《线性代数A》期终试卷二(上海应用技术学院)

合集下载

线代期中(A类)试卷及答案 (2)

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

线性代数期中考试试卷

线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。

7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。

8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。

9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。

10. 线性变换的像空间是变换的_________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。

12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。

四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。

14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。

五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。

大学线性代数试卷-XX..线代期中(A类)答案

20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一．计算题（共50分）1．（6分）设211,()3323A f x x x -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦,计算()f A . 解（1）()2113321f A A A E --⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦。

2. （6分）计算4阶行列式0000a b aa ab A b a a a b a =.解()()11100221000100a b aa b a a b a a b b bA a b a b a a bb a b a a ba---=+=+----()200aa b b a a b bb a a ba---=+----()()()22224.a b a a b b b b a b aa--=+-=---3. （6分）设,A B 都是n 阶矩阵，且2A AB E -=，求3BA AB A -+的秩.解由2A AB E -=即()A A B E -=可知矩阵,A A B -均为可逆矩阵，且1A A B -=-，因此()()A A B A B A E -=-=，故AB BA =，从而()()()33R BA AB A R A R A n -+===.厦门大学《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿4. （6分）计算行列式11222211n n nna b a b a b c d c d c d .解 ()()()11112222n n n n D a d c b a d c b a d c b =---5.（6分）设A 是m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，问O A C B O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是否为可逆矩阵？若可逆，求其逆矩阵.解由A 是m 阶可逆矩阵和B 是n 阶可逆矩阵可知0,0A B ≠≠,因此()()110mnmnO AB OC A B B OOA==-=-≠，故C 是可逆矩阵.设1XY C ZW -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由 1O A X Y AZAW E O CC B O Z W BX BY O E -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得,,,AZ E AW O BX O BY E ====，解得 11,,,Z A W O X O Y B --====，因此111.O B C AO ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6.（20XXXX 分）求111211132373a a A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩. 解 1111121102211320223730433a a a a a A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦, 当1a =时，111111000023023000046000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时()2R A =. 当1a ≠时，11112102102200104330031a a A a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，因为131a a ++和不同时为零，因此()3R A =.综合有2,1()31a R A a =⎧=⎨≠⎩.7（20XXXX 分）设1315011,130424210a A b a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，线性方程组AX b =有解，求常数a 的值.解 []213151315011011,130400112421000422a a A b a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,显然1a =或2a =时方程组有解. 当1a ≠且2a ≠时[]131513151315011011011,0021001100213002100110002aa a Ab a a a -⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.所以3a =-时方程组有解.故1,2,3a =-时方程组有解.二. （20XXXX 分）计算112312231233123(0,1,2,,)n n n i n na a a a a a a a A a a a a i n a a a a λλλλλ++=+≠=+.解 1123121310000n na a a a A λλλλλλλ+-=--1111123232323++++000=000n n nna a a a a a a λλλλλλλλλλ+11111232323=++++n n n a a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭312123123=1++++.n n n aa a a λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭三.（15分）已知矩阵10202-1010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和010110011B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若矩阵X 和Y 满足：2,()X XY E A X Y B E +=+=，求Y .解由2X XY E +=即()X X Y E +=可得1X Y X -+=，故1Y X X -=-. 由()A X Y B E +=可得1AX B E -=，故X BA =,即01010202111002-1121011010031X BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由[]021*********,121010010101031001001302X E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦行可知1514101302X --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 因此1513220333Y X X ---⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.四. （20XX 分）设1102,2,211a αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若3T T X X αββγβ=+，求此方程组的通解.解由于[]11221,2,242112T a a a a αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，[]102120,2,104202T a a a βγ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，故方程组3T T X X αββγβ=+为14132822612223a a X a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.对增广矩阵作初等行变换，有1413141328226022133122230000a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，当1a ≠-时，上式可化为14131413101328226021302131222300000000a a a a a a a --+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为()132313,23x a x x x ⎧++=-⎨-=⎩ 此时线性方程组的通解为()123133,.2x a c c x c x c =-+-⎧⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎩其中为任意常数当1a =-时，上式可化为14131423282260000122230000a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为 123423x x x +-=，此时线性方程组的通解为112211232423,.x c c x c c c x c =-++⎧⎪=⎨⎪=⎩其中,为任意常数五.(5分) 设A 为反对称矩阵()T A A =-，（I ）证明对任意n 维列向量α恒有0T A αα=.（II ）证明对任意非零常数c ，矩阵A cE +恒可逆，其中E 为n 阶单位矩阵. 证明 (I)因为T A αα是一个数，故()TT T T T T A A A A αααααααα===-，故0T A αα=.(II)(反证法)如果矩阵A cE +是不可逆的，则齐次线性方程组()0A cE x +=有非零解，设其为η，则,0A c ηηη=-≠，左乘T η，得T T A c ηηηη=-.因为η是非零向量，c 为非零常数，故0T T A c ηηηη=-≠，与结论（I ）矛盾，故矩阵A cE +是可逆的.。

高数(线代)2016-2017(二)期中试卷A

第1 页上海应用技术大学继续教育学院国际教育中心2016-2017(二）期中考试考试科目：高数（线代）试卷A 考试时间：2017.4专业：考试形式：闭卷所需时间： 90 分钟班级：中文名：英文名：任课教师：我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 8 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

请将答案写在答题纸上，写在试卷上无效一、填空题（共24分，每小题4分）1. |2011−4−1−183|= 。

2. 排列x 1x 2x 3x 4 逆序数与排列x 4x 3x 2x 1 逆序数之和为：。

3. 行列式|10x246xx 2424x 6x122x|展开式中x 4的系数为：。

4. 设矩阵A =[101010], B =[020202],则3A +4B = 。

5. 设矩阵A =[123456789]，B =[200020002]，C =AB = 。

6. 设A =[a00b 00c],求A 2017= 。

二、判断题（共24分，每小题4分）1. 如果两个矩阵A,B 可以相乘，则A 的行数与B 的列数相同。

（）2. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

（）第2 页3. 行列式与它的转置行列式互为倒数。

（）4. 把行列式的某一行的各元素乘以同一个数k ，然后加到另一行的对应元素上去，行列式的值不变。

（） 5. 若A ，B 都是n 阶矩阵，且AB =E ,那么我们可以认为A ，B 都可逆，且A ，B 互为逆矩阵。

（） 6. 若A ，B 是n 阶可逆矩阵，则有(AB)−1=B −1A −1。

（）三、计算题（共45分，每小题9分）1. （9分）计算行列式A =|31−12−513−4201−11−53−3|的值。

2. （9分）计算行列式A =|x +21111x +21111x +21111x +2|的值。

(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ）（A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解，那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式闭卷考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ；（C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。

2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（） (A) A E =； (B)B E =；（C ） A B =. (D) AB BA =。

3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关；（C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。

8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。

2014-2015(1)线性代数期中试卷(A)卷

1
0 1 2 2 1 0 a 1 0 b 1 0 0 a 1 0
1
1
（1）当 a 1 时，方程组有唯一解. （2）当 a 1, b 1 时，方程组无解; （3）当 a 1, b 1 时，方程组有无穷多解，
1 1 1 1 0 1 2 2 A 0 1 2 2 3 2 1 1
有唯一解、无解、有无穷多解？在有无穷多解时，求出其通解.
1 0 0 T 【 2 】设 A, P 均为 3 阶矩阵。且 P AP 0 1 0 ，若 P α1 , α2 , α3 ， 0 0 2
Q α1 α2 , α2 , α3 ，求 Q T AQ 。
原方程组的同解方程组为
0 1 1 r 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 x3 x 4 x 2 1 2 x3 2 x 4
通解为
【5】设 A [ aij ]33 , Aij 是元素 a ij 的代数余子式 , 且 Aij aij , 又 a11 0 , 证明
A 1。
2
参考答案
【1】问 a , b 为何值时，方程组
x1 x2 x3 x4 0 x 2x 2x 1 2 3 4 x2 (a 3) x3 2 x4 b 3x1 2 x2 x3 ax4 1
5
上面行列式从第 2 行到第 4 行都减第 1 行
1 a 0 xa D ( x 3a) 0 0 0 0
a 0 xa 0
4
【4】已知矩阵
1 0 0 0 1 1 A 1 1 0 , B 1 0 1 1 1 1 1 1 0

解析几何与线性代数(二)期中试卷

《解析几何与线性代数(二)》期中试卷一. 单项选择题1.两个同级矩阵相似的充分必要条件是( )A. 它们有相同的因子B.两个矩阵相等C.两个矩阵互逆D.两个矩阵的行列式相等2. f(x 1x 2……x n ) 是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数x 1x 2……x n, 如果都有f(x 1x 2……x n )<0,那么f(x 1x 2……x n )称为 ( )A. 负定B. 半正定C. 半负定D.不定3.下列说法错误的是( )A. 2341是一个4级排列B.对换改变排列的奇偶性C. 2341是一个奇排列D. 45321是一个奇排列4.找出下面错误的结论( )B. 次数≧1的复系数多项式的分解式是若干个一次因式的乘积C. 次数>1的复系数多项式都可约D. n 次复系数多项式有n 个复根E. n 次复系数多项式复根的个数可能少于n 个5.下面结论中有一个是错误的,它是( )A. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少有一个根B. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少含有一个一次因式C. 复系数域上所有次数大于1的多项式一定可分解为两个次数比它低的多项式的乘积D. 复数域上任意多项式都至少有一根6.下面的结论中有一个是错误的,它是( )A. 若非零有理系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约B. 若非零整系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约C. 若非零整系数多项式在整数环上可约,那么它在有理域上可约7.A 是s 行n 列的矩阵,B 是t 行m 列的矩阵,AB 满足什么条件时才能相加?( )A. s=n,t=mB.n=m,a ij =b ijC.s=t,n=mD.s=m,n=t8.当多项式f(x),g(x)满足以下哪个条件时互素?( )A.(f(x),g(x))=0B. (f(x),g(x))=1C. (f(x),g(x))=2D. (f(x),g(x))=39.45321是一个多少级的排列( )A.3B.4C.5D.610. 5．计算此排列415362的逆序数为（）。

2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案

3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已知 4 阶行列式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元的代数余子式记作 Aij ，则
2 4 1 3
学院
考专业装
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
集美大学试卷纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年第一学期
课程名称
适用学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷卷别
考试方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；

线性代数试题A答案[大全5篇]

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

上海应用技术学院11~12(一)高数(经)1期末考试试卷A卷

上海应用技术学院2011—2012学年第一学期《高等数学（经）1》期末试卷A 卷答案课程代码:B122016学分: 4.5考试时间:100分钟课程序号:班级：学号：姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、单项选择题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）。

1、与()=f x 等价的函数是（）。

A ．x B．2 C．3D ．||x 2．设函数2,0;()1,0;sin cos ,0.x e x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩则0lim()x f x →=（）．A ．1-B ．0C ．1D ．不存在3、设21sin =y x x ，1cos ,=-z x 则当0→x 时（）。

A.与y z 是等价无穷小B.与y z 是同阶而不等价的无穷小C.是y z 的高阶无穷小D.与y z 不能比较阶的高低4、若()f x 为(),-l l 内的可导偶函数，则()'f x 在(),-l l 内()。

A ．必为偶函数B ．必为奇函数C ．为非奇非偶函数D ．无法确定5、设12(),()F x F x 是区间I 内连续函数()f x 的两个不同的原函数，且()0≠f x ，则在区间I 内必有（）。

A ．12()()+=F x F x CB ．12()()⋅=F x F xC 题号一二三四总分应得分14185414100实得分C ．12()()-=F x F x CD ．12()()=F x CF x 6、若()(),()-=-∞<<+∞，f x f x x 在(,0)-∞内()0,()0'''><，f x f x 则在(0,)+∞内有（）。

A ．()0,()0'''><f x f xB ．()0,()0'''>>f x f x C ．()0,()0'''<<f x f x D ．()0,()0'''>>f x f x 7、积分4421sin -=⎰dx xππ（）。

线代期中考试卷及答案详解

..2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。

其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。

所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。

其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”. 同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o，得行列式D ~，则D ~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( D )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。

上海应用技术学院09-10线性代数期末(A)试卷

上海应用技术学院2009—2010学年第一学期《线性代数A 》期（末）（A ）试卷课程代码: XXXXXX 学分: 2 考试时间: 100 分钟课程序号: XXXXXXX 班级：学号：姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1、七阶行列式a a ij =，则-=a ij __________。

2、三阶行列式a a ij =，则a A a A a A 113112321333++=________，其中A ij 是代数余子式。

3、010100001143201120⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪X ，则X =____________________。

4、已知300030003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，满足AB A B =+，则B =_______________。

5、设1200210000120011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则=-1A ____________________。

6、设A 为5阶方阵，且12A =，则()1*3A --=______________。

7、设A 为3阶方阵，且2A =，则1*A A -+=______________。

8、含有零向量的向量组必线性_________（填写相关或无关）。

9、设1(1,0,1)=-α，2(0,2,0)=α，3(2,0,)t =α，则t =_______时，线性相关。

10、n 阶矩阵A 的秩为1n -，则线性方程组AX O =的基础解系中含有______个线性无关的解向量。

二、计算题（本大题共6小题，共计64分）1、计算n 阶行列式12000012000001220001n D =。

（本题10分）2、设有3阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d c a d c a d c a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d c b d c b d c b B ，且已知2=A ，21=B ，求B A +。

上海应用技术学院线性代数试题A(附答案)

线性代数试题 2011-7（A ）一．选择及填空 (3’x10)1. 一个三阶行列式D 第二行元素依次为 1， 2，1-, ；而三个余子式4;1;2232221===M M M ,行列式为8，则=D2. 设3332312322211312111a a a a a a a a a =2, 则 232221233322322131131211222a a a a a a a a a a a a a +++= ;3．若三阶行列式 3=A ，则 =--*12A A4．⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ， =4A5．向量组 ,211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λα,132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a α ,1203⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 若向量组的秩为2，则=λ选择6．设 A 为nxs 矩阵， BA 为 rxs 矩阵则， B 为（）A. nxsB. nxrC. rxnD. sxn7. 已知n 阶方阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0101n E A ，则 =A （）A.n+1,B. n-1C. ()11--n D. ()n1-8. 向量组 :A m ααα.......,21为线性相关的向量组，若在A 组中添加向量β，构成 :Bβααα,.......,21m ，则（）A. B 向量组必定线性相关B. B 向量组必定线性无关C. β必定可由A 向量组线性表示D. β必定可由A 向量组线性表示,且表示方式唯一 9．若A 为n 阶方阵，且 0≠A , 0≠k 为常数，则（） A . A k kA = B. A k kA = C. ()11--=kA kA D. 11--=A A10. 若 21,αα 均为非齐次线性方程组 b x A =的两个解，而其导出齐次方程为0=x A则（）A. 21,αα 为0 =x A 的解B. 21αα-为0 =x A 的解 C 21αα+为b x A =的解 D. 21ααk +为b x A =的通解二．计算 (10’x6)1．计算行列式4222232222222221=D 2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=1111111111111111A ，求 2A 及 12+k A3．解矩阵方程C B AX =+2其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=490174,130121,112011111C B A4．求向量组的最大无关组，并求出剩余向量用最大无关组的线性表示⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02111α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12022α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22133α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=16244α5．求齐次方程的一组基础解向量，并求出通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-=+-04630324020243214321321431x x x x x x x x x x x x x x6．设非齐次方程 b AX = 有解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1345621040121111A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λ31k b 求 λ,k ，并求出通解。