全国高中物理竞赛机械能训练题解答

全国高中物理竞赛机械能训练题解答

火车以速度v匀速向前运动。在车厢内有一轻质弹簧，一端固定在壁板上。将弹簧压缩一段距离，然后将质量为m的

物体与弹簧的自由端靠在一起（不连接），如图所示。放开手后，物体受弹力作用在桌面上运动，离开弹簧时（仍在桌面上）对车厢的速度为v。求从放手到物体离开弹簧瞬间，车厢壁板

对弹簧的作用力做了多少功？（在地面参照系计算）

解法一：在火车参照系中对物块的运动应用动能定理处理。在火车参照系中，物体与弹簧未分离前是一个弹簧振子系统。弹性力做功等于振子动能的增量1/2mv^2，弹性力做功又等于

弹性势能的减少量，即-ΔEp（ΔEp为增量）。所以有关系

1/2mv^2=-ΔEp。在地面参照系中再次利用动能定理。壁板作

用力对弹簧系统做的功W加上弹性力做的功（-ΔEp）等于物

体动能的增量，即W-ΔEp=1/2mv'^2.所以，壁板作用力做功为W=mv'v/(v+v')-mv^2.

解法二：在车厢参照系应用动量定理。在弹力作用在物体上的同时，也对壁板有相同大小的作用力（因弹簧质量不计）。

设这个力在整个作用过程中的平均值为F，作用全过程所用的

时间为t。根据动量定理，作用在物体上的冲量等于物体动能

的增量，即Ft=mv'。这个力F也是壁板对弹簧的平均作用力。方程两边均乘车子速度v，得到Fvt=mvv。而左式Fvt=Fx=W

正好等于地面参照系中壁板对弹簧做的功，为壁板对弹簧作用点在地面参照系中的位移。最后得W=mvv。

___所示，木板A原来静止在光滑的水平面上，其中放一

块木块B。现用一足够大的水平力作用于A，使系统向右运动。运动过程中B与A始终有相对滑动。当木板A向右移动

SA=1.0m时，木块B对地的位移SB'=0.75m。已知B的质量

mB=1.0kg，B与A之间的滑动摩擦系数μ=0.4，取g=10m/s²。试分别以地面和木板A为参照系计算A和B之间的摩擦力对A、B以及A和B这个系统做的功。

设A和B之间的摩擦力大小为f。

以地面为参照系，对A应用牛顿第二定律，得到

f=mB*g*μ=4N。对A应用动能定理，得到A受到的摩擦力做

的功为f*SA=4J。对B应用动能定理，得到B受到的摩擦力

做的功为-f*SB'= -3J。对A和B这个系统应用动能定理，得到摩擦力做的功为(f*SA)-(f*SB')=1J。

以木板A为参照系，对A应用牛顿第二定律，得到

f=mB*(g-μ*A)=2N。对A应用动能定理，得到A受到的摩擦

力做的功为f*SA=2J。对B应用动能定理，得到B受到的摩

擦力做的功为-f*SB'= -1.5J。对A和B这个系统应用动能定理，得到摩擦力做的功为(f*SA)-(f*SB')=0.5J。

在地面参照系中，摩擦力对物体A做的功为W_A = -

fS_A = -μmgS_A = -4J，摩擦力对物体B做的功为W_B = fS_B = μmgS_B = 3J，因此摩擦力对A、B做的总功为W = W_A +

W_B = -1J。在木板A参照系中，A静止，摩擦力对A做功为零，即W_A = 0.B的位移为S_A - S_B = 0.25m，摩擦力对B

做功为W_B' = -f(S_A - S_B) = -1J。因此，在A参照系中，摩

擦力对系统的总功为W = W_B = -1J。

在一个与地面夹角为α，以恒定速度v向下运动的传送带

上放一个质量为m的砖，砖被一根上端固定的绳拉着，不能

和传送带一起向下运动。自从把绳剪断后经过多长时间，砖获

得传送带的速度？在此过程中，作用在砖上的摩擦力做了多少功？已知砖与传送带的动摩擦因数是μ。

根据动力学方程，砖获得的加速度为 a = g(sinα + μcosα)，因此砖获得速度v所需的时间为t = 2v/[g(sinα + μcosα)]。在此

时间内，砖相对于传送带所通过的距离为l = 2g(sinα + μcosα)。摩擦力做正功，其值为W = fL = μmglcosα = 1/2μmv^2/(μ +

tanα)。

一个长为l的轻质细杆上端A固定一个重球，直立于粗糙硬地上，由静止开始倒落。求小球与地面相碰时的速度。

倒落过程分两个阶段，以N时刻为分界。设α位置时，N = 0，则有mv^2/l = mgcosα，解得v = (2gl/3)^(1/2)cos(α/2)。此后，杆离地，小球作斜抛运动，水平方向速度不变，竖直方向速度v_y = v*sinα，根据动能定理可得mv^2/2 = mgh，解得h

= l(1 - cosα)，相碰时v_y = (2gh)^(1/2) = (2gl/3)^(1/2)sin(α/2)，

因此相碰时的速度为v = (v_x^2 + v_y^2)^(1/2) = (2gl/3)^(1/2)。

一个人手持质量为m的小球乘坐在热气球下的吊篮里，气球、吊篮和人的总质量为M，整个系统静止在空中。突然人将小球急速上抛，经过时间t后小球又返回人手。设人手在抛接球时相对吊篮的位置不变。求人在抛球过程中对系统做了多少功。

设人将小球急速上抛，小球刚抛出的向上的速度为v，与此同时M向下的速度为V，则人在抛球过程中对系统做的功为W = (1/2)mv^2 + (1/2)MV^2.依据动量守恒，v和V满足mv = MV，因此V = v(m/M)，代入上式得W = (1/2)mv^2(1 +

m/M)。

M的物体放在小车上,物体与小车的摩擦系数为μ，小车继续匀速直线运动．求小车速度v与物体所受到的摩擦力F的关系式．

解：物体受到的合外力为重力和摩擦力，由牛顿第二定律可得

F Ma