2020年初升高数学衔接专题13 初高中衔接综合测试A卷(解析版)

初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题13初高中衔接综合测试A 卷1．某农业大镇2018年葡萄总产量为1.2万吨，预计2020年葡萄总产量达到1.6万吨，求葡萄总产量的年平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2 1. 2(1) 1.6x +=B ．2 1. 6(1) 1.2x -=C ． 1. 2(12) 1.6x +=D ．()21.21 1.6x +=【答案】A【解析】解：由题意知，葡萄总产量的年平均增长率为x ，根据“2018年葡萄总产量为1.2万吨，预计2020年葡萄总产量达到1.6万吨”可得：21.2(1) 1.6x +=． 故选：A ． 2．下列四个选项中，可以表示2111x x x -++的计算结果的选项是（ ） A ．21x -B ．1x -C ．()21x -D ．()211x x -+【答案】B【解析】 解：2211(1)(1)11111x x x x x x x x x -+--===-++++ 故选：B.3．若分式242x x --的值为0，则x 的值为( ) A ．±2B ．2C ．﹣2D ．4【答案】C【解析】解：由题意可得：240x -=且20x -≠，解得：2x =-故选C.4．如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5 B．7 C．8 D．13 2【答案】B【解析】作CH⊥AB于H，如图．∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH=32AB=43，AH=BH=4．∵PB=3，∴HP=1．在Rt△CHP中，CP=22(43)1=7．∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，P A为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选B．本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A ′在PC 上时CA ′的长度最小．5．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 交于点G ．若6BG =，则EG =（ ）A ．4.5B ．4C ．3.5D ．3【答案】D【解析】解：∵D ，E 分别是BC ，AC 的中点，∴点G 是△ABC 的重心，∴26BG EG ==，∴3EG =，故选D ．6．如图，在ABCD 中，30,,2,DBC CD BD CD AC BD ∠=⊥=、交于点O ，则AC 的长是（）A ．4B ．7C ．23D ．5【答案】B【解析】解：∵30,,2,DBC CD BD CD ∠=⊥=∴BC=2CD=4∴224223+=∵ABCD∴OD=12, AC=2OC∴=∴.故答案为B ．7．△ABC 是直角三角形，则下列选项一定错误的是（ ）A ．∠A －∠B=∠CB ．∠A=60°，∠B=40°C ．∠A+∠B=∠CD ．∠A ：∠B ：∠C=1：1：2【答案】B【解析】解：A 、∵∠A ﹣∠B ＝∠C ，∴∠A ＝∠B +∠C ，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴2∠A ＝180°，∴∠A ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，故A 选项是正确的；B 、∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴△ABC 是锐角三角形，故B 选项是错误的；C 、∵∠A +∠B ＝∠C ，∠A +∠B +∠C ＝180°，∴2∠C ＝180°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，故C 选项是正确的；D 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2，∴∠A +∠B ＝∠C ，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴2∠C ＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故D选项是正确的；故选：B．8．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=【答案】C【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．9．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∵DE ∶EC ＝2∶3， ∴DE DC ＝DE DE EC +＝25＝DE BA． ∵AB ∥CD ，∴DEF BAF △△∽，∴DF BF ＝DE BA ＝25． 故选：A ．10．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠ 【答案】A【解析】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根， 所以a 的取值范围为a≥1．故选A ．11．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE ， 连结 DE ， 则 DE 长的最小值是( )A 2B ．2C ．22D ．4【答案】B【解析】 解：设 AC=x ，BC=4﹣x ，∵△CDA ，△BCE 均为等腰直角三角形，∴CD=22x ，CE=22(4﹣x)， ∵∠ACD=45°，∠BCE=45°，∴∠DCE=90°，∴DE²=CD²+CE²=()()2222114482422x x x x x +-=-+=-+ ∵根据二次函数的最值，∴当 x 取 2 时 ，DE 取最小值 ，最小值为：2．故答案为B.12．如图，抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）与x 轴交于,A B 两点，顶点()P m n ,给出下列结论：①20a c +<；②若122311,,,,,222y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在抛物线上，则123y y y >>；③关于x 的方程20ax bx k ++=有实数解，则k c n >-；④当1n a =-时，ABP ∆为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④ 【答案】D【解析】解:∵-2b a ＜12，a ＞0， ∴a ＞-b ，∴2a=a ＋a ＞a －b∵x=-1时，y ＞0，∴a-b+c ＞0，∴2a+c ＞a-b+c ＞0，故①错误；若13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，∴ax2+bx+c-t=0有实数解要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误；设抛物线的对称轴交x轴于H．∵2414ac ba a-=-，∴b2-4ac=4，∴x=22ba-±，∴|x1-x2|=2a，∴AB=2PH，∵BH=AH，∴PH=BH=AH，∴PAB△是直角三角形，∵PA=PB，∴PAB△是等腰直角三角形，故④正确．故选D．13．如图，▱OABC的周长为7，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数k yx =（x＞0）的图像经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）A ．43B ．12C ．3D ．6【答案】C【解析】 解：作AD ⊥x 轴于D ，MN ⊥x 轴于N ，∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OA =BC ，AB =OC ，OA ∥BC ，∴∠BCN =∠AOC =60°．设OA =a ，由▱OABC 的周长为7，∴OC =72-a ， ∵∠AOC =60°，13,2OD a AD ∴==， 13,22A a a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ∵M 是BC 的中点，BC =OA =a ，∴CM =12a ， 又∠MCN =60°， 13,44CN a MN a ∴==， ∴ON =OC +CN =71732424a a a -+=-，73,243M a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， ∵点A ，M 都在反比例函数k y x=的图象上， 3137322244a a a a ⎛⎫∴⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，解得a =2， (1,3)A ∴，133k ∴=⨯=．故选：C ．14．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ，将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B′DE ，若B′D ，B′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是（ ）A ．△ADF ≌△CGEB ．△B′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB'F 的面积是一个定值【答案】D【解析】A 、连接OA 、OC ，∵点O 是等边三角形ABC 的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=12（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE=∠ODF=12（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=12（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=13S△ABC（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG，过O 作OH ⊥AC 于H ，∴S △OFG =12•FG•OH ， 由于OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB'F 的面积也变化，故选项D 不一定正确；故选D ．15．已知抛物线2231y ax ax a =-++()0a ≠图象上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，当121x x <<-时，有12y y <；当112x -≤≤时，1y 最小值是6．则a 的值为（ ）A ．1-B ．5-C ．1或5-D ．1-或5-【答案】B【解析】解：∵2231y ax ax a =-++ ∴2239124y a x a a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，即该抛物线的对称轴为x=32 ∵121x x <<-时，12y y <∴a ＜0 ∵x=32在112x -≤≤范围内， ∴当x=32时有最大值，x=-1时有最小值 ∴()()221311=6---++a a a整理得2450a a +-=，解得a=1（舍去）或a=-5故答案为B ．16．若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ ）A ．-13B ．12C ．14D ．15 【答案】B【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-52b a =，α·β=12c a =-，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×52+3×（-12）+1=12. 故选B.17．写出一个满足735a <<的整数a 的值为________．【答案】3、4或5【解析】∵2<7<3，5<35<6，∴2<a<6，∴整数a 的值为3、4或5，故答案为：3、4或5． 18．在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =.点O 为对角线AC 上一点（不与A 重合），⊙O 是以点O 为圆心，AO 为半径的圆.当⊙O 与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA 的范围是________.【答案】154049OA << 【解析】如图所示，⊙2O 与矩形有4个交点，当2O 再往点C 运动一点就会与矩形有5个交点，⊙3O 与矩形有6个交点，当3O 往点A 运动一点就与矩形有5个交点，所以，⊙O 在⊙2O 与⊙3O 之间时与矩形有5个交点，过点2O 作2O E CD ⊥，过点3O 作3O F BC ⊥，设⊙O 的半径为r ，∵在Rt △ABC 中，8AB =，6BC =，∴AC=10∵2O E AD ∥ ∴22O C O E AC AD =， ∴10106r r -=， ∴154r =， ∵3O F AB ∥，∴33O C O F AC AB= ∴10108r r -=， 409r =， ∴154049OA <<, 故答案为：154049OA <<． 19．如图，一艘船由A 港沿北偏东65︒方向航行30km 至B 港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20︒方向，则A ，C 两港之间的距离为______km ．【答案】15265【解析】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，30AB =，2152AE BE AB ∴===在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒， 356CE BE ∴==， 15256AC AE CE ∴=+=+，A ∴，C 两港之间的距离为(15256)km +， 故答案为：15265+．20．一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α，（CBE α∠=，如图1所示），此时液面刚好过棱CD ，并与棱'BB 交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，当正方体平放（正方形ABCD 在桌面上）时，液体的深度是__________dm ．【答案】1.5【解析】解：∵由图知：CQ ∥BE ，BQ=4，CQ=5，根据勾股定理得：22543BQ =-=（dm ），液体的体积为：1344=242⨯⨯⨯（dm 3）， 液体深度为：24÷（4×4）=1.5（dm ），故答案为：1.521．已知ABC 的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为______．【答案】201812【解析】 由题意可得，第1个三角形的周长是1，第2个三角形的周长是12， 第3个三角形的周长是2111222⨯=， 第4个三角形的周长是23111222⨯=， 则第2019个三角形的周长是201812， 故答案为：201812． 22．若关于x 的方程（x ﹣4）（x 2﹣6x +m ）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为_____． 【答案】659【解析】设某直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，依题意可得x ﹣4＝0或x 2﹣6x +m ＝0，∴x ＝4，x 2﹣6x +m ＝0，设x 2﹣6x +m ＝0的两根为a 、b ，∴（﹣6）2﹣4m ＞0，m ＜9，根据根与系数关系，得a +b ＝6，ab ＝m ，则c ＝4，①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；②a为斜边时，c2+b2＝a2，42+（6﹣a）2＝a2，a＝133，b＝6﹣a＝53，∴m＝ab＝13353=659故答案为659．23．如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C1 ,它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3，交x轴于点A2．．．．．．如此进行下去，直至得到C2018，若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为________．【答案】-1【解析】由抛物线C1：y=-x(x-2)，令y=0，∴-x(x-2)=0，解得∴与x轴的交点为O（0,0），A（2,0）.抛物线C2的开口向上，且与x轴的交点为∴A（2,0）和A1（4，0），则抛物线C2：y= （x-2）（x-4）；抛物线C3的开口向下，且与x轴的交点为∴A1（4，0）和A2（6，0），则抛物线C3：y= -（x-4）（x-6）；抛物线C4的开口向上，且与x轴的交点为∴A2（6，0）和A3（8，0），则抛物线C4：y=（x-6）（x-8）；同理：抛物线C2018的开口向上，且与x轴的交点为∴A2016（4034，0）和A2017（4036，0），则抛物线C2018：y=（x-4034）（x-4036）；当x=4035时，y= 1×（-1）-1.故答案为：-1.24．如图，已知二次函数4(2)(4)9y x x =-+-的图象与x 轴交于A 、B （点B 在点A 的右侧）两点，顶点为C ，点P 是y 轴上一点，且使得PB PC -最大，则PB PC -的最大值为_________．【答案】5【解析】解：由题意可知：A 、B 、C 的坐标分别为（-2,0）、（4,0）、（1,4）设P 点坐标为（0，p ）如图，当P 、C 、B 不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PC-PB ＜BC,∴当P 、C 、B 在同一条直线上，PC-PB=BC,即此时PC-PB 有最大值BC∴BC=()2241(04)5-+-=故答案为5．25．如图，AB 为O 的直径，BC ，AD 为O 的切线，直线OC 交DA 延长线于E ，DC DE =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若60E ∠=︒，1AE =，求阴影部分的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的周长是236π+【解析】（1）证明：如图，过点O 作OH ⊥CD ，垂足为H ，连接OD ，∵BC ，AD 为⊙O 的切线，∴∠CBO ＝∠OAE ＝90°，又OB ＝OA ，∠BOC ＝∠EOA ，∴BOC ≌AOE （ASA ），∴OC ＝OE ，又DC ＝DE ，∴DO 平分∠ADE ，OD ⊥CE ，∴OH ＝OA ，∴OH ＝OB ，又∵OH ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵在Rt AEO 中，∠E ＝60°， ∴tan 3OA E AE ∠==∵AE ＝1，∴3OA =∵OD ⊥CE ，∴∠DOA ＝90°－∠EOA ＝∠E ＝60°，∠DOH ＝90°－∠COH ＝90°－∠COB ＝90°－∠AOE ＝∠E ＝60°，tan60333 DH DA OA︒==⋅=⨯=，∴弧AH的长是120323ππ⋅=，∴阴影部分的周长是2363π+．26．如图所示，四边形ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．(1)求证：BD⊥CB；(2)求四边形ABCD 的面积；(3)如图2，以A 为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD=14S四边形ABCD，求P的坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）36m2；（3）P 的坐标为（0，-2）或（0，10）．【解析】（1）证明：连接BD．∵AD=4m，AB=3m，∠BAD=90°，∴BD=5m．又∵BC=12m，CD=13m，∴BD2+BC2=CD2．∴BD⊥CB；（2）四边形ABCD 的面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积=12×3×4+12×12×5=6+30=36（m2）．故这块土地的面积是 36m 2；（3）∵S △PBD =14S 四边形ABCD ∴12•PD•AB=14×36， ∴12•PD×3=9， ∴PD =6，∵D （0，4），点 P 在 y 轴上，∴P 的坐标为（0，-2）或（0，10）．27．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动，如图，在一个坡度(坡比1:2.4i =)的山坡AB 上发现一棵古树CD ，测得古树低端C 到山脚点A 的距离26AC =米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角48AED ∠=(古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面内，古树CD 与直线AE 垂直)，求古树CD 的高度约为多少米？ (结果保留一位小数，参考数据480.74,sin ≈cos 480.67,tan 48 1.11≈︒≈)【答案】23.3米【解析】解：延长DC 交直线EA 于点F ，则DFEF ，∴设CF ＝k ，由i ＝1:2.4，则AF ＝2.4k ，在Rt △ACF 中，由勾股定理得， 222CF AF AC +=∴2222.426k k +=，解得：k ＝10，∴CF ＝10，AF ＝24，∴EF ＝AF ＋AE ＝30．在Rt △DEF 中，tanE ＝DF EF∴tan 483030 1.1133.3DF tan EF E ︒≈⨯===⨯33.31023.3CD DF CF ∴=-≈-=故古树CD 的高度约为23.3米．28．化简（1）()()()2224323m m m m m +- （2）2(6)(3)(3)x x x +++-（3）211a a a --- 【答案】（1）m 6；（2）12x +45；（3）11a -． 【解析】（1）()()()2224323m m m m m +- =8634m m m m m +-=868m m m +-=6m ；（2）2(6)(3)(3)x x x +++-=2212369x x x +++-=1245x +；（3）211aaa---=2(1)(1)11a a aa a+----=2211a aa-+-=11a-．29．抛物线23y ax bx=++（a b，为常数，0a≠）与x轴交于()20A-，，()60B，两点，与y轴交于C点．设该抛物线的顶点为M，其对称轴与x轴的交点为N．（1）求该抛物线的解析式；（2）P为线段MN（含端点M N，）上一点，()0Q n，为x轴上一点，且PQ PC⊥．①求n的取值范围；②当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【答案】（1）2134y x x=-++；（2）①748n≤≤；②49316t<【解析】解：（1）∵点()20A-，，()60B，在抛物线上，∴423036630a ba b-+=⎧⎨++=⎩，．解得14a=-，1b=．∴该抛物线的解析式为2134y x x=-++；（2）①由()221132444y x x x=-++=--+，得M（2，4），设P 点坐标为（2，m ），其中04m ≤≤，则()22223PC m =+-，()2222PQ m n =+-，2223CQ n =+，∵PQ PC ⊥，∴在△PCQ 中，222PC PQ CQ +=，即()()2222222323m m n n +-++-=+， 整理得()221137342228n m m m ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，0≤m≤4， ∴当32m =时，n 取得最小值为78； 当4m =时，n 取得最大值为4，∴n 的取值范围是748n ≤≤； ②由①知，当n 取最大值4时，4m =．此时()40Q ，， ∵点()03C ，， ∴线段CQ 的解析式为334y x =-+， 设CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为334y x t =-++． 如图，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点，此时点Q '的坐标()43Q '，．将()43Q '，代入334y x t =-++，得3t =． 当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时， 由2134334y x x y x t ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 得13(2)(6)344x x x t -+-=-++．化简，得2740x x t -+=． 由49160t ∆=-=，解得4916t =． ∴t 的取值范围是49316t <．30．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ＝1023，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM 的最小周长．【答案】（1）y ＝21462x x -+；（2）存在，点P 的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，17P （4，317）；（3）5【解析】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B 两点，对称轴为直线x ＝4，∴点A 的坐标为（2，0）．∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （2，0），B （6，0），C （0，6），4203660,6a b c a b c c ++=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得a ＝12，b ＝﹣4，c ＝6． ∴抛物线的解析式为：y ＝21462x x -+； （2）设P （4，y ），∵B （6，0），C （0，6）， ∴BC 2＝62+62＝72，PB 2＝22+y 2，PC 2＝42+（y ﹣6）2，当∠PBC ＝90°时，BC 2+PB 2＝PC 2，∴72+22+y 2＝42+（y ﹣6）2，解得：y ＝﹣2，∴P （4，﹣2）；当∠PCB ＝90°时，PC 2+BC 2＝PB 2，∴42+（y ﹣6）2+72＝22+y 2，解得：y ＝10，∴P （4，10）；当∠BPC ＝90°时，PC 2+PB 2＝BC 2．∴42+（y ﹣6）2+22+y 2＝72，解得：y ＝3 ．∴P （4，3+）或P （4，3-．综合以上可得点P 的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，）或P （4，3）． （3）过点Q 作QH ⊥y 轴于点H ，∵B （6，0），C （0，6），∴OB ＝6，OC ＝6，∴∠OCB ＝45°，∴∠CQH ＝∠HCQ ＝45°，∵CQ ＝3，∴CH ＝QH 10,3=∴OH ＝1086,33-= ∴点Q 的坐标为（108,33）， 在x 轴上取点G （﹣2，0），连接QG 交y 轴于点M ，则此时△AQM 的周长最小，∴AQ 2210845(2)()33-+= QG 221085(2)()333++= ∴AQ +QG 45855,+= ∴△AQM 的最小周长为5。