拉姆齐模型
拉姆齐模型
第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）
一、问题的提出
在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。
当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响
c c gol
d 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分
析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定
1．完全竞争市场结构
2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）
3．家庭和个人完全同质
4．忽略资本的折旧
5．暂不考虑政府行为
在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：
三、厂商行为。
拉姆齐模型
拉姆齐模型拉姆齐模型是一种用于分析企业资本结构和债务重组的理论模型。
拉姆齐模型以名字命名，是由经济学家弗兰克·拉姆齐（Frank P. Ramsey）在20世纪30年代提出的。
该模型用于探讨企业在决定自己的资本结构时所面临的权衡问题，帮助企业制定最佳的债务比例。
背景资本结构是指企业所采用的资本来源和组织方式。
一般来说，企业可以通过两种方式筹集资金：通过债务融资和通过股权融资。
债务融资指的是企业通过发行债券或贷款等方式借入资金，而股权融资则是通过发行股票或吸引投资者购买股权来筹集资金。
企业的资本结构选择对其经营和财务状况有着重要的影响。
合理的资本结构可以降低企业的融资成本、提高税务效益，并平衡利益相关者之间的关系。
这就引出了拉姆齐模型。
模型解释拉姆齐模型首先假设企业的资本结构通过对债务与股权的选择进行优化来实现最大化价值的目标。
在这个模型中，企业的价值受到利润、税收、资本结构和风险等多个因素的影响。
模型中最基本的假设是，企业的资本结构会影响其成本和价值。
企业选择债务的比例是为了最大化净利润，同时平衡税务和金融风险。
根据拉姆齐模型的理论，债务的选择可以通过计算企业的债务税盾等参数来进行。
债务税盾是指企业由于债务利息的抵扣而减少应纳税额的优势。
在拉姆齐模型中，债务税盾会对企业的价值产生积极的影响，因为它减少了企业的纳税额，提高了净现金流。
此外，模型还考虑了资本结构对企业风险的影响。
债务融资可以增加企业财务风险，因为债务必须偿还，而股权融资则可以减少财务风险，因为股票的回报没有偿还压力。
因此，企业需要权衡风险与税盾所带来的优势，以确定最佳的资本结构。
实践应用拉姆齐模型的应用可以帮助企业确定最佳的资本结构，以实现最大化的价值。
通过分析债务税盾和风险影响，企业可以选择适合自己的债务比例，从而降低融资成本，改善财务状况。
在实际应用中，企业可以通过以下步骤使用拉姆齐模型：1.确定企业的利润和税务情况。
拉姆齐模型1-2
第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。
当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响c c gold 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：三、厂商行为沿用新古典生产函数),(AL K F Y = 根据欧拉定理，AL AL Y K K Y Y )(∂∂+∂∂=其中，资本的边际产品为：r k f KY==∂∂)('（真实利率） 有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y=-=∂∂)(')()(（工资率）四、家庭行为1.一些假定和符号总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。
2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：dt HL t C u dt H t L t C u U o t tn o t te e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(∙u 为即期效用函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。
拉姆齐模型第一部分
5拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型几个重要关系：● 收入由生产函数决定：(),Y F K AL = ● 收入＝消费＋储蓄：YC S =+● 在均衡中，储蓄＝投资：SI =● 在没有折旧、人口增长和技术进步时，资本存量的增长＝投资：K I ∆=●()()0ntL t L e =，人口，资本，效用等都以指数形式增长。
Ramsey模型的基本思想：国民收入()Y F K AL=。
所以经济增长决定于资本存量K、人,口L和劳动有效性A的增长。
在Solow和Ramsey增长模型中，人口L和劳动有效性A的增长率外生给定。
因此，必须研究经济增长与资本存量增长之间的关系。
资本存量的变化源于投资，投资形成于储蓄，所以，储蓄率影响资本存量的变化并进而影响经济增长。
在Solow模型中，储蓄率为外生变量。
但是在Ramsey模型中为内生变量，我们必须分析决定储蓄率的机制。
国民产出（收入）分为消费和储蓄两部分。
所以，分析储蓄必须分析消费。
家庭的消费行为是在生命周期收入约束下使其效用最大。
最优储蓄规模＝投资经济增长分析步骤：1、确定家庭的效用函数2、确定家庭的预算约束 3、 确定最优消费数量 4、 确定最优投资 5、 6、5.1假定1、消费者的行为：在预算约束下（支出小于禀赋）最大化效用函数：()max ..u s t y≤x px离散时间下消费者的效用函数：消费者生存n 个时期，n →∞，在时期t ，消费t C ，获得效用()()u C t ，该效用贴现值为()()t e uC t ρ-。
ρ为贴现率，总效用为()()ntt eu C t ρ-=∑或()()tt eu C t ρ∞-=∑ 连续时间下消费者的效用函数：()()0te u C t dt ρ∞-⎰teρ-：()()u C t ：()C t ：个人在时点t消费的数量人口数量：()0L ()L t ：()()0ntLt e L =家庭数量：()()0H H t H ==（有人口出生但是没有新的婚姻） 家庭的人口数量：()0L H()L t H ()()0ntL t L e H H=家庭效用函数：()()()()()()()()()()()()()00000,ttn t t e u C t dt e u C t dt L e u C t dt H L e u C t dt n H ρρρρρρ∞-∞-∞--∞'-=='==-⎰⎰⎰⎰nt L t H L 0e H瞬时效用函数的形式：()()()1,01C t u C t θθθ-=>-)1(>---g n θρ相对风险厌恶系数为()()u C Cu C ''-' 这里，相对风险厌恶系数固定为θ，因此称为“相对风险厌恶系数固定”的效用函数。
2-拉姆齐模型
七、修正的黄金资本存量
定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于索洛模
型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金资本存量”。
定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡增
长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化的
家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*<k(gold)。
定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路径，而
是收敛于一个较低的水平c*。
【证明】c*<c(gold)的前提是，它表明贴现率较高，家庭和个人更
重视现期消费，而不是未来消费。
图示（在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响）：
c(gold)
c*
c0
c0
t
t
s较大的提高
s较小的提高
思考：在动态转移过程中ρ、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么？ 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。
九、基本结论
1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结 论。
2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于 后者特殊的参数和稳态。
3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基 础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资 本存量，因此c和k是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决定被内生 化了。
六、平衡增长路径
均衡点E(c*,k*)的解为： 因此模型中的各个变量的长期变动如下：
变量
含义
平衡增长速度
K
资本存量
n+g
绝 对
简答什么是拉姆齐模型
简答什么是拉姆齐模型
简单来说，拉姆齐模型与索罗模型不同，拉姆齐模型是研究在任何情况下，国民产出有多少应该分配给消费从而产生当前的效用，又有多少国民产出应该分配给储蓄并进而投资以提高未来的产出和消费，从而产生未来的效用。
与新古典增长模型或者说索罗模型不同，因为在新古典增长模型中，储蓄率是被假定为一个外生参数，并没有说明其是如何决定的。
对此，拉姆齐模型引入了消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，从而将储蓄这个参数内生化了。
拉姆齐模型的基本假定主要是：
1）市场是完全竞争的；
2）家庭是不断延续的；
3）家庭和个人是完全同质的；
4）忽略了资本折旧；
5）不考虑政府行为。
拉姆齐模型研究的结论可归结为以下几点：
第一，拉姆齐模型并没有改变新古典增长模型关于经济平衡增长路径的基本结论。
第二，在对应于拉姆齐模型中的参数稳态下，新古典增长模型可以看作是拉姆齐模型的一个特例。
第三，拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为
的微观基础出发决定稳态的消费和储蓄，从厂商的微观基础出发决定稳态的资本存量，所以消费和储蓄是同时决定的。
在这个过程中，储蓄的决定被内生化了。
第四，拉姆齐模型避免了新古典增长模型中的无效的过度资本积累。
第五，拉姆齐模型中的任意初始状态不一定会收敛到稳态，会存在发散的情况，而新古典增长模型则不会。
拉姆齐模型(RCK)与世代交替模型的异同
拉姆齐模型与世代交替模型的异同一、拉姆齐模型与世代交替模型的相同点拉姆齐模型（又称RCK 模型）与世代交替模型（又称Diamond 模型）都是现代经济增长理论的基准分析模型。
两个模型的主要相同点在于：第一，在这两种基准模型的一般均衡分析框架下，宏观层面的经济增长都具备了各个经济主体追求利益最大化的微观基础，这就使得经济学家能够在动态时间视角以及资源跨期最优配置的设定下对宏观经济增长进行更为深入的研究。
第二，两个模型均放弃了储蓄率外生给定的假设而通过家庭的效用最大化行为，将储蓄率表示为资本存量的函数，以便分析储蓄率的变动情况。
第三，两个模型在求解经济体一般均衡的结果时，都从市场竞争以及中央计划者配置（社会性最优）两个角度审视相应最优化结果是否具有一致性，从而比较并分析市场机制与计划手段的社会福利情况。
第四，两个模型的一般均衡结果中，人均资本存量以及人均消费量（以效率劳动的角度衡量）在长期内的增长率均为零，不存在持续性的增长机制。
二、拉姆齐模型与世代交替模型的区别从两个模型形式上的区别来看，经典的拉姆齐模型假设经济体中个人的寿命是无限的，因此对于家庭效用函数的构建以及效用最大化问题的讨论便从数理角度转化为了无限期连续型最优控制问题；而经典的世代交替模型假设经济体中个人的寿命是有限的，将人的一生简单划分为青年和老年两个阶段，青年阶段通过投入自身要素禀赋获得相应收入并消费，老年阶段则消费青年阶段的储蓄量，经济体每一期都存在着青年人出生、老年人死亡、上一期青年人变成老年人的迭代，因此对于消费者效用最大化行为的刻划便从数理角度转化为了跨期的非线性规划问题。
除了这种形式上的区别之外，两类模型还存在如下两点本质性的差异： 第一，竞争性均衡与社会性最优的关系。
在经典的拉姆齐模型中，竞争性均衡与社会性最优的结果是一致的。
首先考虑社会性最优的情形（计划增长模型），假设存在一个代表经济体中全部民众的善意计划者（中央政府）在既定资源约束下选择最优消费与资本增长路径使得家庭消费效用最大化，则最优选择问题可以表示为如下最优控制问题：0(,)0max :(())..:(),(0)t c k U c t e dt s t k f k c nk k k θ∞-=--=⎰解该最优控制问题，得到家庭最优消费路径为：(())c k cc U c f k n c U cθ=--- 接下来考虑竞争性均衡（分散化决策）的情形。
拉姆齐模型的主要结论
拉姆齐模型的主要结论
拉姆齐模型，又称拉姆齐-拉米哈模型，是当代生物信息学领域中一种非常重要且被广泛使用的基因表达预测模型。
该模型的核心思想是利用RNA结合蛋白（RBP）相互作用来预测基因表达。
拉姆齐模型由多个步骤组成，包括：1）基因筛选2）RP结合3）RP解离4）基因表达5）蛋白质检测。
拉姆齐模型的主要优点在于其高度的预测准确性。
与传统的基因表达预测方法相比，拉姆齐模型在预测基因表达方面具有更好的表现。
此外，该模型还具有较好的可扩展性，可以处理大规模数据。
除此之外，拉姆齐模型还具有其他优点，如易于计算，并且可以与其他生物信息学方法相结合。
然而，拉姆齐模型也存在一些局限性。
首先，该模型主要适用于预测编码蛋白质的基因表达。
对于其他类型的基因表达，如RNA预测、代谢网络预测等，拉姆齐模型可能无法获得同样的预测准确。
其次，拉姆齐模型的预测结果可能受到RP结合物的选择性影响。
因
此，在进行基因表达预测时，需要进行严格的实验验证，以确保结果的可靠性。
尽管如此，拉姆齐模型在基因表达预测中仍然具有广泛的应用。
该模型可以用于研究基因功能、基因表达调控、基因敲除等研究领域。
此外，随着生物信息学技术的不断发展，拉姆齐模型也在不断更新，以更好地满足新的研究需求。
总之，拉姆齐模型是一种非常有价值的基因表达预测工具。
它的主要优点在于高度的预测准确性和较好的可扩展性。
然而，也存在一些局限性，需要根据具体需求进行选择。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐卡斯库普曼斯模型(2024)
2024/1/27
5
跨期选择与最优化原理
跨期选择
消费者需要在不同时间点之间进行权衡，以最大化 其一生中的总效用。这涉及到对当前消费和未来消 费的权衡取舍。
最优化原理
在给定约束条件下，消费者通过选择最优的消费和 储蓄路径来实现效用最大化。这要求消费者在每一 时点上根据边际效用和预期未来收益进行决策。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐卡斯 库普曼斯模型
2024/1/27
1
目录
2024/1/27
• 模型背景与基本概念 • 模型构建与假设条件 • 动态规划与最优控制方法 • 模型拓展与应用举例 • 模型评价与现实意义 • 相关研究领域前沿动态
2
01
模型背景与基本概念
Chapter
2024/1/27
3
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型简介
2024/1/27
17
应用举例：经济增长、社会福利等
经济增长
通过技术进步、人力资本积累等途径提高潜在增长率
社会福利
优化收入分配、提高公共服务水平等提升社会福利水 平
政策评估
分析政策效果及可持续性，为政策制定提供理论依据
2024/1/27
18
05
模型评价与现实意义
Chapter
2024/1/27
19
对投资决策的影响
预防性储蓄动机增强，消 费平滑化
对消费行为的影响
未来生产率、政策变动、 市场需求等
不确定性来源
2024/1/27
16
考虑政府行为的拓展模型
01
政府支出与税收
直接影响总需求与资源配置
02
社会保障制度
改变居民预期，影响消费与储蓄 行为
拉姆齐模型(第一部分)
(k ) − kf ′(k )
32
δ F ( K , AL ) r= = f ′( k ) δK δ F ( K , AL ) W= δL δ F ( K , AL ) δ AL δ F ( K , AL ) = =A δ AL δL δ AL
33
厂商目标：利润最大化 厂商目标： max π = F ( K , AL ) − WL − rK
8
一、模型的基本假定
厂商 大量厂商， 大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同 的生产函数Y=F(K,AL) ； 要素市场、产品市场都是完全竞争的； 要素市场、产品市场都是完全竞争的； A外生以速率 增长； 外生以速率g增长 外生以速率 增长； 厂商追求最大化利润。 厂商追求最大化利润。
9
一、模型的基本假定
w(t ) = f (k (t )) − k (t ) f ′(k (t ))
35
没有新家庭，长生不老， 按不变增长率 n 增长：在 t 时期有 L(t ) / H 个成员， 即 L(0)e nt / H
家庭（ 家庭（H 个）
每个家庭在 0 时期有 L(0) / H 个成员
储蓄
作出储蓄—消费决策 作出储蓄 消费决策
U = ∫ e u(C(t))
0
∞
−ρt
L(t ) H (t )
dt
11
C (t )是每个人的消费 L(t )是经济体中的总人口 H是经济中的家庭数 L / H是每个家庭中的人口 u[C (t )]L(t ) / H是t时刻家庭的总瞬时效用
Hale Waihona Puke ρ是时间偏好率，表示获得效用越晚价值 越低，ρ越大，则相对于现期消费，家庭对
'
边际效用变动的百分比（边际效用的变动率） = =θ 消费变动的百分比（消费的变动率）
拉姆齐模型的详细推导
拉姆齐模型的详细推导拉姆齐模型（Ramsey model）是一种用来研究经济增长和储蓄决策的动态经济模型。
它由经济学家弗兰克·拉姆齐（Frank Ramsey）于1928年提出。
拉姆齐模型的基本假设是在一个无限时间段内，个体的目标是最大化消费效用的总和。
模型中的主要变量包括消费（C），资本（K）和劳动（L）。
模型的核心是通过设立动态规划问题来推导最优的消费和储蓄决策规则。
下面是拉姆齐模型的详细推导过程：1. 假设：-整个经济的生产函数为Y = F(K, L)，其中Y为产出，K为资本，L为劳动。
-消费者的效用函数为U(C)，其中C为消费。
-劳动力的增长率为n，资本的折旧率为δ。
-时间折现率为ρ（消费者对未来收益的偏好程度）。
-模型是一个无期限模型，没有考虑人口增长和技术进步。
2. 确定个体的动态规划问题：-消费者的目标是最大化消费效用的总和，即max [∫[0,∞] U(C(t))e^(-ρt)dt]-消费者面临的约束条件为C(t) + K(t+1) = F(K(t), L(t)) + (1-δ)K(t)，即消费和资本投资的总和等于产出和资本折旧的总和。
3. 利用欧拉方程推导消费决策规则：-求解拉格朗日函数：J = ∫[0,∞] U(C(t))e^(-ρt)dt + λ[∫[0,∞] {F(K(t), L(t)) - C(t) - K(t+1) + (1-δ)K(t)}dt]-通过求极值问题，得到欧拉方程：U'(C(t)) = U'(C(t+1))(F'(K(t+1), L(t+1)) -δ)-将欧拉方程整理为消费决策规则：C(t) = (1/ρ)(1+n+g)F(K(t), L(t)) - (1/ρ)(1+n+g-δ)K(t+1)，其中g为人口增长率。
4. 确定资本积累规律：-将消费决策规则代入约束条件，得到资本积累规律：K(t+1) = (1/ρ)(1+n+g)F(K(t), L(t)) - C(t)，即现期资本等于当期产出减去消费。
拉姆齐卡斯库普曼模型
劳动力
知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资本
人均资本
有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
储蓄率
s=(y-c)/y
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
结论： 将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路 径的描述。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依 然是人均产出持续增长的唯一根源。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
R(t )
r( ) d
0
t
这意味着时刻0的1单位资本，在到达时刻t时变成为 e R(t ) 个单位的资本。等价地说，未来t时刻的一元钱的价值(即 R (t ) 现值)是 e 。所以R(t)就是未来价值向当前的贴现率。
0
*
f k f k *
c
c0 c0
*
0
高级经济学Ⅰ（宏观部分） k
当 k k 时， f k f k c 0 当 k k 时， f k f k c 0
第三讲 拉姆齐模型
2.家庭的资产和债务
记t时刻家庭拥有的总资产为A(t)。这里A(t) 可以为正的，也可以为负的。当A(t)为正时表明 此时家庭拥有正的资产;反之，A(t)表示家庭的负 债。假设在完全竞争条件下，市场上的资本回报 率(即利率)为r(t)。这样家庭所拥有的资产在t时 刻可以带来的收益为A(t)r(t) 。如果A(t)为负， A(t)r(t) 表示此时家庭必须付的债务利息。同时， 假设家庭可以为社会提供劳动力，得到工资回报。 假设在t时刻的工资率（人均工资）为w(t)，家庭 提供的劳动力为L(t)。这样，家庭通过劳动得到 的收益为w(t)L(t)。因此，在t时刻家庭的总收入 为r(t)A(t)+w(t)L(t)。
t
该横截性条件表明,当时间趋向于无穷远时,家庭人均 资产的效用 t a t 必须趋向于0, 即无穷远时间的资产 在现在看来毫无价值.
H r n / r n , 方程两边对时间 : 0 t积分, a
得:(t)= 0 exp r v n dv , v 0 是一常数,v 0 u c(0) . 0
t
将上式代入 lim t a (t ) 0, 则横截性条件变为: t r v n dv 0该式意味着:长期人均资产a不能 lim a t exp 0 t 以r-n那么快的速度增长,否则家庭不能实现效用最大化.如a的增长 速度超过r-n,那么多出来的那一部分用于消费,家庭人均福利能够提高. 消费函数 : 上述方程中的 : exp r v dv 项是将时刻t的一单位收入转化为0时刻的
第二个限制条件是 :
t r v n dv 0 lim a t exp 0 t 即时间的无限推移,人均净资产的"贴现值"渐进非负, 这说明人均净资产的净贴现值 由r t n决定 不能为负, 否则,在未来远期的某一时刻,家庭将会停止投资. 也可反过来说,一个家庭的长期人均债务的增长速度不能 超过r t n, 否则收益将为负. 现在, 家庭的最优消费问题变为,在预算约束: t r v n dv 0和 lim a t exp 0 t a w t r t a t c t na t 下 求解 : U
第五章-拉姆齐模型.
第一节 拉姆齐问题
家庭效用函数（续）
瞬时效用函数可以采取如下的形式：
C t u C t 0, n 1 g 0 （5-2） 1
1
这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是 著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险 Cu '' C 厌恶系数(它被定义为 )是θ，它独立于C。 ' u C
'
。由于市场是
竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实
报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在t时刻，真实利率为：
r t f k t （5-3）
'
第一节 拉姆齐问题
厂商行为（续）
劳动的边际产品为
F K , AL L
，它也等于 AF K , AL 。根据
1
A t c t 1
1
gt A 0 e c t 1 1 1
1
1 gt
L 0 t 1 gt nt c t =A 0 e e e dt 0 H 1 1 t c t B e dt （5-12） 0 1 L 0 1 上式中，B A 0 , n 1 g
R t K 0 Lt e W t C t dt 0 （5-7） 0 H H
我们可以写出从t＝0到t=∞的积分形式作为一种极限。这样，
式(5-7)就等价于：
s R t K 0 Lt lim[ e W t C t dt] 0 （5-8） 0 s H H
1
U e t
0
拉姆齐（Ramsey）模型的详细推导
拉姆齐（Ramsey）模型的详细推导弗兰克·拉姆齐(英国著名科学家）弗兰克·拉姆齐（Frank Plumpton Ramsey)，1903年2月22日—1930年1月19日），英国科学家、数学家、哲学家、逻辑学家、经济学家，在他短促的一生中对许多领域做出开拓性的贡献。
弗兰克·拉姆齐（Frank Plumpton Ramsey,1903.2.22 - 1930.1.19）生于剑桥，其父亲是麦格达伦学院的校长，其弟弟迈克尔·拉姆齐是第100任坎特伯里大主教。
拉姆齐于温切斯特公学学习，后来进入剑桥大学三一学院学习数学。
他涉猎了很多领域。
在政治上，他有左翼的倾向；宗教上，其妻指他是个态度坚定的无神论者。
他和查尔斯·凯·奥格顿聊天时，说他想学德语。
奥格顿便给他一本文法书、字典和一篇深奥的心理学论文并告诉他：使用那本文法书和字典，告诉我们你的想法。
约一星期后，他不止学会了德语，还对语法书中一些理论提出了反对意见。
他阅读了维根斯坦的Tractatus Logico-Philosophicus。
这本书深深影响了他，1923年他去奥地利跟维根斯坦讨论。
1924年21岁的他成为国王学院的研究员。
拉姆齐为治疗慢性肝疾而接受腹部手术，但术后并发黄疸，于1930年1月19日病逝于伦敦盖氏医院（Guy's Hospital），得年仅26岁又11个月。
有些哲学家将他视为可能比维根斯坦更伟大的哲学家。
一些重要贡献：哲学：真理的多余理论组合数学：拉姆齐定理经济学：拉姆齐定价拉姆齐(Ramsey)模型为现代宏观经济分析最有力的工具之一。
弗兰克·拉姆齐是英国剑桥大学的数学家和逻辑学家，1928年12月，他在[经济学杂志]上发表了[储蓄的数学原理]一文，建立了拉姆齐模型。
该模型在确定性的条件下，分析最优经济增长，推导满足最优路径的跨时条件，阐述了动态非货币均衡模型中的消费和资本积累原理。
第三讲 拉姆齐模型
回顾：黄金分割律、最优消费和黄金率 资本存量水平
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数， 储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人 均消费水平。当 s sgold 时，与最优储蓄（相对应 于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度 储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于 s sgold 黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当
三、厂商行为
四、家庭行为
定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：
U
t o
1. 家庭效用函数
u[c(t )]e dt
nt t o
e
t
e
( n )t
u[c(t )]dt
n说明子女越多，父母对每个子女福利的重视程度就会越小，
即父母会加速对不断增多子女的"轻视"程度.
应用L求极值法,求出C1和C2,代入 得
u '(C ) .同理我们可证明一个两期效用函数 : u ''(C )C
1 1 C1 1 C2 u '(C ) U 的 . 1 1 1 u ''(C )C
将u '(C ) C , u ''(C ) C
时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权 衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
f(k)
E
二、模型假定
• 1．完全竞争市场结构 • 2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命 的个人和基于利他主义的代际转让） • 3．家庭和个人完全同质 • 4．忽略资本的折旧 • 5．暂不考虑政府行为
在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：
家庭收入除用来消费外，其余的用来储蓄以增加资产。记t时刻家庭的总的消费水平为C t ， 这样家庭的预算约束可以表示为: A t w t L t r t A t C t 定义a t A t / L t 为t时刻家庭拥有的人均资产,c t C t / L t 为和t时刻家庭的人均消费, 并且L的增长率为n,这样方程:a t A t / L t 两边对t求导,并将 A t w t L t r t A t C t 代入得 : a w t r t a t c t na t na t 表示人口按n速率增长时使家庭人均资产保持原有水平必须追加的投资或储蓄.
拉姆齐模型
第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。
当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响c c gold 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：三、厂商行为沿用新古典生产函数),(AL K F Y = 根据欧拉定理，AL AL Y K K Y Y )(∂∂+∂∂=其中，资本的边际产品为：r k f KY==∂∂)('（真实利率） 有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y=-=∂∂)(')()(（工资率）四、家庭行为1.一些假定和符号总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。
2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：dt HL t C u dt H t L t C u U o t tn o t te e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(∙u 为即期效用函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。
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拉姆齐模型
家庭行为：
总人口：L 人口增长率：n 家庭数量：H 家庭初始资本量：K （0）/H
家庭效用函数：
()[]()dt H
t L t C u e
U t t
⎰
∞
=-=0
ρ （1）
C （t ）：t 时刻家庭每个成员的消费 u ：瞬时效用函数，L （t ）/H ：家庭成员数 ρ：贴现率
瞬时效用函数（相对风险厌恶不变的函数（CRRA ））：
()()()θ
θ
-=
-11t C t C u θ＞0，ρ-n-（1-θ）g ＞0 （2） 相对风险厌恶的系数：
()()θ=-C u C Cu '/'
'
厂商行为：
厂商生产函数：Y=F （K ，AL ） A 以速率g 外生的增长
资本的边际产品：)(/),('k f K AL K F =∂∂，()∙f 是生产函数的紧致形式 市场竞争性的，不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，即真
实利率为：
()()()t k f t r '=
有效劳动的边际产品：()AL AL K F ∂∂/,=()()()())('t k f t k t k f -，
即等于每单位有效劳动的工资：w(t)=
()()()())('t k f t k t k f - （3）
家庭预算约束：
家庭的终生消费的贴现值不能超过其初始财富与其终生劳动收入的现值之和 考虑r 可随时间变化，定义()()τττ
d r t R t
⎰==
(4)
在0时刻投资一单位产出品，在t 时刻获得产品()t R e
在t 时刻的一单位产品的价值用0时刻的产出表示为()
t R e
-
每个家庭成员数：L （t ）/H
t 时刻的劳动总收入是W （t ）L （t ）/H t 时刻的消费支出是C （t ）L （t ）/H 家庭初始资本：K （0）/H
家庭预算约束：
()
()()()()()()⎰⎰∞=-∞
=-+≤0
0t t R t t R dt H t L t W e H K dt H t L t C e
(5) 我们可以用家庭的资本持有量的极限形式表示预算约束
将（5）式各项移到右边，化简得：()()()()[]()⎰∞
=-≥-+0
00t t R dt H t L t C t W e H K （6）
我们可以写出从t=0到t=∞的及积分形式作为一种极限，（6）式等价于：
()()
()()[]()00lim 0≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎰=-∞→s
t t R s dt H t L t C t W e H K （7）
家庭最大化问题：
考虑到技术进步，c （t ）为有效劳动的消费
()()gt e A t A 0=，()()()t c t A t C =,()()()()H L A k K /0000=
由（2）式：
()()()()()[]()[]()
()
()()θ
θ
θ
θθ
θθ
θ
θ
θ
θ
-=-=
-=
-=-------1010111111111t c e A t c e A t c t A t C t C u gt gt （8）
将（8）式代入（1）得： a ．家庭效用函数：
()()()()()()()
()()()()dt t c e B
dt t c e e H L A dt H e L t c e A e
dt H
t L t C e
U t t
t gt t nt t gt t
t t
⎰
⎰⎰
⎰
∞
=--∞
=----∞
=----∞
=---=-=⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-=
-=
10
1110
1110
111000101θ
θ
θθ
θ
βθ
θρθ
θ
θθρθ
ρ （9）
其中，()()H L A B /001θ
-=，()g n θρβ---=1
b ．家庭预算约束
()()()()()()()()
()()()⎰⎰∞
=-∞
=-+≤0
0000t t R t t R dt H t L t A t w e H L A k dt H t L t A t c e （10）
其中，家庭的有效劳动数量是A （t ）L （t ）/H ，A （t ）L （t ）等于
()()()t g n e L A +00 （11）
将（11）代入（10）得到：
()()()()()()()⎰
⎰
∞
=+-∞
=+-+≤0
00t t
g n t R t t g n t R dt e t w e k dt e t c e （12） 求家庭最大化，由（9）和（12）式构造拉格朗日函数：
()()()()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=Φ⎰⎰⎰∞=∞
=+-+-∞
=--000101t t t
g n t R t g n t R t t dt t c e e dt t w e e k dt t c e B λθθβ （13）
其中，()g n θρβ---=1
在时刻t ，家庭消费c （t ），对于每一个c （t ），一阶条件是：
()
()()t g n t R t
e e t c Be
+---=λθ
β （14）
对（14）式两边取对数：
()()()()()t g n d r t g n t R t c t B t
++-=++-=--⎰=0
ln ln ln ln τττλλθβ （15）
利用了()()τττ
d r t R t
⎰==
两边求关于t 的导数：
()()
()()g n t r t c t c ++-=--∙
θ
β （16） 由（16）式得到：
()()()()θ
θρθβg
t r g n t r t c t c --=---=∙
（17）
利用了()g n θρβ---=1的定义。