一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

项目一 知识概要

1、韦达定理

如果1x ，2x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则a

b x x -=+21， a

c x x =∙21. 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x

3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++

=++ 4、韦达定理的应用

① 已知方程的一个根，求另一个根和未知系数

② 求与已知方程的两个根有关的代数式的值

③ 已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值

④ 已知两数的和与积，求这两个数

项目二 例题精讲

【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k

＝ 。

【例2】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）2221x x + （2）21x x - （3）22

22133x x x -+

【例3】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

【例4】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

【例5】已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-

=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

（2）求使

21

221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。

项目三 冲刺必练

一、填空题：

1、设1x 、2x 是方程0242=+-x x 的两根，则①

2111x x +＝ ；②21x x - ＝ ；③)1)(1(21++x x ＝ 。

2、以方程0422=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是 。

3、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝ 。

4、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。

5、反比例函数x

k y =的图象经过点P （a 、b ），其中a 、b 是一元二次方程042=++kx x 的两根，那么点P 的坐标是 。

6、已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，则1112422

1++x x 的值为 。 二、选择题：

1、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ）

A 、0

B 、－1

C 、1

D 、±1

2、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫ ⎝⎛2

2，则方程的两根之比为（ ） A 、0∶1 B 、1∶1 C 、1∶2 D 、2∶3

3、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为（ ）

A 、－3

B 、5

C 、5或－3

D 、－5或3

三、解答题：

1、证明：方程0199719972=+-x x 无整数根。

2、已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程

023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式

21--k k 的值。

3、已知关于x 的方程03)21(22=-+--a x a x ……①有两个不相等的实数根，且关于x 的方程01222=-+-a x x ……②没有实数根，问：a 取什么整数时，方程①有整数解？

4、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。