数学推理思想的再认识——数学推理与数学命题

数学推理的再认识——数学推理与数学命题之间的关系推理也是数学最为显著的特征。

人们通过抽象，得到数学的研究对象和研究对象之间的关系。

数学的研究对象最终以定义的形式出现，可以是基于对应的定义，也可以是基于内涵的定义，如自然数、实数、点、线、面等。

数学研究对象之间的关系包括两方面的内容，一方面的内容是研究对象的度量与运算，包括长度、面积、角度的度量。

以及加、减、乘、除、极限这五种运算；另一方面的内容是表示关系的逻辑术语，这些术语具有因果、转折、递进、对比、补充、选择等功能，如存在、相等、属于、介于、平行、垂直、因为、所以等。

数学的推理，就是把表示关系的运算方法、逻辑术语运用于研究对象，得到数学的结论或者验证数学的结论。

因为数学的结论最终可以归结为数学命题。

因此，数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程。

在这个意义上，就数学思想而言，数学研究对象的确立依赖的是抽象，数学内部自身的发展依赖的是推理。

那么，关于数学推理，应该关注什么是数学的推理、数学推理方法本身的合理性，以便最终目的是实现数学推理过程的条理化。

数学的结论各式各样，得到结论的思维过程和验证结论的思维过程更是百花齐放，那么，应当如何在这些错综复杂的思绪中抓住事物本质、理清思维脉络呢？先回顾一下笛卡儿的建议，笛卡儿在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说：要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究。

这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等。

笛卡儿认为这个原则是他这部著作中最有用的，是揭示科学奥秘的基本方法。

笛卡儿所说的研究方法的实质就是，把要进行推理的事物排成一个系列，然后找出系列中的最简单项进行逐项判断。

对于数学的论证，笛卡儿所说的系列就是由条件出发，最后得到结论的整个过程，这个过程是由一些最简单项首尾连接而成的。

因此，讨论数学的推理，就是要认清推理过程中的最简单项是什么，然后从这些最简单项入手，讨论最简单项的特征，讨论推理过程中最简单项之间是如何首尾连接的，进而讨论数学的推理是如何作为的。

许多人会把数学的推理等同于数学的证明，因为数学证明的思维过程依赖的是演绎推理，于是认为数学推理就是演绎推理，甚至认为逻辑推理就是演绎推理。

这种认识不仅是不全面的，甚至对于数学教育还是有害的。

数学的推理是一种有逻辑的推理，其中的逻辑性就表现在上面所说的推理过程中最简单项之间的首尾相接。

逻辑推理既包括演绎推理也包括归纳推理在一般情况下，人们借助归纳推理“推断”数学的结果，借助演绎推理“验证”数学结果。

在这个意义上，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。

虽然数学不是经验科学，也不是实验科学，但数学概念的形成依赖基于经验的抽象，数学推理的过程依赖基于直觉的思维。

因此，经验的积累，特别是思维经验和实践经验的积累对于学习数学是至关重要的，学习数学的要义不仅仅是为了“记住”一些东西，甚至不仅仅是为了掌握一些“会计算”“会证明”的技巧，而是能够“感悟”数学所要研究问题的本质，“理解”命题之间的逻辑关系，在“感悟”和“理解”的基础上学会思考，最终形成数学的直觉和数学的思维。

这也是《标准(2011年版)》中提出“四基”，强调“基本思想”和“基本活动经验”的本意。

一、数学推理的基础是什么？数学最基本的表达方式是定义和命题：数学的定义述说了数学的研究对象，数学的命题述说了数学的研究结果。

如果说数学抽象主要是建立数学定义、关系以及运算法则的思维过程，那么数学推理就是建立数学命题以及验证数学命题的思维过程。

定义和命题都是陈述句，在形式上是很难区别的。

因此，在具体讨论之前，有必要从功能上认识清楚定义与命题的区别是什么。

或许，下面的结论会出乎大多数人的常识：中国古代先哲在这方面有过极为精辟的论述。

许多重要的论述被记录在《墨经》这部经典之中，比如，《墨经·小取》中“以名举实，以辞抒意，以说出故”这段话就阐述了定义、命题、推理之间的关系。

这段话实在是言简意赅，但其中的含义是明确的，寓意是深刻的。

我们用现代语言把这段文字表述如下：通过定义（名）明确所讨论问题的对象（实），通过命题（辞）表述所讨论问题的实质（意），通过论证(说)得到所讨论问题的缘由（故）。

我们可以这样理解上述内容的逻辑关系：“以名举实”的含义是定义（名）是对象 (实)的抽象，可以通过举例(举)说明。

这些抽象了的定义构成了研究的对象；“以辞抒意”的含义是定义本身并没有表述研究对象的实质（意），研究对象的实质是通过命题(辞）表述的；“以说出故”的含义是命题所表述的东西不一定就是正确的，其中的道理(故)是需要论证（说)的。

可以看到，中国古代先哲对定义和命题的功能，以及这二者之间关系的理解是相当深刻的。

根据先哲的论述，定义是命题的用语，或者说命题中所涉及的对象应当是已经定义了的那些东西。

定义本身并不要求必须具有解释对象性质（甚至包括内涵)的功能；命题是一种陈述，命题本身并不具有判断功能。

命题陈述的正确与否是需要论证的。

因为数学推理主要是针对数学命题，并且数学定义的功效主要表现于数学命题，因此在这一讲，我们先讨论什么是数学命题，然后再讨论什么是数学定义。

通过下面的讨论可以看到，这样的流程不仅是可行的，也是必需的。

问题：判断数学命题的基本原则是什么？1.数学命题。

无论是定义还是命题，在本质上都是陈述语句，但命题的功能与定义的功能有本质区别，命题的陈述语句不是为了给一个事物命名，而是为了述说已经命名了的事物的一些事情。

虽然事情的存在与思想无关，是客观的，但对事物的陈述则蕴含着思想，是主观的，人们可以对这样的陈述语句进行判断：或者肯定，或者否定。

命题陈述句为人们提供了一个判断：可以通过逻辑的方法进行分析判断，也可以通过经验的事实进行证实判断。

人们通常称前一种判断方法为分析的，后一种判断方法为综合的。

正因为如此，我们可以认为：命题是一个可供真假判断的陈述语句。

为了更好地理解数学命题，还需要强调下面两件事情。

（1）数学命题必须提供判断。

数学命题陈述句述说的是研究对象的事情，但是，无论是直接判断还是通过一系列的推理进行判断，这个陈述句必须是可以从数学的角度判断“真假”的。

比如，我们分析下面的关于三角形的陈述句：这个三角形是白的。

虽然这个陈述句可以成为一个命题，但不能成为一个数学命题，因为这个陈述句没有提供数学判断的可能性。

一般来说 .具有形容功能的陈述句都不能成为数学命题，这是因为数学概念的抽象过程已经舍去了研究对象的所有物理属性。

（2）数学命题只能提供判断。

虽然数学命题的陈述句必须提供判断，但数学命题本却不承担判断真假的职责，判断真假是数学推理的任务。

因此，不能清晰地划分数学命题的功能和数学推理的功能，就必然会影响到对命题的理解，会影响到数学的教学活动。

比如，对于构建数学命题而言，下面两个陈述句是等价的：三角形内角和是180°。

三角形内角和是120°而对这两个命题的真假判断则是数学推理的任务。

数学命题的主观性与客观性。

在第一部分的开始，我们曾经讨论了抽象的东西是如何存在的（3）数学命题的主观性和客观性。

所谓数学命题的主观性与客观性是针对思想者而言的：如果命题是思想者正在思想的东西，或者是思想者思想的结果，那么数学命题就是主观的；如果数学命题的存在与思想者无关，数学命题只是思想者要判断的已经存在的东西，那么数学命题就是客观的。

在我国，几乎所有形式逻辑的教科书，关于命题的论述都隐含着“命题就是判断” 的指向，这就意味着命题是主观的，因为只有思想者才能进行判断。

因此，这些教科书中所讨论的命题是思想者应当如何进行思想的东西，而不是思想者应当如何进行判断的东西。

无论如何，这样的认识是不全面的，这样的认识不仅不利于研究数学推理，并且也不利于指导数学教学。

虽然没有说得很清楚，但胡塞尔意识到了其中的差异。

罗素则说得非常明确：“命题就是可以有意义地加以断定或否定的东西。

”这样命题就具有了客观性。

对于数学命题，我们可以做这样的划分：如果是为了得到数学命题，那么数学命题就是主观的，因为这时的数学命题是思想者思想的结果；如果是为了验证数学命题，那么数学命题就是客观的，因此这时的数学命题是思想者思想的对象。

在下面的讨论中，我们将会仔细分析：虽然这两种情况的思维过程都依赖逻辑，但推理形式却有着本质的不同。

正因为如此，分清数学命题的主观性与客观性是必要的。

对于绝大多数的人来讲，数学命题是客观的，因为他们是在求学的过程中才会接触到数学命题，所以对于他们而言，数学命题只是一些数学内容的陈述，他们的任务是理解这样的陈述，或者，论证这样陈述的正确性（比如，他们在写作业的时候或者在考试的时候）。

与此对应的数学教育，就是让学生在数学命题的理解与论证的过程中，提升数学证明的能力和数学解题的技巧。

但是对基于创新的数学教育，仅仅停留在这个层面是不够的，还需要创设出合适的数学教学情境，在这个情境中引导学生自主地得到一些数学的性质、法则，甚至自主地得到一些数学的结论、命题，即便得到的东西对数学本身并没有任何价值。

在这个意义上，得到数学命题的过程就极为重要了，这不仅使数学命题具有了主观性更重要的是让学生在这个过程中感悟：应当如何有逻辑地得到和表达数学的结论。

进一步.如果在数学的教学活动中，能把得到数学结论与证明数学结论有机结合，就可能让学生更好地感悟逻辑推理的形式和道理，在感悟的基础上积累数学思维的经验，逐渐形成自己的、合理的思维模式。

数学推理。

综上所述，明确地说：数学推理就是得到和判断数学命题的思维过程，或者说，数学推理就是从一个数学命题判断到另一个数学命题判断的思维过程。

判断一个数学命题真假的思维范式大体是这样的：判断一个数学命题“为真”需要证明这就是用逻辑的方法进行论证；判断一个数学命题“为假”需要举例，这就是用经验的事实进行证实。

为了讨论得深入，有必要对数学命题进行分类。

（4）数学命题的分类。

基于陈述内容的不同，可以把数学命题分为两类：一类命题的陈述内容只涉及研究对象本身的性质，称之为性质命题；还有一类命题的陈述内容涉及多个研究对象之间的关系，称之为关系命题。

强调这样的区分是非常重要的，因为陈述内容的不同会导致语言表达方式的不同，进而会导致命题表述模式的不同。

罗素非常重视这种区分，有过非常苛刻的论述: 因此，陈述两个事物具有某种关系的命题与主谓式命题具有不同形式，看不到这种区别或者不承认这种区别，一直是传统形而上学中许多谬误的根源。

可以看到，我们所说的性质命题就是罗素所说的主谓式命题，关系命题就是罗素所说的陈述两个或者更多事物具有某种关系的命题。

下面，针对具体的数学内容，我们分別讨论这两类命题的特征以及各自的语言表述模式。