材料力学 第09章 压杆稳定

I i2 A
由惯性半径公式： i I / A
引入
l
ml
i
π2 E s cr ml 2 则有 ( ) i
l 是一个量纲为1的量，称为柔度或长细比
l 集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素 对临界应力scr的影响
临界应力公式改写为:
s cr
π2 E
l2
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.4.1 欧拉公式的适用范围
lp的值与材料的性质有关，材料不同， lp 的值也就不同。
Q235 E = 206 GPa sp = 200 MPa
lp
π2E
sp

π 2 206109 P a 100 6 20010 P a
则用Q235钢制成的压杆只有当lp ≥100 时，才能使用欧拉公 式计算其临界力或临界应力。
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.4.2 经验公式
1 直线公式
s cr a bl
对塑性材料，按直线公式算出的应力最高只能等于ss，否则材料 已经屈服，成了强度问题，即要求
令
a s s s cr a bl s s l b a ss l ls ls 为使用直线公式的最小柔度 ls b
Fcr
A
二阶常系数线性微分方程的通解
w A sin kx B cos kx
w
式中A，B为积分常数，
Fcr
n
d
n w n
x
n
M(x)
由边界条件确定
l
l/2
x0 w0

B0
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B
w
B
x
w
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
边界条件
x
xl w0

A sin kl 0
Fcr
A
A 不为 0 若A=0，表明杆为直线， 这与压杆处于微弯平衡状态不符。
l
2l
π2 EI Fcr (2l )2
同样用比较变形的办法(与两端铰支细长压杆比较)，可求 出其他约束情况下压杆的临界力Fcr的欧拉公式。
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.4.1 欧拉公式的适用范围
临界应力
Fcr π 2 EI s cr A ( ml ) 2 A
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9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡和不稳定平衡的概念
理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
F小于某个值
F大于某个值
稳定平衡
不稳定平衡
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9.1 压杆稳定的概念
Fcr
临界状态 稳 定 过 平 衡 不 稳 度 定 平 压力 衡 临界压力: Fcr
对应的
压杆失稳与 临界压力
第九章 压杆稳定 Chapter 9 Columns
第九章 压杆稳定
9.1 压杆稳定的概念
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷 9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.5 压杆稳定条件与合理设计 9.6 工程案例
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9.1 压杆稳定的概念
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9.1 压杆稳定的概念
2
π2 EI Fcr (2l )2
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9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
在已经导出两 端铰支压杆的临界 压力公式之后，可 以用比较简单的方 法，得到其他约束 条件下的临界力。
F
F
一端固定，一端自 由，长为l 的的压杆的挠 曲线和两端铰支，长为 2l的压杆的挠曲线的上 半部分相同。则临界压 力:
柔度满足ls≤ l ＜lp 的压杆，称为中柔度杆或中长压杆。也就是 说，中长压杆不能用欧拉公式计算临界应力，但可以用直线公式计算。 对于脆性材料只需把以上各式中的ss改为sb， ls改为lb。
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.4.2 经验公式 2 抛物线公式
我国钢结构规范中采用如下抛物线经验公式
所以
w
sin kl 0
d
n w n
x
l
Fcr
n
kl nπ (n 0,1,2,)
M(x)
n
l/2
k
B
w
B
x
nπ l
w
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9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
nπ k l
Fcr
A
x
因为n是0，1，2，…等整数中的任一个数， 故理论上是多值的，即使杆件保持为曲线平衡 的压力也是多值的。
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.4.2 经验公式
压杆的柔度小于 lp 时，临界应力scr 大于材料的比例极限 sp ，这时欧拉公式已不能使用，属于超比例极限的压杆稳定问 题。
工程中对这类压杆的计算，一般使用以试验结果为依据的 经验公式。两种常用的经验公式：直线公式和抛物线公式。
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9.1 压杆稳定的概念
其他构件的稳定失效问题
F
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9.2两端铰支细长压杆的临界载荷
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9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
设细长理想压杆两端为球铰支座，如图所示。
x
Fcr
A
设距原点为 x 的任意截面 n-n 的挠度为w ， 则弯矩
M ( x) Fcr w
挠曲线的近似微分方程
根据轴向拉伸与压缩理论，当受拉杆件横截面上的正应力达 到屈服极限或强度极限时，将引起塑性变形或断裂。 长度较小的粗短杆受压时也有类似的现象，例如受压低碳钢 短柱在正应力达到屈服极限时，材料失效，短柱越压越扁；铸铁 短柱受压时将被压碎。这些都是由于强度不足引起的失效。
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9.1 压杆稳定的概念
取一根长为300mm的钢板尺，其横截面尺寸为 20mm×1mm。若 钢的许用应力为[s ]=196MPa。 按照强度条件计算钢尺所能承受的轴向压力：
D
0.7l
0.5l
C
C B
B
B
π2 EI π 2 EI π 2 EI π 2 EI Fcr 2 Fcr Fcr Fcr 2 2 (0.5l ) l (2l )2 (0.7l )
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2l
l
l
l
B
l
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
实际问题中压杆的约束还可能有其他情况，可用不同的长度 因数 m 来反映，这些长度因数的值可从相关设计手册或规范中查 到。
F 201106 m 2 196106 Pa 3.92 kN



实际情况
若将此钢尺竖立在桌上，用手压其上端，则当压力不到40 N 时，钢尺就被明显压弯。 在工程中有些构件虽然具有足够的强度，却不一定能安全 可靠地工作。 稳定性问题
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9.1 压杆稳定的概念
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9.1 压杆稳定的概念
ml为相当长度， m为长度因数， m与压杆两端的支承情况有关。
两端铰支 一端固定一端自由
m1 m2
两端固定
一端固定一端铰支
m 0.5
m 0.7
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9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷 典型理想约束条件下细长等截面中心受压直杆临界力的欧拉公式
Fcr
A A
Fcr
A
Fcr
Fcr
A
C D 挠曲线拐点
9.4.1 欧拉公式的适用范围
2 d w M ( x) 欧拉公式是由弯曲小变形的微分方程导出 2 EI dx 材料服从胡克定律又是上述微分方程的基础，即
s cr s p 欧拉公式才正确
则
s cr
lp
π2E
l
2
sp
l
π2E
sp
取
π2 E
sp
欧拉公式的适用范围
l lp
通常称满足 l lp 的压杆为大柔度压杆或细长压杆
l
Fcr
n
两端铰支细长压杆临界力Fcr的计 算公式，也称为欧拉公式
M(x)
n
l/2
B
w
B
x
w
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9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
【例9-1】
两端球铰铰支压杆，长 l = 1.2 m，材料为Q235钢，弹性模 量 E = 206GPa。已知横截面的面积 A =900mm2，形状为正方形， 求杆的临界力。(压杆满足欧拉公式计算条件*）
应当注意，细长压杆临界力的欧拉公式中，I 是横截面对某一 形心主惯性轴的惯性矩。 若杆端在各个方向的约束情况都相同(如球形铰等)，则 I 应取 最小的形心主惯性矩。 若杆端在不同方向的约束情况不同(如柱形铰)，则 I 应按计 算的挠曲方向选取横截面对其相应中性轴的惯性矩。
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9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
π 2 EI Fcr (0.5l ) 2 π 2 EI Fcr (0.7l )2
π 2 EI Fcr 2 l π2 EI Fcr (2l )2
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9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
π2 EI Fcr 2 ( ml )
上式即为欧拉公式的一般形式。
解
设该杆横截面边长为a,则惯性矩
a a 3 a 4 A2 9002 1012 m 4 I 6.75108 m 4 12 12 12 12 该杆的临界压力
π 2 EI π 2 206109 Pa 6.75108 m 4 95.2 kN Fcr 2 2 2 1.2 m l
【例9-2】 推导下端固定，上端自由，并在自由端受轴向压力作用的 等直细长压杆临界力Fcr的欧拉公式。 解 由临界力所引起杆的任意横截面x上的弯矩 x
d
M ( x) Fcr (d w)
Fcr
挠曲线微分方程
令
k2 Fcr EI
d 2 w Fcr (d w) 2 EI dx
w
dw
挠曲线微分方程改写为
Q235钢 16Mn钢
(s s 235MPa,E 206GPa)
s cr 235 0.00668l2
s cr 343 0.0161l2
(l lp 100) (l lp 109)
(s s 343MPa,E 206GPa)
该微分方程的通解
x
l
d2w 2 2 k w k d 2 dx
w A sin kx B cos kx d
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式中积分常数A,B 由边界条件确定
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
x
w A sin kx B cos kx d
dBaidu Nhomakorabea
式中积分常数A,B 由边界条件确定
x0 w0 x 0 w 0
B d
Fcr
A 0 (k 0)
w d 1 cosk x
w
dw
x l wd

d d 1 cosk l
π kl 2
x
l
由此
cosk l 0
满足上述条件的最小的根
得到临界力Fcr的欧拉公式
Fcr k EI
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳 定，简称 失稳，也称为屈曲。 当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
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9.1 压杆稳定的概念
压杆失稳的特点 压杆失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大， 从而使杆件丧失承载能力。因失稳造成的失效，可能导致整个结 构或机器的破坏。细长压杆失稳时，应力并不一定很高，有时甚 至低于比例极限。可见这种形式的失效，并非强度不足，而是稳 定性不够。
w
d
n w n
x
l
Fcr
n
在这些压力中，使杆件保持微小弯 曲的最小压力才是临界压力Fcr
M(x)
n
l/2
只有取n = 1，才使压力为最小值。
B
w
B
x
w
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9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
n 1
x
k
nπ l
Fcr k EI
2
Fcr
求得
A
π 2 EI Fcr 2 l
w
d
n w n
x
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.4.2 经验公式
1 直线公式
s cr a bl
a /MPa 304 461 b /MPa 1.12 2.57
a，b 与材料力学性能有关的常数 材料 Q235钢(ss=235, sb 372) 优质碳钢(ss=306, sb471)
其他材料的参数参见教材
* 参考本章关于欧拉公式适用条件的相关内容
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9.3其他支座条件下细长压杆 的临界载荷
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9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
不同的杆端约束，压杆受到的约束程度不同，杆的抗弯能力 也就不同，所以临界力的表达式也不同
两端固定的压杆的临界压力为: 一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为: 两端铰支的压杆的临界压力为: 一端固定，一端自由的压杆的临界压力:
w
Fcr d2 w w 2 dx EI
式中 I 为压杆横截面的最小惯性矩
Fcr
n
d
n w n
x
n
M(x)
令
k2
Fcr EI
l
l/2
微分方程改写为
x
B
w
B
w
d2w 2 k w0 2 dx
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9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
2 d w 2 微分方程 k w0 2 dx
x