【一等奖教案】 线性规划

课题：线性规划在实际生活中的应用

教学目标：

1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；

2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．

教学重、难点：

教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．

教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；

2．寻找整点最优解的方法．

教具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后）

教学方法：讲练结合、分组讨论法

教学过程：

（一）讲解新课

1．实例1讲解

引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目．

（播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》）

当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题：

例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？

应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答．

分析：将已知数据列成下表

播放片甲播放片乙节目要求

片集时间（min） 3.5 1

≤16 广告时间（min）0.5 1 ≥3.5

收视观众（万）60 20

解：设电视台每周应播映片甲x 次，

片乙y 次，总收视观众为z 万人．

42160.5 3.5,x y x y x y N +≤⎧⎪

+≥⎨⎪∈⎩

6020z x y =+ 列约束条件时，要注意讲清x ∈N .y ∈N ，这是学生容易忽略的问题．

列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解．

先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：

①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；

②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化．

由图解法可得：当x =3， y =2时，z max =220．

答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．

例题小结：

简单线性规划应用问题的求解步骤：

（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示） 1． 将已知数据列成表格的形式，设出变量x ，y 和z ; 2． 找出约束条件和目标函数;

3． 作出可行域，并结合图象求出最优解; 4． 按题意作答．

2．实例2讲解 (课本例题修改，数据基本不变，改了题目的实际背景) 引入： “中国结”是中国特有的民间手工编结装饰品，“中国结”经过几千年的结艺演变，现已成为广大群众喜爱的具有中国特色的艺术品：

（展示中国结的图片，及其它相关图片，配有背景音乐）

例2：某校高二(1)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A 、B 、C 三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：

A 规格

B 规格

C 规格 甲种彩绳 2 1 1 乙种彩绳 1 2 3

今需要A 、B 、C 三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？ 分析：将已知数据列成下表

甲种彩绳 乙种彩绳 所需条数 A 规格 2 1 15 B 规格 1 2 18 C 规格 1 3 27 彩绳单价 8 6

解：设需购买甲种彩绳x 根、乙种彩绳y 根，共花费z 元；

215218327,x y x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎪

⎨

+≥⎪⎪∈⎩ z=8x+6y

在用图解法求解的过程中，学生发现：

直线l 最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择?

进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗? 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是……，如何寻找最优解？

满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l ,最先经过的整点坐标是整数最优解．

由网格法可得：当x =3，y =9时，z min =78．

答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少！

例题小结：

确定最优整数解的方法：

1．若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下） 2．若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l 、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范． （结合例题1、例题2，可以归纳出以上两点）

（二）课堂练习

引入：2006年9月，历4载风雨，国家体育场“鸟巢”从图纸变成现实．××中学想组织学生去参观：

（动画演示到国家体育场行进路线，展示“鸟巢”效果图，配上背景音乐）

练习：××中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人． 已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？

学生练习分为三部分，引导学生动手，分解难点：

（每个学生发一张习题纸和一把直尺，在习题纸上作答、画图） 1．练习填表理解题意（习题纸上课堂练习题下印有下表）

小巴 大巴

思考片刻，请学生回答．

2．练习列约束条件和目标函数；

①将学生分为三组，分组讨论，各组竞争，教师巡视，对学生列式中出现的错误及时纠正；