圆幂定理三大结论证明

圆幂定理是解决圆与直线之间的关系的重要定理，其三大结论证明如下：

两条相交的弦所对应的弧所构成的圆周幂相等。

证明：设两条相交的弦AB、CD所对应的弧为a、b，交点为E。则AE·EB=CE·ED，即AE·(AE+EB)=CE·(CE+ED)，化简得AE²-CE²=ED·CE-EB·AE，即(AE+CE)(AE-CE)=ED·CE-EB·AE，因为AE+CE=AD，所以AD·BD=ED·CE-EB·AE，即AD·BD=AB·EC，故得证。

一条切线与圆相交所得的切线段的平方等于这条切线外部点到圆的距离的平方。

证明：设切线与圆相交于点A、B，圆心为O，连接OA、OB，垂直于切线的直线与切线相交于点C，连接OC，过点B作圆的直径DE，则OC垂直于DE，且OC=OD，OE是半径，故OE ²=OC·OD。因为OC²=OB²+BC²，所以OE²=OB²+BC²-OD²，即OB²=OE²-BC²，故得证。

直线段在圆内部或圆上所作的两条割线所对应的线段的乘积等于这条直线段与其所在圆的距离的平方减去圆的半径的平方。

证明：设直线段为AB，圆心为O，半径为r，与直线段相交于点C、D，连接OC、OD、OE，过点E作圆的直径EF，则OC·OD=(OE-CE)·(OE+DE)=OE²-CE·DE，因为CE·DE=AE·BE，所以OC·OD=OE²-AE·BE，故AE·BE=OB²- r²，即得证。