运筹学教案(胡运权版)

《绪论》（2课时）
【教学流程图】
举例引入，绪论
运筹学
运筹学与数学模型的基本概念管理学
课堂练习
课堂小结
布置作业
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（一）举例引入：（5分钟）
（1）齐王赛马的故事
（2）两个囚犯的故事
导入提问：什么叫运筹学？
（二）新课：
绪论
一、运筹学的基本概念
（用实例引入）
例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。

当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。

但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。

试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？
例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。

求双方的最优策略。

乙囚犯
抵赖坦白
甲囚犯抵赖-1，-1 -10，0
坦白0，-10 -8，-8
定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。

它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。

二、学习运筹学的方法
1、读懂教材上的文字；
2、多练习做题，多动脑筋思考；
3、作业8次；
4、考试；
5、EXCEL操作与手动操作结合。

二、学生练习（20分钟）
三、课堂小结（5分钟）
《线性规划及单纯形法》（2课时）
【教学流程图】
运筹学
运筹学与线性规划的基本概念线性规划
（结合例题讲解）线性规划的标准型
目标函数
结合例题讲解线性规划标准型的转化方法约束条件的右端常数
约束条件为不等式课堂练习
课堂小结
布置作业
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
第一章线性规划及单纯形法
第一节线性规划问题及其数学模型
（用实例引入）
例1-3美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种产品，现已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时数，及测试工序所需要的时间。

问该公司应制造两种家电各多少件时才能使获取的利润最大？
例1-4 有A、B、C三个工地，每天需要水泥各为17、18、15百袋。

为此甲、乙两个水泥厂每天各生产23百袋和27百袋水泥供应这三个工地。

其单位运价如下表，求最佳调运方案。

一、线性规划的基本概念
如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的整数、小数、分数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则称这种规划问题为线性规划。

二、将线性规划的普通型化为标准型
1、对于minZ=CX,可转化为min(-Z)=-CX ；
2、 当约束条件中出现i n in i i b x a x a x a ≤+++Λ2211时，在左边加上一
个“松弛变量”01≥+i x ，使不等式变为等式；当约束条件中出现i n in i i b x a x a x a ≥+++Λ2211时，则在左边减去一个“松弛变量”01≥+i x 。

3、 当某个决策变量0∠j x 或符号不限时，则增加两个决策变量
'j x 和''j x ，令'''j j j x x x -=；
4、 当约束条件中有常数项0∠i b 时，则在方程两边同乘以（-1）。

例1-5 将下列非标准4型线性规划问题转化为标准型。

解：
学生练习：P42习题1.2。

二、学生练习 （20分钟） 三、课堂小结（5分钟）
《线性规划的求解》（2课时）
【教学流程图】
以学生自学引入
图解法
线性规划求解方法介绍单纯形法
EXCEL规划求解法
坐标系
图解法的操作步骤求出可行域
平移目标函数直线
化为标准型
迭代法
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱
动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（一）举例引入：（5分钟）
复习中学数学中的图解法。

导入提问：线性规划图解法中有哪些基本概念？
（二）新课：
第二节图解法
一、图解法的步骤
（以学生自学引入）
学生自学P16-17，教师检查看不懂文字的学生，并做好记录。

提问：以P44的1.4题第1小题为例，图解法第一步是什么？以下逐步提出问题。

教师演示并总结如下：图解法适用于两个决策变量的线性规划非标准型。

步骤如下；
1、用决策变量建立直角坐标系；
2、对于每一个约束条件，先取等式画出直线，然后取一已知点
（一般取原点）的坐标代入该直线方程的左边，由其值是否
满足约束条件的不等号及该已知点的位置来判断它所在的
半平面是否为可行域。

3、令Z等于任一常数，画出目标函数的直线，平移该直线，直
至它与凸多边形可行域最右边的角点相切，切点坐标则为最
优解。

例1-5
解
可行解——满足约束条件的解，全部可行解的集合叫可行域。

最优解——使目标函数达到最大值的可行解。

基变量——利用矩阵的初等变换从约束条件的m×n(n>m)阶系数矩阵找出一个m×m阶单位子矩阵，它们对应的变量叫基变量，其余的叫非基变量。

矩阵的初等变换——将矩阵的一行同乘以一个数；将矩阵的一行同乘以一个数，再加到另外一行上去。

4.课堂小结（5分钟）
5.布置作业：要求学生完成P43习题1.3两个小题。

第四节《单纯法的计算步骤》（2课时）【教学流程图】
以学生自学引入
图解法
线性规划求解方法介绍单纯形法
EXCEL规划求解法
化为标准型
求出初始表
迭代法
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（二）举例引入：（5分钟）
复习中学数学中的图解法。

导入提问：线性规划图解法中有哪些基本概念？
（二）新课：
一、三个基本定理
可行解——满足约束条件的解，全部可行解的集合叫可行域。

最优解——使目标函数达到最大值的可行解。

基变量——利用矩阵的初等变换从约束条件的m×n(n>m)阶系数矩阵找出一个m×m阶单位子矩阵，它们对应的变量叫基变量，其余的叫非基变量。

矩阵的初等变换——将矩阵的一行同乘以一个数；将矩阵的一行同乘以一个数，再加到另外一行上去。

二、 单纯形表迭代法 教师先演示： 1、 化为标准型
2、 做出初始单纯形表，求出检验数；
3、 确定检验数中最大正数所在的列为主元列，选择主元列所对
应的非基变量为进基变量
4、 按最小比值原则，用常数列各数除以主元列相对应的正商
数，取其最小比值，该比值所在的行为主元行；主元列与主元行交叉的元素为主元，主元所对应的基变量为出基变量。

5、 对含常数列的增广矩阵用初等变换把主元变为1，主元所在
的列的其余元素化为0。

6、 计算检验数，直到全部检验数小于等于0，迭代终止。

基变
量对应的常数列为最优解，代入目标函数得最优目标函数值。

例1-6
解：先化为标准型：
s.t. 0
,,,,524
2615
50002max 543215214213254321≥=++=++=+++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z
其约束条件的系数增广矩阵为 0 5 1 0 0 15
6 2 0 1 0 24 1 1 0 0 1 5
初始始基可行解为：T
,0,0(
15
=，以此列出单纯形表如下。

,
X)5,
24
得：T
=，代入目标函数得：
,2/3,2/7(
X)0,0,0,2/
15
Z=2*7/2+1*3/2+15/2*0+0*0=17/2。

4.课堂小结（5分钟）
《单纯形法的进一步讨论》（2课时）
【教学流程图】
用实例引入人工变量法
初始单纯形表中无单位矩阵
人工变量法的例题讲解引入人工变量
在目标函数中引入大M
两阶段法用EXCEL求解中的困难
两阶段法的例题讲解第一阶段的模型
第二阶段的模型
课堂小结
布置作业
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（三）举例引入：（5分钟）
复习单纯形法。

导入提问：当初始单纯形表中不出现单位矩阵怎么办？
（二）新课：
第五节单纯形法的进一步讨论
（用实例引入人工变量法）
例1-7 用单纯形法求解下列线性规划问题：
解：将第二个约束条件化为等式（左边减去一个松弛变量）后，约束条件的系数矩阵不存在单位矩阵，这时可在约束条件第一、二等式的左边分别加上一个人工变量作为初始基变量，使之出现单位矩
阵。

为了使目标函数中的人工变量为0，令它们的系数为任意大的负值“-M”，然后采用一般单纯形表法求解。

所以最优解为：X=（45/7，4/7，0，0，0，0）
例1-8 对LP模型：
s.t. 0
1
252
652415min 31321323
21≥≥++≥+++=-y y y y y y y y y w
用两阶段法求解。

解：先分为标准型：
s.t. 0
1
252
60052415)max(717532164325
4321≥=+-++=+-+++---=--y y y y y y y y y y x y y y y w
对
s.t. 0
12526min 717532164327
6≥=+-++=+-++=-y y y y y y y y y y y y Z
使用单纯形法求解，化为标准型后，列出单纯形表并迭代如下
在上表中的最终表中除去人工变量76,y y 后，回归到原来的标准型：
s.t.
1
252
60052415)max(717532164325
4321≥=+-++=+-+++---=--y y y y y y y y y y x y y y y w
然后对该最终表继续使用单纯形法计算： 故T Y )0,0,2/1,4/1,0(= 1.15题分析：
令i=1,2,3代表A ，B ，C 三种商品，j=1,2,3代表前，中，后舱，
0≥ij x 代表装载于第j 舱位的第i 中商品的数量（件）。

1、目标函数为运费总收入：
2、约束条件： 前中后舱载重限制： 前中后舱体积限制： 三商品的数量限制： 舱体平衡条件：
前舱载重/中舱载重为：)15.01(3
2
568568)15.01(3
2322212312111+≤++++≤-x x x x x x
后舱载重/中舱载重为：)15.01(2
1
568568)15.01(21322212332313+≤++++≤-x x x x x x
前舱载重/后舱载重为：)10.01(3
4
568568)10.01(34332313312111+≤++++≤
-x x x x x x
上三式中，2000/3000=2/3，1500/3000=1/2，2000/1500=4/3。

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）
4.课堂小结与单纯形法小结（5分钟）
图1—9：强调当非基变量的检验数为零时，线性规划存在多重解。

5、布置作业二：1.15题
《线性规划的对偶理论》（2课时）
【教学流程图】
举例引入
对偶问题与原问题的结构特点
线性规划的对偶问题的基本概念对偶问题与原问题的解与单纯形表
线性规划的单纯形法求解实质
学生练习（结合例题讲解进行）
课堂小结
布置作业
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和
完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生 的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一 、教学过程：
（一）举例引入对偶问题的基本概念：（5分钟）
导入提问：线性规划的对偶问题与原问题的解是什么关系？ （二） 新课：
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题 回顾例1-3：
例1-3 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种产品，现已知各制造一件时分别占用的设备A 、B 的台时数，及测试工序所需要的时间。

问该公司应制造两种家电各多少件时才能使获取的利润最大？
解：设21x x 和为两种产品的产量，得线性规划问题：
现从另一角度提出问题：假定有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源？
设321,,y y y 分别为单位时间内设备A ，B 和调试工序的出让价格，
可见：
例1-6和例1-8分别用单纯形法和两阶段法可求得上述例题的原问题和其对偶问题的最终单纯形表如下：
从上两表看出两个问题变量之间的对应关系，同时看出只需求解其中一个问题，从最优解的单纯形表中同时得到另一个问题的最优解。

即原问题的最优解为：T X )0,0,0,2/3,2/7(=；其对偶问题的最优解为：
T Y )0,0,2/1,4/1,0(=。

对偶问题的基本性质
1、 若线性规划原问题（LP ）有最优解，其对偶问题（DP ）也有最优解；
2、 LP 的检验数的相反数对应于其DP 的一组基本解，其中第j 个决策变
量j x 的检验数的相反数对应于DP 第i 个剩余变量sj x 的解；LP 第i 个松弛变量si x 的检验数的相反数对应于其DP 的第i 个对偶变量i y 的解。

反之DP 的检验数对应于其LP 的一组基本解。

例1-9
解 加入松弛变量54,x x 后，单纯形表迭代为：
设对偶变量为1y 和2y ，剩余变量为3y ，4y ，5y ，由上性质，有
)11,0,0,2,2(),,,,(),,,,(3215454321=-----==λλλλλy y y y y Y 为对偶问题的基本解。

二、课堂练习（穿插在例题讲解过程中） 三、课堂小结（5分钟）
《影子价格》（2课时）
【教学流程图】
举例引入
线性规划影子价格基本概念
影子价格的实质
学生练习（结合例题讲解进行）
课堂小结
布置作业
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（二）举例引入影子价格的基本概念：（5分钟）
导入提问：什么是影子价格？
（二）新课：
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第三节 影子价格
对偶变量 的意义——代表在资源最优利用条件下对单位第 种资源的估价，这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价，为区别起见，称为影子价格（shadow price)。

z*=w*= Y*b=
∑=m
i i
i y
b 1
* （2.26）
对bi 求偏导数，得到：
**
i i
y b z =∂∂
（2.27）
即第i 种资源影子价格yi*是z*对资源数量bi 的变化率，是第i 种资源增加一个单位时，最大产值的改变量。

1．资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。

由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。

资源的影子价格实际上又是一种机会成本.
在纯市场经济条件下,当第2种资源（设备B ）的影子价格是0.25，当市场价格高于0.25时，可以卖出这种资源；
相反当市场价格低于影子价格时，就会买入这种资源。

随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。

一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，而对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价，这种估价直接涉及到资源的最有效利用。

《线性规划的对偶理论与对偶单纯形法》（2课时）【教学流程图】
举例引入
对偶问题与原问题的结构特点
线性规划的对偶问题的基本概念对偶问题与原问题的解与单纯形表
线性规划的单纯形法求解实质
初始表
对偶单纯形法计算步骤进基
出基
学生练习（结合例题讲解进行）
课堂小结
布置作业
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（三）举例引入对偶问题的基本概念：（5分钟）
导入提问：线性规划的对偶问题与原问题的解是什么关系？
（二）新课：
第四节对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的原理
LP与DP在求解迭代过程中有三种情形：
对于第二种情形用单纯形法求解，第三种情形用对偶单纯形法求解。

二、 对偶单纯形法求解过程 1、用实例引入： 例1-10
解 引入非负松弛变量053≥-y ，化为标准型；
将三个约束式两边分别乘以-1，得
最优解为：Y=(5/3,1/3,0,0,1)
3、总结对偶单纯形法求解过程：
由于用单纯形法求解极大化线性规划问题时，通过迭代直至所有检验数
λ≤0，这时所得最优基也是对偶问题的可行基，因此单纯形法的求解过程j
是：在保持原始可行（即常数列保持≥0）的前提下，通过迭代实现对偶可行（全部
λ≤0）。

j
换一个角度考虑线性规划的求解过程：能否在保持对偶可行（全部
λ≤
j 0）的前提下，通过迭代实现原始可行（即常数列保持≥0）？这就是对偶单纯形法的求解思路。

第一步：建立初始单纯形表，计算检验数行，当全部
λ≤0（非基变量
j
的
λ＜0）时，如果常数项≥0，即得最优解。

如常数项至少有一元素＜0，j
且检验数仍然非正，则转下一步。

第二步：将常数项＜0所在的约束条件两边同乘以-1，将常数列全变成非负，再使用原始单纯形法求解。

如果上述处理过程中出现原始可行基不再是单位矩阵，可适当增加人工变量构造人造基，再用大M法求解。

第三步：进行基变换
先确定出基变量：选取常数列中绝对值最小的负元素对应的基变量出基，相应行为主元行。

然后确定入基变量：由最小比值原则，选
'
''}0{
min ik
k
ij ij
j
i
a a a λλ=
≤所在的列为主元列。

这里j λ为第j 列的检验数，'
ij a 为j λ对
应的主元行中非基变量的系数。

主元行与主元列相交叉处的系数元素为主
元素'
ik a ，其对应的非基变量为换入基变量。

第四步：对主元素进行换基迭代后，用矩阵的初等变换将主元素变成1，并把主元列变成单位向量，得到新的单纯形表。

二、课堂练习（穿插在例题讲解过程中） 三、课堂小结（5分钟）
《灵敏度分析》（2课时）
【教学流程图】
举例引入灵敏度
灵敏度
线性规划灵敏度的基本概念分析灵敏度的方法
线性规划模型参数
C的变化
分析
j
b的变化
分析线性规划模型中参数的变化分析
j
x的分析
增加一个变量
j
学生练习（结合例题讲解进行）
课堂小结
布置作业
【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和
完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱
动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生
的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而
激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（四）举例引入对偶问题的基本概念：（5分钟）
导入提问：线性规划的对偶问题与原问题的解是什么关系？
（二）新课：
第五节灵敏度分析
一、灵敏度分析的基本概念与原理
由LP单纯形迭代法的基本原理：
将LP的标准型写成矩阵形式：
maxZ=CX
s.t. AX=b
X≥0
其约束条件的系数矩阵为A，加上人工基I（I为单位矩阵）以后，迭代过程实际上为：
（A∣I）→（I∣A）
3 -1 0
例1-11求矩阵A= -2 1 1 的逆矩阵。

2 -1 4
解 3 -1 0 1 0 0
-2 1 1 0 1 0
2 -1 4 0 0 1
2123,R R R R ++
1 0
1 1 1 0
= -2 1 1 0 1 0 0 0 5 0 1 1
1232,5
1
R R R + 1 0 1 1 1 0 = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 0 1/5 1/5
3231)3(,)1(R R R R -+-+ 1 0 0 1 4/5 -1/5 = 0 1 0 2 12/5 -5/3 0 0 1 0 1/5 1/3 再看美佳公司的LP 约束条件系数的初始表与最终表：
因此有：
目标函数的系数 B C N C 决策变量 B X N X
初始表中约束条件的系数 B N b 最优表约束条件的系数 B B 1- N B 1- b B 1- 最优表的检验数 B B C C B B 1-- N B C C B N 1--
由上表看出，目标函数中的决策变量的系数（又叫参数）变动时，只影响最优表中的检验数，因此只要对最优表继续使用单纯形表法，直至得到最优解为止。

二、 分析j C 的变化 例5-2 用教材上的例5。

将2,5.121==c c 代入原最优表中并继续迭代，得：
如果λ+=12c ，代入原最优表，得
解 044≤+-λ 和 02
2
≤--λ，得：13
≤≤-λ，故 213
≤+≤λ。

三、 分析i b 的变化
设初始表中的常数列为b,那么最优表中的常数列为b B 1-，现设初始表中
的常数列为b b ∆+，那么最优表中的常数列为b B b B b b B ∆+=∆+---1
11)(，也就
是当初始表中的常数列有增量b ∆时，那么最优表中的常数列有增量b B ∆-1。

例5-3 设美佳公司这一例中的单纯形表中的初始表中的常数列中有增量： 0
=∆b 8 ，设最优表中的常数列为'b ，那么其增量为： 0
1
5/4 -15/2 0 10 'b = 0 1/4 -1/2 8 = 2 0 -1/4 3/2 0 -2 用对偶单纯形法继续计算得： 四、 增加一个变量j x 的分析（采用教材第三版P66的分析步骤和P67的例
7。

二、课堂练习（穿插在例题讲解过程中） 三、课堂小结（5分钟）
《运输问题：表上作业法与规划求解法》（2课时）【教学流程图】
举例引入运输问题
产地
运输问题的基本概念销地
运价与运量
学生练习（结合例题讲解进行）
课堂小结
布置作业：要求学生完成习题中例7的表上作业计算。

【教学方法】
本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。

学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】
一、教学过程：
（一）举例引入运输问题的基本概念：（5分钟）
导入提问：线性规划在管理实践中有哪些应用？
（二）新课：
第三章运输问题
第一节运输问题及其数学模型
一、引入P82的例1
二、运输问题的数学模型及其特点
运输问题的数学模型具有下述特点：
1、约束条件系数矩阵的元素为0或1；
2、约束条件系数矩阵的每一列有两个元素，这对应于每一个元素在前m个约束条件中出现一次，在后n个约束条件中出现一次；
3、对于产销平衡运输问题，所有约束条件都有是等式约束，各产地产量之和等于各销地销量之和。

运输问题的解
初始基可行解的确定应本着下列原则。