第十八章多因素实验资料的方差分析
多因素方差分析
保存时间 1天 (a1)
保存温度
20℃(b1) 1320 1320 1330 1310 1300 37℃(b2) 1320
平均
保存温度
b2-b1
20℃
1330 1310 1330 1300
1317
1318
2
1316
1340 1420 1420 1430 1410 1400 1336
3天 (a2)
1340 1350 1330 1320
41
由于温度和含氧量存在交互作用，还需列出按A， B两因素水平的交互组合的效果：
结果是温度25℃、含氧量0.5%时产卵较多。 因此，上述的单因素分析的结论应改为： 温度25℃、含氧量0.5%、含水量30%、pH值8.0 时产卵较多，为最优搭配。
42
43
谢 谢 各 位！ 再 见！
44
析因设计的优缺点
优点
用相对较小样本量，获取更 多的信息。可用来分析全部主 效应，单独效应以及因素间各 级的交互作用。 所需试验的次数很多，如2因 素，各3水平5次重复需要试验为 45次。
缺点
例1：某研究人员采用某法测定人血清C3(mg/L)值，问①不同保存温度 下该法对C3的测定值有无差异？不同保存时间下该法对C3的测定值有 无差异？②保存时间与温度对测定值无交互作用?
15
基本概念
协变量（covariate）：对反应变量有影 响的非处理因素。必须是数值变量。 例如，在研究降压药物的疗效时，病人的 初始血压水平对服药后血压下降值是有影响 的。如果不考虑病人初始血压水平的差异， 直接比较不同处理组病人的平均血压下降值， 是不恰当的。 这里，处理因素? 协变量因素是?
16
基本思想：是将线性回归分析与方差分 析结合起来的一种统计分析方法。 观察协变量X对反应变量Y的影响是否存在线 性关系。可建立应变量Y随协变量X变化的线性 回归关系，利用这种回归关系，固定X值，得到 Y的修正均数，然后再比较修正均数间差异。
第一讲 多因素试验设计的方差分析
处理因素（A）
水平1
水平2
…
X 11
X 21
…
X 12
X 22
…
…
…
…
X 1m
X 2m
…
水平k
X k1 X k2
…
X km
随机区组设计方差分析变异分解
相应的自由度有
SS总 SS处理 SS区组SS误差
总 处理 区组 误差
SS总 、SS 处理 的计算与完全随机设计的方差分析相同
熟悉 析因设计方差分析的多个样本均数的多重比较方法。
了解 重复测量设计方差分析多个样本的Bartlett方差齐性检验方 法。
单选题 1分
1.方差分析的基本思想是（）。 A 组间均方大于组内均方 B 误差均方必然小于组间均方 C 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著 D 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E 离均差平方和及其自由度按设计可以分解成几种不同来源
（2）计算检验统计量F 值
随机区组设计的方差分析表
变异来源
SS
DF
MS
F值
总变异
35226.4630
29
处理组间
33078.7980
2
16539.3990
341.92
区组间
1276.9630
9
141.8848
2.93
误差
870.7020
18
48.3723
（3）确定P 值，做出推断结论
对于处理因素
F0.05(2,18) 3.55 ，F 341.92 F F0.05(2,18) ， P 0.05
完全随机设计方差分析表
统计学5 多因素试验资料的方差分析课件
且因素间可能存在交互作用时。
正交设计与析因设计的区别：
• 析因设计：是各因素各水平全面组合的设计。 • 正交设计：是各因素各水平部分组合的设计。
正交设计能成倍减少试验次数，但是以牺牲 部分因素间的交互作用为代价。
正交设计表
• 每张正交表的表头都有一个表头符号，一般写法 为 LN(mk) 。
对于交互作用AB H0：因素A与因素B无交互效应 H1：因素A与因素B存在交互效应
（2）选择检验方法，计算检验统计量
析因设计方差分析计算表
（3）确定P值，做出推断结论
F < Fα（ν 1，ν 2）
P > 0.05
不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能 认为多个总体均数不等或不全相等。
F ≥ Fα（ν 1，ν 2）
20
Corrected Total
17.339
19
a. R Squared = .991 (Adjusted R Squared = .990)
Sig. .000 .000 .000 .332 .236
正交设计资料的方差分析
• 正交设计 • 正交设计表 • 分析步骤
正交设计
• 正交设计是利用一套规格化的正交表，将各个试 验因素、各水平之间的组合进行均匀搭配，合理 安排，是一种高效的、多因素试验设计方法。
• N 代表实验次数； • m 代表各因素水平； • k代表最高容许安排的试验因素及其效应数。
• 例如，L8(27)， L16(215)
正交设计表
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
多因素方差分析 ppt课件
a
Intercept A B A* B Error Total Corrected Total
5695952.667 1040000.667 87604.167 85681.500 136387.000 7045626.000 1349673.333
ppt课件 2
复 习
2.某军区总医院欲研究A、B、C三种减肥药物对家
兔体重的影响，将36只家兔随机分为三组，均喂 以高脂饮食，其中三个试验组，分别给予不同的 减肥药物，一定时间后测定家兔体重,问四组家兔 体重是否相同？（减肥.sav）(因素，输入）
ppt课件 3
为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将30只纯种
ppt课件
17
析因设计的方差分析
流行病学与卫生统计学教研室 ppt课件
18
18
析 因 设 计 析因实验设计是将每个因素的所有水平都互相组合， 的 交叉分组进行实验，可寻找最佳组合。 方 差 分 析
ppt课件
19
析 因 设 计 的 方 差 分 析
2×2析因例题
利血平可以使小鼠脑中去甲肾上腺素（NE） 等递质下降，现考察某种新药 MWC 是否具 有对抗利血平使递质下降的作用，将24只小 鼠随机等分为四组，并给予不同处理后，测 定脑中NE的含量。
ppt课件
29
重复测量资料的方差分析
分析实例（重复测量资料） 为评价某试验药物与对照药物对慢性乙肝患者谷丙
转氨酶（ ALT ）影响，根据统一标准收治 20 名患者
多因素方差分析
多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
[例子]研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。
分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。
表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表图5-6 数据输入格式2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。
图5-7 多因素方差分析窗口3）设置分析变量设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。
设置因素变量:在左边变量列表中选“a”和“b”变量，用向右拉按钮移到“Fixed Factor(s):”框中。
可以选择多个因素变量。
由于内存容量的限制，选择的因素水平组合数(单元数)应该尽量少。
设置随机因素变量:在左边变量列表中选“重复”变量，用向右拉按钮移到“到Random Factor(s)”框中。
可以选择多个随机变量。
设置协变量：如果需要去除某个变量对因素变量的影响，可将这个变量移到“Covariate(s)”框中。
第6讲多因素试验资料的方差分析
第六讲 多因素试验资料的方差分析M ULTIFACTOR ANALYSIS OF V ARIANCE多因素试验是指同时研究n 个因素对试验指标的作用，以及它们的共同作用。
多因素试验的最大优点首先在于除了一次试验可以同时明确多个因素的效应，还可以分析出因素间的相互作用（互作），便于选定最优处理组合。
其次，多因素试验可增加误差项的自由度，降低试验误差。
因此比单因素试验精确度更高。
最后，多因素实验所得的结论确切、具体、论据充足。
如单独进行品种对比试验，结果只能粗略地明确品种间的优劣，如果与饲料水平、饲喂方式结合进行三因素试验，可具体明确用一定的饲喂方式在特定的饲料水平下，哪个品种优于哪个品种。
论据、内容都比单因素试验结果丰富。
田间试验中也常要考察哪个品种在何时播种以及在何种密度下的产量表现，同时还可以采用区组设计来安排重复，以便控制系统误差，提高试验的准确性。
现以三因素试验的资料介绍其方差分析方法。
第一节 线性模型与期望均方一、线性数学模型设A 、B 、C 三个因素各含a 、b 、c 个水平，共abc 个处理组合，每个处理组合重复数为r 。
则其任一观察值的线性数学模型为：kl j i l ijk jk ik j i k j i kl j i e y +++++++++=ραβγβγαγαβγβαμ)()()()(其中kl j i l ijk jk ik j i k j i e ,,)(,)(,)(,)(,,,,ραβγβγαγαβγβαμ依次表示总体平均数、A 、B 、C 主效应， A ×B 、A ×B 、B ×C 、A ×B ×C 互作效应，重复(区组)效应和随机误差。
在样本资料中依次分别由),(,x x x A -)(x x B -，)(x x C -，)(x x x x B A AB +--，)(x x x x C A AC +--，)(x x x x C B BC +--，)(x x x x x x x x BC AC AB C B A ABC ----+++，)(x x R -，)(x x x x R ABC ijkl +--进行估计。
多因素方差分析简介
SSw SSt SSb 579.8333 331.3333 248.5000
于是A因素组间平方和为：
2 2 （X a） （X a） SSA na na K a
7082 6962 7182 21222 30.3333 8 8 3
B因素平方和为：
所以 A因素F=1.10<3.55= B因素F=0.77<4.41=
F( 2， )0。 6.01 18 01
F(1， )0。 8.29 18 01
F( 2， ) 0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F(1， )0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F( 2， )0。 ，p<0.01，拒绝零假设 18 01
MS B 10.6666 F 0.7726 MSW 13.8056
MS AB 145.1667 F 10.5151 MSW 13.8056
第三步：统计决断
根据分子自由度、分母自由度查附表3，找到各 个临界值，即
F( 2， )0。 3.55 18 05
F(1， )0。 4.41 18 05
解：第一步：提出假设
首先，提出关于A因素的假设：
H 0 a a a
1 2
3
H1
A因素至少有两个水平的总体平均数不相等 然后，提出关于B因素的假设：
1
2
最后，提出关于A、B两个因素交互作用是否显著 的假设：
H0
A、B两个因素交互作用不显著 A、B两个因素交互作用显著
MS B F MSW
对于A因素与B因素的交互作用，检验统计量的计算 公式为：
MS AB F MSW
第三步：统计决断 根据分子和分母自由度及=0.05和=0.01两个 显著性水平查附表3寻找F临界值。然后，将实际计 算出的F值与这两个临界值相比较，若实际计算出的
多因素方差分析
多因素方差分析多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS 调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量（Fixed Factor ）是反应处理的因素；随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
[例子]研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。
分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。
表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表重 复相对湿度（%）温度℃ 1 2 3 425 91.2 95.0 93.8 93.027 87.6 84.7 81.2 82.429 79.2 67.0 75.7 70.6 10031 65.2 63.3 63.6 63.325 93.2 89.3 95.1 95.527 85.8 81.6 81.0 84.4 29 79.0 70.8 67.7 78.8 8031 70.7 86.5 66.9 64.9 25 100.2 103.3 98.3 103.8 27 90.6 91.7 94.5 92.2 29 77.2 85.8 81.7 79.74031 73.6 73.2 76.4 72.5数据保存在“DATA5-2．SA V”文件中，变量格式如图5-1。
1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。
多因素试验资料的方差分析
变异来源 总变异 A主效应 B主效应 AB交互 误差
自由度 19 1 1 1 16
SS 7420 180 2420
20 4800
MS F
P
180 0.60 ＞0.05 2420 8.07 ＜0.05
20 0.07 ＞0.05 300
结论：尚不能认为两种缝合方法对神经轴突通
过率有影响；可以认为缝合后2月比1月神经轴
23
家兔神经损伤缝合后的轴突通过率(%)
A(缝合方法) B(缝合后时间)
外膜缝合(a1)
1月(b1) 10
2月(b2) 30
10
30
40
70
50
60
10
30
束膜缝合(a2)
1月(b1) 10
2月(b2) 50
20
50
30
70
50
60
30
30
合计
x
24
44
X
120
220
28
52
140
260
740
X2
4400 11200
4800
14400 34800
Xij=μ+Ai+Bj+AiBj+eij
24
2因素2水平析因试验的均数(%)差别
缝合方法 A
缝合后时间 B
b1
b2
单独效应 主效应 b2－b1 a2－a1
a1
24
44
20
34
a2
28
52
24
40
单独效应：a2－a1
4
8
主效应： b2－b1
26
48
6 22
多因素实验设计的方差分析ppt课件
表11-31 家兔皮肤损伤直径〔mm〕
注射药物 随机化后家
毒素浓度（B）
家兔小计
（A）
兔编号 低浓度（b1）高浓度（b2）
抗毒素（a1） 1
15.75
19.00
34.75
…
生理盐水
6
（a2）
…
合计
10
…
…
…
… 179.00
… 214.50
… 393.50
表11-32 家兔皮肤损伤直径的方差分析表
验水准，接受H0假设，即还不能以为AB两要素间 存在交互作用。 〔2〕A要素主效应的P>0.05，提示不能以为给 予升白细胞药物对大鼠吞噬细胞指数有影响。
SPSS操作过程
建立SPSS数据文件〔见factorial_1.sav〕
定义3个列变量： 1个因变量〔y〕，2个处置要素分组 变量〔A，B〕,设置值标签。
A
B
C
D
1
5
0.5
10
6.0
2
25
5.0
30
8.0
试验号 1
A
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
6
2
7
2
8
2
KI 366
KII 358
R
8
表 9-23 雌螺产卵数的正交实验结果
2
3
4
5
6
7 产卵数
B A×B C
D
1
1
1
1
1
1
86
1
1
2
2
2
2
95
2
2
1
多因素方差分析
多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
[例子]研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。
分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。
表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。
然后输入对应的数值，如图5-6所示。
或者打开已存在的数据文件“DATA5-2.SAV”。
图5-6 数据输入格式2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。
图5-7 多因素方差分析窗口3）设置分析变量设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。
设置因素变量:在左边变量列表中选“a”和“b”变量，用向右拉按钮移到“Fixed Factor(s):”框中。
可以选择多个因素变量。
由于内存容量的限制，选择的因素水平组合数(单元数)应该尽量少。
设置随机因素变量:在左边变量列表中选“重复”变量，用向右拉按钮移到“到Random Factor(s)”框中。
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第十八章多因素实验资料的方差分析
第一节析因设计资料的方差分析
析因设计资料的方差分析被广泛用于需要分析交互效应和选择最佳组合的实验研究中。
一、2*2析因设计资料的方差分析
析因设计资料的方差分析包含主效应（main effect）分析、交互效应（interaction）分析和单独效应分析三个层次。
主效应和交互效应的方差分析又称析因分析(factorial analysis)；
如果分析所有的主效应和交互效应，则为全因子模型；
如果只分析部分主效应和交互效应，称为非全因子模型。
1. 主效应和交互效应分析
交互项变异：由处理的总变异减去两个因素的主效应后得到。
误差项变异：误差项变异为总变异与各项主效应和交互效应之差。
用交互效应的轮廓图直观反映两个因素之间的关系：
（1）若两线近乎平行，提示无交互效应；反之，两线相交的锐角越大，交互效应越强。
（2）若两线近乎水平，提示B因素的两个水平相差不显著；反之，相差显著。
（3）若两线近乎重合，提示A因素的两个水平相差不显著；反之，相差显著。
2. 单独效应分析
上述析因分析给出了主效应和交互效应分析的结果，为了更细致地分析交互效应，还可以配合单独效应分析，即固定水平分析。
注意多次比较需要考虑α的调整问题，如使用Bonferroni方法进行调整。
二、2*3*2析因设计资料的方差分析
三、析因设计中的几个问题
1. 非平衡设计：对于非平衡的析因设计，仍然可以采用本节所介绍的方法，只是要注意自由度的分解和计算。
一般而言，如果所有的因素和水平的组合至少有1个观察值的话，主效应和交互效应的自由度与平衡设计一样，但误差项的自由度要根据总的自由度而变化。
如果某1个或几个因素和水平的组合缺如，则交互项的自由度要比平衡设计减少。
2. 全因子模型与非全因子模型：有的情形下，当某几个或某个交互项的F值小于1时，可以考虑将这些交互项并入误差项，这样可以
减少误差项的均方，同时还增大了误差项的自由度，使得分析的效率提高。
3. I*J析因设计与随机单位组设计的区别：两种设计都考虑了两种因素，但前者是两种处理因素，而后者是一个处理因素和一个配伍因素（非处理因素）。
前者可以分析交互效应，而后者却不能。
4. 多重比较：如果需要进行全部因素和水平组合间的多重比较，标准误根据析因分析的误差项计算即可。
5. 交互效应分析：当主效应水平间有统计差异时，分析交互效应可以获取更多有意义的信息。
6. 析因设计的局限：析因设计不但可以分析主效应和交互效应，也可以分析单独效应，故效率较高。
但是，当因素太多时，所需的样本量会很大。
此外，当因素较多时，因素间交互效应的分析和解释会变得越来越困难。
因此，析因设计安排的处理因素不要超过4个。
如果因素和水平数太多时，可以考虑用正交设计方法。
第二节二阶段交叉设计资料的方差分析
二阶段交叉设计（two-stage crossover design）是临床试验较常用的一种设计，主要有两大优点：
（1）经济：它比平行对照组设计节省一半受试对象，这对花费昂贵的药物临床试验显得尤为重要；
（2）可以消除个体差异的影响，从而达到减小随机误差的效果，因此，研究效率较高。
缺点：后效应相同或无后效应的要求限制了其应用，故不适于急性病研究或有明显延迟效应的药物研究。
第三节正交设计资料的方差分析
正交设计又称田口玄一方法，是研究多因素多水平的又一种设计方法，具有高效、快速、经济的特点，常用于配方筛选的研究。
对于正交设计资料的方差分析，通常不能像析因设计那样分析所有的交互效应。
到底哪些交互效应可以分析，哪些不能分析，有时根据正交设计表的表头也难以判断，为便于应用，我们可以通过统计软件的操作，在模型选择上进行尝试，从而选择最佳的方差分析结果。
相对于因素和水平数而言正交设计的样本量较小，用于估计误差项的例数也较少，当实验数据的变异较大时，误差项的变异也来得较大，不容易出现因素间的差异。
因此，正交设计通常不大适合实验数据变异较大的研究。
对正交实验数据的分析，有“直观分析”之说，即统计描述方法。
一般而言，统计分析应包含统计描述和统计推断两部分内容，缺一不可，仅用直观分析其可靠性较差，其结论缺乏普遍意义。