同态C2→C2。
BAA) 若y在N上是平凡作用，则G≌C2xC4。
自同构群可以用2x2矩阵来表达，矩阵的列表示生成元y,x的像，Aut(G)是8阶群，把Aut(G)中生成元写出发现Aut(G)同构于F2上的3x3对角线为1的上三角矩阵群。
Aut(C2xC4)≌D4。
BAB) 若y在N上非平凡作用，则G≌D4。
计算同构群要考虑生成元可能的像，然后用映射复合计算同构群乘法表，Aut(D4)≌D4。
判定有限群可解性的一种方法
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界可解群是一类常见的群,在Galois 方程论等方面有重要的应用.判定有限群的可解性是一个常见的问题.以下给出一种方法,把判定有限群G 的可解性的问题转化成寻找G 的三个指数互素的可解子群的问题.如果能够找到三个子群,指数互素,且可解,那么G 是可解的.这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.而阶数较低的群相对容易研究.首先看定义和几个引理.定义1设G 为任意群.a,b ∈G ,令[a,b ]=a -1b -1ab ,称为元素a ,b 的换位子.令G ′=〈[a ,b ]|a,b ∈G 〉,称为G 的换位子群.归纳定义G 的n 阶换位子群:G (0)=G ,G (n )=(G (n -1))′,n ≥1.称群G 为可解群,如果存在正整数k 使G (k )=1.下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论.引理1(1)设G=M 1×M 2,则G ′=M 1′×M 2′.(2)设H ≤G ,g ∈G ,则(H g )(n )=(H (n ))g ,n ≥1.(3)设H ≤G ,,则(HN /N )(n )=H (n )N /N ,n ≥1.证明(1)∀(a 1,b 1),(a 2,b 2)∈G ,其中a 1,a 2∈M 1,b 1,b 2∈M 2,[(a 1,b 1),(a 2,b 2)]=(a 1,b 1)-1(a 2,b 2)-1(a 1,b 1)(a 2,b 2)=(a 1-1a 2-1a 1a 2,b 1-1b 2-1b 1b 2)=([a 1,a 2],[b 1,b 2])故G ′=M 1′×M 2′.(2)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1g,h 2g]=(h 1g )-1(h 2g )-1h 1gh 2g=(h 1-1h 2-1h 1h 2)g=[h 1,h 2]g,于是(H g )′=(H ′)g .假设(H g )(n -1)=(H (n -1))g ,于是(H g )(n )=((H g )(n -1))′=((H (n -1))g )′=((H (n -1))′)g =(H (n ))g (3)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1N ,h 2N ]=(h 1N )-1(h 2N )-1h 1Nh 2N =h 1-1h 2-1h 1h 2N =[h 1,h 2]N ,于是(HN /N )′=H ′N /N .假设(HN /N )(n -1)=H (n -1)N /N ,于是(HN /N )(n )=((HN /N )(n -1))′=(H (n -1)N /N )′=(H (n -1))′N /N=H (n )N /N .引理2设有限群G ≠1为可解群,则存在p -群M ≠1且M .证明取G 的极小正规子群M (即:1≠M ,∀N ,N ⊆M ,则N =1或M ).∀HcharM ,由M 知,H .由M 的极小性知,H =1或M .故M 为特征单群.有限特征单群是同构单群的直积.[1]设M=M 1×…×M s ,其中M i (i =1,...,s )是同构的单群.因为M ≤G ,所以M (n )≤G (n ),n ≥1,由G (k )=1可得M (k )=1.由引理1(1),M (k )=(M 1×…×M s )(k )=M 1(k )×…×M s (k )=1.于是M i (k )=1(i =1,...,s ).又由M i′M i 及M i 是单群知,M i ′=1.故M i 交换.交换单群是素数阶循环群.故M i 是素数阶循环群.又M i (i =1,...,s )是同构的.故M 是p -群.下面的引理3研究了有限群子群指数互素的情形.引理3设G 是有限群,H ≤G ,K ≤G ,若G ∶H 与G ∶K 互素,则G=HK .证明首先,子集HK 中包含H 的右陪集个数(姑且记作HK ∶H )等于K 中包含H ∩K 的陪集个数K ∶H ∩K .[2]这是因为Hk 1=Hk 2⇔k 1k 2-1∈H ⇔k 1k 2-1∈H ∩K ⇔(H ∩K )k 1=(H ∩K )k 2.于是,G ∶H ≥HK ∶H =K ∶H ∩K .从而,G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K ≤G ∶K G ∶H .又G ∶H 与G ∶K 都是G ∶H ∩K 的因子,且G ∶H 与G ∶K 互素,有G ∶H G ∶K G ∶H ∩K .故G ∶H ∩K =G ∶H G ∶K .而G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K =G ∶K HK ∶H ,于是G ∶H =HK ∶H .故G=HK .引理4若K G ,且K 和G /K 都是可解的,则G 是可解的.[3]证明令ν是G 到G /K 上的自然同态,则ν(G ′)=(ν(G ))′.假设ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),则ν(G (i +1))=ν((G (i ))′)=(ν(G (i )))′=((ν(G ))(i ))′=(ν(G ))(i +1).于是ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),i ≥1.又ν是满同态,从而ν(G(i ))=(G /K )(i ),i ≥1.因此,由G /K 可解知,存在k ≥1使ν(G (k ))=1.于是G (k )⊆K .由K 可解知,存在l ≥1使K (l )=1.于是G (k+l )⊆K (l )=1,从而G 是可解的.定理1设有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.证明对G 用归纳法.G =1显然成立.假设对小于G 成立.下证对G 成立.断言H 1≠1,否则(G ∶H 1,G ∶H 2)=(G ,G ∶H 2)=G ∶H 2≠1(假如G ∶H 2=1,则G =H 2可解),与互素矛盾.断言成立.又H 1可解,由引理2,存在p -群M ≠1且M H 1.因为(G ∶H 2,G ∶H 3)=1,所以p 至多整除G ∶H 2,G ∶H 3中的一个.不妨设G ∶H 2.但由于p H 1,于是p G ,又G =H 2G ∶H 2,故p H 2.设P 是H 2的Sylow p -子群.由于G ∶H 2,H 2∶P ,G ∶P =G ∶H 2H 2∶P ,于是G ∶P ,故P 是G 的Sylow p -子群.由Sylow 定理,任二Sylow p -子群共轭,任一p -子群含于一Sylow p -子群.存在g ∈G ,使M ≤P g ≤H 2g.由G ∶H 2g=G ∶H 2知,G ∶H 1与G ∶H 2g互素,由引理3,G=H 1H 2g.∀x ∈G ,x=x 1x 2,x 1∈H 1,x 2∈H 2g.由M H 1,M ≤H 2g 知,M x=Mx x =M x ≤H 2g.令N =〈M x |x ∈G 〉,于是N ≤H 2g,1≠N G .H 2可解,对某正整数k ,H 2(k )=1,由引理1(2),(H 2g )(k )=(H 2(k ))g=1,故H 2g可解.从而N 可解.由引理1(3),(H 2N /N )(k )=H 2(k )N /N=1,故H 2N /N 可解.同理H 1N /N ,H 3N /N 可解.又G /N ∶H 1N /N =G /N ·(H 1∩N N )/(H 1N )G ∶H 1.同理G /N ∶H 2N /NG ∶H 2,G /N ∶H 3N /NG ∶H 3.故G /N ∶H 1N /N ,G /N ∶H 2N /N ,G /N ∶H 3N /N 两两互素,又G /N <G ,由归纳假设,G /N 可解,由引理4,G 可解.以上给出了一种判定有限群可解性的方法,把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.参考文献[1]崔雪晴,何建营.有限特征单群结构[J].科教导刊,2014,11(1):198-199.[2]徐明曜.有限群导引上册[M].2版.北京:科学出版社,1999:6-7.[3]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco:W.H.Freeman and Company,1974:239.[责任编辑:汤静]判定有限群可解性的一种方法崔雪晴陈仁霞(中原工学院理学院,河南郑州450000)【摘要】本文研究了换位子群的性质,得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上,给出了一种判定有限群可解性的方法,即,若有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.【关键词】有限群;可解性;可解子群An Decision Method of the Solvability of Finite GroupsCUI Xue-qing CHEN Ren-xia(College of Science,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou Henan 450000,China)【Abstract 】It studies the properties of commutator groups,and gets some conclusions about commutator groups.It studies the case that the indexes of subgroups of finite groups are relatively prime.On the basis,it gives an decision method of the solvability of finite groups,that is,if a finite group G has three solvable subgroups H 1,H 2,H 3,and the indexes G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3are relatively prime,G is solvable.【Key words 】Finite group;Solvability;Solvable subgroups 作者简介:崔雪晴(1984—),女,硕士研究生,助教,研究方向为代数。
对称框架同构类的计数——处理复杂系统的新思维系列之八
注： 由参考文献［ ］ ： ４ 知 稳定子群 Ｇ。 Ｇ 的 是
子群 。
有限群的关 系最为密切 ， 结合群论对对称性问题 做 一般 处 理 ， 处 理对 称 性 问题 的 主要 方法 。本 是 系列论文基 于《 多边矩阵理论 》］结合各学科关 ＿， １
…
框 架 ， 取 ａＥＨ， 义 任 定 ７＝ Ｉｓ ａ ｓ ｛ ； （ ）＝ ． ８＝ １２ … ， ｝ ， ， ，， ｍ ｌ
（ ≤ － ｐ） １ ７ ≤ ，
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ｍ｝ 。对 于某 一 集 合 Ｍ ＝｛ ， ， ｔ ， ｔ ： …， ｝
＝ｔ群 ｌ 『 ， Ｇ 为对称群 ｓ Ｍ 的子群， Ｍ为框架 其 中 即是 ａ＝（ （ ） … ， ｍ ） ＥＨ 中元 素 口 １ ， 口（ ）
摘要 ： 本 系列论文基 于《 多边矩阵理论》 由东方整体性思维所启迪， ， 试图提供并完善一套从
整体 到局部 处理 复 杂 系统 多指标 问题 、 均 匀性 问题 、 线 性 问题 的 强有 力的数 学工 具 ， 非 非 并对
其进行严格 的理论推导和证明。对称性或对称分析方法， 是众 多学科关注的问题之一， 我们认 为构 造对 称框 架是研 究对称 性 问题 的基础 。本 文 利 用框 架 的特 征 来 构 造稳 定 子群 ， 利 用稳 再
框架轨道的群表示［ 等理论 ， ６ ］ 并利用分解定理提
出构造 对称 框架 的一种 方法 。本文 利用 框架 的特
则 ０ Ｅ Ｇ ， ０ ， ∈ Ｇ ， ， 且 ， ７ ： 于是 （ａ ∈ Ｇ ， ＝ ｒ ０） ｉ
１ ２ 即（ａ Ｅ Ｇ１ ；对 于 ０ ，ｒ Ｇ１ ， ， ， ０ ） Ｇ２ Ｎ ， ７ ∈ Ｇ２ ｎ
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p-稳定群的特征p-子群
焦文洁;靳平
【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(034)005
【摘要】对任意有限p-群S定义了一个新的特征子群W(S),证明了类似的Glauberman-Solomon定理亦成立,即当G为p-稳定群时,如果S为其一个Sylow p-子群,则在适当条件下W(S)恰为G的一个非平凡特征子群.
【总页数】3页(P493-495)
【作者】焦文洁;靳平
【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.Sylow p-子群的非平凡子群与有限群的p-超可解性 [J], 韦华全;李娜;周宇珍
2.p-子群皆p-拟正规或自正规的有限群 [J], 王坤仁
3.Frattini子群循环的有限p-群中的非交换集和极大Abel子群 [J], 王玉雷; 刘合国; 吴佐慧
4.p-子群的局部性质与有限群的p-幂零性 [J], 韩玲玲; 郭秀云
5.Sylow p-子群为循环群的10pn阶非交换群的 Coleman自同构群 [J], 依火阿呷;海进科
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