云南省昆明市嵩明一中2024学年高三第一次统测(一模)数学试题试卷

云南省昆明市嵩明一中2024学年高三第一次统测（一模）数学试题试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲

D ．甲、丙、乙

2．已知抛物线C ：2

4y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，

则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3

3．若，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，

得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）

A ．6i >，7

S S =

B ．6i 7

S S =

C ．6i >，7S S =

D ．6i ，7S S =

5．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC

S

=，P 为线段AB 上的一点，且

CA CB CP x y CA

CB

=⋅

+⋅

，则

11

x y

+的最小值为（ ） A ．

73

123

+

B ．12

C ．

43

D ．

53

124

+

6．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．

11a b

> B ．

11

a b a

>- C ．|a|>|b|

D ．22a b >

7．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）

A ．

26

B 3

C ．

36

D ．

23

8．过双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中

点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A ．2

B ．3

C ．2

D ．5

9．已知定义在[

)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）

A ．168

B ．249

C ．411

D ．561

10．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种

B ．24种

C ．36种

D ．48种

11．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1

B ．3

C ．±1

D ．3±

12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．

A ．

1

5

B ．

25

C ．

310

D ．

14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知α是第二象限角，且5

sin α=

，()tan 2αβ+=-，则tan β=____. 14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则1ξ=对应的排法有______种；()E ξ= ______；

15．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D ，所在平面内的动点，且满足

APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是__________.

16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半

径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2

Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为

2

4sin a

A

. （1）求sin sin B C ；

（2）若10cos cos 1B C =-，2a =

，求ABC ∆的周长.

18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等腰直角三角形，BC ⊥平面

, ,2,5PAB PA PB AB BC AD BD =====．

（1）求证：PA ⊥平面PBC ；

（2）求直线PC 与平面PAD 所成的角的正弦值． 19．（12分）已知函数()ln f x x =． （1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1

a y x x

=+

-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；