计算几何——曲面表示论及其应用
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
正则曲面的定义
正则曲面的定义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正则曲面是空间中的一个曲面，其在每一点处存在一个具有非零法向量的切平面。
正则曲面是微分几何学中非常重要的概念，对于研究曲面的性质和几何结构具有重要的意义。
在数学上，曲面是指一个二维的、具有连续变化曲率的几何对象。
而正则曲面则是一类特殊的曲面，它在每一个点上都可以被一个光滑曲线来切破，也就是说，在这个点处曲面是光滑的。
对于一个曲面来说，它在某些点可能会出现尖点或者奇点，这样的曲面就不是正则曲面。
正则曲面的一个基本性质是在每一点上都存在一个唯一的、非零的法向量。
法向量是指与曲面在该点处相切平面垂直的向量，它描述了曲面在该点处的方向。
在正则曲面上，法向量的存在性保证了曲面的光滑性和连续性。
正则曲面的研究对于几何学、物理学和工程学等领域具有广泛的应用价值。
在工程学中，正则曲面的概念被广泛应用于曲面建模、机械设计和计算几何等领域。
在物理学中，正则曲面的研究对于描述空间曲面、流体运动和光学传播等现象具有重要意义。
在几何学中，正则曲面的研究可以帮助我们理解和分析曲面的性质和结构，进而推导出各种曲面的性质和定理。
正则曲面是空间中的一个重要几何对象，具有光滑性、连续性和有限曲率等重要性质。
通过研究正则曲面的性质和几何结构，我们可以深入理解曲面的性质和结构，进而在各个领域中应用正则曲面的相关理论和方法。
【本篇文章共计698字】接下来，我们还将详细讨论正则曲面的一些相关概念和应用，以便更深入地理解和应用正则曲面的相关知识。
我们将讨论正则曲面的参数化表示。
在数学中，我们经常使用参数化的方式来表示曲面，即通过一组参数方程来描述曲面上的每一点。
对于正则曲面来说，我们可以通过参数化方程来描述其在每一点处的位置和方向。
一般来说，正则曲面可以通过一个或多个参数方程来表示，其中参数的取值范围与曲面的定义域相对应。
通过参数化表示，我们可以方便地进行曲面的计算和分析，进一步研究曲面的性质和几何结构。
空间解析几何中的曲面与平面的性质与应用
空间解析几何中的曲面与平面的性质与应用空间解析几何是现代数学中的一个重要分支，其中曲面与平面的性质与应用是其核心内容之一。
曲面与平面的性质研究了它们在空间中的特点和行为，而应用则将这些性质运用到实际问题中。
本文将围绕这一主题展开讨论。
一、曲面的性质曲面可以用数学方法描述，其中最常见的是方程法和参数方程法。
方程法通过一元或多元方程或等式来表示曲面，常见的有二次曲面、高次曲面等。
参数方程法是通过一组参数方程来描述曲面，常见的有球面、柱面等。
曲面有许多重要的性质，如切平面、法线、曲率等。
曲面上的每一点都有一个唯一的切平面，该平面与该点的切线相切。
曲面上每一点的切线与曲面在该点处的法线垂直。
曲率是描述曲面弯曲程度的量，曲面的曲率越大，说明其弯曲越剧烈。
二、平面的性质平面是空间中的一个二维图形，可以由一个点和一对方向向量决定。
平面的方程可以由点法式或一般式表示。
点法式通过平面上的一点和该平面的法线来确定平面方程。
一般式通过平面上的一点及平面上的两个非平行向量来确定。
平面的性质包括平行性、垂直性和夹角等。
平行平面指的是在空间中没有交点的两个平面，它们的法线方向相同或相反。
垂直平面指的是两个平面的法线方向相互垂直。
平面之间的夹角是指两个平面上相应位置的两个向量之间的夹角。
三、曲面与平面的关系应用曲面与平面的关系有许多重要的应用。
以下是其中的两个典型案例。
1. 曲面与平面的相交问题：在实际问题中，经常会遇到曲面与平面相交的情况。
通过求解曲面与平面的交点，可以得到很多有用的信息。
例如，在计算机图形学中，我们可以通过计算射线与曲面的交点来确定曲面的可见性，从而实现逼真的渲染效果。
在建筑设计中，我们也可以通过曲面与平面的相交来计算悬浮物体的投影，从而预测建筑物在不同时间下的阴影变化。
2. 曲面与平面的切割问题：曲面与平面的相交还可以用于解决物体切割问题。
例如，在机械加工中，我们经常需要通过切割固体物体来制造所需的零件形状。
曲面及其方程
02
曲面的方程
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面上的点与三维空间中某点的关系，它可以通过几何图形或方程的形式来表示。
曲面方程的概念与性质
曲面方程的性质
曲面方程的性质取决于曲面的形状和特性，例如对称性、连续性、光滑性等。
曲面方程的变量
曲面方程通常由两个或三个变量构成，这些变量可以是坐标系中的x、y、z值或其他参数。
曲面在航空航天中的应用
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短程线
曲面上的测地线与短程线
04
曲面的分类与性质
定义
性质
方程
平面的性质与特征
定义
球面是一种以定点为中心，半径为定长的封闭曲面。
性质
球面的法线与半径垂直，且通过球心的法线有两个。
方程
球面的方程通常采用球心坐标和半径表示，即(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2，其中(h, k, l)是球心的坐标，r是球的半径。
在机械设计中，曲面可以用来创建平滑、流线型的形状，同时还可以实现功能性的要求，例如引导气流、提供结构强度等。
曲面可以由专业的CAD软件创建，这些软件通常提供了丰富的曲面功能，例如拉伸、旋转、扫描等操作。
03
曲面在建筑设计中还可以用来解决物理问题，例如引导光线、遮阳、排水等。
曲面在建筑设计中的应用
01
在建筑设计中，曲面被广泛应用于创造富有艺术感和流动感的建筑外形。
02
通过使用曲面，建筑师可以创造出平滑的建筑立面，以及具有自然形态的室内空间。
在航空航天领域，曲面被广泛应用于飞机和火箭的设计中。
曲面可以用来创建平滑、符合空气动力学的机身外形，同时还可以实现高效的空气动力学性能。
曲面的热力学几何与度量张量分析
曲面的热力学几何与度量张量分析曲面的热力学几何是研究曲面上的热力学性质与几何结构之间的关系，其中度量张量是一项重要的工具。
本文将介绍曲面的热力学几何的基本概念，并探讨度量张量在曲面上的应用。
一、曲面的热力学几何曲面的热力学几何研究的是曲面上的热力学性质与几何结构之间的联系。
曲面上的热力学性质可以通过度量张量来描述。
度量张量是一种用来度量曲面上距离和角度的工具，通常用曲面的第一基本型来表示。
在曲面上，有两个与度量张量相关的概念，即曲率和切向量。
曲率描述了曲面的弯曲程度，可以通过度量张量的特征值来计算。
切向量表示曲面上某一点的方向，在计算曲率时是必不可少的。
二、度量张量的定义和性质度量张量是一个二阶对称张量，用来度量曲面上的距离和角度。
在局部坐标系下，度量张量可以用一个二阶方阵来表示。
对于曲面上的一个点，度量张量的矩阵形式为：\[g = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\]其中，E、F和G是度量张量的分量，表示在局部坐标系下的度量值。
度量张量具有一些重要的性质。
首先，度量张量是对称的，即E=G。
其次，度量张量的逆矩阵可以表示曲面的逆度量，即度量张量的逆矩阵为：\[g^{-1} = \begin{bmatrix} E^{-1} & -F \\ -F & G^{-1} \end{bmatrix}\]最后，度量张量的行列式称为曲面的度量，用g表示，即：\[g = EG-F^2\]三、度量张量的应用度量张量在曲面上有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是计算曲面上的长度和面积。
曲面上两点之间的距离可以通过度量张量来计算。
假设两个点的坐标分别为\((u_1, v_1)\)和\((u_2, v_2)\)，则它们之间的距离可以表示为：\[d = \sqrt{(u_2-u_1)^2E+(v_2-v_1)^2G+2(u_2-u_1)(v_2-v_1)F}\]曲面上的面积也可以通过度量张量来计算。
微分几何中的算子理论与应用
微分几何中的算子理论与应用微分几何是数学中的一个重要分支，研究空间中曲线、曲面等几何对象的性质和变换。
在微分几何的研究中，算子理论扮演着重要的角色。
本文将介绍微分几何中的算子理论以及其在实际应用中的意义。
一、算子理论概述算子是指将一个函数映射到另一个函数的操作符。
在微分几何中，算子理论研究的是定义在流形上的算子及其性质。
流形是指具有局部欧几里德空间性质的空间，它可以是曲线、曲面或更高维的对象。
算子理论在微分几何中有广泛的应用，它可用于描述流形上的切空间、联络和度量等概念。
算子的定义和性质可以帮助我们理解曲线和曲面的几何特性，并为微分方程的研究提供了基础。
二、常见的算子1. 梯度算子：梯度算子是微分几何中常见的算子之一。
它表示函数在流形上变化最快的方向。
梯度算子在物理学中也有广泛的应用，可以描述场的变化率和力的方向。
2. 散度算子：散度算子用于描述流体在流形上汇聚或发散的程度。
它可以量化流体的源汇分布，对于流体动力学的研究具有重要意义。
3. 拉普拉斯算子：拉普拉斯算子是微分几何中的重要算子，它可以表示函数的曲率和波动情况。
拉普拉斯算子在图像处理和计算机图形学中有广泛的应用，可用于图像平滑和边缘检测等领域。
4. 线性算子：线性算子表示函数之间的线性映射关系。
在线性算子的研究中，我们可以通过分析其特征向量和特征值来理解流形的几何特性。
三、算子在微分几何中的应用算子理论在微分几何中有许多实际应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 曲线和曲面的描述：算子可以帮助我们描述曲线和曲面的性质，如曲率、曲率半径等。
通过对算子的计算和分析，我们可以获得曲线和曲面的几何特性，进而研究它们的形状和变形。
2. 流形的切空间：算子可以定义流形上的切空间，切空间描述了流形上每一点的切向量的集合。
通过算子的定义和运算，我们可以获得流形上每个点的切空间的性质，进而研究流形的平滑性和变换规律。
3. 联络的描述：算子理论在流形的联络描述中也有重要应用。
计算几何
2.2.1 点积的定义
两个向量为： A x1 , x 2 ,..., x n B x1 , x 2 ,..., x n 定义两个向量的点积为：
AB
x
i 1
n
i
x i
2.2.2 点积的性质
两个向量的点积是标量 点积的变化与向量模的变化成正比。也 就是说，可以把向量标准化后再求点积， 然后再乘上某个系数，就可以得到原来向 量的点积
猜想由n个点(x1,y1), (x2,y2), ……, (xn,yn)构成 的多边形的重心的坐标是：
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
P1 P6
2.6.3 n边形的重心
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
xa xb
ya yb
b a
叉积的本质是一个向量，这个向量垂直于求叉积的 两个向量所在平面，大小是叉积的绝对值 二维情况的叉积向量平行于z轴，因此可以用正负号 表示方向
2.2 点积
2.2.1 点积的定义 2.2.2 点积的性质 2.2.3 点积的几何解释 2.2.4 点积与余弦函数的关系
可以用arctan2函数求得各个点的极角，然后排 序。但这样做会有浮点误差，且计算极角的运算 量大，没有用到几何特性，也没有深入使用排序 算法 满足全序关系，就能排序，无需算值
3.2.2.4 共线问题解决
Graham-Scan算法执行过程中会碰到多 点共线的情况 此时的一个解决办法是每次取三个点， 如果三者共线，则去掉中间的点
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形 但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
曲面造型.
曲面造型(Surface Modeling)曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。
如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline S urface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(I nterpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。
1. 对曲面造型的简要回顾形状信息的核心问题是计算机表示，即要解决既适合计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。
1963年美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线。
从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。
1964年美国麻省理工学院的Coons发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面。
但这种方法存在形状控制与连接问题。
1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。
这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。
但Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。
到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样条理论应用于形状描述，最终提出了B样条方法。
Akima曲线插补中的空间曲线多项式生成方法研究
Akima曲线插补中的空间曲线多项式生成方法研究来燕菁;张为民;齐党进;黄云鹰【摘要】Since Akima interpolation has the advantages of generating smooth and natural curves, as well as its u-niqueness and easy calculating method, it is going to be realized as a curve interpolation method on CNC machine tools. By applying parameterization method and then utilizing Akima theory to establish polynomials between the obtained parameter and the given coordinate values, the space curve polynomials of this curve interpolation could be known. To select the method of parameterization, Matlab simulating tests are used to compare the impacts of two parameterization methods, cumulative chord length parameterization andmodified chord length parameterization, on generating Akima curves. Test results show that, compared with cumulative chord length parameterization, the curves generated based on modified chord length parameterization are generally closer to the ideal curves, and with smaller error fluctuation.%基于Akima算法计算简便、生成曲线唯一且平滑自然的优点,将其应用于数控机床的曲线插补.通过参数化方法获取参数,再应用Akima算法建立参数与坐标数据的多项式,完成对该插补算法的空间曲线描述.针对参数化方法的选取,通过Matlab仿真实验,比较了累加弦长参数化方法和修正弦长参数化方法对生成Akima曲线的影响,仿真实验结果表明,修正弦长参数化方法相比于累加弦长参数化方法总体上更接近理想曲线,且误差波动小.【期刊名称】《制造技术与机床》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】5页(P56-60)【关键词】Akima算法;空间曲线;数控机床;修正弦长参数化;累加弦长参数化【作者】来燕菁;张为民;齐党进;黄云鹰【作者单位】同济大学机械与能源工程学院,上海201804;同济大学机械与能源工程学院,上海201804;同济大学沈阳机床研究院,上海201804;同济大学沈阳机床研究院,上海201804【正文语种】中文【中图分类】TP391Akima算法是Hiroshi Akima于1970年提出的一种新的曲线插值算法，它是一种在已知数据点间建立一阶导数连续的分段三次多项式算法，通过与常用的多项式插值算法、三次样条算法和密切插值算法比较，它的计算更简便，并且生成的曲线也更平滑自然［1］。
空间解析几何中的曲面与曲线的性质与应用
空间解析几何中的曲面与曲线的性质与应用空间解析几何是数学的一个分支，研究了空间内点、直线、曲线、曲面等几何对象之间的关系。
其中，曲面和曲线是较为常见的几何对象，它们具有独特的性质，并在许多实际应用中发挥重要的作用。
本文将介绍空间解析几何中曲面与曲线的性质及其应用。
一、曲面的性质曲面是空间中的一个平面形状曲线的推广，具有以下一些重要的性质：1. 高斯曲率：高斯曲率是曲面上某一点的曲面朝向的测量值。
它刻画了曲面的曲率特性，能够用来判断曲面的形状。
当高斯曲率为正时，曲面呈凸状；当高斯曲率为负时，曲面呈凹状。
2. 曲率半径：曲面上的每一点都有一个与之对应的曲率半径。
曲率半径表征了曲面在某点处的曲率大小，曲率半径越大，曲面越接近于平面，曲率越小。
3. 切平面：曲面上每一个点都有一个与之相切的平面，该平面与曲面在该点处相切，并且与曲面在该点处的切线共面。
二、曲面的应用曲面在许多实际应用中有着广泛的应用，包括建筑设计、工程制图、物体建模等方面。
下面将介绍曲面在三维建模中的应用。
1. 曲面建模：在三维建模领域，曲面被广泛运用于设计和制作复杂的物体。
通过将曲线进行旋转、移动、缩放等操作，可以创建出各种各样的曲面形状，用来模拟真实世界中的物体。
2. 表面绘制：曲面在计算机图形学中也扮演着重要的角色。
通过绘制曲面，可以实现模型的表面渲染效果，使得三维模型更加逼真。
3. CAD设计：在计算机辅助设计软件中，曲面也是绘图的重要手段。
通过使用曲面工具，设计师能够更加轻松地绘制出真实世界中各种各样复杂的曲面。
三、曲线的性质曲线是空间解析几何中另一个重要的几何对象，它同样具有一些独特的性质，如下所示：1. 弧长：曲线的长度称为弧长，通过计算曲线上各点之间的距离之和来求得。
弧长可以用来描述曲线的长度大小。
2. 弧度：曲线在某一点处的斜率称为弧度，它刻画了曲线在该点附近的变化趋势，能够帮助我们理解曲线的走向和变化。
3. 切线：曲线上的每一点都有一个与之相切的直线，该直线被称为曲线的切线。
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
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作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
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8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
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8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
极小曲面方程及其解法
极小曲面方程及其解法曲面是三维空间中常见的数学物体，由于其具有良好的几何性质和广泛的应用场景，在数学、自然科学、物理学等领域都受到了广泛关注。
在曲面的研究中，曲面的形状和能量密度是两个重要的研究方向，其中极小曲面是一类非常特殊的曲面，极小曲面方程成为了极小曲面研究的重要数学工具。
一、极小曲面的定义与性质极小曲面指的是在某一区域内的曲面，其表面积相对于该区域内其他曲面的表面积是最小的。
极小曲面在几何学中具备了许多重要的性质，其中最重要的一条是它的高斯曲率恒为零，即该曲面上任意一点的曲率只有沿垂直于该曲面的切平面方向存在，垂直于该曲面的方向上的曲率均为零。
此外，极小曲面还具备其他一些好的性质，比如对称性和稳定性，这些性质在曲面的研究中都有广泛的应用。
二、极小曲面方程的基本形式极小曲面方程是研究极小曲面的一个非常重要的数学工具，它的基本形式可以表示为如下的泊松方程：$$\Delta f=2Hf$$其中，$\Delta$表示拉普拉斯算子，$H$表示曲面上某一点处的平均曲率，$f$表示曲面的高度函数。
其中泊松方程的解可以使用各种数学方法求解，比如分离变量法、格林函数法、有限元方法等，但是这些方法都存在着一些问题，比如求解困难、计算量大等。
为了克服这些问题，后来的研究者提出了一系列新的求解方法和数学工具。
三、极小曲面方程的求解方法根据极小曲面方程的基本形式，可以采用不同的数学方法求解，其中最常用的方法是能量方法和最小曲面面积方法。
这些方法都主要基于曲面的微分几何性质和函数分析理论来计算方程的解。
1. 能量方法：能量方法主要利用了曲面的形状和能量密度之间的关系，可以采用最小化能量密度的方式来求解极小曲面方程。
其中最常用的能量密度为：$$E(f)=\frac{1}{2}\int_{\Omega} (\vertdf\vert^2+2Hf^2)d\Omega$$其中，$\vert df\vert^2$表示高度函数的梯度大小的平方，$H$表示曲面上任意一点处的平均曲率，$\Omega$表示曲面所在的区域。
第二章曲面上的高斯映照、第三基本形高斯曲率几何意义
第二章 曲面论第十三节 曲面上的高斯映射 高斯曲率的几何意义曲面的第三基本形式Gauss 映射曲面的Gauss 映射ϕ（或称为球面表示） 是曲面∑上的点到单位球面S 上点的映射 ，具体叙述如下。
定义 在曲面:(,)r r u v ∑=,的的任一点(,)P u v 处, 作出单位法向量(,)n u v ，并平行移动。
(,)n u v，使它的始点与原点O 重合，那么, n的终点就落到以O 为球心的单位球面S 上, 从而得到一点P ' , 我们称从∑到S 的这一映射:P P ϕ'→为曲面的高斯映射。
ϕ是把整个曲面映射到单位球面上的，曲面∑在球面上的象是S 上的一个点集σ。
若已知曲面∑的方程为(,)r r u v = ，那么, ∑在高斯映射下的球面象σ的方程为(,)n u v，即||||u vuv r r r r n r r ⨯⨯==⨯。
上式即为高斯映射的向量表示式。
例1 、求球面(sin cos ,sin sin ,cos )r a a a θϕθϕθ=的高斯映射下的球面象。
解(,,)(s in c o s ,s in s in ,c o s )x y zn a a aθϕθϕθ== 。
例2、 求正螺面(cos ,sin ,)r u v u v av =的高斯映射下的球面象。
解 (co s ,sin ,0)u r v v =， (sin ,cos ,)v r u v u v a =-， (sin ,cos ,)u v r r a v a v u ⨯=-，1(sin ,cos ,)||||u vu v r r n a v a v u r r ⨯==-⨯ 。
曲面与球面象的关系曲面∑的高斯映射不一定是∑上的点到单位球面S 上的点的一一映射。
例如 设∑是一柱面，其方程是0()r a s vb =+，()s r a s '=，0v r b = ，∑的球面象的方程为0()||||||()||s v s v r r a s b n r r a s b '⨯⨯==⨯'⨯，这是单位球面S 上一条曲线。
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念PPT优秀课件
将其z代 z(入 u,v)得z： z[u (x,y)v,(x,y)]z(x, y)
注 z即 r z (xr ,{ yx ),是 y ,z 曲 (x ,面 y )， 的(} x一 , y是种参特 数)殊 数 . 的 表参 示，
15
2.曲面的切平面和法线
v坐标曲线
v坐标直线
v
G
f
.
z
P(u0
C
, v0 )
x y
(ii)iJoc行 bi列 ((x u式 ,,vy))(u0,v0) u x
u y
0,
v v (u0,v0) 14
由反函数存在定理可知
，总 存(在 u0,v0)的 一 个 邻 V，域
在此邻域 V内， 方程组 ()有唯一一对连续可 反微 函的 数
u u( x, y) v v( x, y)
则 在 曲 S上面 必 定 能 找 P(u到 0,v0)的 过曲 点: 线 r r ( u 0 ( t t 0 ) v 0 ,( t t 0 )), 此 曲 线P在 (u0,点 v0)的 切 向 量 V.就 是
{ Tr Pu 称 ,r v}是 为曲S在 切 面T P 点 的 P处 空 的一 切 .间 空组 间，基
称为平面上的初等区域 .
y
如：
•
Ox
长方形内部 正方形内部 圆内部 椭圆内部
全平面
3
定义3（简单曲面） 平面 上的 初等 E3中 区的 域同 在胚 像称面 为 .
如： f
g
简单曲面
4
2.简单曲面的参数表示
v
G
f
.
(u, v )
O
u
z P(xu,vy),z) S
rr(u ,v)
人大微积分课件7-6曲面及其方程
曲面的方程
曲面的方程是描述曲面上的点满足某种条件的数学表达式。 对于给定的曲面，可以用方程来表示其上点的坐标满足的条 件。方程的形式取决于曲面的类型和形状。
例如，球面的方程为 (x^2 + y^2 + z^2 = r^2)，其中 (r) 是球的半径。平面方程如 (Ax + By + Cz + D = 0)，其中 (A, B, C, D) 是常数。
曲面的分类
曲面可以根据其形状和性质进行分类。常见的分类方式包 括根据曲面是否规则、是否封闭、是否具有对称性等。例 如，球面和锥面是规则曲面，平面和旋转曲面也是规则曲 面；而像马鞍面这样的曲面则是非规则曲面。
封闭曲面是指没有边界的曲面，如球面和圆环面；非封闭 曲面则有边界，如马鞍面和抛物面。对称曲面是指具有对 称性的曲面，如球面对称于其中心点，旋转曲面则绕某一 直线对称。
06
曲面的积分与微分
曲面的积分
曲面的面积
通过计算曲面在某一方向上的投影面 积，再乘以该方向的法向量模长，得 到曲面的面积。
曲面的线积分
在曲面上沿着某一路径进行积分，用 于计算诸如曲线长度、面积等几何量 。
Байду номын сангаас面的微分
要点一
曲面上的切线
通过曲面上某一点的切平面和法线，可以得到该点处的切 线。
要点二
人大微积分课件7-6曲面及其方程
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目录
• 曲面及其方程的基本概念 • 常见的曲面及其方程 • 曲面的几何性质 • 曲面的方程与图形 • 曲面的微积分性质 • 曲面的积分与微分
曲面论_二_Gauss_Bonnet公式陈省身_微积分及其应用_之第五讲
6
高等数学研究
2005 年 1 月
了。 因为你的曲面是 2 维的空间, 所以对于两个变数, 即曲面的参数 u, v, 你要对 u 求偏微分, 对 v 求 偏微分, 这里头有很多偏微分 , 而用外微分就简单多了。 但是他不采用外微分 , 这是很奇怪的事情。 Darboux 是发现一次外微分式的第一人 , 另一个是 Fro benius。 他们两人最早发现这个东西, 但是等 到应用到曲面研究的时候 , 不知道为什么, 他没有用。 也许是由于传统的关系 , 他写了外微分之后 , 谁都不懂 , 所以他也就不用外微分了。 我刚才讲了 , 在 1941 年, 我刚巧在昆明教这个课。 我很自然地想, 为什么不用外微分呢 ?所以 , 我就用外微分想法做 Darbo ux 所做的工作 , 或者说至少做曲面论和一些几何的讨论。 我采用外微 分, 因此我得到了一个很好的了解。 ( ) 曲面论基本内容的回顾 什么叫外微分呢 ?你发现曲面是一个 2 维的流形, 它在普通空间里是 2 维的 , 所以其上任意一 个点有两个变数 , 通常就叫做参数。 但是现在呢, 我们就叫它局部坐标 u, v 。 因此它的坐标是 2 个变 数的函数 , 所以是这个条件使它在每一点有一个切平面。 这个切平面当然很要紧 , 因为我们没有法 子研究复杂的图形。 我们只能研究最简单的如直线 , 平面这些东西。 切平面跟曲面有最密切的关系。 那么, 单说密切的关系不够, 一定要解析地解决更深刻的一些问题。有一个切平面。 这个切平面上 是 2 维的 , 于是其上每一点都有许多矢量, 也就是切矢量, 切矢量就是跟这个曲面相切的矢量。 因为 这个曲面是在 Euclid 空间里头 , 所以我可以讲这个矢量的长度。 为简单起见, 我限于讨论长度等于 1 的矢量 , 即单位矢量 , 所以有一圈单位切矢量。 跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量, 我们假 定它是取成单位的, 那么这个矢量我们叫做单位法适量。 要注意的是这里就有一个几何现象发生 了, 因为假使这个曲面弄平了的话 , 单位法矢量可以向上走 , 也可以向下走 , 换句话说, 这个曲面除 了是一个 2 维的流形之外 , 它还有一个定向: 在曲面上你是顺方向转 , 还是跟逆方向转, 这个转动是 很不一样的。 所以, 你要定怎么样子转动是顺方向 , 这就是要给曲面一个定向 , 定向有了之后 , 它的 单位法矢量就定了, 单位法矢量在这个方向可以向上走 , 也可以向下走。 定了一个之后, 这个曲面也 就定向了。 这是很重要的一个观念。 虽然相差的只是一个符号, 但是这是一个很重要的观念。 Mobius 是德国伟大的几何学家。 因为你要定向, M obius 发现有一些曲面不能定向, 这当然是 很有意思的一件事情。 你们大家都知道的这个图形 , 就是拿一张纸, 把它转一圈连起来的话, 就得到 所谓的 Mo bius 曲面 , 它没法子定向 , 这是几何上很有意思的一件事情。 那么我们假定曲面已经确定了一个方向。 有了这样定向的曲面后, 几何情况是怎么样的呢 ?由 单位法矢量 e3 , 其中 e3 是在 3 维空间, 你发现有一件事实, 就是说你单独讨论曲面不够, 你一定要利 用曲面上的单位切矢量, 我称之为 e1 。 这样我就有了一个标架, 它有了第一个单位矢量和第三个单 位矢量。 如果空间是定向的 , 第二个单位矢量 e2 = e3 e1 也就完全确定了。 所以我就有个单位标 架, 单位标架就是具有一定次序的三个单位矢量, 且它们之间是互相垂直的。 单位标架在几何研究中很重要 , 因为几何是根据运动群研究空间在运动之下不变的几何性质 , 而这运动群就是标架所成的空间。 有一个并且只有一个运动把一个标架变为其它的标架。 至于全体 的单位标架跟这个运动群的元素成一一对应, 而且对应保持拓扑和一切的性质, 所以运动群很要 紧。 空间的运动在解析的情况之下难以处理, 而有了标架之后 , 就可以处理了。 标架就是矢量 , 而矢 量一般是有 3 个分量的矢量, 而每一个分量是函数 , 就可以把它微分、 加、 减什么的。 矢量有加、 减的 运算 , 也有微分的运算。 在某种意义下, 还可以有积分的运算。 所以我现在就可以微分。 我研究曲面的时候, 不只一个标架 , 那么在曲面的每点, 这样的标架有多少呢? 假使你晓得 e 1 的话 , 同时这个曲面是定向的 , 这个标架就完全定了。 e 1 是什么呢 ?是这个曲面在这一点的单位切矢 量, 那么这个曲面有多少单位切矢量呢 ?每点有一圈在切平面上头等于单位矢量 , 而曲面是 2 维的 ,
线性代数与解析几何—曲面及其方程
例 求球面 x2 y2 z2 2rz 的球心及半径 .
解 x2 y2 (z r)2 r2.
P(x, y, z) r P(x0,y0,z0)
2、柱面及其方程
定义 在空间中，由平行于定直线并沿定曲线移动的一 族直线所形成的曲面称为柱面。
母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面： 已知yoz面上一条曲线C , 方程为 F(y, z) = 0, x=0, 曲线C 绕 z 轴 z : x y z 旋转一周就得一个旋转曲面.
0 01
设M1(0, y1`, z1)是C 上任意一点, 则有F( y1, z1) = 0
当 C 绕 z 轴旋转而M1随之转到 M (x, y, z)时, 有
x1 x0 y1 y0 z1 z0
且有
z
准线
F1(x1, y1, z 1)=0,
母线
M1
F2(x1, y1, z1)=0
消去参数x1,y1,z1得 三元方程
母线
M
F(x, y, z)=0
0
A
y
x
例1、求顶点在原点，准线为
x2 y2
a
2
b2
1
z c
的锥面的方程。
答： x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
例：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转
曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的
夹角 (0 ) 叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标
2 原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解 :应该先建立母线的方程
yoz 面上直线方程为
z y cot
计算机图形学究极题库---副本
名词解释：1．图形：能够在人们视觉系统中形成视觉印象的对象称为图形，包括自然景物和人工绘图。
2．像素图：点阵法列举图形中的所有点。
用点阵法描述的图形称为像素图。
3．参数图：参数法描述图形的形状参数和属性参数。
用参数法描述的图形称为参数图。
4．扫描线：在光栅扫描显示器中，电子枪扫过的一行称为一条扫描线。
5．构造实体几何表示法：用简单的实体(也称为体素)通过集合运算组合成所需的物体的方法称为构造实体几何表示法。
6．投影：投影是从高维〔物体〕空间到低维〔投影〕空间的一种映射。
7．参数向量方程：参数向量方程是包含参数和向量的方程。
8．自由曲线：形状比较复杂、不能用二次方程来表示的曲线称为自由曲线，通常以三次参数方程来表示9．曲线拟合：给定一个点列，用该点列来构造曲线的方法称为曲线拟合。
10．曲线插值：已知曲线上的一个点列，求曲线上的其他点的方法称为曲线插值。
11．区域填充：根据像素的属性值、边或顶点的简单描述，生成区域的过程称为区域填充。
12．扫描转换：在矢量图形中，多边形用顶点序列来表示，为了在光栅显示器或打印机等设备上显示多边形，必须把它转换为点阵表示。
这种转换称为扫描转换。
1、电脑图形学：用电脑建立、存储、处理某个对象的模型，并根据模型产生该对象图形输出的有关理论、方法与技术，称为电脑图形学。
2、电脑图形标准：电脑图形标准是指图形系统及其相关应用程序中各界面之间进行数据传送和通信的接口标准。
3、图形消隐：电脑为了反映真实的图形，把隐藏的部分从图中消除。
4、几何变换：几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一个算子，作用到图形一系列顶点的位置矢量，从而得到这些顶点在几何变换后的新的顶点序列，连接新的顶点序列即可得到变换后的图形。
5、计算几何：计算几何研究几何模型和数据处理的学科，讨论几何形体的电脑表示、分析和综合，研究如何方便灵活、有效地建立几何形体的数学模型以及在电脑中更好地存贮和管理这些模型数据。
6、裁剪：识别图形在指定区域内和区域外的部分的过程称为裁剪算法，简称裁剪。
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计算几何——曲面表示论及其应用
几何曲面表示论是几何学中的一个分支，它研究的是如何用数学模型来描述和表示曲面的形状和性质。
这种表示方法可以应用于多个领域，包括计算机图形学、计算机辅助设计、医学图像处理等。
在几何曲面表示论中，常用的方法包括参数化曲面表示、隐式曲面表示和面片片面表示。
参数化曲面表示是指通过参数方程来描述曲面的形状。
例如，可以用二维参数u、v表示三维空间中的曲面，其中每个点的
坐标可以通过参数u和v的函数来计算。
隐式曲面表示是指通过方程来表示曲面，其中方程的解即为曲面上的点。
例如，一条直线可以用方程ax + by + cz + d = 0来
表示，其中a、b、c和d是常数，表示直线的法向量和一个点。
面片片面表示是指将曲面划分为一个个小面片，并通过描述每个小面片的顶点坐标来表示整个曲面。
这种表示方法常常用于离散化处理和计算机图形学中的三角化。
几何曲面表示论的应用十分广泛。
在计算机图形学中，它可以用于建模和渲染三维物体，为计算机生成的图像赋予具体的形状和纹理。
在计算机辅助设计中，它可以用于建立实体模型和进行CAD设计。
在医学图像处理中，它可以用于对医学图像
进行分析和重建。
总的来说，几何曲面表示论是一个重要的数学工具，它使我们能够更好地理解和处理曲面的形状和性质，并在实际应用中发挥重要作用。