广东省东莞市高一上学期数学期末考试试卷
2023-2024学年广东省东莞市高一上册期末数学学情检测模拟试题合集2套(含答案)
2023-2024学年广东省东莞市高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}318A x x =->,{}10B x x =≤,则A B = （）A ．()10+∞，B ．()3,10C ．(]3,10D ．[)10+∞，【答案】C【解析】化简集合A ，再求交集.【详解】{}318{|3}A x x x x =->=> {|310}A B x x ∴⋂=<≤故选：C【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题.2．下列函数既是偶函数,又在区间()0,3上是减函数的是（）A ．ln y x =B ．y =C ．cos y x=D ．e e x xy -=+【答案】C【解析】根据奇偶性的判断排除B 选项，根据单调性排除A ，D.【详解】令()ln ||,(,0)(0,)f x x x =∈-∞⋃+∞，()ln ||ln ||()f x x x f x -=-==，则ln y x =为偶函数当0x >时，ln ln y x x ==，在(0,)+∞上单调递增，故A 错误；令()g x x R =∈，则()()g x g x -===-，则函数y =为奇函数，故B 错误；令()cos ,h x x x R =∈，()cos()cos ()h x x x h x -=-==，则函数cos y x =为偶函数cos y x =在区间(0,)π上单调递减，则cos y x =在区间()0,3上是减函数，故C 正确；令(),x x t x e e x R -=+∈，()()x x t x e e t x --=+=，则函数e e x x y -=+是偶函数令()()()()12111221221212 0,1x x x x x x x x x x ee e x x t x t x e ee ee --++-≤<-=+---=因为120x x ≤<，所以22110,10x x x x e e e +<->-，即()()120t x t x -<所以函数e e x x y -=+在(0,)+∞上单调递增，故D 错误；故选：C【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性以及单调性定义判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．若a ，b 是实数，则a b >是lg lg a b >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【详解】由lg lg a b >可得a b >；但是0a b >>时，不能得到lg lg a b >.则a b >是lg lg a b >的必要不充分条件故选：B4．函数sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）A BC ．1D ．2【答案】D【解析】利用诱导公式得出cos sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合正弦函数的性质，得出最大值.【详解】cos cos sin 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 3y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭即当62,x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值2故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式以及正弦型函数的最值，属于基础题.5．设160.7a =,130.9b =,2log 0.8c =,则a,b,c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．a c b>>【答案】A【解析】利用6y x =的单调性比较,a b ，c 与0比较即可得出答案.【详解】6620.7,0.90.81a b ===，则66a b <因为函数6y x =在()0,+¥上单调递增，则660a b a b<⇒<<22log 0.8log 10c =<=所以b a c>>故选：A【点睛】本题主要考查了利用幂函数以及对数函数单调性比较大小，属于基础题.6．函数cos y x x =⋅,[]5,5x ∈-的大致图象为（）A ．aB ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数奇偶性，取特殊值判断即可.【详解】令()cos f x x x =⋅，()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，则函数cos y x x =⋅为奇函数，则排除D ；3522ππ<<(5)5cos50f ∴=⨯>，则排除AC故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x1234()f x 532-5-那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（）A ．()–,1∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】()()()()112523,224341g f g f =-=-==-=-=-()()120g g ∴<则函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是()1,2故选：B【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.8．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出L V 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L 5V 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的最小值为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【分析】依据题意列出不等式即可解得V 的最小值.【详解】由4540(40)4060%40VV V ---≤⨯，解得1040V ≤≤则V 的最小值为10.故选：B 二、多选题9．设,,a b c ∈R ，且0b a <<，则下列结论一定正确的是（）A ．11b a>B ．22ac bc >C ．22a b >D ．ab a b>+【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断AD ，列举例子判断BC.【详解】A.0b a <<Q ，同除ab 可得11b a>，A 正确；B.当2c =0时，22ac bc =，B 错误；C.若1,2a b =-=-，此时有22a b <，C 错误；D.0,0ab a b >+<，故ab a b >+，D 正确.故选：AD.10．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（）A．sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．51cos 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角【答案】BC【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则6πα+是第一象限或者第四象限角，当6πα+是第四象限角时，sin 63πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，A 不正确；51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，B 正确；1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫-=-+=+= ⎪⎝⎭，C 正确；因6πα+是第一象限或者第四象限角，则()66ππαα=+-不可能是第二象限角.故选：BC11．以下结论正确的是（）A ．函数2(1)x y x+=的最小值是4B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3D ．函数12(0)y x x x=++<的最大值为0【答案】BD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A.对于函数2(1)x y x+=，当0x <时，0y <，所以A 选项错误.B.由于0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 选项正确.C.2222113211322x x x x ++=+++≥+=++，但22122x x +=+无解，所以等号不成立，所以C 选项错误.D.由于0x <，所以()112220y x x x x ⎡⎤=++=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1,1x x x-==--时等号成立，所以D 选项正确.故选：BD12．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则下列判断正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，则有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=D ．若函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ 【答案】BCD【分析】举出反例可得函数不是奇函数，A 错误；研究二次函数的单调性得到B 正确；分情况讨论并计算可判断C 正确；构造函数|()|(),f x g x y m x==，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题可判断D 正确．【详解】A 选项，(1)4,(1)2f f =-=-，即(1)(1)f f -≠-，则()f x 不是奇函数，即A 不正确；B 选项，0x <时，()22()2112f x x x x =-++=--+，对称轴为1x =，开口向下，故()f x 在(,0)-∞上递增，0x ≥时()22()211f x x x x =++=+，对称轴为=1x -，开口向上，故()f x 在(0,)+∞上递增，且2202010201-+⨯+=+⨯+，于是得()f x 在R 上单调递增，则()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，B 正确；C 选项，0x >时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤-<+-=+++--+-+=⎣⎦，0x <时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤->+-=-+++-+-+=⎣⎦，0x =时，()()2(0)2f x f x f +-==综上得：对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=成立，C 正确；D 选项，因为(0)1f =，则0不是|()|y f x mx =-的零点，0x ≠时，|()||()|0f x f x mx m x-=⇔=，令|()|(),f x g x y m x==，依题意函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点，0x <时，令2()210f x x x =-++≥，解得：1x ⎡∈-+⎣，结合0x <可得：)1x ⎡∈-⎣，令2()210f x x x =-++<，解得：((),11x ∈-∞+∞ ，结合0x <可得：(,1x ∈-∞，0x ≥时，()22()2110f x x x x =++=+≥恒成立，综上：()0f x ≥时，1()0x f x ≥<时，1x <于是得()12,012,1012,1x x x g x x x x x x x ⎧++>⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪--<⎪⎩，由对勾函数知，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，又()g x在[1上递减，在(,1-∞上递增，如图：直线1y m =与()y g x =的图象有两个公共点，14m >，直线2y m =与()y g x =的图象有两个公共点，20m <，从而得函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点时0m <或4m >，所以实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ ，D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．计算:22318lg 902lg 34-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________.【答案】21【解析】由指数的运算性质与对数的运算性质化简即可得出答案.【详解】()222233318lg 902lg 342lg 9lg10lg 9214-⎛⎫++-=++-= ⎪⎭+⎝故答案为：21【点睛】本题主要考查了指数的运算性质与对数的运算性质，属于基础题.14．已知扇形的圆心角为3π，弧长为45π，则扇形的面积为___________.【答案】2425π【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即可.【详解】依题意，扇形的半径412553l r ππα===，所以扇形的面积1141224225525S lr ππ==⨯⨯=，故答案为：2425π.15．已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7tan 2απ12⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】17-【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得πtan 2α3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正切公式求得7ππtan 2απtan 2α1234⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【详解】 已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π2tan απ46tan 2απ331tan α6⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+==- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，则ππtan 2αtan7ππ134tan 2απtan 2αππ123471tan 2αtan 34⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为17-．【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．16．已知函数21()21x x f x -=+，若对于任意的[,2]x t t ∈+，不等式()()0f x t f x -+≤恒成立，则实数t 的取值范围是___________．【答案】(,4]-∞-【分析】先判断()f x 在R 上是奇函数和增函数，故题意可转化成2,[,2]x t x t t ≤∈+，求()max 2x 即可求解【详解】()f x 的定义域为R ，且2112()()2112xxx xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，212()12121x x xf x -==-++，对任意12,x x <()()()()()12122112122222222110212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为单调递增函数，由()()0f x t f x -+≤，得()()f x t f x -≤-，即()()f x t f x -≤-，所以,[,2]x t x x t t -≤-∈+，即2,[,2]x t x t t ≤∈+恒成立，因为当[,2]x t t ∈+时，()()max 222x t =+，所以2(2),t t +≤，解得4t ≤-，故答案为：(,4]-∞-．四、解答题17．已知集合R {1A x x =≤-∣ð或3}x ≥，集合{23}B x k x k =<<+∣.(1)当1k =-时，求A B ⋂；(2)若A B ⋂是空集，求实数k 的取值范围.【答案】(1){12}xx -<<∣(2){4kk ≤-∣或3}2k ≥【分析】（1）先根据补集的定义求出集合A ，再将集合,A B 取交集；（2）需要分类讨论集合B 是否为空集.【详解】（1）集合{13}A x x =-<<∣，当1k =-时，集合{22}B x x =-<<∣，所以{12}A B xx =-<< ∣.（2）当A B ⋂是空集时，分两种情况：情况一：集合B =∅时，23k k ≥+，所以3k ≥；情况二：集合B ≠∅时，3k <，要使A B ⋂是空集，则需要满足31k +≤-或23k ≥，解得4k ≤-或32k ≥，所以这种情况下，实数k 的取值范围为{4kk ≤-∣或33}2k ≤<.综上，实数k 的取值范围为{4kk ≤-∣或3}2k ≥.18．已知α为第一象限角,且sin 2cos αα=.（1）求sin 2α的值;（2）求的sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值.【答案】（1）45；（2【解析】（1）利用平方关系以及二倍角的正弦公式求解即可；（2）利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】（1）2222sin cos 1(2cos )cos 1αααα+=⇒+=cos ,sin 55αα∴==4sin 22sin cos 2555ααα∴=⋅=⨯=（2）sin cos 42225510πααα⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式，属于基础题.19．已知函数()e ,()xf xg x =e 为自然对数的底数，e 2.71828=⋅⋅⋅．(1)判断()g x 单调性，并用定义证明；(2)求方程()()f x g x =实数解的个数．【答案】(1)()g x 为(1,)-+∞上的单调递减函数；证明见解析(2)唯一的实数解【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；（2）令()()()exh x f x g x =-=-易知()h x 在(1,)-+∞单调递增，又因为102h ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，1(0)02h =>，所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，从而得出结论．【详解】（1）()g x =(1,)-+∞对任意的121x x -<<()()12g x g x -=所以()()12,()g x g x g x >为(1,)-+∞上的单调递减函数.（2）由()()f x g x =可得()()0f x g x -=，令()()()e xh x f x gx =-=-易知()h x在(1,)-+∞单调递增又因为102h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1(0)02h =>所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()f x g x =有唯一的实数解01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.20．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求使()0f x 成立的x 的取值集合.【答案】（1）1a =-；（2）42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】（1）利用两角和与差的公式化简成为sin()y A x ωϕ=+的形式，根据三角函数的性质可得a 的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；（3）根据三角函数的性质求解()0f x 成立的x 的取值集合．【详解】（1）由题意：函数()sin(sin(cos 66f x x x x a ππ=++-++，化简得：()sin cos cos sinsin coscos sincos 6666f x x x x x x aππππ=++-++cos x x a =++2sin()6x a π=++，sin()6x π+ 的最大值为1，()211f x a ∴=⨯+=，解得：1a =-．（2） 由（1）可知()2sin(16f x x π=+-．根据三角函数的性质可得：[262x k πππ+∈+，32]()2k k Z ππ+∈．即322262k x k πππππ+++，()k ∈Z 解得：42233k x k ππππ++，()k ∈Z ，()f x ∴的单调递减区间为42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3） 由题意：()0f x ，即2sin(106x π+-，可得：1sin(62x π+．522666k x k πππππ∴+++，()k ∈Z ．解得：2223k x k πππ+．()k ∈Z ()0f x ∴成立的x 的取值范围是2|22,3x k xk k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．21．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2x x x f x ex π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15 2.71,ln 30 3.40,ln 90 4.50≈≈≈）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.【详解】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，此时()40sin 133f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 53y =.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >.由0.5901420x e -+<，得：0.5115xe -<，两边取自然对数得：0.51ln ln15xe -<即0.5ln15x -<-，∴2ln15 5.42x >≈，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.22．已知函数()()()ln e 1,()ln e 1x xf xg x =+=-．(1)试判断函数1()2f x x -的奇偶性，并证明；(2)若对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)偶函数；证明见解析(2)20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明；（2）利用参变量分离法可得()e e 1e 1x x x k +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，利用换元法(令e 1x t =-)及函数的单调性求出()e e 1e 1x x x+-的最大值，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）()1h()ln e 12xx x =+-的定义域为R ()()()e e 111e 1()()ln e 1ln e 1ln ln 02e e 211x x x x x x xh x h x x x x --+⎛⎫+--=+--+-=-=-= ⎪++⎝⎭所以()1()ln e 12xh x x =+-为偶函数.（2）对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，∴e 1ln ln 0e 1x x x k --+≥+恒成立，即e 1ln ln 0e 1x x x lne k --+≥+在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，即()e e 1e 1x x xk +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，令e 1,[1,3]x t t =-∈∴()e e 1(1)(2)23e 1x x x t t t t t+++==++-令2()3,[1,3]g t t t t=++∈121212121212121222222()()3(3)()()()t t g t g t t t t t t t t t t t t t --=++-++=-+-=-当12,t t ⎡∈⎣且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<-<>，则12()()0g t g t ->当12,t t ⎤⎦∈且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<->>，则12()()0g t g t -<可得()g t在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增又20(1)6,(3)3g g ==，所以()g t 在[1,3]上的最大值为203∴203k ≥，即实数k 的取值范围是20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭．2023-2024学年广东省东莞市高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．若集合{}1A x x =>，{}2230B x x x =--≤，则A B = （）A ．(]1,3B ．[]1,3C ．[)1,1-D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}223013B x x x x x =--≤=-≤≤ ，{}1A x x =>，因此，(]1,3A B = .故选：A.2．已知x ，y 是实数，则“x y >”是“33x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若x y >，则223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则0x y ->，即x y >，所以33x y x y >⇔>，即“x y >”是“33x y >”的充要条件，故选：C.3．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A ．4003πB ．400πC ．800πD ．7200π【答案】B【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为1212404020204002323πππ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.4．函数()()e e 2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，分析可得函数()f x 为奇函数，当0x >时，有()0f x >，利用排除法分析可得答案.【详解】解：根据题意，对于函数()()e e 2cos x x x f x x-+=+，有函数()()()()e e ee 2cos 2cos x xxxx x f x fx xx---++-==-=-++，即函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ､B ；当0x >时，cos [1,1]x ∈-，则恒有()()e e 02cos x x x f x x-+=>+，排除D ；故选：C.5．已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b<<D ．a b c<<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log 2log 32a b =<==，即a c b <<.故选：C.6．已知函数log ,1,()(21)3,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据分段函数单调性,可得关于a 的不等式组,解不等式组即可确定a 的取值范围.【详解】函数log ,1,()(21)3,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+⎩在R 上为减函数所以满足01,210,(21)130,a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-⋅+⎩解不等式组可得1152a <.故选:D【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用,根据分段函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.7．已知函数()2sin cos f x x x =+满足()000,2f x x π⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则0tan x =（）A ．2B ．112C ．12D ．211【答案】D【分析】由已知可得出()20022002sin cos 9sin cos 5x x x x +=+，利用弦化切可得出关于0tan x 的方程，结合00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得0tan x 的值.【详解】因为()0002sin cos f x x x =+00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0tan 0x >，()22220000000022222000002sin cos 4sin 4sin cos cos 4tan 4tan 19sin cos sin cos tan 15x x x x x x x x x x x x x +++++∴===+++，可得20011tan 20tan 40x x +-=，解得02tan 11x =.故选：D.8．已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】令1x t -=，转化为()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性求解.【详解】因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令1x t -=，则()()()()sin 1cos 22t tt t g t t a e e t a e e ππ--⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，所以()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性，则()0120g a =+=，解得12a =-，故选：B 二、多选题9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b<C ．11a b b a+>+D ．11a b a b+>+【答案】BC【解析】作差比较可知A 不正确；BC 正确；举特值可知D 不正确.【详解】因为0a b >>，所以0b a -<，0ab >，所以11b b a a +-+(1)(1)(1)b a a b a a +-+=+0(1)b a a a -=<+，所以11b b a a +<+，故A 不正确；110b aa b ab --=<，所以11a b<，故B 正确；11a b b a +--=a b a b ab --+()110a b ab ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，故C 正确；当12a =，13b =时，满足0a b >>，但是1151110232233a b a b +=+=<+=+=，故D 不正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：作差比较大小是解题关键.10．下列各式中，值为12的有（）A ．sin 7cos 23sin83cos67︒︒+︒︒B ．1sin 50cos50+︒︒C ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒D ．()()11tan 221tan 23+︒+︒【答案】ACD【分析】A 中，利用两角和的正弦公式计算即可；B 中，先通分，再利用三角恒等变换计算即可；C中，利用二倍角的正切值公式计算即可；D 中，利用两角和的正切公式计算即可．【详解】对于A ，sin 7cos 23sin83cos67sin 7cos 23cos7sin 23︒︒+︒︒=︒︒+︒︒()1sin 723sin 302=︒+︒=︒=；对于B，()()2sin 305012sin 80411sin 50sin 250sin 8022︒+︒︒+====︒⨯︒︒；对于C ，()2tan 22.511tan 222.51tan 22.522=⨯=-︒︒︒；对于D ，()()111tan 221tan 231tan 2tan 23tan 22232tan ︒︒︒+︒+︒⋅=+++︒tan 23t 11ta an 22n 22tan 23︒+︒+︒⋅=+︒()()11tan 221t 23tan 23tan 23an 22tan 22︒+︒︒⋅︒︒⋅=+-+︒12=．故选：ACD ．11．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【答案】AC【解析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得4k πϕπ=-+，k Z ∈，因为22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确；对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin 344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题12．若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数；其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A ．()11f x x =+B ．()exf x =C ．()()2lg 2f x x =+D ．()cosπf x x=【答案】BD【分析】根据函数的新定义依次代入函数计算得到方程，AC 方程无解，得到答案.【详解】()11f x x =+，定义域为()(),11,-∞--+∞ ，则00111212x x =+++，方程无解，A 错误；()e x f x =，定义域为R ，则001e e e x x +=+，解得0elne 1x =-，B 正确；()()2lg 2f x x =+，定义域为R ，则()()()2200lg 2l 231g lg x x ++++=，化简得到2002230x x -+=，方程无解，C 错误；()cosπf x x =，定义域为R ，则()()00cos π1cos π1x x +=-⎡⎤⎣⎦，即()01cos π2x =，013x =是方程的一个解，D 正确.故选：BD.三、填空题13．计算：22cos 15sin 15︒-︒=__________.【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【详解】22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=.14．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则f (-8)的值是____.【答案】4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．【答案】6【分析】由3a b ab +=-可知，要使a b +取最小值，只需ab 最小即可，故结合a b +≥求出ab 的最小值即可求解.【详解】由0a >，0b >，得a b +≥a b =时，等号成立），又因3a b ab +=-，得3ab -≥，即)130-≥，由0a >，0b >3≥，即9ab ≥，故3936a b ab +=-≥-=.因此当3a b ==时，a b +取最小值6.故答案为：6.16．已知函数()22,36,3x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若a 、b 、c 、d 、e ()a b c d e <<<<满足()()()()()f a f b f c f d f e ====，则()()()()()M af a bf b cf c df d ef e =++++的取值范围为______.【答案】()0,9【解析】设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，作出函数()f x 的图象，可得01t <<，利用对称性可得2a d b c +=+=，由()()0,1f e ∈可求得56e <<，进而可得出2224M e e =-++，利用二次函数的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，当02x <<时，()()222111f x x x x =-=--+≤，由图象可知，当01t <<时，直线y t =与函数()y f x =的图象有五个交点，且点(),a t 、(),d t 关于直线1x =对称，可得2a d +=，同理可得2b c +=，由()()60,1f e e t =-=∈，可求得56e <<，所以，()()()()()()()()()46M af a bf b cf c df d ef e a b c d e f e e e =++++=++++=+-()()222241250,9e e e =-++=--+∈.因此，M 的取值范围是()0,9.故答案为：()0,9.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．已知角α终边上有一点()P m ，且sin (0)4m m α=>.(1)求m 的值，并求cos α与tan α的值；(2)化简并求()()()π11πcosπcos cos229πcosπsinπsin2αααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+⎪⎝⎭的值.【答案】(1)m=cosα=，tanα=(2)3【分析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案.（2）根据诱导公式化简得到原式等于tanα，计算得到答案.(1)sin4mα==，0m>，解得m=故cos4α==，tan3α=-.(2)()()()11πcosπcos coscos sin sin22tan9πcos sin coscosπsinπsinπ2ααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫---+⎪⎝⎭18．已知函数()22sin cos2cos1f x x x x=+-.(1)求π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值及()f x的单调递增区间；(2)求()f x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)π14f⎛⎫=⎪⎝⎭，单调增区间为3πππ,π88k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z∈(2)，最小值为1-【分析】（1）化简得到()π24f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，代入计算得到函数值，解不等式πππ2π22π242k x k-≤+≤+得到单调区间.（2）计算ππ5π2,444x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据三角函数图像得到最值.(1)()2π2sin cos2cos1sin2cos2sin24f x x x x x x x⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭，故3ππn144f⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π242k x k -≤+≤+，解得3ππππ88k x k -≤≤+，k Z ∈，故单调增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z∈(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为1，最小值为2，故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦，最小值为1-.19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(01)x y ka k a =>>，与12(00)y px k p k =+>>，可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【答案】（1）理由见解析，函数模型为323(),112,32xy x x N *=⋅≤≤∈；（2）六月份.【分析】（1）由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选(01)x y ka k a =>>，符合要求，根据数据2x =时24y =，3x =时36y =代入即可得解；（2）首先求0x =时，可得元旦放入凤眼莲的覆盖面积是2323m ，解不等式32332()10323x ⋅>⋅即可得解.【详解】（1）两个函数(01)x y ka k a =>>，与12(0,0)y px k p k =+>>在(0,)+∞上都是增函数，随着x 的增加，指数型函数(01)x y ka k a =>>，的值增加速度越来越快，而函数12(0,0)y px k p k =+>>的值增加越来越慢，由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选(01)x y ka k a =>>，符合要求；由2x =时24y =，由3x =时36y =，可得232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为323(),112,32xy x x N *=⋅≤≤∈；（2）当0x =时，323y =，元放入凤眼莲的覆盖面积是2323m ，由32332(10323x ⋅>⋅，得3()10,2x >所以32lg101log 10 5.9lg 3lg 2lg 3lg 2x >==≈--，由x N *∈，所以6x ≥.所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.20．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)确定函数()f x 的解析式，判断并证明函数()f x 在()1,+∞上的单调性；(2)若存在实数θ，使得不等式()()2sin 22sin 10f f t θθ-+++<成立，求正实数t 的取值范围.【答案】(1)()21xf x x=+，函数在()1,+∞上单调递减，证明见解析.(2)0t >【分析】（1）根据()00f =，1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得到函数解析式，设121x x <<，计算()()21f x f x <，证明函数的单调性.（2）根据函数的奇偶性和单调性得到21sin 2sin t θθ>--，设sin m θ=，求函数()221g m m m =--+的最小值得到答案.(1)函数()21ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数，则()00f b ==，12212514af ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，解得0b =，1a =，故()21xf x x =+.()f x 在()1,+∞上单调递减，证明如下：设121x x <<，则()()()()()()()()()()22211221122121222222212121*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，()()2221110x x ++>，210xx ->，1210x x -<，故()()210f x f x -<，即()()21f x f x <.故函数在()1,+∞上单调递减.(2)()()2sin 22sin 10f f t θθ-+++<，即()()22sin 12sin f t f θθ++<-，22sin 11t θ++>，2sin 1θ-≥，故22sin 12sin t θθ++>-，即21sin 2sin t θθ>--，设sin m θ=，[]1,1m ∈-，()221321222g m m m m ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，()()min 12g m g ==-，故2t >-，又0t >，故0t >.21．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线()2sin (0,0)3f x A x A πϕϕπ⎛⎫=+>≤< ⎪⎝⎭，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式()f x 以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()g x ；（2）证明：()(1)(2)g x g x g x ++++为定值．【答案】（1）2525()2sin ,()2sin 3636f x x g x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得；（2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，2()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点（1，-2）代入得：2222sin sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵0ϕπ≤<，∴225[,)333πππϕ+∈，∴235326πππϕϕ+=⇒=，∴25()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()g x 与()f x 关于x 轴对称，所以25()2sin 36g x x ππ⎛⎫=-+ ⎝⎭.（2）由（1）2522()2sin 2sin 2cos 3633233g x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222()(1)(2)2cos 2cos 2cos 33333g x g x g x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222cos 2cos +2cos 33333x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222122cos sin 2cos 2cos sin 0323233232x x x x x πππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-⋅-⋅++⋅--⋅= ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.即定值为0.22．对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点.(1)当1,2a b ==时，凾数()f x 在(]0,2x ∈上存在两个关于参数m 的相异的不动点，试求参数m 的取值范围；(2)对于任意的1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]2,5b ∈，使得函数()f x 有关于参数m 的两个相异的不动点，试求m的取值范围.【答案】(1)115,2⎛⎤⎥⎝⎦(2)()(),25,m ∈-∞+∞ 【分析】（1）题目转化为0013m x x =++，根据双勾函数的单调性得到函数值域，得到范围.（2）根据0∆>得到()2141b m b +-<-，设1t b =-，构造函数()()()2222m F t t m t-=++-，根据函数的单调性得到函数的最大值，讨论端点值的大小关系解不等式得到答案.(1)()231f x x x =++，()00f x mx =，即002031x x mx ++=，(]00,2x ∈，即0013m x x =++，函数()13g x x x=++在(]0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增，()15g =，()1122g =，当0x →时，()g x ∞→+，0013m x x =++有两个解，故115,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.(2)()211ax b x b mx +++-=，即()2110ax b m x b ++-+-=，()()21410b m a b ∆=+--->，整理得到()2141b m a b +-<-，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()2141b m b +-<-，设1t b =-，[]1,4t ∈，则()224t m t+-<，即()()22422m t m t-<++-，设()()()2222m F x x m x-=++-，在()0,2m -上单调递减，在()2,m -+∞上单调递增，故()()(){}22max 1max 1,4max 69,394F t F F m m m m ⎧⎫==-+-+⎨⎬⎩⎭，当22169394m m m m -+≥-+，即4m ≥或0m ≤时，2694m m -+>，解得5m >或1m <，故5m >或0m ≤；当22169394m m m m -+<-+，即04m <<时，213944m m -+>，解得10m >或2m <，故02m <<；综上所述：5m >或2m <，即()(),25,m ∈-∞+∞。
广东省东莞市高一数学上学期期末考试试题(A卷)新人教A版
高一数学（A 卷）2012-1-10一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.）1．已知全集{1234567}U =，，，，，，，{245}A =，，，则A =C U （ ）A ． ΦB ． {246}，，C ． {1367}，，，D ．{1357}，，，2．下列命题中，正确的是（ ）A ．经过不同的三点有仅有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一条直线的两条直线平行D ．垂直于同一个平面的两条直线平行 3．已知Rt ABC ∆的顶点坐标分别为(51)A -，，(11)B ，，(2)C m ，，若90C ∠=，则实数m 的值为（ ）A ．2或2-B ．2C ．2-D ．34．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）A ．124ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 5．三个数0.3log 6a =，60.3b =，0.36c =，则的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(1)e， B ．(12)，C ． (23)，D ．()e +∞， 7．已知直线1:0l ax y a -+=，2:(23)0l a x ay a -+-=互相平行，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3- C ．1或3- D ．08．利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（ ）A．4 B．4 C．2D 29．已知点(10)A ，，(10)B -，，过点(01)C -，的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围是（ ）A ．[45135]，B ．[4590)(90135]，，C ．[045][135180]，，D ．[0135]，10．已知函数210()210x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，，．若2()(2)f m f m <-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1)(2)-∞-+∞，， B ．(12)-， C ．(21)-， D ．(2)(1)-∞-+∞，，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．幂函数()f x的图象过点(3 ，则()f x12．已知函数()fx 是定义在R 上的奇函数，当x 2()log 1f x x =+，则(4)f -= .13．一个几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为2的 正方形，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，则此 几何体的侧棱长等于 .14．规定符号“*”表示两个正实数a 、b 之间的运算， 即a b a b *=-+，已知11k *=，则函数()(0)f x k x x =*>的值域是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分12分)已知集合{|17}A x x =≤<，2{|log (2)3}B x x =-<，{|}C x x a =<，全集为实数集R ．（1） 求A B ；（2） 如果A C ≠Φ，且B C =Φ，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分13分)设直线1:2l y x =与直线2:3l x y +=交于P 点．（1） 当直线m 过P 点，且与直线0:20l x y -=时，求直线m 的方程；（2） 当直线m 过P 点，且坐标原点O 到直线m 的距离为1时，求直线m 的方程．17．(本小题满分13分)某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？18．(本小题满分14分)如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，第13题图CD AD ⊥，2CD AB =，E 为PC 的中点，PA = （1）证明：//BE 平面PAD ； （2）证明：BE ⊥平面PDC ； （3）求三棱锥E PBD -的体积．19．(本小题满分14分) 已知函数2()()21x f x a a R =-∈+ （1）判断并证明函数的单调性；（2）若函数为()f x 奇函数，求实a 数的值；（3）在（2）的条件下，若对任意的t R ∈，不等式22(2)()0f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分14分)已知函数()||f x x a =-，2()21g x x ax =++（a 为正实数），且函数()f x 与()g x的图象在y 轴上的截距相等． （1） 求a 的值；（2） 对于函数()F x 及其定义域D ，若存在0x D ∈，使00()F x x =成立，则称0x 为()F x 的不动点．若()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，求实数b 的取值范围；（3） 若n 为正整数，证明：()()410()45f ng n ⋅< (参考数据：lg30.3010=，94()0.13425=，164()0.02815=，254()0.00385=)2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷）参考答案及评分标准第18题图一、选择题二、填空题 11．()x x f = 12．3- 13．()1,-+∞三、解答题15. （本小题满分12分）解：（1）由2log (2)3x -<，得028x <-<， ………………………2分210x ∴<<，即{|210}B x x =<<. ………………………4分∴}101|{<≤=x x B A . …………………………6分 （2）∅≠C A ，∴1a >. ……………………………8分 又∵BC =∅，∴2a ≤， …………………………10分 ∴12a <≤，即实数a 的取值范围是(]1,2. ……………………………12分16．（本小题满分13分）解：由23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得点()21，P . ………………………2分 （1）因为m ⊥0l ，所以直线m 的斜率221110-=-=-=l m k k ， ……………………………4分又直线m 过点()21，P ，故直线m 的方程为：()221y x -=--，即240x y +-=. …………………………6分（2）因为直线m 过点()21，P ，当直线m 的斜率存在时，可设直线m 的方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=. …………………7分所以坐标原点O 到直线m的距离1d ==，解得34k =， …………9分 因此直线m 的方程为：332044x y --+=，即3450x y -+=. …………10分 当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为1x =，验证可知符合题意．……12分 综上所述，所求直线m 的方程为1x =或3450x y -+=. ………………13分17．（本小题满分13分）解：设酒店将房费提高到x 元，每天的客房的总收入为y 元. …………1分则每天入住的客房间数为)1020200300(⨯--x 间, ……………3分 由20030010020x --⨯≥及0≥x ， …………………4分 得：8000≤≤x . ……………………5分 依题意知：)1020200300(⨯--=x x y ……………………8分 =x x 400212+-=80000)400(212+--x . ……………………10分因为8000≤≤x ，所以当400=x 时,y 有最大值为80000元. ………………12分答:酒店将房费提高到400元时，每天客房的总收入最高. ……………………13分18．（本小题满分14分）（1）证明：取PD 中点Q ,连结AQ 、EQ .……………1分E 为PC 的中点，CD EQ //∴且CD EQ 21=.………………2分又CD AB // 且CD AB 21=，AB EQ //∴且AB EQ =.…………………3分 ∴四边形ABED 是平行四边形，AQ BE //∴. …………………………4分第18题图又⊄BE 平面PAD ，⊂AQ 平面PAD ，∴//BE 平面PAD . …………………………5分（2）证明：⊥PA 底面ABCD ，CD PA ⊥∴. …………………………6分又AD CD ⊥ ，且A AD PA =⋂,⊥∴CD 平面PAD ，AQ CD ⊥∴. …………………………7分AD PA = ，Q 为PD 的中点，PD AQ ⊥∴， …………………………8分,D PD CD =⋂⊥∴AQ 平面PDC . …………………………9分 AQ BE // ，∴⊥BE 平面PDC . …………………………10分（3）解法一∵E 为PC 的中点，∴E PBD B PDE V V --=＝B ECD V -＝E BCD V -. …………………………11分⊥PA 底面ABCD ，∴点E 到面BCD 的距离1122d PA ==. …………………………12分 1121122BCD S CD AD ∆∴=⨯=⨯⨯=. …………………………13分E BCD V -111113326BCD S d ∆=⨯=⨯⨯=，E 为PC 的中点，∴16E PBD V -=. …………………………14分 解法二由前面证明可知：BE 是三棱锥B PDE -的高，CD PD ⊥.在Rt PAD ∆中，PD ==122BE AQ PD ===. ………………11分1112222PDE PDC S S PD DC ∆∆==⨯⨯⨯=， …………………………12分 E PBD B PDE V V --= …………………………13分11133226PDE S BE ∆=⨯=⨯⨯=. …………………………14分19．（本小题满分14分）（1）函数()f x 为R 上的增函数．证明如下： ……………………………1分证明：函数()f x 的定义域为R ，对任意1x ，R x ∈2，设21x x <，则121222()()()()2121x x f x f x a a…………………………2分 122121222(22)2121(21)(21)x x x x x x . …………………3分因为2x y是R 上的增函数，且12x x ，所以1222xx ＜０，……………………4分所以12()()f x f x ＜０即12()()f x f x ，函数()f x 为R 上的增函数. ……………5分（2）解：∵函数()f x 为奇函数，∴(0)10f a =-=， …………………………6分 ∴1a =. …………………………7分 当1a =时，2()121xf x ＝2121x x . ()f x 2121x x＝1212x x ＝－2121x x ＝－()f x ，…………8分 此时，()f x 为奇函数，满足题意．所以，1a =． …………………………9分（3）解：因为()f x 是奇函数，从而不等式22(2)()0f t f t tk ++->对任意的R t ∈恒成立等价于不等式22(2)()f t f tk t +>-对任意的R t ∈恒成立． …………………………10分 又因为在(,)-∞+∞上为增函数，所以等价于不等式222t tk t +>-对任意的R t ∈恒成立，即不等式2220t kt -+>对任意的R t ∈恒成立． …………………………11分 所以必须有2160k ∆=-<， …………………………12分 即44k -<<， …………………………13分所以实数k 的取值范围{}44k k -<<． …………………………14分20．（本小题满分14分）解：⑴ ∵函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等，∴()()00f g =，即1a =． ……………………………1分 又0a >，∴1a =． ……………………………2分⑵由（1）知，()()223 1=2 1x x b x f x g x b x x b x ⎧++≥⎪++⎨+++<⎪⎩．当1x ≥时，若()()f x g x b ++存在不动点，则有23=x x b x ++，即()22=211b x x x --=-++． ………………………3分∵1x ≥，∴()2113x -++≤-，此时3b ≤-． ………………………4分 当1x <时，若()()f x g x b ++存在不动点，则有22=x x b x +++，即2=2b x -- ……………………5分∵1x <，∴222x --≤-，此时2b ≤-． ………………………6分故要使得()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，则实数b 的取值范围应为(]2-∞-，． ……………… …………………………………………7分 ⑶设()()()4105g n f n G n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．因为n 为正整数， ∴()212141005n n n G n -++⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭． ………………………8分∴()()()()22+12+112+3121410+145=1045105n n n n n n n G n G n ++-++⎛⎫⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭． ………………………9分 当()()+11G n G n <时，2+341015n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即()42+3lg 15n ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，亦即12lg 3132-->+n ，∴133.726lg 22n >-≈-． ………………………11分由于n 为正整数，因此当13n ≤≤时，()G n 单调递增；当4n ≥时，()G n 单调递减． ∴()G n 的最大值是()(){}max 3,4G G ． ………………………12分又()16243=10=1000.0281=2.815G ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，()25344=10=10000.0038=3.85G ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，………………………13分 ∴()()44G n G ≤<． ………………………14分。
2022-2023学年广东省东莞市东莞高级中学数学高一上期末质量检测试题含解析
1 / 15
A. A 4
B. 1
C. π 6
D. B 4
6．棱长为 1 的正方体可以在一个棱长为 a 的正四面体的内部任意地转动，则 a 的最小值为
A. 3 2
B. 2
C. 2 3
D. 6 3
7．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为 (, ) 是（ ）
A. y tan x
B. y cos x
所成的角为（ ）
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
12．已知偶函数 f (x)在区间0，+ 单调递增，则满足 f (2x 1) f (1) 的 x 取值范围是（ ）
3
A. (1 , 2) 33
B.[1 , 2) 33
C. (1 , 2) 23
D.[1 , 2) 23
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
g
(0)
1,
g(1)
0
，
由图 1 知，此时函数 h(x) 与 g(x) 在[0,1] 上只有一个交点； 当 1 1，即 m 1 时，因为 m 1，所以要使函数 h(x) 与 g(x) 在[0,1] 上有且只有一个交点，由图 2 知 h(1) g(1) ，
m 即 m2 3m 0 ，解得 m 3 或 m 0 （舍去）.
B.
的 C.
D.
10．若定义运算
f
ab
b, (a a, (a
b)
，则函数
b)
f
3x 3x
的值域是（
）
A.(-∞，+∞)
B.[1，+∞)
C.(0.+∞)
D.(0，1]
广东省东莞市高一上学期期末数学试卷
广东省东莞市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分）(2018·中山模拟) 已知集合A= ,B= ,则 =（）A .B .C .D .2. （2分）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 已知向量，则向量的单位向量是（）A .B .C .D .4. （2分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A . x=B . x=C . x=D . x=-5. （2分） (2017高一下·郴州期中) sin120°的值为（）A .B .C .6. （2分）执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 在中，，点为边上一点，且，则（）A .B .C .D .8. （2分）若，则（）A .B .D .9. （2分）设函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A . f（）＜f（）＜f（2）B . f（2）＜f（）＜f（）C . f（）＜f（）＜f（2）D . f（）＜f（2）＜f（）10. （2分） (2016高一上·三亚期中) 已知函数f（x）= ，若f（a）= ，则实数a的值为（）.A . ﹣1B .C . ﹣1或D . 1或﹣11. （2分）(2019·定远模拟) 定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的“双中值函数“ 已知函数是上的“双中值函数“，则实数m的取值范围是A .B .C .D .12. （2分）(2017·武汉模拟) 已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且 = ，若•• ，则实数λ的值为（）A . 2B .C .D .13. （2分）函数的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 414. （2分） (2019高二上·遵义期中) 已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)15. （1分） (2017高二下·双鸭山期末) 函数的定义域为________；16. （1分）(2018·重庆模拟) 已知奇函数的图像关于直线对称，当时，，则 ________．17. （1分） (2018高一下·瓦房店期末) 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量，则点的坐标是________．18. （1分）已知函数y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在幂函数f（x）的图象上，则f（2）=________19. （1分）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是________20. （1分） (2019高一上·水富期中) 对于任意 R，函数表示，，中的较小者，则函数的最大值是________.三、解答题 (共5题；共50分)21. （10分） (2016高一上·莆田期中) 已知函数f（x）= ﹣，（1）求函数f（x）的定义域；（2）求f（﹣1），f（12）的值．22. （5分） (2017高一上·东城期末) 已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h（x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．23. （10分） (2016高一下·衡阳期中) 已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．24. （10分） (2017高一下·新余期末) 设向量 =（sinx， cosx）， =（﹣1，1）， =（1，1），其中x∈（0，π]．（1）若（ + ）∥ ，求实数x的值；（2）若• = ，求函数sinx的值．25. （15分） (2016高一上·蕲春期中) 已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；（3）若g（x）=2x+log2（x+1），且对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共6题；共6分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共50分)21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、。
2021-2022学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{|2}x x >B ．{|02}x x <<C ．{|04}x x <<D ．{|24}x x <<【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合A ，再由集合的交运算求A B 即可.【详解】由{}228(2)(4)0{|24}A x x x x x x x =--=+-<=-<<，又{}0B x x =>，∴{|04}A B x x ⋂=<<. 故选：C.2．已知命题p ：(0,)2πα∀∈，tan sin αα>，则p ⌝为（ ）A ．(0,)2πα∀∈，tan sin αα≤B ．(0,)2πα∀∉，tan sin αα≤C ．(0,)2πα∃∈，tan sin αα≤D ．(0,)2πα∃∉，tan sin αα≤【答案】C【分析】全称命题的否定定义可得.【详解】根据全称命题的否定，p ⌝：(0,)2πα∃∈，tan sin αα≤.故选：C.3．若0x y <<，z R ∈，则（ ） A ．33x y < B ．11x y< C ．22xz yz < D ．22x y <【答案】A【分析】由不等式的性质判断A 、B 、D 的正误，应用特殊值法0z =的情况判断C 的正误.【详解】由0x y <<，则33x y <，A 正确；11x y>，B 错误；22x y >，D 错误. 当0z =时，22xz yz =，C 错误； 故选：A.4．已知扇形的面积为16，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】B【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数.【详解】设扇形的圆心角为 θ，半径为 r ， 则由题意可得21162r θ=∴ 32322222232r r r r r rθ+=+⨯⋅=， 当且仅当322r r=时 , 即4,2r θ==时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值32. 故选：B.5．若函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标向右平移(0)ϕϕ>个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．56πB ．512π C ．6πD ．12π 【答案】B【分析】由题设可得()f x ϕ-=cos(22)6x πϕ--，根据已知对称性及余弦函数的性质可得26k πϕπ+=，即可求ϕ的最小值.【详解】由题设，()sin(22)cos[(22)]cos(22)3236f x x x x ππππϕϕϕϕ-=+-=-+-=-++=cos(22)6x πϕ--关于y 轴对称， ∴26k πϕπ+=且k Z ∈，则212k ππϕ=-，k Z ∈，又0ϕ>， ∴ϕ的最小值为512π. 故选：B.6．如图，质点M 在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为013(,)22M -，角速度为2，则点M 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用角速度先求出0d =时，t 的值，然后利用单调性进行判断即可 【详解】因为03xOM π∠=，所以由23t π=，得6t π=，此时0d =，所以排除CD ，当06t π<<时，d 越来越小，单调递减，所以排除B ，故选：A7．对于任意的实数x ，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[6.12]6=，[0.12]0=，[ 6.12]7-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要性分别判断即可.【详解】若[][]x y =，则可设[][]x y a ==，则x a b =+，y a c =+，其中[),0,1b c ∈， x y b c ∴-=-，1x y ∴-<，即“[][]x y =”能推出“1x y -<”；反之，若 1.2x =， 2.1y =，满足1x y -<，但[]1x =，[]2y =，即“1x y -<”推不出“[][]x y =”，所以“[][]x y =”是“1x y -<”必要不充分条件， 故选：B.8．已知函数()1(0)ax f x a =+>在区间[,4]t t +上的值域为[,]m M ，对任意实数t 都有4-≥M m ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <≤B ．1a ≥C ．02a <≤D ．2a ≥【答案】D【分析】根据()f x 关于1x a=-对称，讨论1a -与[,4]t t +的关系，结合其区间单调性及对应值域求a 的范围.【详解】由题设，11,()111,f ax x aax ax x x a ⎧--<-⎪⎪=+=⎨⎪+≥-⎪⎩，易知：()f x 关于1x a =-对称，又4-≥M m 恒成立，当1t a >-时，()1(4)41f t at m f t at a M =+=⎧⎨+=++=⎩，则44a ≥，可得1a ≥；当14t a +<-时，()1(4)41f t at M f t at a m =--=⎧⎨+=---=⎩，则44a ≥，可得1a ≥；当12t t a ≤-≤+，即(2)11a t at +≥-⎧⎨≤-⎩时，1()0(4)41f m a f t at a M⎧-==⎪⎨⎪+=++=⎩，则(4)3a t +≥，即213413a a -≥⎧⎨-≥⎩，可得2a ≥； 当124t t a +≤-≤+，即(4)1(2)1a t a t +≥-⎧⎨+≤-⎩时，1()0()1f m a f t at M⎧-==⎪⎨⎪=--=⎩，则5at ≤-，即451251a a -≥-⎧⎨-≥-⎩，可得2a ≥； 综上，2a ≥. 故选：D.【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及4-≥M m 求参数范围. 二、多选题9．已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BC【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.10．图中阴影部分的集合表示正确的是（ ）A ．()U N M ⋂B ．()UMNC ．()U M N N ⋂⋂⎡⎤⎣⎦D ．()()U UM N【答案】AC【分析】利用韦恩图的意义直接判断即可.【详解】由已知中阴影部分在集合N 中，而不再集合M 中， 故阴影部分所表示的元素属于N ，不属于M （属于M 的补集）， 即可表示为()U N M ⋂或()U M N N ⋂⋂⎡⎤⎣⎦. 故选：AC11．已知函数()sin |||cos |f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 的周期为2πC ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()1y f x =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有3个零点【答案】AD【分析】A 由奇偶性定义判断；B 求(2)f x π+的解析式，判断与()f x 是否相等；C 由条件可得()2sin()4f x x π=-，结合正弦函数性质判断单调性；D 由题设得2cos()1,042()12sin()1,042x x y f x x x ππππ⎧+--≤<⎪⎪=-=⎨⎪+-≤≤⎪⎩，根据正余弦函数的性质画出图象，数形结合判断零点个数.【详解】A ：()sin |||cos()|sin |cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=且定义域为R ，即()f x 为偶函数，正确；B ：sin |cos |,2(2)sin |2||cos(2)|()sin |cos |,2x x x f x x x f x x x x πππππ+≥-⎧+=+++=≠⎨-+<-⎩，错误； C ：在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()sin |||cos |sin cos 2sin()4f x x x x x x π=+=-=-，又3[,]444x πππ-∈，故()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，错误；D ：在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上sin cos 12cos()1,042()1sin cos 12sin()1,042x x x x y f x x x x x ππππ⎧-+-=+--≤<⎪⎪=-=⎨⎪+-=+-≤≤⎪⎩，故其图象如下：∴()1y f x =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有3个零点，正确.故选：AD.12．已知正数,,a b c 满足236a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c += B ．111a b c +=C ．632c b a >>D ．4a b c +>【答案】BD【分析】为将正数,,a b c “提取”出来分析，需要进行取对数操作，利用换底公式得到,,a b c 的等量关系从而判断AB ，利用作差法和基本不等式可判断CD.【详解】设236a b c t ===，,,a b c 是正数，于是1t >，两边同时取自然底的对数，得到 ln ln ln ,,ln 2ln 3ln 6t t ta b c ===，也即236log ,log ,log a t b t c t ===，a b c +=不一定成立，A 选项错误；111log 2,log 3,log 6t t t a b c ===，111log 2log 3log 6t t t a b c+=+==，B 选项正确；2ln 3ln 6ln 2,3,6ln 2ln 3ln 6t t t a b c ===，故只需比较236,,ln 2ln 3ln 6的大小即可，而232ln 33ln 2ln 9ln80ln 2ln 3ln 2ln 3ln 2ln 3---==>，又ln 0t >，于是23a b >，C 选项错误；1144ln ln 2ln 3ln 6a b c t ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，而根据基本不等式可得()11ln 2ln 3ln 2ln 31124ln 2ln 3ln 3ln 2⎛⎫++=+++>+⎪⎝⎭，即11ln 64ln 2ln3⎛⎫+> ⎪⎝⎭，故1140ln 2ln3ln6+->，故4a b c +>，D 选项正确. 故选：BD 三、填空题 13．8πtan3等于_______.【答案】【分析】直接利用诱导公式即可求解. 【详解】由诱导公式得： 8ππππtantan 3tan tan 3333π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：14．声强级L （单位：dB ）由公式1210lg 10-⎛⎫= ⎪⎝⎭I L 给出，其中I 为声强（单位：W/m 2）.声强级为60dB 的声强是声强级为30dB 的声强的______倍. 【答案】1000【分析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB 、30dB 对应的声强，即可得结果.【详解】由题设，601210lg()6010I -=，可得66010I -=， 301210lg()3010I -=，可得93010I -=， ∴声强级为60dB 的声强是声强级为30dB 的声强的60301000I I =倍. 故答案为：1000.15．若函数()f x 满足以下三个条件：①()f x 定义域为R 且函数图象连续不断；②()f x 是偶函数；③()f x 恰有3个零点. 请写出一个符合要求的函数()f x =___________.【答案】22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（答案不止一个）【分析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.【详解】函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩符合题目要求，理由如下：该函数显然满足①；当0x >时，0x -<，所以有22()()()()f x x x x x f x -=-+-=-=，当0x <时，0x ->，所以有22()()()()f x x x x x f x -=---=+=，因此该函数是偶函数，所以满足②当0x ≥时，2()00f x x x x =-=⇒=，或1x =，当0x <时，2()01f x x x x =+=⇒=-，或0x =舍去，所以该函数有3个零点，满足③，故答案为：22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩16．如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 为线段CD 的中点. 现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A 与点M 重合，折痕与AD 交于点E ，与BC 交于点F . 记MEF θ∠=，则sin()4πθ+=_______.310【分析】设DE x =，则12DM EM EA x ===-，，利用勾股定理求得34x =，进而得出 54EM =，根据正弦函数的定义求出sin DEM ∠，由诱导公式求出sin 2θ，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.【详解】设DE x =，则12DM EM EA x ===-，， 在Rt DEM △中，90D ︒∠=，所以222DE DM EM +=， 即2221(2)x x +=-，解得34x =，所以54EM =，所以在Rt DEM △中，4sin 5DM DEM EM ∠==， 则4sin 2sin()sin 5DEM DEM θπ=-∠=∠=，又sin cos θθ+所以sin()cos )4πθθθ+=+=.四、解答题17．已知集合{|,}2k A x x k π==∈Z ，{|,}2B x x n n ππ==+∈Ζ. (1)分别判断元素2π-，20212π与集合A ，B 的关系； (2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由. 【答案】(1)2A π-∈，2B π-∉，20212A π∈，20212B π∈； (2)BA ，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n ∈使2π-，20212π属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B ∀∈是否有x A ∈，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2π的整数倍}，B ={x |x 是2π的奇数倍}，即知A 与B 的关系； (1)法一：令22k ππ-=，得4k =-∈Z ，故2A π-∈； 令22n πππ-=+，得52n =-∉Z ，故2B π-∉. 同理，令202122k ππ=，得2021k =∈Z ，故20212A π∈； 令202122n πππ=+，得1010n =∈Z ，故20212B π∈. 法二：由题意得：{|,}2k A x x k π==∈Z ，(21){|,}2n B x x n π+==∈Ζ 又422ππ--=，故2A π-∈，2B π-∉； 20212A π∈，(210101)2B π⨯+∈.(2)法一：由（1）得：2A π-∈，2B π-∉，故A B ≠； 又x B ∀∈，00(21)22n x n πππ+=+=， 由0n ∈Z ，得021k n =+∈Z ，故x A ∈，所以x B ∀∈，都有x A ∈，即B A ⊆，又A B ≠，所以B A ≠⊂. 法二：由题意得{|,}2k A x x k π==∈Z ={x |x 是2π的整数倍}， (21){|,}2n B x x n π+==∈Ζ={x |x 是2π的奇数倍}， 因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A ≠⊂. 18．已知tan 2α=，π(0,)2α∈.(1)求sin cos αα；(2)若cos()αβ+=(0,)2πβ∈，求cos β，并计算sin 2cos()21tan πβββ++-. 【答案】(1)25(2)3cos 5β=，1225- 【分析】（1）利用同角三角函数的关系可得.（2）将β写成()αβα+-，再用两角差的余弦求解；由cos β可求sin ,tan ββ，先化简再代入求解. (1)22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，且π(0,)2α∈，解得sin α=cos α=，所以2sin cos 5αα==. (2)因为π(0,)2α∈，(0,)2πβ∈，所以(0,)αβπ+∈，所以sin )(αβ+==所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++35==. 因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，所以4sin 5β=，4tan 3β=，所以sin 2cos()21tan πβββ++-2sin cos sin 1tan ββββ-=-43421255542513⨯⨯-==--. 19．给定函数2()2f x x x =-，()2g x x =-，x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()max{(),()}M x f x g x =.(1)求函数()y M x =的解析式并画出其图象；(2)对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()(2)1M x a x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)22,12,()2,(,1][2,).x x M x x x ∞∞-<<⎧=⎨--⋃+⎩，作图见解析； (2)(5,]2-∞.【分析】（1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可；（2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可. (1)①当222x x x -<-即12x <<时，()()f x g x <，则()2M x x =-， ②当222x x x -≤-即1x ≤或2x ≥时，()()g x f x ≤，则2()2M x x x =-，故22,12,()2,(,1][2,).x x M x x x ∞∞-<<⎧=⎨--⋃+⎩ 图象如下：(2)由（1）得，当[2,)x ∈+∞时，2()2M x x x =-，则()(2)1M x a x ≥--在[2,)+∞上恒成立等价于210x ax -+≥在[2,)+∞上恒成立. 令2()1h x x ax =-+，[2,)x ∈+∞，原问题等价于2()1h x x ax =-+在[2,)+∞上的最小值min ()0h x ≥. ①当22a≤即4a ≤时，2()1h x x ax =-+在[2,)+∞上单调递增， 则2min ()(2)2210h x h a ==-+≥，故52a ≤. ②当22a >即4a >时，2()1h x x ax =-+在[2,]2a上单调递减，在[,)2a +∞上单调递增，则()2min 124a a h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由4a >时，2104a -<，故不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(5,]2-∞.20．已知函数2()(0)21xf x a a =->+的图象在直线1y =的下方且无限接近直线1y =. (1)判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并用定义证明； (3)求函数()f x 的值域. 【答案】(1)函数2()2+1xf x a =-在R 上单调递增，2()12+1x f x =-(2)奇函数，证明见解析 (3)(1,1)-【分析】（1）根据函数的单调性情况直接判断； （2）根据奇偶性的定义直接判断； （3）由奇偶性直接判断值域. (1)因为随着x 增大，22+1x 减小，即22+1x -增大，故()f x 随x 增大而增大，所以函数2()2+1xf x a =-在R 上单调递增. 由()f x 的图象在直线1y =下方，且无限接近直线1y =，得1a =， 所以函数的解析式2()12+1x f x =-. (2)由（1）得2()12+1x f x =-，整理得21()2+1x x f x -=，函数()f x 定义域R 关于原点对称，211221()()211221x x xx xx f x f x ------===-=-+++， 所以函数()f x 是奇函数. (3)方法一：由（1）知()1f x <，由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故()1f x >-， 所以函数()f x 的值域为(1,1)-.方法二：由x ∈R ，得20x >，得211x +>，得10121x <<+，得22021x --<<+，得211121x --<+<+，所以函数()f x 的值域为(1,1)-.21．已知函数()2cos sin 2f x x x x ωωω=⋅，其中0>ω.(1)若函数()f x 的周期为π，求函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；(2)若()f x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值，并探究此时函数2()lg()y f x x =-的零点个数.【答案】(1)2⎡⎤⎣⎦ (2)最大值为12，6个【分析】(1)根据正弦的二倍角公式和辅助角公式可得()f x 2sin(2)3x πω=+，利用2T ωπ=求出ω，进而求出()f x ，结合三角函数的性质即可得出结果；(2)利用三角函数的性质求出()f x 的单调增区间，根据题意和集合之间的关系求出ω；将问题转化为函数sin()3y x π=+与lg ||y x =的图象交点的个数，作出图形，利用数形结合的思想即可得出答案. (1)由()2cos sin +3cos 2f x x x x ωωω=⋅sin 2+3cos2x x ωω=2sin(2)3x πω=+，由()f x 周期为π且0>ω，得22ππω=，解得1ω=，即()2sin(2)3f x x π=+，由36x ππ-≤≤，得22333x πππ-≤+≤， 故32sin(2)26x π-≤+≤，所以函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦. (2)因为sin y x ＝在区间2,2()22k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，故()2sin(2)3f x x πω=+在区间5,()1212k k k ππππωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上为单调递增． 由题知，存在k ∈Z 使得25,,361212k k ππππππωωωω⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦成立，则必有0k = 则52123612ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得5812ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，故12ω≤，所以ω的最大值为12.当12ω=时，函数22sin()lg()3y x x π=+-的零点个数转化为函数sin()3y x π=+与lg ||y x =的图象的公共点的个数. 画图得：由图知sin()3y x π=+与lg ||y x =的图象的公共点的个数共6个，即22sin()lg()3y x x π=+-的零点个数为6个.22．如图，已知直线1l //2l ，A 是直线1l 、2l 之间的一定点，并且点A 到直线1l 、2l 的距离分别为1、2，垂足分别为E 、D ，B 是直线2l 上一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C . 试选择合适的变量分别表示三角形ABC 的直角边和面积S ，并求解下列问题：(1)若ABC 为等腰三角形，求CE 和BD 的长； (2)求ABC 面积S 的最小值. 【答案】(1)1BD =，2CE =； (2)2.【分析】（1）根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合等腰三角形的性质、勾股定理进行求解即可；（2）根据直角三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. (1)由点A 到直线1l 、2l 的距离分别为1、2，得AE =1、AD =2， 由AC AB ⊥，得2BAC π∠=，则2EAC DAB π∠+∠=，由题意得，在Rt DBA △中，2DAB DBA π∠+∠=，从而EAC DBA ∠=∠，由EAC DBA ∠=∠和2AEC BDA π∠=∠=，得EAC ∽DBA ，则AE CEBD AD=， 即122BD CE AE AD ⋅=⋅=⨯=，在Rt EAC △中，2221AC AE CE CE ++， 在Rt DBA △中，2224AB AD BD BD =++ 由ABC 为等腰三角形，得AC AB =，2241BD CE ++2BD CE ⋅=，故1BD =，2CE =. (2)由2BD CE ⋅=，21AC CE +24AB BD +，得在Rt ABC 中，222211121414()222S AC AB CE BD CE CE=⋅=++++22221414444824222CE CE CE CE=++++⨯⋅=， 当且仅当2244CE CE=即1CE =时等号成立， 故ABC 面积S 的最小值为2.。
广东省东莞市21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)
广东省东莞市21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、已知集合A ={x|x 2−2x −8<0}，B ={x|x >0}，则A ∩B =（ ）A. {x|x >2}B. {x|0<x <2}C. {x|0<x <4}D. {x|2<x <4}2、已知命题p ：∀α∈(0,π2)，tanα>sinα，则￢p 为（ ）A. ∀α∈(0,π2)，tanα≤sinα B. ∀α∉(0,π2)，tanα≤sinα C. ∃α∈(0,π2)，tanα≤sinαD. ∃α∉(0,π2)，tanα≤sinα3、若x <y <0，z ∈R ，则（ ）A. x 3<y 3B. 1x <1yC. xz 2<yz 2D. x 2<y 24、已知扇形的面积为16，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 85、若函数f(x)=sin(2x +π3)图象上所有点的横坐标向右平移φ(φ>0)个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为（ ）A. 5π6B. 5π12C. π6D. π126、如图，质点M 在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为M 0(12,−√32)，角速度为2，则点M 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）A.B.C.D.7、对于任意的实数x，定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[6.12]=6，[0.12]=0，[−6.12]=−7，那么“|x−y|<1”是“[x]=[y]”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、已知函数f(x)=|ax+1|(a>0)在区间[t,t+4]上的值域为[m,M]，对任意实数t都有M−m≥4，则实数a的取值范围是（）A. 0<a≤1B. a≥1C. 0<a≤2D. a≥2二、多选题（本大题共4小题，共20分）(a∈R)，则其图象可能为（）9、已知函数f(x)=x+axA. B.C. D.10、图中阴影部分的集合表示正确的是（）A. N∩∁U MB. M∩∁U NC. [∁U(M∩N)]∩ND. (∁U M)∩(∁U N)11、已知函数f(x)=sin|x|+|cosx|，则下列结论正确的是（）A. f(x)为偶函数B. f(x)的周期为πC. f(x)在[π2,π]上单调递减 D. y=f(x)−1在[−π2,π2]上有3个零点12、已知正数a，b，c满足2a=3b=6c，则下列结论正确的是（）A. a+b=cB. 1a +1b=1cC. 6c>3b>2aD. a+b>4c三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、tan8π3等于．14、声强级L(单位：dB)由公式L=10lg(I10−12)给出，其中I为声强(单位：W/m2).声强级为60dB 的声强是声强级为30dB的声强的倍．15、若函数f(x)满足以下三个条件：①f(x)定义域为R且函数图象连续不断；②f(x)是偶函数；③f(x)恰有3个零点．请写出一个符合要求的函数f(x)=．16、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点．现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF=θ，则sin(θ+π4)=．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)已知集合A={x|x=kπ2,k∈Z}，B={x|x=π2+nπ,n∈Z}．(1)分别判断元素−2π，2021π2与集合A，B的关系；(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由．18、(本小题12.0分)已知tanα=2，α∈(0,π2). (1)求sinαcosα； (2)若cos(α+β)=−√55，β∈(0,π2)，求cosβ，并计算sin2β+cos(β+π2)1−tanβ． 19、(本小题12.0分)给定函数f(x)=x 2−2x ，g(x)=x −2，∀x ∈R ，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}．(1)求函数y =M(x)的解析式并画出其图象；(2)对于任意的x ∈[2,+∞)，不等式M(x)≥(a −2)x −1恒成立，求实数a 的取值范围．20、(本小题12.0分) 已知函数f(x)=a −22x+1(a >0)的图象在直线y =1的下方且无限接近直线y =1．(1)判断函数的单调性(写出判断说明即可，无需证明)，并求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并用定义证明； (3)求函数f(x)的值域． 21、(本小题12.0分)已知函数f(x)=2cosωx ⋅sinωx +√3cos2ωx ，其中ω>0． (1)若函数f(x)的周期为π，求函数f(x)在[−π3,π6]上的值域； (2)若f(x)在区间[−2π3,π6]上为增函数，求ω的最大值，并探究此时函数y =f(x)−lg(x 2)的零点个数．22、(本小题12.0分)如图，已知直线l1//l2，A是直线l1、l2之间的一定点，并且点A到直线l1、l2的距离分别为1、2，垂足分别为E、D，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C.试选择合适的变量分别表示三角形△ABC的直角边和面积S，并求解下列问题：(1)若△ABC为等腰三角形，求CE和BD的长；(2)求△ABC面积S的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 求出集合A ，利用交集定义能求出A ∩B ．∵集合A ={x|x 2−2x −8<0}={x|−2<x <4}， B ={x|x >0}，∴A ∩B ={x|0<x <4}． 所以选：C ．2.答案：C解析：根据题意，由全称量词命题的否定是存在量词命题，分析可得答案． 本题考查含有量词命题的否定，属于基础题．根据题意，命题p ：∀α∈(0,π2)，tanα>sinα是全称量词命题， 其否定为：∃α∈(0,π2)，tanα≤sinα， 所以选：C ．3.答案：A解析：本题考查了利用不等式的基本性质判断不等关系，属基础题． 根据不等式的性质即可判断． 对于A ，不等式成立，对于B ：若x <y <0，则1x >1y ， 对于C ：当z =0时，则不成立，对于D ：当x =−2，y =−1，则不成立． 所以选：A ．4.答案：B解析：本题考查了基本不等式、弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用扇形面积计算公式、基本不等式即可得出结论． 设扇形的圆心角为θ，半径为r ， 则由题意可得12θr 2=16，∴扇形的周长=2r +θr =2r +32r ≥2×2√2r ⋅32r =32，当且仅当2r =32r 时，即r =4，θ=2时取等号．∴当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值32． 所以选：B ．5.答案：B解析：本题考查三角函数的对称性，函数的图象变换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 平移之后的函数解析式为y =sin(2x −2φ+π3)，再令−2φ+π3=π2+kπ，k ∈Z ，即可得解． 平移之后的函数解析式为y =sin[2(x −φ)+π3]=sin(2x −2φ+π3)， 因为其图象关于y 轴对称，所以−2φ+π3=π2+kπ，k ∈Z ，则φ=−π12−kπ2，k ∈Z ，因为φ>0，所以当k =−1时，φ取得最小值为5π12． 所以选：B ．6.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的单调性和数形结合是解决本题的关键，是基础题． 利用角速度先求出d =0时，t 的值，然后利用单调性进行判断即可． ∵∠xOM 0=π3，∴由2t =π3，得t =π6，此时d =0，排除C ，D ，当0<t<π6时，d越来越小，单调递减，排除B，所以选：A．7.答案：B解析：本题考查充要条件的判断，属于中档题．先根据[x]的定义可知，[x]=[y]⇒|x−y|<1，而取x=1.8，y=2.1，此时满足|x−y|=0.3<1，但[x]≠[y]，再根据充分必要条件的定义进行判定即可．①取x=1.8，y=2.1，此时|x−y|=0.3<1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]，②若[x]=[y]⇒−1<x−y<1，即|x−y|<1，∴|x−y|<1是[x]=[y]的必要不充分条件，所以选：B．8.答案：D解析：由题意利用带有绝对值的函数的性质，分类讨论，求出a的范围．本题主要考查带有绝对值的函数的性质，函数的单调性和值域，属于中档题．函数f(x)=|ax+1|(a>0)在区间[t,t+4]上的值域为[m,M]，对任意实数t都有M−m≥4，显然，m≥0，M≥4，函数f(x)的零点为−1a<0．①当−1a=t+2时，M−m最小，此时，M−m=M−0=M=|a(t+4)+1|=a(−1a+2)+1≥4，求得a≥2．②当区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1a的某一侧时，M−m最大，不妨假设区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1a的右侧，则m=|at+1|，M=|a(t+4)+1|，由M−m=|a(t+4)+1|−|at+1|=a(t+4)+1−(at+1)=4a≥4，∴a≥1．综上，可得实数a的取值范围为[2,+∞)，所以选：D．9.答案：BC解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，分别讨论a的取值是解决本题的关键，是中档题．分别讨论a=0，a>0和a<0时，函数对应图象即可．当a=0时，f(x)=x(x≠0)，当a>0时，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，f(x)=x+ax ≥2√x⋅ax=2√a，当且仅当x=ax，即x=√a时取等号，此时为对勾函数，当x<0时，f(x)=x+ax ≤−2√(−x)⋅a−x=−2√a，当且仅当−x=−ax，即x=−√a时取等号，此时为对勾函数，此时对应图象为B，当a<0时，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，f(x)为增函数，当x<0时，f(x)为增函数，此时对应图象为C，所以选：BC．10.答案：AC解析：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键，属于基础题．分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．由已知中阴影部分在集合N中，而不在集合M中，故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M(属于M的补集)，即可表示为(C U M)∩N或[C U(M∩N)]∩N，所以选：AC．11.答案：AD解析：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于较难题．直接利用函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． ∵函数f(x)=sin|x|+|cosx|，对于A ：f(x)=sin|x|+|cosx|=sin|−x|+|cos(−x)|=f(−x)，故函数为偶函数，故A 正确； 对于B ，f(π4)=sin π4+|cos π4|=√22+√22=√2，f(5π4)=sin5π4+|cos 5π4|=−sin π4+cos π4=0，∵f(π4)≠f(5π4)，∴f(x)的周期不为π，故B 错误； 对于C ，当x ∈[π2,π]时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx ， 则f(x)=sinx +(−cosx)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， x ∈[π2,π]时，x −π4∈[π4,3π4]， 所以f(x)在[π2,π]上不是单调减函数，故C 错误； 对于D ，x ∈[−π2,π2]时，sin|x|={sinx,0≤x ≤π2−sinx,−π2≤x <0，|cosx|=cosx ， ∴当−π2≤x <0时，y =f(x)−1=−sinx +cosx −1=√2sin(x +3π4)−1， 由y =f(x)−1=0，得sin(x +3π4)=√22，由−π2≤x <0，解得x =−π2； 当0≤x ≤π2时，y =f(x)−1=sinx +cosx −1=√2sin(x +π4)−1， 由y =f(x)−1=0，得sin(x +π4)=√22，由0≤x ≤π2，解得x =0或x =π2，综上，y =f(x)−1在[−π2,π2]上有3个零点，故D 正确． 所以选：AD ．12.答案：BD解析：本题考查对数的运算法则的应用，注意对数换底公式，基本不等式的应用，属于中档题． 利用对数的运算法则，对数换底公式，基本不等式求解即可． 设2a =3b =6c =k ，k >1，则a =log 2k ，b =log 3k ，c =log 6k ，对于A ，∵a +b =log 2k +log 3k ≠log 6k =c ，∴A 错误，对于B ，∵1a +1b =1log 2k +1log 3k =log k 2+log k 3=log k 6=1log 6k =1c ，∴B 正确，对于C ，∵a =log 2k ，b =log 3k ，c =log 6k ， ∴2a =2log 2k ，3b =3log 3k ，6c =6log 6k ， ∵2a3b=2log 2k 3log 3k=2lg33lg2=lg9lg8>1，∴2a >3b ，∴C 错误，对于D ，∵(a +b)(1a +1b )=ba +ab +2>4，∴a +b >41a +1b=4c ，∴D 正确，所以选：BD ．13.答案：−√3解析：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题． 利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解． tan 8π3=tan(3π−π3)=−tan π3=−√3． 所以答案为：−√3．14.答案：1000解析：设声强级为60dB 的声强为I 1，声强级为30dB 的声强为I 2，由公式L =10lg(I10−12)分别令L=60，30求出I 1，I 2的值．即可求出结果．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题． 设声强级为60dB 的声强为I 1，声强级为30dB 的声强为I 2， 则60=10lg(I 110−12)，∴I 110−12=106，∴I 1=10−6， 又30=10lg(I 210−12)，∴I 210−12=103，∴I 2=10−9，∴I1I 2=10−610−9=103=1000，即声强级为60dB 的声强是声强级为30dB 的声强的1000倍，所以答案为：1000．15.答案：x 2−2|x|(答案不唯一)解析：本题考查函数奇偶性和零点分析，注意二次函数的性质以及图象变换，属于基础题． 根据题意，结合二次函数图象的性质，分析可得答案． 根据题意，要求函数f(x)为偶函数且有三个零点，可以考虑为二次函数的变形式，则其中一个符合要求的函数f(x)=x 2−2|x|， 所以答案为：x 2−2|x|(答案不唯一)．16.答案：3√1010解析：本题考查翻折变换及正方形的性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角的正弦以及两角和的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．设DE 为x ，则根据折叠知道DM =1，EM =EA =2−x ，在Rt △DEM 中利用勾股定理可求出x ，继而求出EM 的长，从而可求出sin∠DEM ，利用诱导公式可求得sin2θ，再由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦可得sinθ+cosθ，再利用两角和的正弦公式即可求解． 设DE 为x ，则DM =1，EM =EA =2−x ， 在Rt △DEM 中，∠D =90°， ∴DE 2+DM 2=EM 2， x 2+12=(2−x)2， x =34， ∴EM =54，∴在Rt △DEM 中，sin∠DEM =DM EM=45，则sin2θ=sin(π−∠DEM)=sin∠DEM =45，sinθ+cosθ=√(sinθ+cosθ)2=√1+2sinθcosθ=√1+sin2θ=3√55， ∴sin(θ+π4)=sinθcos π4+cosθsin π4=√22(sinθ+cosθ)=√22×3√55=3√1010．所以答案为：3√1010．17.答案：(1)∵集合A ={x|x =kπ2,k ∈Z}，B ={x|x =π2+nπ,n ∈Z}．∴−2π∈A ，−2π∉B ，2021π2∈A ，2021π2∈B ；(2)∵集合A ={x|x =kπ2,k ∈Z}，B ={x|x =π2+nπ,n ∈Z}={x|x =(2n+1)π2,n ∈Z}，∴A ⫌B ．解析：本题考查集合的运算，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)利用元素与集合的关系直接求解； (2)由集合A ={x|x =kπ2,k ∈Z}，B ={x|x =(2n+1)π2,n ∈Z}，即可判断．18.答案：(1)因为tanα=2，所以sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α=25； (2)因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)， 所以0<α+β<π， 因为cos(α+β)=−√55，所以sin(α+β)=2√55，由tanα=2，α∈(0,π2)可得cosα=√55，sinα=2√55，cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√55×√55+2√55×2√55=35， 所以sinβ=45，tanβ=43，sin2β+cos(β+π2)1−tanβ=2sinβcosβ−sinβ1−tanβ=2×45×35−451−43=−1225．解析：本题主要考查了同角商的关系，和差角公式，诱导公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题． (1)由sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α，代入即可求解；(2)结合同角基本关系先求sin(α+β)，cosα，sinα，然后结合cosβ=cos[(α+β)−α]，展开后可求出cosβ，进而可求sinβ，tanβ，结合诱导公式及二倍角公式化简后可求sin2β+cos(β+π2)1−tanβ．19.答案：(1)由f(x)≥g(x)，即x 2−2x ≥x −2，解得x ≤1或x ≥2，由f(x)<g(x)，可得1<x <2，所以y =M(x)={x 2−2x,x ≤1或x ≥2x −2,1<x <2，可得M(x)的图象如图所示：(2)对于任意的x ∈[2,+∞)，不等式M(x)≥(a −2)x −1恒成立， 可得M(x)的图象恒在ℎ(x)=(a −2)x −1的上方， 因为ℎ(x)=(a −2)x −1恒过定点(0,−1)，结合图象可得a −2≤0−(−1)2−0=12， 解得a ≤52，即实数a 的取值范围是(−∞,52]. 解析：(1)由M(x)的定义即可求解M(x)的解析式，从而可得M(x)的图象；(2)由已知可得M(x)的图象恒在ℎ(x)=(a −2)x −1的上方，数形结合即可求解a 的取值范围． 本题主要考查函数解析式的求法，函数图象的作法，不等式恒成立求参数问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．20.答案：因为1+2x >1，所以0<11+2x<1，所以a −2<a −22x +1<a ，因为f(x)=a −22x+1(a >0)的图象在直线y =1的下方且无限接近直线y =1，所以a =1，f(x)=1−22x+1， (1)y =22x+1单调递减， 所以函数在R 上单调递增，f(x)=1−22x+1； (2)函数f(x)为奇函数，证明如下： 因为f(x)=1−22x +1=2x −12x +1，x ∈R ，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 1+2x=−f(x)，所以f(x)为奇函数； (3)因为1+2x >1， 所以0<11+2x<1，所以−1<1−22x+1<1，所以f(x)的值域为(−1,1)．解析：本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，还考查了函数值域的求解，属于基础题． 由已知结合指数函数的性质可先求出a ，(1)结合所求a 的值可求函数解析式，结合指数函数与反比例函数的性质可写出函数的单调性； (2)判断定义域关于原点对称，再检验f(−x)与f(x)的关系即可判断函数的奇偶性； (3)结合指数函数的性质及反比例函数的性质即可求解函数的值域．21.答案：(1)f(x)=2cosωx ⋅sinωx +√3cos2ωx=sin2ωx +√3cos2ωx =2sin(2ωx +π3)， 若函数f(x)的周期为π，则2π2ω=π，可得ω=1，所以f(x)=2sin(2x +π3)，由x ∈[−π3,π6]，可得2x +π3∈[−π3,2π3]，所以sin(2x +π3)∈[−√32,1]，所以2sin(2x +π3)∈[−√3,2]，即函数f(x)在[−π3,π6]上的值域为[−√3,2]． (2)因为x ∈[−2π3,π6]， 所以−4ωπ3+π3≤2ωx +π3≤ωπ3+π3， 因为f(x)在区间[−2π3,π6]上为增函数， 所以{−4ωπ3+π3≥2kπ−π2ωπ3+π3≤2kπ+π2(k ∈Z)， 所以{ω≤58−3k2ω≤12+6k(k ∈Z)， 又ω>0，所以取k =0，可得ω≤12， 所以ω的最大值为12， 此时f(x)=2sin(x +π3)，则函数y =f(x)−lg(x 2)的零点个数即为函数f(x)=2sin(x +π3)与y =lg(x 2)图象交点的个数， 作出两函数图象如图所示：由图象可知函数f(x)=2sin(x +π3)与y =lg(x 2)图象有6个交点， 所以函数y =f(x)−lg(x 2)的零点个数为6．解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，函数零点个数的求法，考查转化思想与数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由三角恒等变换化简f(x)，利用周期公式求解ω的值，可得f(x)的解析式，再由正弦函数的性质求得值域；(2)由正弦函数的单调性可求得ω的取值范围，从而可得ω的最大值，求出f(x)的解析式，作出函数f(x)与y =lg(x 2)的图象，即可求解．22.答案：(1)设∠ABD =α，∵AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，AC ⊥AB ，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠CAE +∠BAD =90°， ∴∠CAE =∠ABD =α， ∴AB =2sinα，AC =1cosα，∵△ABC 为等腰三角形，∴AB =AC ，∴2sinα=1cosα，∴tanα=2，∴CE =tanα=2，BD =2tanα=1．(2)∵S △ABC =12AB ⋅AC =1sinα⋅cosα=2sin2α， 当sin2α=1，即α=π4时，(S △ABC )min =2．解析：本题考查了直角三角形中的三角函数关系，三角形的面积计算，属于中档题．(1)设∠ABD =α，求出∠CAE =∠ABD =α，再用α表示出AB ，AC ，求出tanα=2，即可求解． (2)先表示出S △ABC =2sin2α，再利用三角函数求最值即可．。
2022年广东省东莞市市高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析
2022年广东省东莞市市高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 以下结论正确的一项是（）A．若0,则y=kx+b是R上减函数 B.,则y=是(0,+) 上减函数C.若,则y=ax是R上增函数D.,y=x +是(0,+) 上增函数参考答案：B2. 函数的图像大致是参考答案：C略3. 若集合，，且，则的值为A．B． C．或D．或或参考答案：D4. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球参考答案：C5. 已知函数是偶函数，其图像与轴有四个不同的交点，则函数的所有零点之和为（）. 0 . 8 . 4 . 无法确定参考答案：C略6. 已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．7. 下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=x2 C．y=lgx D．y=x3参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x﹣1为奇函数，在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．B．y=x2是偶函数，当x＞0时，函数为增函数，不满足条件．C．y=lgx定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，在（﹣∞，+∞）上是增函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质．8. 的值是----------------------------------------（）A.1B.0C.-1 D.参考答案：D9. 已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B中元素2a－1对应，则与B中元素17对应的A中元素是( )A．3 B．5 C．17 D．9 参考答案：D10. 函数为定义在上的奇函数，当时，函数单调递增。
广东省东莞市2024届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2
2sin
4
cos sin
2
sin
cos sin
cos cos
4
4
sin
cos cos
sin sin
cos cos sin
cos
1 tan 1 2 2 2 3 1 tan 1 2
故选 C
【点睛】对于给值求值的问题，解答时注意将条件和所求值的式子进行适当的化简，然后合理地运用条件达到求解的
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知直线 l1 过 A(2, 3) ， B(4, 0) ，且 l1 l2 ，则直线 l2 的斜率为（）
A. 2
C. 2
B. 1 2
D.
1 2
2．设函数 y x 的定义域 A ，函数 y ln(1 x) 的定义域为 B ,则 A B =
20．已知 A x x a 1 , B {x | y x2 3x 4}
（1）若 a=2，求 A B
（2）已知全集U R ，若 ( U A) ( UB) ，求实数 a 的取值范围
21．如图，射线 OA 、OB 分别与 x 轴正半轴成 30 和 45角，过点 P 1, 0 作直线 AB 分别交 OA 、OB 于 A 、 B 两点，
44
故选：B 12、C
【解析】选项 A 中，函数的定义域为 , 1 1, ,不合题意，故 A 不正确；
选项 B 中，函数的定义域为 0, ,无奇偶性，故 B 不正确；
选项 C 中，函数为偶函数，且当 x>0 时， y 3x ，为增函数，故 C 正确；
选项 D 中，函数为偶函数，但在 0, 不是增函数，故 D 不正确
东莞市高一数学上期末试卷及答案
东莞市高一数学上期末试卷及答案想要提高数学能力，平时就要加强数学题的训练。
下面为大家准备了一份东莞市高一数学上的期末试卷，文末附有答案，有需要的同学可以看一看，更多内容欢送关注!1.全集U={1，2，3，4，5，6，7}，设集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，那么(CUA)∩B=()A.{2，4}B.{1，3}C.{1，3，6，7}D.{1，3，5，6，7}2.以下图形中，不可作为函数y=f(x)图象的是( )A. B. C. D.3.设A={x|x是锐角}，B=(0，1).从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素30°相对应的B中的元素是( )A. B. C. D.4.直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，那么实数m等于( )A. 或B. 或C. 或D. 或5.以下四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行②平行于同一直线的两个平面相互平行③垂直于同一平面的两条直线相互平行④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.在平面直角坐标系内，一束光线从点A(﹣3，5)出发，被x 轴反射后到达点B(2，7)，那么这束光线从A到B所经过的间隔为( )A.12B.13C.D.27.以下不等关系正确的选项是( )A.log43C.3D.38.一个与球心间隔为1的平面截球所得的圆面面积为π，那么球的外表积为( )A. B.8π C. D.4π9.a，b为异面直线，a?平面α，b?平面β，α∩β=m，那么直线m( )A.与a，b都相交B.至多与a，b中的一条相交C.与a，b都不相交D.至少与a，b中的一条相交10.如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，那么△AOB中最长的边长为( )A.2B.2C.1D.211.圆O1：(x+1)2+(y﹣3)2=9，圆O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，那么这两个圆的公共弦长为( )A. B. C. D.12.a>0且a≠1，函数f(x)= 满足对任意实数x1≠x2，都有 >0成立，那么a的取值范围是( )A.(1，2)B.[ ，2)C.(1， )D.(1， ]13.计算： = .14.一条线段的两个端点的坐标分别为(5，1)、(m，1)，假设这条线段被直线x﹣2y=0所平分，那么m= .15.如图是一个几何体的三视图，那么该几何体的外表积为.16.函数y=f(x)和y=g(x)在[﹣2，2]的图象如，给出以下四个命题：(1)方程f[g(x)]=0有且仅有6个根(2)方程g[f(x)]=0有且仅有3个根(3)方程f[f(x)]=0有且仅有5个根(4)方程g[g(x)]=0有且仅有4个根其中正确命题是.17.集合A={x|x≤﹣2或x>1}关于x的不等式2a+x>22x(a∈R)的解集为B.(1)当a=1时，求解集B;(2)如果A∩B=B，求实数a的取值范围.18.如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，0)，B(2，﹣1)，C(4，2).(1)求直线CD的方程;(2)求平行四边形ABCD的面积.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO=2，M为PD中点.(1)证明：AD⊥平面PAC;(2)求三棱锥M﹣ACD的体积.20.经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散.用f(x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验结果说明f(x)与x有如下的关系：f(x)= .(1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中?能维持多长的时间?(2)假设讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直到达所需注意力的状态下讲完这道题?21.设f(x)=mx2+(m+4)x+3.(1)试确定m的值，使得f(x)有两个零点，且f(x)的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值;(2)假设m=﹣1时，在[0，λ](λ为正常数)上存在x使f(x)﹣a>0成立，求a的取值范围.22.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f(x)≥M成立，那么称f(x)是D上的有下界函数，其中M称为函数f(x)的一个下界.函数f(x)= (a>0).(1)假设函数f(x)为偶函数，求a的值;(2)求函数f(x)在[lna，+∞)上所有下界构成的集合.一、选择题(共12小题，每题5分，总分值60分)1.全集U={1，2，3，4，5，6，7}，设集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，那么(CUA)∩B=()A.{2，4}B.{1，3}C.{1，3，6，7}D.{1，3，5，6，7}【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案.【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，∴CUA={1，3，6，7}，又B={1，2，3，4}，∴(CUA)∩B={1，3}.应选：B.【点评】此题考查交、并、补集的混合运算，是根底的计算题.2.以下图形中，不可作为函数y=f(x)图象的是( )A. B. C. D.【分析】由函数的概念，C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义.【解答】解：由函数的概念，C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，ABD均符合.应选：C【点评】此题考查函数的概念的理解，属根本概念的考查.解答的关键是对函数概念的理解.3.设A={x|x是锐角}，B=(0，1).从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素30°相对应的B中的元素是( )A. B. C. D.【分析】直接由映射概念结合三角函数的求值得答案.【解答】解：∵A={x|x是锐角}，B=(0，1)，且从A到B的映射是“求余弦”，由，可得与A中元素30°相对应的B中的元素是 .应选：A.【点评】此题考查映射的概念，考查了三角函数的值，是根底题.4.直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，那么实数m等于( )A. 或B. 或C. 或D. 或【分析】圆心到直线的间隔等于半径，求解即可.【解答】解：圆的方程(x﹣1)2+y2=3，圆心(1，0)到直线的间隔等于半径或者应选C.【点评】此题考查直线和圆的位置关系，是根底题.5.以下四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行②平行于同一直线的两个平面相互平行③垂直于同一平面的两条直线相互平行④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】①平行于同一平面的两条直线相互平行，由线线的位置关系判断;②平行于同一直线的两个平面相互平行，由面面的位置关系判断;③垂直于同一平面的两条直线相互平行，由线面垂直的性质判断;④垂直于同一直线的两个平面相互平行，由线面垂直的性质判断.【解答】解：①平行于同一平面的两条直线相互平行，此命题错误，两条直线平行于同一平面，那么两者的关系是相交、平行、异面都有可能.②平行于同一直线的两个平面相互平行，此命题错误，平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交;③垂直于同一平面的两条直线相互平行，此命题正确，由线面垂直的性质知，两条直线都垂直于同一个平面，那么两线平行;④垂直于同一直线的两个平面相互平行，此命题正确，垂直于同一直线的两个平面一定平行.综上③④正确应选C【点评】此题考查平面的根本性质及推论，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对空间中点线面的位置关系的情况掌握得比拟熟练，此题考查了推理论证的能力。
2020-2021东莞市高中必修一数学上期末试卷(附答案)
2020-2021东莞市高中必修一数学上期末试卷(附答案)一、选择题1．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞4．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<6．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>7．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]9．若函数()2log ,?0,? 0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．eC ．21eD ．2e10．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]11．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 二、填空题13．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．14．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．15．函数()()4log 5f x x =-+________.16．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.17．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 18．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.19．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______.20．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________. 三、解答题21．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 22．已知集合{}24A x x =-≤≤，函数()()2log 31xf x =-的定义域为集合B .(1)求A B U ；(2)若集合{}21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围. 23．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？24．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．25．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.26．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型•xy p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题4．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log 3a =，32log 6b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log 3log 42a ====， 328222log 61log 6log 6log 6log 83b ====， 又由3362<<，所以3222log 3log 6log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.9．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】 因为函数2log ,0(),0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩， 因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.10．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D.【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.11．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.12．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）；f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.二、填空题13．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】 【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．14．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜解析：(－2,2)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).15．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可. 【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集. 16．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解.【详解】()f x Q ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=-∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题.17．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥【解析】【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=， 所以幂函数的解析式为12y x =，则2x y =，所以原函数的反函数为12()(0)fx x x -=≥． 故答案为：12()(0)fx x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围.【详解】函数()211x x x f -=-定义域为{}1x x ≠ 当1x ≤-时,()2111x x xf x -==---当11x -<<时,()2111x x xf x -==+- 当1x <时,()2111x x xf x -==--- 画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点.综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃-【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题. 19．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值．【详解】因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-， 所以由()()01032f f a a =-=， 解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题21．（1）见解析（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解.【详解】（1）由101x x ->+可得1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-， 设1211x x -<<<，则()()()211212122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12121111x x x x -->++， ①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-，∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1a t f t t-=+；②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且()()111log log 11a a x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于()()234f x f x -≥-，即有2341211431x x x x -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得513x <<，所以x 的取值范围是51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.22．(1){}2x x ≥-；(2)(]2,3【解析】【分析】（1）由对数函数指数函数的性质求出集合B ，然后由并集定义计算；（2）在（1）基础上求出A B I ，根据子集的定义，列出m 的不等关系得结论．【详解】(1)由310x ->，解得0x >， 所以{}0B x x =>. 故{}2A B x x ⋃=≥-.(2)由{}04A B x x ⋂=<≤.因为()C A B ⊆⋂，所以20,1 4.m m ->⎧⎨+≤⎩所以23m <≤，即m 的取值范围是(]2,3.【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系．正确求出函数的定义域是本题的难点．23．（1）40Q t =-+，030t <≤，t ∈N （2）在30天中的第15天，日交易额最大为125万元.【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式.（2）求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值.【详解】（1）设Q ct d =+，把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-，40d =. ∴40Q t =-+，030t <≤，t N ∈（3）首先日交易额y （万元）=日交易量Q （万股）⨯每股交易价格P （元）()()1240,020,51840,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩， ∴()()22115125,020,516040,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩ 当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元当20t 30<≤时，y 随x 的增大而减小故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题.24．(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->， 即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．25．（1）证明见解析（2）4a =【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。
广东省东莞市高一上期末数学试卷(有答案)
广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，则A∩∁U B=（）A．{3，6}B．{5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）若直线经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）且倾斜角为45°，则m的值为（）A．B．1 C．2 D．3．（5分）函数f（x）=x3+lnx﹣2零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．45．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．（5分）过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y﹣5=0或2x﹣3y=0C．x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣1=0或2x﹣3y=07．（5分）已知函数f（x）=，若对于任意的两个不相等实数x1，x2都有＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，6） B．（1，+∞）C．（3，6） D．[3，6）8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列说法中正确的个数为（）①C1M∥AC；②BD1⊥AC；③BC1与AC的所成角为60°；④B1A1、C1M、BN三条直线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．710．（5分）直线l过点A（﹣1，﹣2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为（）A．（0，]B．[2，+∞）C．（0，2]D．（﹣∞，2]11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．8 B．C．D．12．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=+的定义域为．14．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（，），则lg[f（2）]+lg[f（5）]=．15．（5分）若某圆锥的母线长为2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为．16．（5分）若直线l1：x+ky+1=0（k∈R）与l2：（m+1）x﹣y+1=0（m∈R）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知集合A={x|log2x＞m}，B={x|﹣4＜x﹣4＜4}．（1）当m=2时，求A∪B，A∩B；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣（a+4）x+a．（1）求实数a的值及f（x）的解析式；（2）求使得f（x）=x+6成立的x的值．19．（12分）已知两条直线l1：2x+y﹣2=0与l2：2x﹣my+4=0．（1）若直线l1⊥l2，求直线l1与l2交点P的坐标；（2）若l1，l2以及x轴围成三角形的面积为1，求实数m的值．20．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：DE⊥平面ABE；（3）求点A到平面BDE的距离．21．（12分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第x天（x∈N+）的部分数据如表：述Q与x的变化关系，只需说明理由，不用证明．①Q=ax+b，②Q=﹣x2+ax+b，③Q=a x+b，④Q=b+log a x．（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值．22．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，则A∩∁U B=（）A．{3，6}B．{5}C．{2，4}D．{2，5}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，∴∁U B={5}，则A∩∁U B={5}，故选：B2．（5分）若直线经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）且倾斜角为45°，则m的值为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）的直线的斜率为k=．又直线的倾斜角为45°，∴=tan45°=1，即m=．故选：A．3．（5分）函数f（x）=x3+lnx﹣2零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵函数f（x）=x3+lnx﹣2，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（1）=1﹣2＜0，f（2）=6+ln2＞0，∴f（2）•f（1）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：B．4．（5分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．4【解答】解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，则直观图中等腰梯形的高为h′=hsin45°；∵等腰梯形的体积为（a+b）h′=（a+b）•hsin45°=2，∴（a+b）•h==4∴该梯形的面积为4．故选：D．5．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，c=0.40.2 ∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选A．6．（5分）过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y﹣5=0或2x﹣3y=0C．x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣1=0或2x﹣3y=0【解答】解：当横截距a=0时，纵截距b=a=0，此时直线方程过点P（3，2）和原点（0，0），直线方程为：，整理，得2x﹣3y=0；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程为，把P（3，2）代入，得：，解得a=5，∴直线方程为，即x+y﹣5=0．∴过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣5=0或2x﹣3y=0．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=，若对于任意的两个不相等实数x1，x2都有＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，6） B．（1，+∞）C．（3，6） D．[3，6）【解答】解：对于任意的两个不相等实数x1，x2都有＞0，可知函数是增函数，可得：，解得a∈[3，6）．故选：D．8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列说法中正确的个数为（）①C1M∥AC；②BD1⊥AC；③BC1与AC的所成角为60°；④B1A1、C1M、BN三条直线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，∴A1C1∥AC，C1M与A1C1相交，故①错误；BD⊥AC，DD1⊥AC，故AC⊥平面BDD1，故BD1⊥AC，故②正确；、连接BA1，则△A1BC1为等边三角形，即BC1与A1C1的所成角为60°；由①中A1C1∥AC，可得BC1与AC的所成角为60°，故③正确；④由MN∥AD1∥BC1，可得C1M、BN共面，则C1M、BN必交于一点，且该交点，必在B1A1上，故B1A1、C1M、BN三条直线交于一点，故④正确；故选：C9．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（x）∈[﹣2，1]，函数的零点为：x1，0，x2，x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（1，2），令t=f（x），则f（f（x））=0，即f（t）=0可得，t=x1，0，x2，f（x）=x1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（x1）]=0，此时方程的根有2个．x2∈（1，2）时，不存在f[f（x2）]=0，方根程没有根．f[f（0）]=f（0）=f（x1）=f（x2）=0，有3个．所以方程f（f（x））=0的实根个数为：5个．故选：C．10．（5分）直线l过点A（﹣1，﹣2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为（）A．（0，]B．[2，+∞）C．（0，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：∵直线l过点A（﹣1，﹣2），∴k OA=2，又直线l不经过第四象限，∴直线l的斜率的取值范围为[2，+∞），故选：B．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．8 B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，底面面积S=2×2=4，高h=2，故体积V==，故选：C12．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（x）=a x是一个“λ一半随函数”，则a x+λ+λa x=0对任意实数x成立，则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a x是“λ一半随函数”，故②正确．③、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f（0））2＜0，又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误正确判断：①②③．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=+的定义域为（0，1）．【解答】解：函数f（x）=+有意义，只需2﹣2x≥0，lnx≠0，x＞0，解得x≤1，且x≠1，x＞0，则函数的定义域为（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（，），则lg[f（2）]+lg[f（5）]=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（，）代入可得=，解得α=；∴f（x）=；∴lg[f（2）]+lg[f（5）]=lg+lg=lg=lg10=．故答案为：．15．（5分）若某圆锥的母线长为2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为3π．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积为：π•1•2+π•12=3π，故答案为：3π．16．（5分）若直线l1：x+ky+1=0（k∈R）与l2：（m+1）x﹣y+1=0（m∈R）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为．【解答】解：由题意，直线l1：x+ky+1=0（k∈R）过定点（﹣1，0）l2：（m+1）x﹣y+1=0（m∈R）过定点（0，1），∴这两直线之间距离的最大值为=，故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知集合A={x|log2x＞m}，B={x|﹣4＜x﹣4＜4}．（1）当m=2时，求A∪B，A∩B；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，A={x|log2x＞m}={x|x＞4}，B={x|﹣4＜x﹣4＜4}={x|0＜x＜8}．∴A∪B={x|x＞0}，A∩B={x|4＜x＜8}；（2）A={x|log2x＞m}={x|x＞2m}，∁R B={x|x≤0或x≥8}若A⊆∁R B，则2m＞8，∴m≥3．18．（12分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣（a+4）x+a．（1）求实数a的值及f（x）的解析式；（2）求使得f（x）=x+6成立的x的值．【解答】解：（1）∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=a=0，由题意x≥0时：f（x）=x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x），故x＜0时，f（x）=﹣x2﹣4x，故f（x）=．（2）当x≥0时，x2﹣4x=x+6，可得x=6；x＜0时，f（x）=﹣x2﹣4x=x+6，可得x=﹣2或﹣3．综上所述，方程的解为6，﹣2或﹣3．19．（12分）已知两条直线l1：2x+y﹣2=0与l2：2x﹣my+4=0．（1）若直线l1⊥l2，求直线l1与l2交点P的坐标；（2）若l1，l2以及x轴围成三角形的面积为1，求实数m的值．【解答】解：（1）∵直线l1⊥l2，∴4﹣m=0，∴m=4，联立两条直线l1：2x+y﹣2=0与l2：2x﹣4y+4=0可得P（0.4，1.2）；（2）直线l1：2x+y﹣2=0与x轴的交点坐标为（1，0），l2：2x﹣my+4=0与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∵l1，l2以及x轴围成三角形的面积为1，∴三角形的高为，代入直线l1：2x+y﹣2=0可得x=，（，）代入l2：2x﹣my+4=0可得m=8．20．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：DE⊥平面ABE；（3）求点A到平面BDE的距离．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE．（2）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥CD，DE⊥AE，在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵DE⊂平面ADE，∴CD⊥DE，∵AB∥CD，∴DE⊥AB，∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE．解：（3）∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，∴AB⊥平面ADE，===，∴三棱锥B﹣ADE的体积V B﹣ADE==，设点A到平面BDE的距离为d，∵V A=V B﹣ADE，∴=，解得d=，﹣BDE∴点A到平面BDE的距离为．21．（12分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第x天（x∈N+）的部分数据如表：述Q与x的变化关系，只需说明理由，不用证明．①Q=ax+b，②Q=﹣x2+ax+b，③Q=a x+b，④Q=b+log a x．（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a x+b，Q=b+log a x三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当；将（3，154）、（5，180）代入Q=﹣x2+ax+b，可得，解得a=21，b=100．∴Q=﹣x2+21x+100，（1≤x≤20，x∈N*）；（2）Q=﹣x2+21x+100=﹣（t﹣）2+，∵1≤x≤20，x∈N*，∴t=10或11时，Q取得最大值210万元．22．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，①当k＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当k时，f（）=2﹣1＞0，当0＜k≤时，f（）=2﹣1≤0，∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立．②当k=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当k＜0时，f恒大于0，∵，且f（x）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，k的取值范围是（，+∞）．（3）由f（x）=x+﹣1=0，（x≠0），k∈R．得x+﹣1=0，∴k=|x|•（1﹣x），x≠0，当x＞0时，k=x（1﹣x），当x＜0时，k=﹣x（1﹣x），∴结合图象得：当k＞或k≤0时，f（x）有1个零点；当k=时，f（x）有2个零点；当0＜k＜时，f（x）有3个零点．。
广东省东莞市2020-2021学年高一上学期教学质量检查(期末)数学试卷 (解析含)
广东省东莞市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0，2，3}B．{2，3}C．{2}D．{﹣1，1}2．命题“∀x＞0，”的否定是（）A．∃x0＞0，B．∃x0≤0，C．∃x0＞0，D．∀x＞0，3．如图是函数f（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．f（0）＝﹣2B．f（x）的定义域为[﹣3，2]C．f（x）的值域为[﹣2，2]D．若f（x）＝0，则或24．圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为（）A．B．2C．D．15．2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心．已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200m3，高为3m．如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（）A．204000元B．228000元C．234500元D．297000元6．使“不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞1B．a＞0C．a＜1D．a＜07．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若，，则A⊗B为（）A．{x|﹣2≤x＜0，或x＞1}B．{x|﹣2≤x≤0，或x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|x≥﹣2}8．三角形△ABC中，，BC边上的高等于，则tan∠BAC＝（）A．B．C．2D．﹣2二、多项选择题（共4小题）.9．设b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|+b＞0B．C．D．lna2＜lnb210．如图是函数f（x）的部分图象，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．11．若一个函数的图象能将圆的周长和面积同时分成相等的两部分，则称该函数为“太极函数”．则下列函数可以作为“太极函数”的是（）A．f（x）＝2sin x+3cos xB．f（x）＝C．f（x）＝e x﹣e﹣xD．12．已知函数f（x）＝，若存在x1＜x2＜x3＜x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列选项正确的是（）A．x1+x2＝﹣1B．x3•x4＝1C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．己知幂函数f（x）经过点，则＝．14．已知f（x）＝，若f（a）＝﹣2，则a＝．15．已知角α的终边经过点（1，2），则＝．16．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，x∈（﹣1，+∞），若，则b﹣a的取值范围为．四、解答题（共6小题，第17题10分，18/19、20、21、22题各12分，共70分）. 17．已知集合A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求A∪（∁R B）；（2）若C＝{x|a﹣4≤x≤a}，且A∩C＝A，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）若，，求f（α）；（2）把f（x）的图象向左平移个单位长度，然后把图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．19．某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如表：x3568y25292820为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种y＝f（x）函数模型供选择：①f（x）＝ax3+b，②f（x）＝﹣x2+ax+b，③f（x）＝ab x．（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数f（x）在闭区间[0，m]上的最大值为29，最小值为4，求m的取值范围．20．已知函数．（1）当a＝2时，判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）探究函数f（x）的奇偶性，并证明．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m．简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．（1）求A，ω，φ，b的值；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t 的函数解析式，并求出高度差的最大值．22．已知奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且当x＞0时，f（x）＝x+log2x．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）＝x+2x，存在x1，x2使得f（x1）＝g（x2）＝0，试判断x1，x2的大小关系并证明．广东省东莞市2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0，2，3}B．{2，3}C．{2}D．{﹣1，1}解：全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，B＝{﹣1，0，1}，∴∁U B＝{2，3}，∴A∩（∁U B）＝{2}．故选：C．2．命题“∀x＞0，”的否定是（）A．∃x0＞0，B．∃x0≤0，C．∃x0＞0，D．∀x＞0，解：根据含有量词的命题的否定，即先改变量词，然后再否定结论，所以命题“∀x＞0，”的否定是∃x0＞0，．故选：A．3．如图是函数f（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．f（0）＝﹣2B．f（x）的定义域为[﹣3，2]C．f（x）的值域为[﹣2，2]D．若f（x）＝0，则或2解：由图象值f（0）＝﹣2正确，函数的定义域为[﹣3，2]正确，函数的最小值为﹣3，即函数的值域为[﹣3，2]，故C错误，若f（x）＝0，则或2，故D正确故选：C．4．圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为（）A．B．2C．D．1解：因为：扇形的弧长为，圆心角为1弧度，所以：圆的半径为：r＝＝＝，所以：扇形的面积为：S＝lr＝××＝1．故选：D．5．2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心．已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200m3，高为3m．如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（）A．204000元B．228000元C．234500元D．297000元解：设实验室的长为xm，由体积为1200m3，高为3m，可得底面积为，则宽为m，则底面造价为400×150＝60000（元），房顶造价为400×300＝120000（元）．墙壁造价为3x×200×2+＝1200（x+），故总造价为W＝60000+120000+1200（x+）＝180000+1200（x+）．当且仅当x＝，即x＝20时等号成立．故选：A．6．使“不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞1B．a＞0C．a＜1D．a＜0解：因为不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立，所以﹣a＜（x2﹣2x）min＝[（x﹣1）2﹣1]min＝﹣1，即a＞1，而a＞1可以推出a＞0，a＞0不能推出a＞1，所以“不等式x2﹣2x+a＞0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是a＞0，故选：B．7．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若，，则A⊗B为（）A．{x|﹣2≤x＜0，或x＞1}B．{x|﹣2≤x≤0，或x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|x≥﹣2}解：∵＝{y|y≥0}，＝{x|﹣2≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣2}，A∩B＝{x|0≤x≤1}，∴A⊗B＝∁（A∪B）（A∩B）＝{x|﹣2≤x＜0，或x＞1}．故选：A．8．三角形△ABC中，，BC边上的高等于，则tan∠BAC＝（）A．B．C．2D．﹣2解：如图所示，设AD＝x，则BD＝x，DC＝3x，所以AB＝，在△ABC中，由余弦定理可得，则，所以．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小颗5分，共20分，在每小顾给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，右选错的得0分，部分选对的得3分，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．设b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|+b＞0B．C．D．lna2＜lnb2解：∵b＜a＜0，不妨设b＝﹣2，a＝﹣1，则|a|+b＝﹣1，故A不正确；∵＝﹣，＝﹣，故B不正确；∵b+＝﹣3，a+＝﹣，∴b+＜a+，故C正确；∵0＜a2＜b2，∴lna2＜lnb2，故D正确，故选：CD．10．如图是函数f（x）的部分图象，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．解：由已知图象可得：A＝2，＝﹣，解得T＝π＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ），∵f（x）图象过点（，2），可得2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，∴当k＝0时，可得φ＝，可得f（x）＝2sin（2x+），故A正确；由于＝2sin[π﹣（+2x）]＝2sin（2x+），故B正确；由于＝2sin[﹣（2x+）]＝﹣2sin（2x+），故C错误；由于＝2cos[﹣（+2x）]＝2sin（2x+），故D正确．故选：ABD．11．若一个函数的图象能将圆的周长和面积同时分成相等的两部分，则称该函数为“太极函数”．则下列函数可以作为“太极函数”的是（）A．f（x）＝2sin x+3cos xB．f（x）＝C．f（x）＝e x﹣e﹣xD．解：因为f（x）＝2sin x+3cos x＝，它的图象是由函数y＝sin x左右平移得到的，而函数y＝sin x是中心对称图形，所以函数f（x）也是中心对称图形，故选项A 正确；因为函数f（x）＝为偶函数，故函数f（x）不是中心对称图形，故选项B 错误；因为f（x）＝e x﹣e﹣x，则有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，函数f（x）不是中心对称图形，故选项C正确；因为＝，它的图象是由函数向左平移1个单位，向上平移1个单位得到的，而函数关于原点对称，故函数f（x）关于（﹣1，1）对称，故函数f（x）是中心对称图形，故选项D正确．故选：AC．12．已知函数f（x）＝，若存在x1＜x2＜x3＜x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列选项正确的是（）A．x1+x2＝﹣1B．x3•x4＝1C．D．解：作出函数f（x）＝的图象如图所示，∵存在x1＜x2＜x3＜x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，∴x1+x2＝﹣2，﹣log2x3＝log2x4，得log2（x3x4）＝0，即x3x4＝1．又，x3≠x4，∴x3+x4＞2，∵f（x）＝1时，，x4＝2，∴，故C错误；x≤0时，f（x1）＝f（x2）＝m，方程4x2+8x+1﹣m＝0有两解，∴，又m∈（0，1]，∴x1x2∈[0，）．故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．己知幂函数f（x）经过点，则＝．解：设幂函数f（x）＝xα，∵它的图象经过点，∴3α＝，∴α＝，f（x）＝＝，则＝＝，故答案为：．14．已知f（x）＝，若f（a）＝﹣2，则a＝．解：f（x）＝，若f（a）＝﹣2，当a≤0时，则4a＝﹣2，此时a不存在，当a＞0时，则log2a＝﹣2，解得，a＝．综上，a＝．故答案为：．15．已知角α的终边经过点（1，2），则＝．解：∵角α的终边经过点（1，2），∴sinα＝＝，cosα＝＝，则＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，x∈（﹣1，+∞），若，则b﹣a的取值范围为（0，2）．解：作出函数f（x）＝|2x﹣1|，x∈（﹣1，+∞）的图象如图，x∈（﹣1，0），f（x）∈（0，），x∈（0，+∞），f（x）∈（0，+∞），由，得x＝，则b∈[，+∞），∴当a→+∞，b→+∞时，b﹣a→0，当a→﹣1时，f（a）→，此时令f（b）＝1，b﹣a最大，此时b→1．∴b﹣a的最大值→2．∴b﹣a的取值范围为（0，2）．故答案为：（0，2）．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18/19、20、21、22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．已知集合A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求A∪（∁R B）；（2）若C＝{x|a﹣4≤x≤a}，且A∩C＝A，求实数a的取值范围．解：（1）由1≤3x≤27，得30≤3x≤33，所以0≤x≤3，所以A＝[0，3]，由B＝（1，+∞），得∁R B＝（﹣∞，1]，所以A∪（∁R B）＝（﹣∞，3]．（2）由A∩C＝A，得A⊆C，所以，解得，所以3≤a≤4．故实数a的取值范围是[3，4]．18．已知函数．（1）若，，求f（α）；（2）把f（x）的图象向左平移个单位长度，然后把图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．解：（1）由已知得，因为，所以，所以＝．（2）把f（x）的图象向左平移个单位得到，然后把图象上各点的横坐标变为原来的，得到，由，得，所以函数g（x）的单调增区间是．19．某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如表：x3568y25292820为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种y＝f（x）函数模型供选择：①f（x）＝ax3+b，②f（x）＝﹣x2+ax+b，③f（x）＝ab x．（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数f（x）在闭区间[0，m]上的最大值为29，最小值为4，求m的取值范围．解：（1）由表中数据可知，f（x）先单调递增后单调递减，∵f（x）＝ax3+b与f（x）＝ab x都是单调函数，∴不符合题意；∵f（x）＝﹣x2+ax+b先单调递增后单调递减，∴符合题意．由表格数据得，解得，∴f（x）＝﹣x2+10x+4；（2）由（1）知f（x）＝﹣x2+10x+4，故对称轴为x＝5，∴f（x）在（﹣∞，5]上单调递增，在（5，+∞）上单调递减，∵f（0）＝4，f（5）＝29，∴m≥5，又∵f（x）＝﹣x2+10x+4＝4时，x＝0或10，∴m≤10，综上所述，5≤m≤10，故m的范围是[5，10]．20．已知函数．（1）当a＝2时，判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）探究函数f（x）的奇偶性，并证明．解：（1）当a＝2时，，在区间[1，+∞）上单调递增，证明：∀x1，x2∈[1，+∞），令x1＜x2，则＝因为1≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞1，x1+x2＞2，所以（x1+x2）x1x2＞2，即（x1+x2）x1x2﹣2＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．（2）f（x）的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f（x）＝x2，因为f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2＝f（x），所以f（x）是偶函数．当a≠0时，因为f（﹣1）＝1﹣a，f（1）＝1+a，所以f（﹣1）≠f（1），因为f（﹣1）+f（1）＝2≠0，所以f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．综上所述，当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m．简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．（1）求A，ω，φ，b的值；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t 的函数解析式，并求出高度差的最大值．解：（1）由题知，得ω＝π，由题意得A＝3，，；（2）方法一：∵盛水筒出水后到最高点至少经历个圆周，∴．方法二：由，得，∴，即，当k＝0时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时；（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则，经过tmin相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，∴，t∈[0，+∞），∴h的最大值为．22．已知奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且当x＞0时，f（x）＝x+log2x．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）＝x+2x，存在x1，x2使得f（x1）＝g（x2）＝0，试判断x1，x2的大小关系并证明．解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x+log2（﹣x））＝x﹣log2（﹣x），所以．（2）当x＞0时，f（x）＝x+log2x，易知f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为，所以f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，因为f（x）为奇函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上也存在唯一零点，所以f（x）有两个零点，易知g（x）＝x+2x在R上单调递增，因为，所以g（x）＝x+2x在R上存在唯一零点x2，且﹣＜x2＜0，因为，所以，即log2（﹣x2）＝x2，即x2﹣log2（﹣x2）＝0，所以x2也是f（x）的一个零点，所以当x1＜0时，x1＝x2；当x1＞0时，x1＞0＞x2．。
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广东省东莞市高一上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分） (2019高一上·杭州期中) 设集合，，则 ________．
2. （1分） (2016高一下·丰台期末) 若向量 =（1，2）与向量 =（λ，﹣1）共线，则实数λ=________．
3. （1分）(2017·广州模拟) 若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则
的值为________．
4. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 若，则 ________．
5. （1分）(2018·佛山模拟) 若使得成立的最小整数，则使得成立的最小整数 ________．
6. （1分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为________．
7. （1分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0，f（x）=ex﹣ax，若函数在R上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是________．
8. （1分）已知向量=（2，1），=（2，﹣3），且（k﹣）∥（+3），则实数k等于________
9. （1分）已知sin2α=，则cos2（α+）=________
10. （1分） (2017高三上·盐城期中) 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为________．
11. （1分）已知函数f（x）= ， g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；
④若存在x1 ，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是≤a≤，
其中所有正确结论的序号为________ ．
12. （1分） (2019高一下·郑州期末) 如图在中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为 ,则的最小值为________．
13. （1分）(2017·南京模拟) 函数f（x）= 其中t＞0，若函数g（x）=f[f（x）﹣1]有6个不同的零点，则实数t的取值范围是________．
14. （1分）(2018·江苏) 已知函数的图像关于直线对称,则的值是________.
二、解答题 (共6题；共60分)
15. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）﹣1（A＞0，|φ|＜）的图象两相邻对称中心的距离为，且f（x）≤ =1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈ 时，求f（x）的取值范围．
16. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知中，，，，为角平分线．用向量的方法解答：
（1）求的长度；
（2）过点作直线交于不同两点，且满足，，求:的值，并说明理由．
17. （10分） (2016高三上·焦作期中) 如图，圆O为△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线交AC于点E，∠ACB的平分线交AD于点H．
（1）求证：CH⊥DE；
（2）若AE=2CE．证明：DC=2DB．
18. （5分）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
19. （10分） (2019高一上·蓟州月考) 已知f(x)＝ sin(2x－ )，x∈[ ， ]，求：
（1）函数f(x)单调区间；
（2） f(x)最小值和最大值．
20. （15分） (2017高二下·中山月考) 设函数，，，记 .
（1）求曲线在x=e处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若函数没有零点，求a的取值范围.
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共60分)
15-1、15-2、
16-1、16-2、
17-1、17-2、
18-1、19-1、19-2、
20-1、20-2、20-3、。