四边形拓展—中点应用

四边形拓展练习——中点应用
中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．
一、利用中点构造三角形中线
例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．
例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．
【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．
二、利用中点构造中心对称三角形
例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．
B
B
例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．
【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．
三、利用中点构造三角形中位线
例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且
1
902
AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．
例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．
【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．
E
A
四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线
例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．
例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．
【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．
五、利用中点构造梯形中位线
例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．
例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．
六、利用多个中点构造三角形和四边形
例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1
=
4
KL AE ．
例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，
1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．
求证：CDE AFE ∠=∠．
A
B
E
1
A
D
A
B
C
D
配套练习：
1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．
2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且
ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．
求证：DP DQ =．
3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，
且CD =，求AC 的长．
B
B
D B
A
F
E M
A
B
C
D
M
4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12
DM AB =
5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：1
2
BE BD =．
6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。

M 为CD 的中点，求证：MB ME =．
H 7．以三角形ABC 的边AB ，AC 为边分别向外作正方形ABEF 和ACGH ，联结FH ， （1）如图1，作ABC ∆中BC 边上的中线AD ，求证：1
2
AD FH =
． （2）如图2，过A 作AP BC ⊥于P ，反向延长AD ，交FH 于Q ，求证：FQ HQ =．
8．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，求证：点M 是EF 的中点．
9．已知：A B 、是两个定点，C 是位于直线AB 某一侧的一个动点，分别以AC BC 、为边，在ABC ∆的外部作正方形CADI CBEF 、．求证：无论点C 在什么位置上，DE 的中点M 的位置不变．
E
图
1 E
图2
B C
10．如图，在Rt ABC 和Rt BDC 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，连接AD ，取两点E 、F ，使得AF CF ⊥，BE DE ⊥，求证：DE AF =.
11．在PAT ∆中，=36P ∠︒，56A ∠=︒，10PA =，点U G 、分别在边TP TA 、上，1PU AG ==．若M N 、分别为PA UG 、的中点，求MN 与PA 的夹角．
A
四边形拓展练习——中点应用
中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．
一、利用中点构造三角形中线
例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．
例2．如图，在ABC ∆中，AB AC ==1，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．则CDE S ∆=________．
D
B
M
D
B
A D
C
B M 【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．
二、利用中点构造中心对称三角形
例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．
例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．
F
C
A
D
B
E
B
C
A
D M
N
E
【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．
三、利用中点构造三角形中位线
例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且
1
902
AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．
例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．
【解】：法一，联结BE ，取BE 中点G ，联结,GN GM ， 由1=
2GN AB 且1//2GN AB ；1
2
GM EC =且1
//2
GM EC ，AB EC =可得GN GM =，进而
GNM GMN ∠=∠；再由//GM AC 得=GMN CNM ∠∠，所以CNM GNM ∠=∠；由
//GN AB 得BAC GNC ∠=∠，所以11
22
CNM GNC BAC CAD ∠=∠=∠=∠，所以
//MN AD ．
法二：过点B 作AD 平行线交CA 延长线于P ，由//PB AD 得CAD P ∠=∠，
BAD PBA ∠=∠，
再由CAD BAD ∠=∠得P PBA ∠=∠，所以AP AB =；由AB CE =得AP EC =，由AN NE =得PN NC =，结合BM MC =得//MN PB ，所以//MN AD ．
【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另
E
D
A
C
B
A
B
C
P
D
E
A
B
C
D
E F 外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题． 四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线
例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．
【解】：延长DG FE 、交于点P ，联结EG ， 由1//
2EG DC ，12EG DC =，BD DC =，可得1
//2
EG BD ，1
2
EG BD =
，进一步可得E G 、为BP DP 、的中点，所以DG GP =，再由90DFE ∠=︒可得1
2FG DP DG ==．
例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．
【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．
五、利用中点构造梯形中位线
例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．
【解】：取BC 中点M ，AD 中点N ，联结,EM MN ， 由90BEC ∠=︒，BM MC =得1
2
EM BC =， 由
//AB CD M N
，、为
AD BC
、中点可得
1
()2
MN AB CD =+，设BEM α∠=，可得
90EBA α∠=︒-，45A α∠=+︒，所以45MNE A α∠=∠=+︒ =MEN ∠，所以MN ME =，所以AB CD BC +=．
例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．
六、利用多个中点构造三角形和四边形
例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1
=
4
KL AE ．
Q
P N
M A
B K L Q P
M B
例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，
1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．
求证：CDE AFE ∠=∠．
E 1
D 1
B 1
A 1
E
A
B
C D
F
配套练习：
1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数． 【解】：由菱形ABCD 得AB BC =，//AD BC ，由100A ∠=︒得80B ∠=︒，再由M N 、为边AB BC 、中点，所以BM BN =，所以50BMN BNM ∠=∠=︒，设MP 中点为E ，联结NE ，则有////EN BM CP ， 由//MP CD EN CD ⊥，得NE MP ⊥，再由ME EP =得
MN NP =，则NMP NPM ∠=∠，于是50NPC NMB ∠==︒
2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且
ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．
求证：DP DQ =．
【解】：取BO 、CO 中点M N 、，联结DM DN QM PN 、、、，
可得12DM CO PN =
=、1
2
DN BO QM ==，再由中位线得平行四边形OMDN ，所以DMO DNO ∠=∠，再由ABO ACO ∠=∠得
QMO PNO ∠=∠，所以QMD DNP ∠=∠，所以QMD DNP ∆≅∆，所以QD PD =
3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，
且CD =，求AC 的长．
B
B
B
B
B
E
D B A
F
E
M
A
B
C D
【解】：过点A 作CB 的平行线，交CD 延长线于E ，交过点C 作AB 的垂线于H ，
根据//AE BC ，D 为AB 中点得ADE BDC ∆≅∆，所以E BCD ∠=∠，再由2A B ACB ∠+∠=∠得60ACB ∠=︒，再由//AH BC 得60CAH ∠=︒，进而
30ACH ∠=︒，设AH a =，则2,3AC a CH a ==，8EA BC ==，所以8EH a =+，
297EC CD ==90H ∠=︒得222CH EH EC +=，解得3
2
a =
，所以3AC =
4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12
DM AB =
【解】：取AB 中点G ，联结DG MG =，由AD BC ⊥，
点G 为AB 的中点得1
2
DG AB BG ==，所以
B GDB ∠=∠，由//GM A
C 得DMG C ∠=∠，由2B C ∠=∠得2GDB DMG ∠=∠，所以DMG DGM ∠=∠，所以DG DM =，再由
12DG AB =得12
DM AB =
5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂
线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：1
2
BE BD =．
【解】：延长BE 至G 使得BE EG =，联结GC GD 、，
由,BE EG BM MC ==得//EM GC ，由AF EM ⊥得AF GC ⊥，再由AD 平分BAC ∠，得AG AC =，于是ADG ADC ∆≅∆，所以C AGD ∠=∠，结合
2ABC C ∠=∠得BGD BDG ∠=∠，所以BG BD =，所以1
2
BE BD =
6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。

M 为CD 的中点，求证：MB ME =．
【解】：同例8，取AC AD 、中点F G 、，联结BF FM EG GM 、、、，得到平行四边形进而证明BFM MGE ∆≅∆，于是MB ME =
H 7．以三角形ABC 的边AB ，AC 为边分别向外作正方形ABEF 和ACGH ，联结FH ， （1）如图1，作ABC ∆中BC 边上的中线AD ，求证：1
2
AD FH =
． （2）如图2，过A 作AP BC ⊥于P ，反向延长AD ，交FH 于Q ，求证：FQ HQ =．
8．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，求证：点M 是EF 的中点．
【解】：如图，N 是AD 中点，过N 作1//NQ DF 交FQ 于1Q ，作1//NP AE 交EP 于1P ，作//NS DC 交BC 于S ，作//NR AB 交BC 于R
可得1RN AB AE PN ===进而1
PPN LNR ∆≅∆，则1PP NL =；同理可证11PP QQ =，显然1EP AN =且1//EP AN ，1FQ ND =且1//FQ ND ，
又AN ND =，所以11EP FQ =且11//EP FQ ，从而1111EP EP PP FQ QQ FQ =+=+=
9．已知：A B 、是两个定点，C 是位于直线AB 某一侧的一个动点，分别以AC BC 、为边，在ABC ∆的外部作正方形CADI CBEF 、．求证：无论点C 在什么位置上，DE 的中点M 的位置不变．
【解】同市北练习册八年级最后一题
E
图
1 E
图2
G
B C
10．如图，在Rt ABC 和Rt BDC 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，连接AD ，取两点E 、F ，使得AF CF ⊥，BE DE ⊥，求证：DE AF =.
【解】：取BC 中点G ，EF 中点P ，联结PG AG DG 、、，可得1
2
DG BC AG =
=，由//BE CF ，G P 、为BC EF 、中点，
可证////PG BE FC （这个可由延长BP 交FC 于Q ,证BEQ QFP ∆≅∆得到），可得PG AD ⊥，于是AP DP =，FP EP =，于是AF DE =
11． 在PAT ∆中，=36P ∠︒，56A ∠=︒，10PA =，点U G 、分别在边TP TA 、上，1PU AG ==．若M N 、分别为PA UG 、的中点，求MN 与PA 的夹角．
【解】：（AMC12第23题）联结PN 并延长至Q 使PN NQ =，联结AQ GQ 、．根据条件可证PNU QNG ∆∆≌，从而得到QG PU AG ==以及//PU QG ．
由=36P ∠︒，56A ∠=︒得88T ∠=︒，从而88QGT ∠=︒，从而44QAG ∠=︒，所以100QAP ∠=︒．
而MN 是PAQ ∆的中位线，所以//MN AQ ，故100PMN QAP ∠=∠=︒，所以MN 与PA 的夹角为80︒．
C B
A
A。