五年级奥数——平面图形面积计算

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授课日期 授课主题 第4讲——平面图形面积计算

教学内容

i.检测定位

本讲所指平面图形面积计算主要指多边形及其组合图形面积的计算.这些图形面积计算一般都可以转化成三角形、长方形、平行四边形和梯形的面积计算，后者的计算公式都是我们在课内已经学过并且应该熟记的.

主要的技巧在于如何将一般多边形及其组合图形“转化”为基本图形.

【例1】在梯形中阴影部分面积是150平方厘米，求梯形面积.

分析与解 已知梯形上、下底长分别为15厘米和25厘米，令梯形高为h ，则由已知三角形面积为150平方厘米，有 h ⨯⨯=

1521150，得).(20厘米=h 所以，梯形面积S 为

.4002025152

1（平方厘米））（=⨯+⨯=

S 随堂练习1

如图2-4，已知平行四边形面积是48平方厘米，求阴影部分面积.

【例2】如图3-4是两个完全相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.（单位：分米）

分析与解 如图3-4，由于①+②的面积和②+③的面积相等，所以可以得出：①与③的面积相等，题目要求③的面积，

其实只要求①的面积即可.所以 （分米）；53-8==EF

23)815(÷⨯+=S

2313÷⨯=

).(5.19239平方分米=÷=

答：阴影部分的面积是19.5平方分米.

【例3】如图4-4，将长为9厘米、宽为6厘米的长方形划分成四个三角形，其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，且4321S S S S +==，求4S .

分析与解 设长方形面积为S ，则 )(54694321S S S S S +++==⨯=

所以.184321=+==S S S S

设x BE =，.y DF =

则有 x S ⨯⨯==921181， .62

1182y S ⨯⨯== 解得 4=x ，.6=y 从而，2=EC ，.3=FC

所以 3322

13=⨯⨯=S ， ).(153184平方厘米=-=S

随堂练习2

如图5-4，四边形ABCD 是直角梯形，其中ADE BC AB AD ∆===厘米，且厘米，厘米，15812、

CDF DEBF ∆及四边形的面积相等，求三角形EBF 的面积.

【例4】如图6-4，.904625︒=∠=∠====D B CD AB CF AE 厘米，厘米，厘米，厘米，求四边形AFCE 的面积.

分析与解 四边形AFCE 是不规则四边形，连结AC ，则AC 将四边形AFCE 分成两个三角形（AFC ∆、CEA ∆）.这两个三角形的面积利用已知条件可求.

AB 是AFC ∆底边上的高，所以 ；平方厘米)(6622

121=⨯⨯=⨯⨯=∆AB FC S AFC CD 是AE CEA 底边∆上的高，所以).(10452

121平方厘米=⨯⨯=⨯⨯=∆CD AE S CEA 所以， 四边形AFCE 的面积CEA AFC S S ∆∆+=).(16106平方厘米=+=

随堂练习3

如图7-4，四边形ABCD 中，，厘米，厘米，厘米，厘米，︒=∠=∠====901512105D B DC FC AB AE 求四边形AFCE 的面积.

【例5】如图4-8，求长方形中阴影部分的面积.（单位：厘米）

分析与解 阴影部分的三个三角形高相等，那么它们的面积和就是它们的底的和乘高除以 2. .75215021015（平方厘米）=÷=÷⨯

答：阴影部分的面积和是75平方厘米.

【例6】如图9-4，平行四边形ABCD 的边长厘米10=BC ，直角三角形BCE 的直角边CE 长为8厘米.已知阴影部分的面积比三角形FEG 的面积大10平方厘米.求CF 的长.

分析与解 因为直角三角形BCE 与平行四边形ABCD 共有梯形BCFG .所以平行四边形ABCD 的面积比直角三角形BCE 的面积大10平方厘米.由已知可知CF 垂直AD ，所以

，102

1+⨯=

⨯CE BC BC CF 即 .50108102110=+⨯⨯=⨯CF 所以.5（厘米）=CF

随堂练习4

如图10-4，正方形ABCD 的边长为12厘米，已知.2倍长度的是EC DE 求：（1）DEF ∆的面积；（2）CF 的长.

玩一玩

只剩一个

如图，一个三角形的棋盘放着15个棋子，一开始随意取走一个棋子，出现一个空格.然后按以下规则开始跳棋子：棋子A 越过它的临格中的棋子B 跳到棋子B 另一侧相邻的空格中，并将B “吃”掉.按以上规则不断跳下去，每跳一步少一个棋.请问：能否跳到最后还剩一个棋子？请你玩一玩.图中的数是位子的编号，先不要看答案，自己动手画一张如图所示的棋盘，并在每个棋盘中放一枚棋子（可利用围棋子），然后按规则任意取走一个棋子，开始游戏.若有困难，可先看提示，继续游戏，最后再看方案.

答案 能.先取走1号、3号、5号位置上的棋子，依次从6号、10号、14号位置中的棋子起跳，经过13步可将棋盘中13个子“吃”掉.

方案1 取走1号

6→1,13→6,11→13,14→12,2→9,7→2,1→4,10→3,4→3,12→14,15→13，13→6,6→1（止于1号位）

方案2 取走3号

10→3,13→6,7→9,2→7,11→4,15→13,12→14,3→10,4→6,10→3,1→6,14→5,6→4（止于4号位）

方案3 取走5号

14→5,7→9，3→8，10→3，1→6 , 2→7 ，11→4,12→14,6→13,14→12,4→13,12→14,15→13（止于13号位） ii.针对培养

1. 一块玉米地的形状如图所示，它的面积是_________平方米.

2. 三个正方形如图所示放置，中心都重合，它们的边长依次是1厘米、3厘米、5厘米，那么图中阴影部分的面积是__________平方厘米.

3. 如图，，，610==EC BC 直角三角形EDF 的面积比直角三角形FAB 的面积小5，那么长方形ABCD 的面积是__________