数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命

问题：

目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换?

分析：

分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。

产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。

弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。

自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。

这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。

最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。

案例分析2：城市商业中心最优位置分析

问题：

城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。

某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。

分析：

首先，应对居民到商业中心“最方便”这句话有个正确的理解。“最方便”是居民到中心的总路程最短呢，还是途经的总时间最短?或者是两者都要考虑?也就是怎样衡量“方便”程度。这主要凭个人的理解和根据具体情况采确定。我个人认为用途经时间的长短来衡量方便程度比较好。因为居民出行有步行、自行车；汽车等多种方式，仅用总路程还不足以表述方便程度。以下也以总时间最少为例来说明怎样分析问题。

下一步很容易想到问题的实质是找一个点，使去商业中心的居民到此点所用的总时间最短。这样我们便对所需解决的问题有了大概轮廓，即求点(x，y)，使总时间的目标函数T(x，y)最小。

然后着手分析一下求T(x，y)所需要的数据和条件。显然T(x，y)和每天(或一段时间)到商业中心的人次及各人的途经时间有关。而一居民到商业中心的时间又和他的出行方式及距离有关。

关于人次的信息可以从调查每天到老商业中心的居民估算。但每个居民到商业中心的时间却很不好求。因为居民的住址各不相同且居民数量很大，而且出行方式也不一样。作为一个建模者，需找个方法以获取必要的数据和信息。

我们抽样调查一些居民到商业中心所用的时间来近似获取全市居民到商业中心的平均时间。也可以将城区划分成若干个小区，每个小区用一点来表示。将该小区内居民到市中心等价于从表示该小区的那点出发。再调查每个小区的人数、出行频率及出行方式所占比例，最后得到我们的目标函数。总之，解题的方法不只一种，应视所具备的条件而定。

如以长远的眼光对商业中心进行选址，还应和城市规划结合起来。对未来城市的人口分布、人口密度、居民出行方式、频率和道路的建设做出预测，结合前面的方法来选择最优的商业中心位置。这虽然较为复杂，但决不是可望而不可及的，这里就不再详述了。

按理分析3：不同管理模式的最佳选用

问题：

不同的历史时期，在不同国家出现过不同的管理模式。如：

“金字塔式”——从一般员工到最高决策层中间还有许多层次，由下到上各层人数递减，下层绝对服从其上层。

“矩阵式”——以总经理和管理委员会统领全局，各生产线设一名经理，全权负责生产、销售和市场，每个员工只有总经理和经理两个上司，各生产线间的配合，由相关经理协调。

“实验室式”——由一名主任总体协调，但没有绝对决定权，公司决策由集体投票表决，成员活动不完全受集体限制。

请建立模型分析各管理模式的适用范围，评价其优缺点，并预测每种管理模式的发展前景。

分析：

这是一个经济管理方面的问题，涉及比较广阔的时空领域。经济管理是目前广泛存在的一种社会现象。评价某种管理模式的优劣有许多指标。如何客观准确地加以评价，并讨论每种模式的应用范围，预测其发展前景，都是模型应涉及的方面。如何从定性化到定量化便是本模型的关键所在。

首先，我们可作出适当的假设，分别讨论在不同社会制度、区域经济下的管理模式。

经实际调查和分析提炼，我们可考虑以下评价指标：

1．整个管理系统工作的秩序性。

2．管理系统决策的灵活性。

3．管理系统决策和实施的快捷性和准确性。