(完整版)高三数学一轮复习练习题全套1—4(含答案),推荐文档
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
精选2019年高考数学第一轮复习完整题库(含参考答案)
2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6（2005湖北卷）2．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（2010全国卷2理数）（6）3．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={2,3,5}，则 )(B A C U 等于（ ）A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．φ (2004福建文)4．已知123,,ααα是三个相互平行的平面，平面12,αα之间的距离为1d ，平面23,a α之前的距离为2d ，直线l 与123,,ααα分别相交于123,,P P P .那么“1223P P P P =”是“12d d =”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件（2011江西理8）5．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π6．91)x展开式中的常数项是（ C ） (A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 847．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A 、[]0,1 B 、[]1,7 C 、[]7,12 D 、[]0,1和[]7,12二、填空题8． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ．9．异面直线a , b 所成的角为︒60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为︒60，这样的直线L 有 条。
高三数学一轮复习章节练习40套含答案整理版
高三数学章节训练题1《集合与简易逻辑》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．1. 设集合{21,}A x x k k Z ==+∈，{21,}B x x k k Z ==-∈，则集合A B 、间的关系为（ ）A.A B =B.A B ØC.B A ØD.以上都不对 2. 如果{}3P x x =≤，那么（ ）A.1P ⊆－B.{}1P ∈－C.P ∈∅D.{}1P ⊆－3. 命题“若0a >，则1a >”的逆命题.否命题.逆否命题中，真命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.34. 已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的( )条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 5. 已知集合{}121A x a x a =+≤≤-, {}25B x x =-≤≤, 且A B ⊆, 则a 的取值范围是( ).A.2a <B.3a <C.23a ≤≤D.3a ≤ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.6. 已知集合{,}A x R x a a Z b Z =∈=+∈∈A （填∈、∉）. 7. 写出命题“x A ∃∈，使得2230x x --=”的否定 .8．设集合{}533x A x =<,{}2430B x x x =-+≥,则集合{|P x x A x =∈且∉A }B ⋂= .三、解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第10.11小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤．9. 已知集合2{|30}A x x px =+-=，集合2{|0}B x x qx p =--=，且{1}A B ⋂=-，求2p q +的值.10.设全集{010,}U x x x N +=<<∈，若{3}A B ⋂=，{1,5,7}U A C B ⋂=，()U C A ⋂()U C B{9}=，求A 、B .11. 已知1:2123x p --≤-≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.高三数学章节训练题1参考答案： 1～5 ADCAC6. ∈7. x A ∀∈，都有2230x x --≠8. {|13}x x <<9. 解：因为{1}A B ⋂=-，所以1x =既是方程230x px +-=的根，又是方程20x qx p --=的根.13010p q p --=⎧∴⎨+-=⎩，得23p q =-⎧⎨=-⎩，所以27p q +=-. 10. 解：如图2，由韦恩图知，{1,3,5,7}A =，{2,3,4,6,8}B = 11. 解：由22210x x m -+-≤，得11m x m -≤≤+， :{|1q A x x m ∴⌝=>+或1,0}x m m <->.由12123x --≤-≤，得210x -≤≤. :{|10p B x x ∴⌝=>或2}x <- p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，012,110m A B m m >⎧⎪∴⊆⇔-≤-⎨⎪+≥⎩9m ∴≥.高三数学章节训练题2 《函数及其表示》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，⑸，.A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数的图象与直线的公共点数目是（ ） A. B. C. 或 D. 或3. 已知集合，且使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）A. B. C. D.4. 已知，若，则的值是（ ）A. B. 或 C. ，或 D.5. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是（ ）A. 沿轴向右平移个单位 B. 沿轴向右平移个单位 C. 沿轴向左平移个单位 D. 沿轴向左平移个单位6. 设则的值为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1. 设函数则实数的取值范围是 .2. 若二次函数的图象与x 轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是 .3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y 111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y x x f =)(2)(x x g =()f x =()F x =21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f ()y f x =1x =100112{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+*,,a N x A y B ∈∈∈B 31y x =+A x ,a k 2,33,43,52,522(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()3f x =x 11321323±3(2)y f x =-(12)y f x =-x 1x 12x 1x 12⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f )5(f 10111213.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若a 2y ax bx c =++(2,0),(4,0)A B -93. 函数_____________________.4. 函数的最小值是_________________. 三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，满分30分）1. 是关于的一元二次方程的两个实根，又，求的解析式及此函数的定义域.2. 已知函数在有最大值和最小值，求、的值.一、选择题1. C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同；（4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同；2. C 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值；3. D 按照对应法则，而，∴ 4. D 该分段函数的三段各自的值域为，而0y =1)(2-+=x x x f 12,x x x 22(1)10x m x m --++=2212y x x =+()y f m =2()23(0)f x ax ax b a =-+->[1,3]52a b 1x =31y x =+{}{}424,7,10,314,7,,3B k a a a =+=+*4,10a N a ∈≠24310,2,3116,5a a a k a k +==+===(][)[),1,0,4,4,-∞+∞[)30,4∈∴∴5. D 平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即，左移6. B .二、填空题1. 当，这是矛盾的；当；2. 设，对称轴，当时，3. 4. .三、解答题1. 解：，∴.2. 解：对称轴，是的递增区间，∴2()3,12,f x x x x ===-<<而x =1122()2x x -=--2x -x 12x -1122x x -+→[][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====(),1-∞-10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时10,(),1a f a a a a<=><-时(2)(4)y x x =-+-(2)(4)y a x x =+-1x =1x =max 99,1y a a =-==-(),0-∞10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩54-22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或1x =[]1,3()f x max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得高三数学章节训练题3 《函数的基本性质》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1. 已知函数为偶函数，则的值是（ ）A. B. C. D.2. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A. B. C. D.3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）A. 增函数且最小值是 B. 增函数且最大值是 C. 减函数且最大值是 D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 5. 下列函数中,在区间上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 6. 函数是（ ）A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数 C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1. 设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是2. 函数的值域是3. 若函数是偶函数，则的递减区间是 .4. 下列四个命题 （1）; （2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线，其中正确的命题个数是____________.)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f m 1234)(x f (]1,-∞-)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f )(x f [3,7]5)(x f []3,7--5-5-5-5-)(x f R )()()(x f x f x F --=R ()0,1x y =x y -=3xy 1=42+-=x y )11()(+--=x x x x f )(x f []5,5-[0,5]x ∈)(x f ()0f x <2y x =2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x f ()f x =2()y x x N =∈22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，满分30分）1. 已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数； （2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围.2. 已知函数.① 当时，求函数的最大值和最小值；② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.高三数学章节训练题3<<函数的基本性质 >>参考答案一、选择题()f x ()1,1-()f x ()f x 2(1)(1)0,f a f a -+-<a []2()22,5,5f x x ax x =++∈-1a =-a ()y f x =[]5,5-1. B 奇次项系数为2. D3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性4. A5. A 在上递减，在上递减， 在上递减，6. A为奇函数，而为减函数. 二、填空题 1. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2. 是的增函数，当时，3.4. （1），不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由离散的点组成的；（4）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线.三、解答题1. 解：，则,2．解：对称轴∴（2）对称轴当或时，在上单调 ∴或.0,20,2m m -==3(2)(2),212f f =--<-<-()()()()F x f x f x F x -=--=-3y x =-R 1y x=(0,)+∞24y x =-+(0,)+∞()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=-222,12,01(),2,102,1x x x x f x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪<-⎩(](2,0)2,5-[2,)-+∞1,x y ≥-x 1x =-min 2y =-[)0,+∞210,1,()3k k f x x -===-+121x x ≥≤且22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩∴01a <<2(1)1,()22,a f x x x =-=-+min max 1,()(1)1,()(5)37x f x f f x f =====max m ()37,()1in f x f x ==,x a =-5a -≤-5a -≥()f x []5,5-5a ≥5a ≤-高三数学章节训练题4 《指数函数与对数函数》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 下列函数与有相同图象的一个函数是（ ） A. B.C. D.2. 函数与的图象关于下列那种图形对称( ) A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 原点中心对称3. 已知，则值为（ ）A. B.4. 函数的定义域是（）A. B. C. D.5. 三个数的大小关系为（ ） A. B.C. D.6. 若，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1. 从小到大的排列顺序是 .2. 计算：= .3. 已知，则的值是4. 函数的定义域是 ；值域是 。
高三数学第一轮复习训练(全套)
高三数学第一轮复习基础题训练1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
（Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。
3．设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4．数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<.5．已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合B. ⑴当m=3时，求()B C A R ；⑵若{}41<<-=x x B A ，求实数m 的值.6．设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin ,cos )n θθ=+，),23(ππθ--∈，若1m n •=，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．7．在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ． BCDEF8. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ 与的夹角θ正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c = , m=( 6 4-1)c 2,当OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.9．已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．10．某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。
高三数学一轮复习试题答案及详解
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 P＝{x|－1≤x≤1}，∁UP＝{x|x＞1或x＜－1}． 答案 D
3．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则
A．i∈S
B．i2∈S
C．i3∈S
D.∈S
解析 i2＝－1∈S，i3＝－i∉S，＝－2i∉S.
A， ③若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0， 解得a＜－1， 综上所述，a≤－1或a＝1. (2)∵A∪B＝B，∴A⊆B， ∵A＝{0，－4}，而B中最多有两个元素， ∴A＝B，即a＝1. 11．(12分)已知集合A＝{x||x＋1|＜m}，B＝{x|(x2＋2x－8)(x2＋2x＋
(1)若A∩B＝B，求a的值；
(2)若A∪B＝B，求a的值．
解析 A＝{0，－4}， (1)∵A∩B＝B，∴B⊆A. ①若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1， 当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝A， 当a＝－1时，B＝{0}
A，
②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1， 当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0} ＝{－12，－4}
二、填空题(3×4分＝12分)
7．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则
∁U(A∪B)＝________. 解析 A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∁U(A∪B)＝{6,8}． 答案 {6,8}
8．(2011·上海)若全集U＝R，A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝ ________.
解析 ∁UA＝{x|0＜x＜1}． 答案 {x|0＜x＜1}
高三数学高考一轮复习单元训练试题集含答案17份
高三数学一轮复习单元训练试题集目录1.高三数学一轮复习单元训练：集合与逻辑1.高三数学一轮复习单元训练：函数概念与基本处等函数2.高三数学一轮复习单元训练：空间几何体3.高三数学一轮复习单元训练：直线与圆4.高三数学一轮复习单元训练：算法初步与框图5.高三数学一轮复习单元训练：统计6.高三数学一轮复习单元训练：概率7.高三数学一轮复习单元训练：三角函数8.高三数学一轮复习单元训练：不等式9.高三数学一轮复习单元训练：平面向量10.高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程11.高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用12.高三数学一轮复习单元训练：推理与证明13.高三数学一轮复习单元训练：数列14.高三数学一轮复习单元训练：数系的扩充与复数的引入15.高三数学一轮复习单元训练：计数原理16.高三数学一轮复习单元训练：选考内容高三数学一轮复习单元训练：集合与逻辑本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列命题中，真命题是( )A ． “x=2时, x 2－3x+2=0”的否命题； B ． “若b=3, 则b 2=9”的逆命题; C ． 若ac> bc, 则a>b;D ． “相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【答案】D2．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤2【答案】B3．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有( ) ①A ∈1②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C4．集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N = ( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】C5．设集合A ={(,)|46}x y x y +=，{(,)|327},B x y x y =+=则=⋂B A ( )A ．{12}x y ==或B ．{(1,2)}C ． {1,2}D ．(1,2)【答案】B6．已知命题:,s i n 1p xR x ∀∈≤，则p ⌝是( )A ．,s i n 1x R x ∃∈>B ．,s i n 1x R x ∃∈≥C ．,s i n 1x R x ∀∈>D ．,s i n 1x R x ∀∈≥ 【答案】A7．设集合{}121,2,3,4,5,6,,,k M S S S = 都是M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的{}{}{},,,,,1,2,,i i i j j j S a b S a b i j i j k ==≠∈ （）都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭其中{}min ,x y 表示两个数,x y 的较小者，则k 的最大值是( )A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B8． 2>x ”是“0)2)(1(>-+x x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A9．已知p ：|2x －3| < 1，q ：x (x -3)< 0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A10．若{}2,x x a a R Φ≤∈是的真子集，则实数a 的取值范围是( )A ． ()0,+∞B ． [)0,+∞C ． (],0-∞D ． (),0-∞【答案】B11．若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S ð=( )A ．{2}x x <-B ． {23}x x x <-≥或C ． {3}x x ≥D ． {23}x x -≤<【答案】B12．设}{|01A x x =<<，}{|1B x x =<，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．方程012=+-x 的全体实数解组成的集合为______【答案】φ14．命题“∃x ∈R ，x ＝sin x ”的否定是______． 【答案】∀x ∈R ，x ≠sin x15．集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 . 【答案】3-16．命题“对任何,R x ∈342>-+-x x ”的否定是 【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．设命题上是减函数在区间),1(2)(:+∞-=mx x f P ； 命题:q 21,x x 是方程022=--ax x 的两个实根，且不等式352-+m m ≥||21x x -对任意的实数]1,1[-∈a 恒成立，若⌝p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围.【答案】对命题:0,P x m -≠又(1,)x ∈+∞故1m ≤对命题12:||q x x -==[1,1]a ∈-3≤∴253316m m m m +-≥⇒≥≤-或 若p q ⌝∧为真，则p 假q 真 ∴1116m m m m >⎧⇒>⎨≥≤-⎩或18．记函数f （x ）＝lg （x 2一x 一2）的定义域为集合A ，函数g （x 的定义域为集合B ．(1）求A B ；(2）若C ＝｛x ｜x 2＋4x ＋4一p 2＜0，p ＞0｝，且C ()A B ⊆ ，求实数p 的取值范围． 【答案】 (1）(2）19．已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”，若“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围。
高三数学试题及答案一轮
高三数学试题及答案一轮一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标之和为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 在等差数列{a_n}中，若a_1 + a_3 + a_5 = 9，a_2 + a_4 + a_6 = 15，则a_7的值为：A. 7B. 9C. 11D. 133. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线C的一条渐近线方程为y = √2x，则双曲线C的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [0, 2]D. [1, √2]5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a与向量b的数量积为：A. -1B. 0C. 1D. 36. 若直线l的方程为y = kx + 1，且直线l与圆x^2 + y^2 = 4相切，则k的值为：A. 1B. -1C. √3D. -√37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f'(x) = 0的根为x = 1或x = 2，则f(x)的极值点为：A. x = 1B. x = 2C. x = 1和x = 2D. 无极值点8. 已知抛物线C的方程为y^2 = 4x，若抛物线C上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标为：A. 4B. 5C. 6D. 79. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，且a = 3，b = 4，则三角形ABC的面积为：A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且f(1) = 0，f(2) = 0，则a + b + c的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，其前n项和为S_n，则S_5 = ________。
人教版最新高三数学一轮复习练习题全套—(含答案)及参考答案
2. 如果实数满足不等式组的最小值是 ．
3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（x∈N*）．
（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；
（2）当每枚纪念销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值．
4. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．
人教版最新高三数学一轮复习练习题全套—(含答案)及参是增函数，则的取值范围是 ．
2. 设为正实数，且，则的最小值是 .
3. 已知：．
（1）若，求．
（2）若，求与的夹角．
4. 已知：数列满足．
（1）求数列的通项．
（2）若，求数列的前项的和．
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姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002
又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，
平面CAA1C1⊥平面CB1D1．………………………………………………… 13′
4. ⑴由题意得………………………………………………… 4′
课堂作业参考答案（3）
1. 第一象限；2. 0.01；
3. （1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
江西省2024届高三上学期一轮总复习验收考试数学含解析数学答案
上进教育24 届高三一轮总复习验收考试数学参考答案及评分细则1.【答案】D【解析】由于A= {x| -1≤x≤1} 'B= {x|x>0} '则A∩B= {x|0 <x≤1} . 故选D.2.【答案】B由于Z= =2 +2i '则=2 -2i. 故选B.3.【答案】A【解析】由于a -b = ( 1 - m ' -1) '则a . (a -b) = 1 - m - 1 =0 '解得m=0 '那么 b =2. 故选A.4.【答案】C【解析】因为f’(x) = e x +a '所以f’(0) = e0 + a = 1 +a =2 '所以a = 1. 故选C.5.【答案】D【解析】由于f( -x) = =f(x) '所以函数f(x) 为定义在R上的偶函数'排除C;由于0 << 1. 故选D.6.【答案】C【解析】令t = +α 't∈'π)'得α= t - '则6tan t+4cos-t) =5cos(2t - 即6tan t +4sin t =5sin 2t = 10sin tcos t '即(5cos t+3)(cos t-1) =0 '且cos t<0 '那么cos t = - '则sin 2α=sin (2t - = - cos 2t = 1 - 2cos2 t = .故选C.7.【答案】A【解析】由题意知10 个数中 '1 '3 '5 '7 '9 为阳数 '2 '4 '6 '8 '10 为阴数. 记3 个数中至多有1 个阴数的事件为A'取出的3 个数之和是5 的倍数的事件为B. 若任取的3 个数中有0 个阴数 '则总数为N1= C=10;若任取的3 个数中有1 个阴数 '则总数为N2= C =50 '则P若任取的3 个数中有0 个阴数 '则只有2 种情况三个数之和为5 的倍数 '分别是{1 '5 '9} ' {3 '5 '7} ;若任取的3 个数中有1 个阴数 '此时3 个数之和必然为偶数 ' 因此3 个数之和的末尾数只能为0 '对于每2 个阳数之和 '结果都是偶数 '而阴数的末尾数都不相同 '必然每2 个阳数的和 '只有唯一的1 个阴数与之对应 '使得3 个数之和为5 的倍数 '从而符合条件的总数为C= 10 ' 于是8.【答案】D【解析】如图 '作直四棱柱AEBF-GCHD'使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆周上 '设上底面圆心为O1'点B到直线EF的距离为h '则四面体ABCD的体积V=2 × ×S△CDO1. h'所以h =1 '即为底面半径长 '所以AB丄EF'所以四边形AEBF为正方形. 连接EG'交AC于点O' 由题意可知AB=2 '则AE=\'所以AC= \'OA= OE= \26. 由EGⅡBD'数学第1 页(共7 页)数学 第 2 页(共7 页)得L AOE 即为直线 AC 与 BD 所成的角或其补角. 在△AOE 中 ' 由余弦定理 '得 coSL AOE ==(\) 2+ (\) 2- (\)22 × \ × \= 1 故选 D.9.【答案】AB(每选对 1 个得 3 分) 【解析】因为 a > b >0→0 << '所以 A 正确 ; 因为函数 y =2x是 R 上的增函数 '所以 2a>2b>20=1 '所以 B正确 ; 因为函数 y =x 3是 R 上的增函数 '所以 a 3> b 3'所以 C 错误 ;当 a =2 'b = 2时 'log a 2 =1 'log b 2 = -1 '所以D 错误. 故选 AB.10.【答案】BC(每选对 1 个得 3 分)【解析】」f (x ) =f (2 -x ) ': 根据图象变换f (x )的图象关于直线 x = 1 对称 '故 A 错误 ;又」f (x ) = -f ( -x ) 且 f ( -x ) =f (2 +x ):f (x ) = -f (x +2) ' 即 f (x ) =f (x +4) '所以 f (x ) 是以 4 为周期的周期函数 '故 B 正确 ; 」f (x )为奇函数且在[ -1 '0]上单调递增 ':f (x ) 在[0 '1] 上单调递增 '又」f (x ) 的图象关于直线 x = 1 对称 ' :f (x )在[1 '2]上单调递减 '故 C 正确 ; 由以上分析得 f (x ) 的周期为 4 '」f (x )的图象关于(2 '0) 中心对称 ' :f (2) =0 'f (1) +f (3) =0 '」f (x ) 的图象关于直线 x = 1 对称 ' :f (0) =f (2) =0 ' :f (0) +f (1) +f (2) +2 024 2 024f (3) =0 ':k 0f (k ) =506 × [f (0) +f (1) +f (2) +f (3)] +f (2 024) '」f (2 024) =f (0) =0 ':k 0f (k ) =0 '故 D错误. 故选 BC.11.【答案】ACD(每选对 1 个得2 分)【解析】因为f( x) =ln ( e x- 1) - ln x = ln e x - 1 '所以由题意可得 a 1 =f( a ) = ln e a n - 1 ' 即 e a n + 1= e a n - 1 '对于 A'要证数列{a n }单调递减 ' 即证 e a n + 1 < e a n ' 即证 < e a n ' 即证 e a n - 1 <a n ea n' 即证( 1 -a n ) e a n - 1 < 0. 令 g (x ) = ( 1 -x )e x - 1 'x ∈ (0 ' + ∞ ) . 」g ’ ( x) = -x e x ' 当 x >0 时 g ’ ( x) <0 ': g( x) 在区间( 0 ' + ∞) 上单调递减 ' 」a n >0 ': g( a n ) <g( 0) =0 ': a n + 1 < a n ': 数列{a n }单调递减 '故 A 正确 ;对于 B' 由 A 知 '数列{a n } 为单调递 减数列 '所以 a 2 023 >a 2 024 '故 B 错误 ;对于 C ' 由 a n + 1 >a n 今ln>a n 今>a n今e an - 1 - a na n>0 '令 h (x ) = e 2x - 1 -2x e x 'x ∈ (0 ' + ∞ ) '则 h ’ (x ) =2e 2x -2(x +1)e x =2e x ( e x -x -1) . 易知 e x >x +1(x >0) '所 以 h ’ (x ) >0 '即 h (x )在区间(0 ' + ∞ )上单调递增. 因为>0 '所以 h>h (0) =0 '所以 a n + 1 >a n '故 C 正1 1 1 n 1 - 12D 正确. 故选 ACD.12.【答案】 + x 2 =1(答案不唯一)【解析】由题得 C =2 '所以 a 2 -b 2 =4 '取 a =\ 'b =1 '又焦点在 y 轴上 '所求方程可为 + x 2 = 1.13.【答案】2 +\34【解析】设点 P (x 'y ) ' 因为 PA =2 PO '所以 \x 2 + (y -3)2 =2 \x 2 +y 2 '化简得 x 2 + (y +1)2 =4 '所以点 P确 ;对于 D ' 因为 a 1 = 2 '再由 C 可知 'a n +1 > 2 a n →a n ≥ ( 2 )'则 a 1 + a 2 + a 3 + … + a n ≥ 1- 1 = 1 - 2n '故 x n + na n a n1 1 113.数学 第 3 页(共7 页)的轨迹为以(0 ' -1)为圆心 '2 为半径的圆 '又因为直线 mx - y +4 - 3m =0 过定点(3 '4) '所 以点 P 到直线 mx -y +4 -3m =0 的距离的最大值为点(0 ' -1)到(3 '4)的距离加上圆的半径 '故最大值为 2 +\34 .【解析】由于f (x )在区间上有且只有两个零点 '所以'即→3 <w <9 ' 由f得 ' wx + = k π ' k ∈ Z ' 」 x ∈ ' : wx + 或解得 或 '所以 w 的取值范围是15. 解:(1)该品种石榴的平均质量为 x =20 × [370 ×0. 005 + (390 +410 +450) ×0. 010 +430 ×0. 015] =416 '所以该品种石榴的平均质量为 416 g . (4 分)(2)由题可知 '这7 个石榴中 '质量在[380 '400) ' [400 '420) ' [420 '440)上的频率比为 0. 010 : 0. 010 : 0. 015 = 2 : 2 : 3 '所以抽取的质量在[380 '400) ' [400 '420) ' [420 '440)上的石榴个数分别为 2 '2 '3. (6 分) 由题意 X 的所有可能取值为 0 '1 '2 '3 '所以 X 的分布列为X 0 123 P4 351 35所以【评分细则】第(2)问中所求的每个概率算对 1 个得 1 分.解:由于则当 n ≥2 时 's n - 1 ='则 a n =s n -s n - 1 =n 2 'n ≥2 ;当 n = 1 时 'a 1 =s 1 = 1 符合上式 '则 a n = n 2 'n ∈ N * . (7 分)证明:由于 b n =6 .那么 T n =6n×≤6n - 1 '那么T i ≤ i6i - 1 ='即证.( 11 分)数学 第 4 页(共7 页)—→ —→—→—→【评分细则】1. 第(1)问中不验证首项 '扣2 分 ;2. 第(2)问中必须要有 T n ≤6n -1的过程 '没有过程扣2 分.17. (1)证明:由于平面 PDC 丄平面 ABCD '平面 PDC ∩平面 ABCD = CD '过点 P 作 CD 的垂线交 CD 的延长线于点 O '则 PO 丄平面 ABCD. 连接 OB 交 AD 于 Q '连接 OA ' 」PD =2 ' 上PDC = 120 O ' : OD = 1 ': OC =AB =2 ' (2 分) 又 AB ⅡCD ' 上ABC =90 O ' : 四边形 ABCO 为矩形 ' : OA =BC = \ 2 ' : OD= OA = \2 : Rt△ODA ~Rt△AOB ' (4 分) : 上OAD = 上ABO '又」 上OAD + 上DAB =90 O ' : 上AQB =90 O '即 AD 丄OB ' (5 分) 又 PO 丄平面 ABCD 'AD C 平面 ABCD ' : PO 丄AD '又 PO ∩BO =O ' (6 分) :AD 丄平面 POB '又」PB C 平面 POB ': AD 丄PB. (7 分)(2)解:以 O 为坐标原点 'OA 'OC 'OP 所在直线分别为 x 'y 'Z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 '则 P (0 '0 '\3) 'C (0 '2 '0) 'A (\2 '0 '0) 'B (\2 '2 '0) ' 由于 E 在 PC 上 '设PE =λ PC '则 E (0 '2λ '\3 - \λ) ' : AE = ( - \2 '2λ '\3 - \3 λ) ' (8 分)又平面 ABCD 的法向量 n = (0 '0 '1) '设直线 AE 与平面 ABCD 所成角为 θ ' : sin θ = cos 〈A —'n 〉 = \= \55' (9 分)解得 λ = 或 λ = (舍去) ' (10 分):E (0 '1 '\)': —BA →= (0 ' -2 '0) '—BE →=(- \ ' - 1 '\)'—BC →= ( - \ '0 '0) '则{.. n n 11 {.. n2n2 00 ''即 {-- 2y 1x 1= -0 y '1 + \Z 1=0 '{- \2 x 2 =0 ' - \x 2 -y 2 + \23 Z 2=0( 12 分)'P· ·EO ,' 、·C·DQAB设平面 ABE 的法向量 n 1 = (x 1 'y 1 'Z 1) '平面 PBC 的法向量 n 2 = (x 2 'y 2 'Z 2) ' =0' =0'OA AB 2 '数学 第 5 页(共7 页)A取 x 1 = \ 'y 2 = \得 n 1 = (\ '0 '2 \) 'n 2 = (0 '\ '2) ' (14 分): cos 〈n 1 'n 2 〉= 4 \2 =4 \154\11 ×\7 77 ' 故平面 ABE 与平面 PBC 夹角的余弦值为4\7. ( 15 分)z P`、 EBx【评分细则】1. 如手写向量未标箭头扣 1 分 ;2. 如用其他解法 '若正确 '可给满分.18. 解:(1)依题意 'a =1 ' ( 1 分)双曲线的渐近线方程为y = ± bx F ( - C0) (2 分)a' ' '由点到直线的距离公式可得 b = \3 ' (3 分)所以 C 的标准方程为x 2-= 1. (4 分)(2)解法一:依题意 '直线 l 的斜率 k 存在且k ≠0 ' 故设直线 l 的方程为 y=kx+m 'M (x 1 'y 1 ) 'N (x 2 'y 2 ) ' 联立''消去 y 得x 2-2kmx - m 2-3 =0 '显然 3 -k 2 ≠0 ' 由韦达定理得 x 1 + x 2 ='x 1 x 2 = -Δ=12(m 2 -k 2+3) >0 ' (9 分)kk 1 +kk 2 =k-+- -+- =k . '将韦达定理代入化简得 kk 1 +kk 2 == -6 ' ( 11 分)因为直线不过点 A '所以 m +k ≠0 '所以 kk 1 +kk 2 =6k= - 6 即 m +2k =0 此时直线 l 为 y=kx-2k =k (x -2) ' (12 分) 设弦 MN 的中点为 Q '则 Q'( 13 分)若 FM = FN '要满足 FQ 丄MN ' (14 分)Dm +k' 'yCO数学 第 6 页(共7 页)即 k 2='此时直线 l 为 y = ± \515(x-2) ' (16 分)所以存在 k = ± \515'使得 FM = FN '此时直线 l 为 y = ± \515(x-2) . ( 17 分)解法二(齐次化) :设直线 l 的方程为 m (x-1) +ny=1 'M (x 1 'y 1 ) 'N (x 2 'y 2 ) '将双曲线的方程 x 2-= 1 变形为[(x-1) +1]2 - = 1 '即3(x-1)2 +6(x-1) -y 2 =0 ' (7 分)所以3(x-1)2 +6(x-1)[m (x-1) +ny ] -y 2 =0 ' 整理得(3 +6m )(x -1)2 +6ny (x -1) -y 2 =0 ' 所以2-6n- (3 +6m ) =0 ' (9 分)因为 k 1 = y 1 k 2 = y 2为方程 k 2 -6nk - (3 +6m ) =0 的两根 ' 所以 k 1 +k 2 =6n = - 6 = 6n( 11 分) 所以 m=1 '此时直线 l 为 x -2 + ny =0. (12 分) 下同解法一(略) . 【评分细则】1. 第(2)问中的解法一设直线 l 的方程为 x=ty+m (其中 t = 相应步骤得分一致 ;2. 解法二用齐次化的方法化简不唯一 '可参考解法二酌情给分. 19. (1)解 : Y x 1 'x 2 ∈ [1 '2] '且 x 1 < x 2 'f (x 1 ) -f (x 2 ) = + x 1 -- x 2 =+1)(x 1 -x 2 )=(x 1 +x 2 ) + 1 ix 1 - x 2 i<× (2 +2) + 1 x 1 - x 2 =3 ix 1 - x 2 i'所以f (x )是[1 '2]上的“3 类函数”. (4 分)(2)解:因为f (x )是[1 'e ]上的“2 类函数”'不妨设 x 1 'x 2 ∈ [1 'e ] '且 x 1 < x 2 . 则2(x 1 -x 2 ) <f (x 1 ) -f (x 2 ) <2(x 2 -x 1 )恒成立. (5 分)即 g (x ) =f (x ) +2x 在[1 'e ]上单调递增 'h (x ) =f (x ) -2x 在[1 'e ]上单调递减 ' 所以 Y x ∈ [1 'e ] 'g ’ (x ) =f’ (x ) +2≥0 'h ’ (x ) =f’ (x ) -2≤0 恒成立 ' (6 分) 又f’ (x ) = axe x - x - ln x - 1 '所以 Y x ∈ [1 'e ] ' -2 ≤ axe x - x - ln x - 1 ≤2 恒成立 ' 所以 Y x ∈ [1 'e ] ' =≤a ≤=恒成立 ' (7 分)记 F (t ) ='G (t ) ='t = x + ln x ∈ [1 'e+1] ' (8 分)则 F’ (t ) =2 - t G ’ (t ) = -2 - te t ' et ' x 1 - 1 ' x 2 - 1 k m'所以F(t)在[1 '2)上单调递增 '在(2 'e+1]上单调递减 'G(t)在[1 'e+1]上单调递减 ' (9 分)所以max = Fmin= G所以(3)证明:不妨设1≤x1≤x2≤2 '当x2 - x1≤x2- x1≤1 ':当x2 - x1> 时 ' 由f得f(x1) -f(x2) =f(x1) -f(1) +f(2) -f(x2) ≤f(x1) -f(1) +f(2) -f(x2)<2(x1-1) +2(2 -x2) =2 -2(x2-x1) < 1 '所以 Y x1 'x2∈[1 '2] ' f(x1) -f(x2) < 1. ( 17 分)【评分细则】如用其他解法'若正确'可给满分.数学第7 页(共7 页)。
「精选」人教版最新高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)及参考答案-精选文档
高考第一轮复习文科数学习题集（含答案）目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A Î，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{}|x x A Î知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a £有解，故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x-＃，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5．答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1． 答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}． 于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{}|0x x >，B ＝{}|1x x >，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{}|2,x x a a M =?，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则1m >，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98． 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98． 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2．答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3， 解得b 1＝－1，b 2＝0．答案：(－1，0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a ． 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32． (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧ 3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1． 当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22． ∴a ＝2或±22．B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_． 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：73．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)． 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)． 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1，3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3．综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0， 则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95， 又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数()f x =．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1．由①②可得－511≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2．11．已知()()()2f x f x x R +=?，并且当x ∈[－1，1]时，()21f x x =-+，求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129．第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y =________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2． 答案：[1，2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数()2f x x =，()1g x x =-． (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b＝(－b )2－4b b <0或b >4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0． ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0．⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2． 若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916． 答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1． μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2． 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立． 由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9．B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1．答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________． 解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8． 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0，2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3) 由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12．第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b－a －b ＝－2．答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1． 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1． 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13． 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1．答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1，2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________． 解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1， 故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2．答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④． 又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2．∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124．答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．。
高考数学一轮复习综合测试卷(含解析)
选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t2，y －2＝32t ， ∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203C ．10D ．20答案 B3．“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空，得a >1，所以“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C.4．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．设x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 x 2＋1≥2x ，y 2＋1≥2y ，x 2＋y 2≥2xy ，三式相加即可．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a .∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2. 即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1. 7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5 C.955 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9.5t 2＋8t －4＝0.∴|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝－852＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255.8．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是( ) A ．[1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，1]答案 A解析 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1，解得x ≥1，所以解集为[1，＋∞)．9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．2∶1.5 答案 A解析 如右图所示，连接OD ，OC .∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC . ∴△AOD ≌△COD . ∴∠1＝∠2.又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－22＝22，选B.11．若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[0,3] C ．(－3,0) D ．(0,3)答案 A解析 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min .因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.12.如图，AB 是半圆的直径，点C ，D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8. ∴cos ∠BAC ＝35.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC .∴2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85.∴cos ∠BAD ＝255.又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12]解析 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋(|x －12|＋|x ＋2|)≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是[－1，12]．14．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＝3y 2得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．15.如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②解析 由题意，根据切线长定理，有BD ＝BF ，CE ＝CF ，所以AD ＋AE ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝(AB ＋BF )＋(AC ＋CF )＝AB ＋AC ＋(BF ＋CF )＝AB ＋AC ＋BC .所以①正确；因为AD ，AE 是圆的切线，根据切线长定理，有AD ＝AE .又因为AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有AD 2＝AF ·AG ＝AD ·AE ，所以②正确；根据弦切角定理，有∠ADF ＝∠AGD .又因为BD ＝BF ，所以∠BDF ＝∠BFD ＝∠ADF ，在△AFB 中，∠ABF ＝2∠ADF ＝2∠AGD ，所以③错误．16．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为________．答案 3解析 由基本不等式，得xy ≥2xy ＋m ，令xy ＝t ，得不等式t 2－2t －m ≥0.∵xy 的最小值是9，∴t 的最小值是3.∴3是方程t 2－2t －m ＝0的一个根，∴m ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.答案 (1)略 (2)略证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.18．(本小题满分12分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .答案 (1)略 (2)略证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA . 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD . 从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ， 所以∠DCB ＝∠CBA . 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径，由(1)得ED ＝AB . 19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 答案 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x －4＝0 (2)233解析 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝θ＋π4－4|3≥23，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．∴点Q 到直线l 距离的最小值为233.20．(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB，∴FB 2＝FA ·FD . (3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，∴AD ＝2AC ＝4 3. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案 (1)C 1：ρ＝2，C 2：ρ＝4cos θ，⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t －3≤t ≤3解析 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )<3.(2)若不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 (1)当a ≥32时，x ∈∅；当a <32时，x ∈(2a －2,4－2a )(2)[0,1]解析 (1)由f (x )<3，即|x －1|＋2a <3，得|x －1|<3－2a . 当3－2a ≤0时，即a ≥32，不等式的解集为∅；当3－2a >0时，即a <32，不等式等价于2a －3<x －1<3－2a ，得2a －2<x <4－2a .综上，当a ≥32时，不等式的解集为∅；当a <32时，不等式的解集为{x |2a －2<x <4－2a }．(2)方法一：由f (x )≥ax ，当x <1时，a ≥1－x x －2＝(－1－1x －2)∈(－1,0)．∴a ≥0.当1≤x ≤2时，a (x －2)≤x －1恒成立⇔a ≥x －1x －2恒成立，∵x －1x －2＝(1＋1x －2)∈(－∞，0]，∴a ≥0. 当x ＝2时，1＋2a ≥2a 恒成立，a ∈R . 当x >2时，a ≤x －1x －2恒成立， ∵x －1x －2∈(1，＋∞)，∴a ≤1. 综上，∀x ∈R 使得不等式f (x )≥ax 恒成立的a 的取值范围是[0,1]． 方法二：由f (x )≥ax ，即|x －1|＋2a ≥ax ， ∴|x －1|≥a (x －2)．依题意，y ＝|x －1|的图像恒在y ＝a (x －2)图像的上方，而y ＝a (x －2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a ≤1.。
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2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为棱11,AA CC 的中点,则在空间中与三条直线11,,A D EF CD 都相交的直线( )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条(2008辽宁理)2．（2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. 45B. 5C. 25D.53．给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x+y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①③④（2002北京理6） 二、填空题4．已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为()(),0,0,a a 其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且()01AP t AB t =≤≤，则OA OP ⋅的最大值为 ▲ ．5．“a >2”是“方程x 2a+1 + y 22-a =1 表示的曲线是双曲线”的 ▲ 条件(填“充分不必要，.必要不充分，充要，既不充分也不必要)6．若向量a ，b 的坐标满足)1,2(--=+，)3,4(-=-，则=⋅ 。
( 7．已知2510ab==，则11______________a b+=8．定义在R 上的奇函数()f x 是周期函数，T 为其一个周期，则()2T f 的值是_______ 9．在ABC ∆中，已知30,sin :sin 4:3,12ABC C A B S ∆=︒==，则a = ，b = 10．从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．〖解〗25，60，15 11．不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为 ．12．如图，从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，，则这个圆形纸板的半径为 ▲ ．13．圆x 2＋y 2－4x －2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB ＝90°，则c 的值是________．14．在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为 ．15．设集合}3,1{=A ，集合}5,4,2,1{=B ，则集合=B A若复数21(1)i z a a =-+-(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a . 1- 17．经过点)1,2(-，且与直线0132=--y x 垂直的直线方程是 ．18． 关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负的实根，则实数a 的取值范围为 ．19．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为e 。
「精选」人教版最新高考数学一轮复习经典习题集附参考答案-精选文档
第一章集合与逻辑用语(附参考答案)第1讲 集合的含义与基本关系1．(2011年江西)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )2．(2011年湖南)设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4}3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B 为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，bB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1 4．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图K1－1－1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )图K1－1－1A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个5．(2011年广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2011年湖北)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P ＝( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.()0，＋∞D.()－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 7．(2011年上海)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________________.8．(2011年北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是____________．9．(2011年安徽合肥一模)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，求A ∩B ＝B 的概率．10．(2011届江西赣州联考)已知函数y ＝ln(2－x )[x －(3m ＋1)]的定义域为集合A ，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －(m 2＋1)x －m ＜0. (1)当m ＝3时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数m 的取值范围．第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2011年湖南)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．(2010年陕西)“a ＞0”是“|a |＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(a x ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．(2010年广东)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件 5．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．(2011年山东)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝37．(2010年上海)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．给定下列命题：①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是________．9．已知p：|x－4|≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．(2011年北京)若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题2．(2010年湖南)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0 3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠BB ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列4．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数 B ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数5．(2011年广东揭阳市二模)已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧綈q 是真命题C ．命题綈p ∧q 是真命题D ．命题綈p ∧綈q 是假命题6．(2011届广东汕头水平测试)命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是( ) A ．∃x >0，使得x 2－x ≤0 B ．∃x >0，使得x 2－x >0 C ．∀x >0，都有x 2－x >0 D ．∀x ≤0，都有x 2－x >07．如果命题P ：∅∈{∅}，命题Q ：∅⊆{∅}，那么下列结论不正确的是( ) A ．“P 或Q ”为真 B ．“P 且Q ”为假 C ．“非P ”为假 D ．“非Q ”为假8．(2010年四川)设S 为实数集R 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋m .(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值范围．10．已知m ∈R ，设命题P ：|m －5|≤3；命题Q ：函数f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点．求使命题“P 或Q ”为真命题的实数的取值范围．第二章 函数第1讲 函数与映射的概念1．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x2．(2010年重庆)函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)3．(2010年广东)函数f (x )＝lg(x －1)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)4．给定集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤4}，下列从P 到Q 的对应关系f 中，不是映射的为( )A ．f ：x →y ＝2xB ．f ：x →y ＝x 2C ．f ：x →y ＝52x D ．f ：x →y ＝2x5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)6．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是__________． 7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________．8．(2011年广东广州综合测试二)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝pq，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中正确的序号为________(填入所有正确的序号)．9．(1)求函数f (x )＝lg (x 2－2x )9－x2的定义域； (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．10．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域．第2讲 函数的表示法1．设f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋72．(2011年浙江)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >0)，f (x ＋1)(x ≤0)，则f (2)＋f (－2)的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．23．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下表(从上到下)：则与f [g (1)]值相同的是( A ．g [f (1)] B ．g [f (2)] C ．g [f (3)] D ．f [f (4)]4．(2010届广州海珠区第一次测试)直角梯形ABCD 如图K2－2－1(1)，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．如果函数y ＝f (x )的图象如图(2)，则△ABC 的面积为( )(1) (2)图K2－2－1A ．10B ．32C ．18D ．165．(2011年福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x >0)，x ＋1 (x ≤0)，f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．已知f (x )＝x ＋1x －1(x ≠±1)，则( )A ．f (x )·f (－x )＝1B ．f (－x )＋f (x )＝0C ．f (x )·f (－x )＝－1D ．f (－x )＋f (x )＝17．(2010年陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2 (x <1)，x 2＋ax (x ≥1)，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________.8．(2011年广东广州调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞).若f (x )>4，则x 的取值范围是____________．9．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋3，且f (0)＝2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－3,4]上的值域；(3)若函数f (x ＋m )为偶函数，求f [f (m )]的值； (4)求f (x )在[m ，m ＋2]上的最小值．10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)判断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围．第3讲 函数的奇偶性与周期性1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，则a ＋b 的值是( )A ．0 B.13C ．1D ．－12．(2010年重庆)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．(2011年广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数4．(2011年湖北)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x－e －x B.e x ＋e －x 2 C.e －x －e x 2 D.e x －e －x 25．(2010年山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．(2011年辽宁)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 7．(2011年湖南)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.8．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________.9．已知函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2－2x －1. (1)若f (x )为R 上的奇函数，求f (x )的解析式；(2)若f (x )为R 上的偶函数，能确定f (x )的解析式吗？请说明理由．10．已知定义在R 上的函数f (x )＝－2x ＋a2x ＋1＋b(a ，b 为实常数)．(1)当a ＝b ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)设f (x )是奇函数，求a 与b 的值；(3)当f (x )是奇函数时，证明对任何实数x ，c 都有f (x )<c 2－3c ＋3成立．第4讲 函数的单调性与最值1．(2011年全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |2．(2011届广东惠州调研)已知定义域为(－1,1)的奇函数y ＝f (x )又是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0.则a 的取值范围是( )A ．(3，10)B ．(2 2，3)C ．(2 2，4)D ．(－2,3)3．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)4．(2010年北京)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．(2011届上海十三校联考)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (f (x )≤k )，k (f (x )>k ).取函数f (x )＝log 2|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为________．6．(2011年江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________．7．(2011年上海)设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数，若f (x )＝x ＋g (x )在[3,4]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为____________．8．(2011年北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≥2)，(x －1)3 (x <2)，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋4x(x ≠0)．(1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)若f (x )在[3，＋∞)上恒大于0，求a 的取值范围．10．(2011年广东广州综合测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (0)＝0，对于任意x ∈R 都有f (x )≥x ，且f ⎝⎛⎭⎫－12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－12－x ，令g (x )＝f (x )－|λx －1|(λ>0)． (1)求函数f (x )的表达式； (2)求函数g (x )的单调区间．第三章 基本初等函数(Ⅰ)第1讲 指数式与指数函数1．(2011年山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 32．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为( ) A ．1或2 B ．1C ．2D ．a >0且a ≠1的所有实数 3．下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－2 D ．y ＝1－2x4．若函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A ．0<a <1且b >1 B ．a >1且b >0 C ．0<a <1且b <0 D ．a >1且b <05．设函数f (x )＝1221(0), (>0)x x x x -⎧-≤⎪⎨⎪⎩若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12 C.12<a ≤23 D.12<a <17．方程2x ＋x 2＝3实数解的个数为______． 8．关于x 的不等式2·32x －3x ＋a 2－a －3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________．9．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f (x )的定义域； (2)求f (x )的值域；(3)证明f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.(1)求f (－1)的值；(2)求函数f (x )的值域A ；(3)设函数g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a 的定义域为集合B ，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．第2讲 对数式与对数函数1．(2010年浙江)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．(2011年北京)如果12log x <12log y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x3．(2010年山东)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 4．已知A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在A 上的函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值为( )A.2πB.π2 C ．π－2 D.π2或2π5．(2011年天津)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b6．(2011年广东佛山质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)，log 2x (x >0)，则f [f (－1)]＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．(2011年辽宁)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x (x ≤1)，1－log 2x (x ＞1)，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)8．(2011年湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级.9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．9．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的范围．10．若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．第3讲 一次函数、二次函数1．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，如果f (x 1)＝f (x 2)(其中x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22等于( )A ．－b 2aB ．－ba C ．c D.4ac －b 24a2．已知二次函数f (x )的图象如图K3－3－1所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )图K3－3－13．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1]4．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为图K3－3－2所示四个图中的一个，则a 的值为( )图K3－3－2A ．1B.－1C.－1－52D.－1＋525．函数y ＝x －2x －1的图象是( )6．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么|f (x ＋1)|＜1的解集是( )A ．(1,4)B ．(－1,2)C ．(－∞，1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) 7.若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝__________.8．设函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝______.9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．10．定义：已知函数f(x)在[m，n](m＜n)上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f(x)在[m，n](m＜n)上具有“DK”性质．(1)判断函数f(x)＝x2－2x＋2在[1,2]上是否具有“DK”性质，说明理由；(2)若f(x)＝x2－ax＋2在[a，a＋1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．第4讲 幂函数1．下列结论中正确的个数有( )①幂函数的图象不可能过第四象限； ②幂函数的图象过定点(0,1)和(1,1)；③幂函数y ＝x α，当α>0时，幂函数是增函数；当α<0时，幂函数是减函数； ④当α＝0时，y ＝x α的图象是一条直线． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,33．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是 ( )4．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝x a ，h (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，在同一直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是( )6．(2010年安徽)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a7．(2011年广东揭阳一模)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，则使函数y ＝x α在[0，＋∞)上单调递增的所有α值为_______________________________________________．8．请把图K3－4－1所示幂函数图象的代号填入表格内．图K3－4－1①y ＝x23；②y ＝x －2；③y ＝x 12；④y ＝x －1；⑤y ＝x 134312-539．将下列各数从小到大排列起来：⎝⎛⎭⎫2313-，⎝⎛⎭⎫3512，323，⎝⎛⎭⎫2512， ⎝⎛⎭⎫3223，⎝⎛⎭⎫560，(－2)3，⎝⎛⎭⎫5313-.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是： (1)幂函数；(2)幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数； (3)正比例函数； (4)反比例函数； (5)二次函数．第5讲 函数的图象1．(2011年安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b ) 2．下列四个函数中，图象如图K3－5－1所示的只能是( )图K3－5－1A ．y ＝x ＋lg xB ．y ＝x －lg xC ．y ＝－x ＋lg xD ．y ＝－x －lg x3．(2011年陕西)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根4．与函数y ＝0.1lg(2x －1)的图象相同的函数是( )A ．y ＝2x －1⎝⎛⎭⎫x >12B ．y ＝12x －1C ．y ＝12x －1⎝⎛⎭⎫x >12 D ．y ＝⎪⎪⎪⎪12x －1 5．(2011年陕西)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D 6．方程lg x ＝sin x 的实根的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④8．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是____．9．(2011年陕西3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －2 (x ≤－1)，(x －2)(|x |－1) (x >－1)，如果方程f (x )＝a有四个不同的实数根，求实数a的取值范围．10．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．第6讲 函数与方程1．(2011年浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，x 2 (x >0).若f (a )＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 2A.(－1,0) 3．设函数f (x )＝x 3－4x ＋3＋ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫0，12，⎝⎛⎭⎫12，2内均无零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，12，⎝⎛⎭⎫12，2内均有零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫0，12内无零点，在区间⎝⎛⎭⎫12，2内有零点 D ．在区间⎝⎛⎭⎫0，12内有零点，在区间⎝⎛⎭⎫12，2内无零点 4．(2011年陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点5．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0B.⎝⎛⎦⎤－34，0C.⎝⎛⎭⎫0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 6．(2011年陕西)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝______.7．函数f (x )＝ln(x ＋2)－2x的零点所在区间是(n ，n ＋1)，则正整数n ＝____.8．下面是用区间二分法求方程2sin x ＋x －1＝0在[0,1]内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法框图，如图K3－6－1所示，则判断框内空白处应填入____________，才能得到需要的解．图K3－6－1(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．10．已知函数f(x)＝e x＋2x2－3x.(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值(误差不超过0.2)；(2)当x≥1时，若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立，试求实数a的取值范围(参考数据e≈2.7，e≈1.6，e0.3≈1.3)．第7讲 抽象函数1．(2010年陕西)下列四类函数中，有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数 2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x 1>0，x 2<0，且f (x 1)<f (x 2)，那么一定有( )A ．x 1＋x 2<0B ．x 1＋x 2>0C ．f (－x 1)>f (－x 2)D ．f (－x 1)·f (－x 1)<03．已知函数f (x )是定义在R 上的函数且满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，若x ∈(0,3)时，f (x )＝log 2(3x ＋1)，则f (2 011)＝( )A ．4B ．－2C ．2D ．log 274．已知定义域为R 的偶函数f (x )的一个单调递增区间是(2,6)，那么x 的函数f (2－x )有( )A ．对称轴为x ＝－2，一个递减区间是(4,8)B ．对称轴为x ＝－2，一个递减区间是(0,4)C ．对称轴为x ＝2，一个递增区间是(4,8)D ．对称轴为x ＝2，一个递增区间是(0,4)5．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x ＋1)为偶函数 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)7．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1)－1x 1<0(x 1≠0)；⑤f (－x 1)＝1f (x 1).当f (x )＝2x 时，上述结论中正确结论的序号是________．8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2为偶函数，对于函数y ＝f (x )有下列几种描述：①y ＝f (x )是周期函数；②x ＝π是它的一条对称轴；③(－π，0)是它图象的一个对称中心；④当x ＝π2时，它一定取最大值．其中描述正确的是____________．9．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且同时满足下面两个条件： ①对正数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②f ⎝⎛⎭⎫12＝1.(1)求f (1)和f (4)的值；(2)求满足f (x )＋f (5－x )>－2的x 的取值范围．10．函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )＞1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)＜3.第8讲 函数模型及其应用1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．123．(2011届山东聊城调研)已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2(0≤x ≤1)，35·⎝⎛⎭⎫13x(x ＞1)，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过( )小时后才能开车(精确到1小时)．( )A ．2B ．3C ．4D ．54．进货单价为80元的商品400个，按90元一个可以全部卖出，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少20个，问售价( )元时获得的利润最大？( )A ．85B ．90C ．95D ．1005．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为______台．6．(2010年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是______．7．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款______元．8．(2011届海淀区统测)如图K3－8－1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3－8－1(2)(3)所示．图K3－8－1给出以下说法：(1)图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；(2)图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； (3)图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； (4)图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是________．9．已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x 不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润⎝⎛⎭⎫1－81100x 万元；当待岗员工人数x 超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.959 5万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？10．(2011年湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．第四章 导数第1讲 导数的意义及运算1．已知函数f (x )＝sin x ＋a 2，则f ′(x )＝( ) A ．cos x ＋2a B ．cos x C ．sin x ＋2a D ．2a2．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k 等于( )A ．－1B ．－2C ．－1 D.123．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )4．(2011年山东)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．155．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－126．(2011年“江南十校”联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.8．物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为________，加速度为________．9．(2010年全国)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，求a 的值．10．已知曲线y＝2x2＋3.(1)求曲线在点P(1,5)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(2,9)的切线方程．第2讲 导数在函数中的应用1．(2011届河北唐山一中统测)若函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有极值，则导函数f ′(x )的图象不可能是( )2．(2011年海南海口调研测试)函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图K4－2－1所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )图K4－2－1A.⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) D.⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤83，3 3．已知f (x )＝x 3－6x ＋m (m 是常数)在[－1,1]上的最小值是2，则此函数在[－1,1]上的最大值是( )A ．10B ．11C ．12D ．134．(2011年福建)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．95．(2011年浙江)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )6．如图K4－2－2为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )＜0的解集为__________________________________________________．图K4－2－27．(2011年辽宁)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是____________． 8．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＝________，n ＝________.9．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．10．(2011年福建)已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求实数b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m <M )，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t与曲线y ＝f (x )⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．第3讲 导数的综合应用1．设f (x )＝2x 2－x 3，则f (x )的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，43B.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫43，＋∞2．(2011年江西)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)4．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，又知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为( )元时总利润最大．( )A ．10B ．25C ．30D ．405．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件6．(2011年辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)7．(2011年湖南)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时，t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.228．(2010届湖南师大附中调研)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．9．(2011年江西)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值(注：区间(a ，b )的长度为b －a )．10．(2011年福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．第五章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2011年浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N )，公比q ≠1.则( ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 D ．不确定4．已知三个不等式：ab >0；bc －ad ＞0；c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2010届湖北八校联考)若a ＜b ＜0，则下列不等式中不一定成立的是( ) A.1a ＞1b B.1a －b ＞1b C.－a ＞－b D ．|a |＞－b6．(2011年湖北黄冈质检)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－2，32B.⎝⎛⎦⎤－2，32 C.⎣⎡⎭⎫－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－3，32 8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车______辆．9．a ＞0，b ＞0，求证⎝⎛⎭⎫a2b 12＋⎝⎛⎭⎫b 2a 12≥a12＋b 12.10．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2011年福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(x ≤0)，－x ＋2，(x ＞0)，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．(2011年湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)6．(2010年上海)不等式2－xx ＋4＞0的解集是__________．7．(2011年上海)不等式x ＋1x≤3的解为____________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集区间为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，则有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0，其中正确的结论的序号是_________．9．已知不等式2x ＋1＞1的解集为A ，不等式x 2－(2＋a )x ＋2a ＜0的解集为B .(1)求集合A 及B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＜b ＜c ，函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋c 满足f (1)＝0，且关于t 的方程f (t )＝－a 有实根(其中t ∈R 且t ≠1)．(1)求证：a ＜0，c ＞0；(2)求证：0≤ba<1.第3讲 算术平均数与几何平均数1．A 为两正数a ，b 的等差中项，G 为a ，b 正的等比中项，则ab 与AG 的大小关系为( ) A ．ab ≤AG B ．ab ≥AG C ．ab >AG D ．ab <AG2．(2011年上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 3．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.144．(2011年重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．45．对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值－1叫做f (x )＝x 2＋2x 的下确界，则对于a ，b ∈R 且a ，b 不全为0，a 2＋b 2(a ＋b )2的下确界为( )A.12 B ．2 C.14D ．4 6．(2011年湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2· ⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 7．(2011年浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．8．(2011年湖北模拟)设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均数．如图K5－3－1，C为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D .连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．图K5－3－19．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，求实数m 的取值范围．。
高三数学一轮复习练习题全套1—4(含答案)
姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 001 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则11x y+的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α．（2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角．4. 已知：数列{}n a 满足()211232222n n na a a a n N -+++++=∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 0021. 2275157515cos cos cos cos ++的值等于 ．2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是 ．3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 0030.01频率组距1. 复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 2. 一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 . 3. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后：（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．4. 在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ，且→→n //m ． （1）求角A 的大小；（2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 0041. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S =2．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于 __． 3. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1； （2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．4. 已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21n na AB BC a +=，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++． ⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=，证明：11<∑=nk k C ．课堂作业参考答案（1）批阅时间 等级DA B 1C 1D 1E1. 32a ≤；2. 23； 3. 解：（1）()()cos 5,sin ,cos ,sin 5AC BC αααα=-=-…………………………1分AC BC ⊥，∴()()cos cos 5sin sin 50AC BC αααα⋅=-+-=，即1sin cos 5αα+=………………………………………………………………4分 ∴()21sin cos 25αα+=， ∴24sin 225α=-………………………………………7分（2）()5cos ,sin OA OC αα+=+，∴(5OA OC +==9分∴1cos 2α=又()0,απ∈，∴sin α=, 12C ⎛ ⎝⎭，∴53OB OC ⋅=11分 设OB 与OC 夹角为θ，则52cos 512OB OC OB OCθ⋅===⋅⋅，∴30θ︒= , OB 与OC 夹角为30︒……14分。
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姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 001 1. 已知：函数在上是增函数，则的取值范围是．()()2411f x x a x =+-+[)1,+∞a 2. 设为正实数，且，则的最小值是 .,x y 33log log 2x y +=11x y+3. 已知：．()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈（1）若，求．AC BC ⊥2sin α（2）若与的夹角．OA OC +=OB OC 4. 已知：数列满足．{}n a ()211232222n n na a a a n N -+++++=∈……（1）求数列的通项．{}n a （2）若，求数列的前项的和．n nnb a ={}n b n n S 批阅时间等级姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 的值等于．2275157515cos cos cos cos ++2. 如果实数满足不等式组的最小值是．.x y 22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．4.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有[]0,1()f x []0,1x ∈；②；③若，都有成立，则()0f x ≥(1)1f =12120,0,1x x x x ≥≥+≤1212()()()f x x f x f x +≥+称函数为理想函数．()f x (1) 若函数为理想函数，求的值；()f x (0)f (2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；()21xg x =-])1,0[(∈x (3)若函数为理想函数，假定，使得，且，求证()f x ∃[]00,1x ∈[]0()0,1f x ∈00(())f f x x =．00()f x x =批阅时间等级0.01×é¾à姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 003 1. 复数，，则复数在复平面内对应的点位于第_______象限．13i z =+21i z =-12z z 2. 一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .3. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段，…后：[)50,40[)60,50[]100,90（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．4. 在中，分别是角A 、B 、C 的对边，，ABC ∆c ,b ,a ,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos 且．→→n //m （1）求角A 的大小；（2）求的值域．)23cos(sin 22B B y -+=π姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 004 1. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S =2．△中，，则△的面积等于 __．ABC ︒=∠==30,1,3B AC AB ABC 3. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．4. 已知数列的首项，前项和为，且、、（n ≥2）分别是直线{}n a 1213a a ==，n n S 1n S +n S 1n S -上的点A 、B 、C 的横坐标，，设，．l 21nna AB BC a +=11b =12log (1)n n n b a b +=++⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；{1}n a +⑵ 设，证明：．11114n b n n n n c a a +-++=11<∑=nk k C 批阅时间等级批阅时间等级AA 11课堂作业参考答案（1）1. ；2. ；32a ≤233. 解：（1）…………………………1分()()cos 5,sin ,cos ,sin 5AC BC αααα=-=-，，AC BC ⊥ ∴()()cos cos 5sin sin 50AC BC αααα⋅=-+-=即………………………………………………………………4分1sin cos 5αα+=， ………………………………………7分∴()21sin cos 25αα+=∴24sin 225α=-（2），……9分()5cos ,sin OA OC αα+=+∴OA OC +== 又，, ，……11分∴1cos 2α=()0,απ∈∴sinα=12C ⎛⎝∴OB OC ⋅= 设与夹角为，则, 与夹角为OB OC θcos OB OC OB OCθ⋅===⋅ ∴30θ︒=OB OC ……14分。
30︒4. 解（1）n=1时， ………………………………………………………………1分112a =时， （1）2n ≥211232222n n na a a a -++++=…… （2）………………3分22123112222n n n a a a a ---++++=……（1）-（2）得 ， ……………………………………5分1122n n a -=12n n a =又适合上式 …………………………………………7分112a =∴12n n a =（2）………………………………………………………………………8分2nn b n =⋅231222322nn S n =⋅+⋅+⋅++⋅………………………………10分()23121222122n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅…………………13分∴()21122222n n n S n +-=+++-⋅……()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-………………………………………………………15分∴()1122n n S n +=-+课堂作业参考答案（2）1.；2.5；543. 解：（I ）依题意…………………3分[2000400(20)](7),[2000100(20)](7),x x y x x +--⎧=⎨---⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈∴………………………5分 400(25)(7),100(40)(7),x x y x x --⎧=⎨--⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈此函数的定义域为………………………7分*{|740,}x x x N <<∈（Ⅱ） …………………………9分 22400[(16)81],271089100[(),24x y x ⎧--+⎪=⎨--+⎪⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈当，则当时，（元）；…………………………11分720x <≤16x =max 32400y =当，因为x ∈N *，所以当x ＝23或24时，（元）；……13分 2040x <<max 27200y =综合上可得当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．……………15分16x =4. 解：（1）取可得．……………………1分021==x x 0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f 又由条件①，故．………………………3分0)0(≥f 0)0(=f （2）显然在[0，1]满足条件①；………………………4分12)(-=xx g 0)(≥x g 也满足条件②．………………………-5分 1)1(=g 若，，，则01≥x 02≥x 121≤+x x )]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g，即满足条件③，………………8分0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x 故理想函数． (9))(x g （3）由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，m ∈n n m <n m <∈-m n ．………………………11分)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴若，则，前后矛盾；………………………13分)(00x f x <000)]([)(x x f f x f =≤若，则，前后矛盾．………………………15分)(00x f x >000)]([)(x x f f x f =≥故 ． ………………………16分)(00x f x =课堂作业参考答案（3）1.第一象限；2. 0.01；3. （1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：……3′41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=直方图如右所示………………………………………… 6′（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=所以，抽样学生成绩的合格率是%.…………………… 9 ′75利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝＝71，450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯估计这次考试的平均分是71分……………………………………………………… 12′ 4.（1）由得………………………………………………………4′→→n //m 0cos cos )2(=-⋅-C a A c b 由正弦定理得，0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B ∴0)sin(cos sin 2=+-C A A B ， 0sin cos sin 2=-B A B ………………………… 6′∴ ………………………………………… 8′()3,21cos ,0sin ,0,ππ=∴=≠∴∈A A B B A （2），=………………… B B B y 2sin 3sin2cos 3cossin 2ππ++=B B 2sin 232cos 211+-10′=………………………………………………………12′162sin(+-πB 由（1）得，67626320ππππ<-<-∴<<B B⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-∴1,21)62sin(πB ⎥⎦⎤⎝⎛∈∴2,21y ………………………………………………………15′课堂作业参考答案（4）1.2550；2.；4323或3. （1）证明:连结BD .在长方体中，对角线.又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点，1AC 11//BD B D . . 又B 1D 1平面，平面，//EF BD ∴11//EF B D ∴⊂≠11CB D EF ⊄11CB D EF ∥平面CB 1D 1. ………………………………………………… 6′∴（2） 在长方体中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1平面A 1B 1C 1D 1， AA 1⊥B 1D 1. 1AC ⊂≠∴又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1， B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1平面CB 1D 1，∴ ⊂≠平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．………………………………………………… 13′∴4.⑴由题意得…………………………………………………1112121n n n n n n n nS S a a a S S a ++--+=⇒=+-4′（n ≥2），又∵，∴112(1)n n aa ++=+11a =23a =数列是以为首项，以2为公比的等比数列。