四边形拓展—中点应用

四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．BB例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．EA四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．ABE1ADABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBD BAFE MABCDM4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。

M 为CD 的中点，求证：MB ME =．H 7．以三角形ABC 的边AB ，AC 为边分别向外作正方形ABEF 和ACGH ，联结FH ， （1）如图1，作ABC ∆中BC 边上的中线AD ，求证：12AD FH =． （2）如图2，过A 作AP BC ⊥于P ，反向延长AD ，交FH 于Q ，求证：FQ HQ =．8．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，求证：点M 是EF 的中点．9．已知：A B 、是两个定点，C 是位于直线AB 某一侧的一个动点，分别以AC BC 、为边，在ABC ∆的外部作正方形CADI CBEF 、．求证：无论点C 在什么位置上，DE 的中点M 的位置不变．E图1 E图2B C10．如图，在Rt ABC 和Rt BDC 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，连接AD ，取两点E 、F ，使得AF CF ⊥，BE DE ⊥，求证：DE AF =.11．在PAT ∆中，=36P ∠︒，56A ∠=︒，10PA =，点U G 、分别在边TP TA 、上，1PU AG ==．若M N 、分别为PA UG 、的中点，求MN 与PA 的夹角．A四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC ==1，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．则CDE S ∆=________．DBMDBA DCB M 【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．FCADBEBCAD MNE【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【解】：法一，联结BE ，取BE 中点G ，联结,GN GM ， 由1=2GN AB 且1//2GN AB ；12GM EC =且1//2GM EC ，AB EC =可得GN GM =，进而GNM GMN ∠=∠；再由//GM AC 得=GMN CNM ∠∠，所以CNM GNM ∠=∠；由//GN AB 得BAC GNC ∠=∠，所以1122CNM GNC BAC CAD ∠=∠=∠=∠，所以//MN AD ．法二：过点B 作AD 平行线交CA 延长线于P ，由//PB AD 得CAD P ∠=∠，BAD PBA ∠=∠，再由CAD BAD ∠=∠得P PBA ∠=∠，所以AP AB =；由AB CE =得AP EC =，由AN NE =得PN NC =，结合BM MC =得//MN PB ，所以//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另EDACBABCPDEABCDE F 外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题． 四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．【解】：延长DG FE 、交于点P ，联结EG ， 由1//2EG DC ，12EG DC =，BD DC =，可得1//2EG BD ，12EG BD =，进一步可得E G 、为BP DP 、的中点，所以DG GP =，再由90DFE ∠=︒可得12FG DP DG ==．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．【解】：取BC 中点M ，AD 中点N ，联结,EM MN ， 由90BEC ∠=︒，BM MC =得12EM BC =， 由//AB CD M N，、为AD BC、中点可得1()2MN AB CD =+，设BEM α∠=，可得90EBA α∠=︒-，45A α∠=+︒，所以45MNE A α∠=∠=+︒ =MEN ∠，所以MN ME =，所以AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．QP NM AB K L Q PM B例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．E 1D 1B 1A 1EABC DF配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数． 【解】：由菱形ABCD 得AB BC =，//AD BC ，由100A ∠=︒得80B ∠=︒，再由M N 、为边AB BC 、中点，所以BM BN =，所以50BMN BNM ∠=∠=︒，设MP 中点为E ，联结NE ，则有////EN BM CP ， 由//MP CD EN CD ⊥，得NE MP ⊥，再由ME EP =得MN NP =，则NMP NPM ∠=∠，于是50NPC NMB ∠==︒2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．【解】：取BO 、CO 中点M N 、，联结DM DN QM PN 、、、，可得12DM CO PN ==、12DN BO QM ==，再由中位线得平行四边形OMDN ，所以DMO DNO ∠=∠，再由ABO ACO ∠=∠得QMO PNO ∠=∠，所以QMD DNP ∠=∠，所以QMD DNP ∆≅∆，所以QD PD =3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBBBBED B AFEMABC D【解】：过点A 作CB 的平行线，交CD 延长线于E ，交过点C 作AB 的垂线于H ，根据//AE BC ，D 为AB 中点得ADE BDC ∆≅∆，所以E BCD ∠=∠，再由2A B ACB ∠+∠=∠得60ACB ∠=︒，再由//AH BC 得60CAH ∠=︒，进而30ACH ∠=︒，设AH a =，则2,3AC a CH a ==，8EA BC ==，所以8EH a =+，297EC CD ==90H ∠=︒得222CH EH EC +=，解得32a =，所以3AC =4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =【解】：取AB 中点G ，联结DG MG =，由AD BC ⊥，点G 为AB 的中点得12DG AB BG ==，所以B GDB ∠=∠，由//GM AC 得DMG C ∠=∠，由2B C ∠=∠得2GDB DMG ∠=∠，所以DMG DGM ∠=∠，所以DG DM =，再由12DG AB =得12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．【解】：延长BE 至G 使得BE EG =，联结GC GD 、，由,BE EG BM MC ==得//EM GC ，由AF EM ⊥得AF GC ⊥，再由AD 平分BAC ∠，得AG AC =，于是ADG ADC ∆≅∆，所以C AGD ∠=∠，结合2ABC C ∠=∠得BGD BDG ∠=∠，所以BG BD =，所以12BE BD =6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。