最新九年级数学专题复习 相似三角形解题技巧及口诀
微专题16 相似三角形之五大模型++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF
29
【针对训练】
14.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC
3
上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=_______.
30
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的顶点O在AB上,OM,
微专题16
相似三角形
之五大模型
2
模型1
特点
A字型(公共顶角)
两个三角形有一个公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE与BC不平行,
有∠ABC=∠AED
示例
思路 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分
结论 以上两种情况讨论
3
【针对训练】
1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E,F分别为AC,BC的中点,连接EF,H为AE的中点,
1
ON分别交CA,CB于点P,Q,∠MON绕点O任意旋转.当 = 时, 的值为______;当
2
1
= 时, 的值为______.(用含n的式子表示)
31
16.(2024·青岛市南区二模)如图,点F在四边形ABCD的边AB上,
(1)如图1,当四边形ABCD是正方形时,过点B作BE⊥CF,垂足为O,交AD于点E.则BE
∴∠PBG=180°-∠ABC=90°,
∴∠PBG=∠POC=90°,
∵∠BPG=∠OPC,
∴△BPG∽△OPC,
∴ = ,
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
初三《相似三角形》知识点总结
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a bc da b c d a d b c a c ()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a bc dadbc ②合比性质：±±a b c d a b b c d d③等比性质：……≠……a bc dm nb dn a c m bdna b()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2CF l3可得EF BC DEAB DFEF ACBC DFEF ABBC DFDE ACAB EFDE BCAB或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EBC由DE ∥BC 可得：AC AEABAD EAEC ADBD ECAE DBAD 或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
九年级数学《相似三角形的判定-总复习课》课件
(2)若∠A=∠A′，可添加条件____
复习目标
1 熟练掌握三角形相似的判定方法，理解各判定 方法的区别与联系。
2 能够从题目的条件和结论出发，选取合适的判 定方法解决三角形相似问题。
尝试思考题
1 你能记得多少种判定三角形相似的方法？ 2 三1 定义： 对应角相等，对应边成比例。 2 平行线法 ：平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3 两角法：两角对应相等，两三角形相似。 4 两边一夹角法 ：两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似。 5三边法：三边对应成比例，两三角形相似。 6直角三角形相似的判定定理： 斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
相似三角形的判定
导新定向
1.如图1，在□ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交
于点E,与DC交于点F，则图中相似三角形共有（
）
A 3对 B 4对 C 5对 D 6对
A
D
EF
B
图1 C
G
AB BC
2.要判定△ABC∽△A'B'C',已知条件, A，B，= B，C， (1)还要添加条件____或____.
（３）如图③，在矩形ABCD中，已知ＡＢ＝ 2 3 ，BC=3，
M是AD边上一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D落在AB边上 的点E处，求证：点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个
“强相似点”。
（４）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上 的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相 似点，试确定E点位置．
（1）如图①， ∠A=∠B=∠DEC=45°， 试判断点E是否是四 边形ABCD的边AB上 的相似点，并说明理由； （2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方 形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每 个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边 AB上的强相似点；
三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
最新人教版九年级数学相似三角形27.2.2相似三角形的性质
27.2.2相似三角形的性质
知识点
1.如何灵活应用相似三角形的判定方法
（1）条件中若有平行线，可以采用找角相等证明两个三角形相似
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或者再找此角所在的两边比对应相等
（3）条件中若有两边比对应相等，可找夹角相等或者第三边的比对应相等
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或两直角边的比对应相等
（5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或找腰和底的比对应相等
2.相似三角形的性质：对应边的比相等，对应角相等(画出图形，并且用数学符号语言表示）
3.相似三角形对应线段（对应高，对应中线，对应角分线）的比：等于相似比（画出图形，写出已知求证并证明）
4.相似三角形（多边形）的周长比：等于相似比（画出图形，写出已知求证并证明）
5.相似三角形（多边形）的面积比：等于相似比的平方（画出图形，写出已知求证并证明）
练习题
5.
6.。
九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)
.
（ 5）平行线分线段成比例定理 ：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例
.
（ 6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在
另一条直线上截得的线段也相等 .
这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之
, 有比例可得到平行线 . 首先要弄清三个基本图形：
九年级数学相似三角形知识点汇总参考
一、比例线段及比例的性质
1.比例线段： （ 1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段
a， b 的长度分别是 m， n，那么就说这两条线段的比是
a:b=m:n ，或写成
, 其中 a 叫做比的前项 ;b 叫做比的后项 .
（ 2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比
（ 3）向量平行的 判定定理： a 是一个非零向量，若存在一个实数 m ，使 b ma ，则向量 b 与非零向量 a 平行 .
（ 4）向量平行的性质定理：若向量 b与非零向量 a 平行 ，则存在一个实数 m ，使 b ma .
（ 5） A、 B、 C 三点的共线
AB// BC 若存在实数 λ ，使 AB λBC .
3
诠释： （ 1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （ 2）实数与向量不能进行加减运算；
（ 3） ka 表示向量的数乘运算， 书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，
面；
（ 4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系
.
3.实数与向量相乘的运算律
设 m 、 n 为实数，则：
注意不要将表示向量的箭头写在数字上
, 所截得的三角形的
三边与原三角形三边的对应成比例 .
相似三角形口诀归纳ok1
相似三角形口诀归纳相似图形 你必须了解的特殊图形！A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证d c b a =，可先证得f eb a =（f e ,是两条线段）然后证d c fe =，这里把fe叫做中间比。
①∠ABC =∠ADE ．求证：AB ·AE =AC ·ADF②△ABC 中，AB=AC ，△DEF是等边三角形,求证：BD•CN=BM•CE ．③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证：BP •PC=BM •CN☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF②ABCD③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE☞四共线，看条件，其中一条可转换；①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
九年级《相似》口诀
《相似》归纳口诀九年级时间宝贵，如何在有限时间里获得最好的教学效果呢？我们可以做出一些尝试，把书本的知识用简洁明快的语言归纳给学生听，并把实践中的关键点、易错点、易混点总结成朗朗上口的文字。
让学生在复习中巩固，在练习中熟悉，在考试中运用自如。
下面是《相似》知识和要点归纳口诀。
形状相同即相似，角相等又边成比例，定义就是第一判定，放大缩小的图形必相似，边数相同的正多边形必相似。
重点把握三角形的相似，第一判定平行得相似，几大相似判定逐一来熟悉，sss大中小一一来对应，sAs夹角相等边成比，AA两角相等就可以，HL是直角三角形的专利。
知道了相似判定还要把图形相似变换来认识：平移对应看得清，旋转对应得让图形来转动，翻折就翻动图形来对应。
有空间想象作牵引，可写下一一对应的三角形来相似。
符号∽是对应的唯一，文字的相似分类思考要牢记。
已知相似要用相似比，对应的边、高、中线、角平分线的比都为相似比，周长的比也是相似比，面积的比是平方的相似比。
位似的两图形首先是相似，然后对应点连线于一点相交汇，对应边平行或在同一条直线，满足这些的两图形就位似。
位似的性质细分析，具有相似的一切性质，找出一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比。
位似出现在平面直角坐标系，两图形位似也可用坐标来表示，若关于原点来位似，K为新图形与原图形的相似比，原图形上的点（x,y）找对应点，得出（kx,ky）是平移的位似，（-kx,-ky）是旋转的位似。
若是关于点（a,b）来位似，K为新图形与原图形的位似比，对应边的比等于相似比，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，对应点到位似中心的横向距离之比等于相似比（大横减小横），对应点到位似中心的纵向距离之比等于相似比（大纵减小纵），原图形的点（x,y）与对应点（m,n）有什么关系？（m-a）/（x-a）=k, （n-a）/（y-a）=k,是平移的位似；（m-a）/（x-a）=-k, （n-a）/（y-a）=-k,是旋转的位似。
初中数学相似三角形口诀归纳,文末附解题思路,童鞋学起来
初中数学相似三角形口诀归纳，文末附解题思路，童鞋学起来初中数学相似三角形口诀归纳，文末附解题思路，童鞋学起来许多平时记不住、记不牢、不好记、很抽象的知识，通过朗朗上口的口诀来学习，就能变得轻松有趣，还能收到事半功倍的效果，这种寓教于乐的学习方式，对于需要大量掌握学科知识的孩子来说，是一条难得的捷径。
今天老师分享的是初中数学相似三角形的口诀。
可能有的同学对何为相似三角形还有所不解，我们先来看看相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
下面我们正式进入口诀学习时刻，注意文末还附有解题思路哦~~~相似三角形终极策略口诀:第一首【原始】遇等积，化比例，同侧三点找相似;四共线，无等边，射影平行用等比;四共线，有等边，必有一条可转换;两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
第二首【整理】遇等积，化比例，横找竖找定相似;不相似，不用急:等线等比来代替;有射影，或平行，等比传递我看行;四共线，有等边，必有一条可转换;两共线，上下比，过端平行条件边;彼相似，我条件，创造边角再相似。
相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比一、相似三角形的概念平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
二判定定理常用的判定定理有以下6条:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似。
初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）当三点设置法不能解决待证问题时，即线段比例公式中的四条线段在图中均在同一条直线上，不能形成三角形，或四条线段形成两个三角形，但两个三角形不相似时，就需要根据已知条件，找到与比例公式中的一条线段相等的线段来代替这条线段。
如果没有，可以考虑加一条简单的辅助线。
然后用三点成形法确定相似三角形。
只要代入得当，问题往往可以解决。
当然，也要注意最后把被替换的线段替换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE 交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．分析：1、等比过渡法（等比代换法）当用三点设置法无法确定三角形，又没有等比线段代换时，可以考虑等比代换法，即可以考虑使用第三组线段的比比例桥，即通过对已知条件或图形的深入分析，在验证的结论中找到等于某一比值的比值并进行代换，再用三点设置法确定三角形。
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
二、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成一个类似于原三角形的三角形。
三、三角形相似的判定1、三角形相似的判定方法①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似2、直角三角形相似的判定方法①、以上各种判定方法均适用②、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③、垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
相似常见类型二、相似常见结论1若DE//AB，则DG/AF=GE/BF2若AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/CD3若四边形ABCD是平行四边形，则AE⊃2;=EF·FG4若∠DAC=∠DBC，则△ADE~△BCE ,可推导出△AEB~△DEC即上下相似可得左右相似同理，左右相似可得上下相似相似三角形常见解题技巧1、三角形叉叉图这类题目经常考察寻找线段的比例或长度。
图中四对线段比AE/ED、AF/BF、CD/BD、CE/EF，知二求二。
常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例2、三角形的可解性一个三角形，必然有三角形、三边、三高、周长、面积等十一个量。
相似三角形证明口诀5
相似三角形证明口诀5《相似三角形证明口诀5》口诀一：一找两角对应等，相似判定就可行。
好比两个小伙伴，脸上表情都相同。
你看那三角形里，两个角儿要是像，就像照镜子模样，这种情况别发慌，直接判定相似强。
角角相等真奇妙，相似关系跑不了。
就像双胞胎一样，特征相同没商量。
不管是大是小呀，形状相同能明了。
口诀二：二看两边成比例，夹角相等要牢记。
就像两根小树枝，长短比例得合适。
三角形的两条边，按照比例来相见。
中间夹角还得等，就像大门要对正。
要是这俩都符合，相似三角形有着落。
这就好比搭积木，块块都得对角度，比例夹角都具备，相似就像那影随。
口诀三：一寻平行得相似，恰似铁轨平行线。
三角形里若平行，相似形状就诞生。
一条直线平行边，形成的角儿有关联。
同位内错角相等，相似性质就出现。
就像火车沿着轨，一路向前不偏位。
平行带来相似形，这个道理要心领。
看到平行想相似，证明轻松能开启。
口诀四：二查三边成比例，相似判定很干脆。
三角形的三条边，比例相同是关键。
就像三根小木棍，长短比例都对衬。
三边比例若相等，相似不用再疑问。
好比三个小伙伴，身高比例都一般。
不管怎么去排列，相似形状在眼前。
这种情况好判断，三边比例仔细算。
口诀五：一观母子相似形，就像母鸡带小鸡。
大三角形含小形，相似关系有实情。
公共角儿先看见，还有两边成比例。
这种情况常出现，相似证明不费难。
就像大圈包小圈，形状相似有渊源。
母子相似莫忘掉，证明里面很重要。
看到这种结构呀，相似立马就想到。
口诀六：二看斜边直角边，直角三角形里现。
如果斜边比斜边，直角边也成比例。
就像两个小旗竿，斜着竖着都相关。
直角三角形相似，这个方法很好使。
这就如同搭帐篷，支架长短有比例。
斜边直角边对好，相似就能来报道。
碰到直角三角形，这个口诀要记清。
口诀七：一找等角再等边，相似之路就通坦。
先把等角来发现，再看对应边相关。
就像寻宝有线索，角儿相等是开端。
然后顺着边儿找，比例关系要明了。
这就像拼图游戏，一块一块来对齐。
相似三角形解题技巧及口诀
A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 ①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形求证：BD•CN=BM•CE．③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。
求证：BP•PC=BM•CN有射影，或平行，等比传递我看行①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FAB E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD, 求证：OC 2=OA.OE四共线，看条件，其中一条可转换；①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
求证：EF2=BE•FC②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，求证：BP2=PE·PF。
③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F.求证：DE2=BE·CE.☞两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD 是△ABC 的角平分线. 求证：AB:AC=BD:CD.②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE.③在△ABC 中，AB>AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ， 直线DE 和BC 的延长线交于点P ， 求证：BP:CP=BD:CE.BC④在△ABC 中，BF 交AD 于E.(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED. （3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.B过F做FI//BC，交AD于I，交AE于J过P做PK//BC交AE于K∵F是AC的中点∴FI：CD = 1：2∵D，E是BC的三等分点∴BD：DE：EC = 1：1：1∴BD;DC = 1:2∴IF = BD∴BP ：FP = 1:1 = DP:PI∵F是AC的中点，FI//BC∴I是AD的中点∴AP：⑥△ABC中，AC=BC，F为底边AB 上的一点，（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC，那么CF 所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。
初三-相似三角形的判定
知识精要一、相似三角形的概念一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
对应边的比值叫做相似比。
即△AB C ∽△DEF ，我们可以得到：【注意事项1、2、】相似具有连贯性：即两个三角形分别与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（∥） 【请用所上节课所学习的知识+定义证明】基本图形之一：(请添加条件，使之相似)2、判定定理:(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A ’ ;∠B=∠B ’ 求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’CBB'基本图形之二：(请给图标上字母，并写出所有的相似三角形)角1=角221角1=角221（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A ’ ;''''AB ACA B A C求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’ CBB'基本图形之三：(请给图标上字母及条件，并写出所有的相似三角形)（3）如果一个三角形的三边与另外一个三角形的三边对应成比例，那么这两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两直角三角形相似。
（HL）【自己画图，写出已知、求证，并证明】【二、相似三角形的性质1、性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长比都等于相似比。
【要求自行证明】、【总结】2、性质二：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【自行证明】热身练习1、下列条件中，不能判断ABC ∆与DEF ∆相似的是（ ） A ．∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠F=70°B ．2,3AB BC ==,∠B=40°，4,9DE EF ==,∠E=40° C ．4,5,6,6,7.5,9AB BC AC DE EF DF ======D ．,AB AC =∠A=50°，DE DF =,∠E=50°2、下列命题正确的是（ ）A ．有一个角是40°的两个等腰三角形B ．有一个角是100°的两个等腰三角形C ．面积相等的两个直角三角形D ．两边之比为3:5的两个直角三角形3、如图：△ABC 中，∠ACB=90°,C D ⊥AB,垂足为D ，且 2.5,0.9AD cm DB cm ==，求： （1）CD 的长 （2）:ACD CBD S S ∆∆BD A4、如图：D 是△ABC 的AB 边上一个动点，D E ∥BC 交AC 于E ，D F ∥AC 交BC 于F ，已知AD:DB=1:2，求三角形ADE 、三角形DBF 、平行四边形DFCE 的面积之比BDA5、如图：平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，EC 交AD 于F ，已知:1:2EA AB =,2AEF S ∆=,求平行四边形ABCD 的面积BD6、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知9,25AOF COB S S ∆∆==,求梯形ABCD 的面积CB7、已知梯形的两底边长分别为4和6，高是3，求梯形两腰的延长线的交点到较长底边的距离 【要求自己画图】精解名题1、已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足2AB DB CE =⋅(1)求证：△ADB ∽△EAC(2)若∠BAC=40°，求∠DAE 的度数B D2、已知G 是△AB C 的重心，且在中线AD 上，延长AD 到H ，使得DH=GD ，K 是BG 的中点 求证：△FK G ∽△GHC【析】注意从对应点所给于的信息。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
冀教版九年级上册数学《相似三角形的判定》研讨说课复习课件巩固
AD
k.
和B'C'上的中线.求证：
A
A'D'
E
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
AB
BC
∴∠B=∠B'，
C
B
A' B ' B 'C '
D
∵AD、A'D'分别为△ABC和△A'B'C'的中线
1
1
A'
BD BC, B ' D ' B 'C ',
E'
2
③三边对应成比例;
④直角三角形中，斜边和直角边对应成比例
（3）相似三角形有何性质？
A'
A
B
C
B'
C'
①相似三角形的对应角_________
相等
②相似三角形的对应边__________
成比例
（4）什么是相似三角形的相似比？
AB
AC
BC
相似比=对应边的比= AB AC BC .
想一想:它们还有哪些性质呢?
∴AD⊥BC
∴AG⊥EF
A
E
B
G
D
（相似三角形对应
高的比等于相似比）
F
C
解得，AG=9
例1.（拓展）如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，
把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在
AB,AC上.求这个正方形零件的边长.
相似三角形四种判定口诀
相似三角形四种判定口诀一、全等三角形口诀：三条边相等，角也一样大；三个内角之和为180°，叫全等三角形。
二、等腰三角形口诀：对边中有相等，两个内角相补；角之和到180°，叫等腰三角形。
三、等边三角形口诀：三条边都一样，角也相等分开；三个内角加起来，正好等于180°叫等边三角形。
四、直角三角形口诀：有一个角到底直，三条边有相等；累加值等于180°，叫直角三角形。
三角形是几何学中最重要的图形之一，它是一个有三条边和三个角的形状。
三角形可以分为全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形四种类型，分别是具有三条边&三个角相等、两条边相等&两个角相补、三条边相等&三个角相等、一个角是直角*三条边有相等的特征。
几何知识中针对这四种不同类型的三角形都有经典的口诀，让学生可以轻松判定出三角形的类型。
全等三角形口诀是三条边相等，角也一样大；三个内角之和为180°，叫全等三角形。
全等三角形的特点是三条边和三个内角都是相等的，比较好判断，只要判断三条边和三个内角是否相等，就可以确定是否是全等三角形。
等腰三角形口诀是对边中有相等，两个内角相补；角之和到180°，叫等腰三角形。
等腰三角形的特点是有两条边是相等的，两个内角是一大一小，一大一小的两个角之和等于180°。
就是通过判断有两条边是否相等，是否可以构成一大一小的两个内角，来确定是否是等腰三角形。
等边三角形口诀是三条边都一样，角也相等分开；三个内角加起来，正好等于180°叫等边三角形。
等边三角形的特点是三条边和三个内角都是相等的，都是直角，怎么判断无非就是看三条边是否相等，内角是否也都相等即可。
直角三角形口诀是有一个角到底直，三条边有相等；累加值等于180°，叫直角三角形。
直角三角形的特点就是有一个钝角为直角，而且三条边有相等的特点。
判断直角三角形就是看是否有一个角是直角，而且三条边有相等的特点，看看是否满足条件就可以判断出是否是直角三角形了。
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1
F
E
D A
B C
相似三角形解题技巧及口诀
A 字形，A ’形，8旋转形
双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD •BD
⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD •AB
⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD •AB
结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略
直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型
②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比
相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似；
四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若是四条线段，欲证，可先证得
（
是两
条线段）然后证，这
里把叫做中间比。
①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD
②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证：
BD•CN=BM•CE ．
③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证：BP •PC=BM •CN
☞有射影，或平行，等比传递我看行 ①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD
⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF E
A C
D E A
B C B
A
D
E
C
2
斜边上面作高线，比例中项一大片 ②ABCD
③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD, 求证：OC2=OA.OE
☞四共线，看条件，其中一条可转换；
①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
求证：EF2=BE •FC
②△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ， 求证：BP2=PE·PF 。
③AD 是△ABC 的
角平分线，EF 垂直
平分AD ，
交BC 的延长线于E ，交AB 于F. 求证： DE2=BE·CE.
☞两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD 是△ABC 的角平分线.
求证：AB:AC=BD:CD.
②在△ABC 中，AB=AC ，
求证：DF:FE=BD:CE.
③在△ABC 中，AB>AC ，D 为AB
上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ，
直线DE 和BC 的延长线交于点P ， 求证：BP:CP=BD:CE. ④在△ABC 中，BF 交AD 于E. (1)若
AE:E
D=2:3，
BD:DC=3:2，求AF:FC ；
(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED. （3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC
⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分
点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.
⑥△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上的一点，（m 、n ＞0），
取CF 的中点D ， 连结AD 并延长交BC 于E.（1）
的值.（2）如果BE=2EC ，那么CF 所在直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。
☞彼相似，我条件，创造边角再相似①AE2＝AD·AB ，且∠ABE ＝∠BCE ， 试说明△EBC ∽△DEB
F B
A
C
D
E
3
2
1E D
A
B
C
12F E D B C A
D
A
C
E
E A
D
F O
D A E
3
②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽
ADE ∆．
③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。
④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上， 且AE •AB=AD •AC ，BD 、CE 交于点O. 求证：△BOE ∽△COD .。