第五章刚体力学基础

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5.2 力矩
转动定律
3.转动惯量及其计算
由以上两例题可以得： 转动惯量不仅与刚体的总质量和转轴的位置 有关，还与刚体质量的空间分布有关 平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量J，等于过中心的 平行轴的转动惯量 Jc 与二轴间的垂直距离 d 的平方和刚 体质量的乘积之和。
J Jc md 2
如例题5.2
Ft外i Ft内i =mi ati mi ri 将此两边乘以 ri ，并对整个刚体求和
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5.2 力矩
转动定律
2 i i
F
i
t外i i
r Ft内i ri ( mi ri )
内力矩成对抵消 称为刚体对z轴 的转动惯量
合外力矩 M Z
J
转动定律
Mz
5.1 刚体的基本运动
速度的方向：垂直于


和 ri

⑥. 匀加速转动
组成的平面，符合右手螺旋法则 z
0 t
1 0 0t t 2 2
2 2 ( ) 2 0 0

R i O、

v ri
p y
O x
ri
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(2) 8秒内转子的角位移
2 1
0 1t 1/ 2t 2
1 4wenku.baidu.com 8 rad 7 82 rad 544 rad 2
因而转子在这段时间内转过的圈数 544 N 272 圈 2 2
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5.2 力矩
d J z J dt
刚体绕定轴转动时，作用在刚体上所有外力对该 轴的力矩的总和（即合外力矩），等于刚体对该 轴的转动惯量与角加速度的乘积。
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5.2 力矩 转动定律
3.转动惯量及其计算
转动惯量 J ：刚体转动惯性的量度
2 J m r ① z SI: kg.m2 i i ， i
2 2
)g
m1 m2
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FT 2
(2m1m2
m2 m0 m0
2 2
)g
m1 m2
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5.3 刚体定轴转动的动能定理
1.刚体定轴转动的动能
设物体绕一固定轴转动，其转动动能就是刚体中 每个质元做圆周运动的动能之和。
1 Ek Eki mi vi 2 i i 2 1 2 1 2 mi Ri J 2 2 2 i

因此
n
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( rad / s )
2 1200 1 rad / s 40 rad / s 60 2 2880 2 rad / s 96 rad / s 60
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5.1 刚体的基本运动
轮子做匀加速定轴转动，故有
(96 40) rad / s 2 t 8 7 rad s2 22.0 rad s2
大学物理（上）
第5章 刚体力学基础
授课人： 院 系：
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第5章 刚体力学基础
目录
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
刚体的基本运动
力矩 转动定律
CONTENTS
刚体定轴转动的动能定理 角动量 角动量守恒定律 旋进 回转效应
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2
5.1 刚体的基本运动
1.刚体
刚体：任何情况下形状和大小（体积）都不发生变化。
1 1 2 Eki mi vi mi Ri 2 2 2 2
mi Ri
vi
刚体转动动能
式中Ri是每个质元到转轴的距 离，J是刚体对转轴的转动惯量。
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5.3 刚体定轴转动的动能定理
2.力矩的功
设作用在质元 mi上的外力 F 位于转动平面内 i 而 Fi 对转轴O的力矩
dri
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5.2 力矩
转动定律
①. 外力不垂直于转轴的平面内 外力分解为两个分力，一个与转轴 平行（力矩为零），另一个与转轴
垂直的平面内
M （F） M ( F ) r F
②. 力对点的力矩
力矩的大小：
M0 r F
M 0 Fr sin
J v r 2 dv
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5.2 力矩
[例5.2]
转动定律
一质量为 m , 长为 l 的均匀细棒，求细棒相对于
(1)垂直于棒且通过棒的中心轴的 转动惯量; (2)垂直于棒且通过棒的一端的轴的转动惯量。
[解] (1) dm m dx
m 2 dJ x dm x dx l
2
l
dm

l 2
J J c md 2
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1 1 l ml 2 m ml 2 12 3 2
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2
5.2 力矩
转动定律
F ma
4.转动定律的应用
力矩的瞬时作用规律： M J 平行转动定律解题思路：
① ② ③ ④
确定研究对象. 求出力对转轴的力矩，对不产生力矩的力不做分析. 分析转动特点，有无角加速度. 规定转动正方向，列方程求解，结果讨论.
图5.9
力矩的方向：垂直于矢径和力组成 的平面，指向由右手螺旋法则确定
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图5.10
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5.2 力矩
转动定律
2.转动定律 z 某质元 mi 受外力 F外i 和内力 F内i ，刚
ri m i
图5.11
体绕 z 轴转动，以 ri 为半径做圆周运动， 由牛顿第二定律 dvi F外i F内i =mi dt 将此矢量式投影到质元 i 的圆轨迹切线方向上
② 与质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关 ③ 质量连续分布的刚体用积分 线分布 细杆 面分布 薄板 体分布 实球
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Jz

v
r 2 dm
线密度 面密度 体密度
dm l dl dm s ds
v
dm dv
J l r 2 dl
J s r 2 ds

m
0
R 2 dm mR 2
m
0
d rr
R
(2)将圆盘视为有许多半径为r，宽为dr的细圆环，
m 圆盘的质量面密度 s R2
R
dm
取半径为r，宽为dr的细圆环 dm s 2 rdr dJ 0 r 2 dm 2 s r 3 dr R 1 3 J dJ 0 2 s r dr mR 2 0 2 2017/3/3
5.2 力矩
[例5.3]
转动定律
(1)求质量为m, 半径为R的均质细圆环，对过圆心与圆平面垂直的转
轴的转动惯量；(2)如果将圆环换做质量仍为且半径仍为的匀质圆盘，转轴位置 不变，其转动惯量为多少。
[解] (1)将细圆环视为有许多段微小圆弧组成每段质量为dm
dJ 0 R 2 dm
J dJ 0
0
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5.3 刚体定轴转动的动能定理
(2) 应用转轴的动能定理
h
y C
A Ek Ek 0
1 2 E J Ek 0 0 k 2 1 2 J ml 3 l 1 2 2 mg ml 0 2 6
FT 1 FT 1
1 FT 1r FT 2 r J m0r 2 2
对于定滑轮，应用转动定律
a a
G2 G1
平动和转动间，有角量和线量的关系
a r
联立方程求解
FT 1 (2m1m2

(m1 m2 ) g m (m1 m2 0 )r 2
m1m0 m0
x
dx l
2
l 2
O
x
3 m m x 1 2 2 J 1 l x dx ml 2 l 3 l 12 2 l 2 l m 1 2 2 (2) J 2 0 l x dx 3 ml O x 转动惯量与转轴位置有关 l
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dm
x
dx l
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h y C
静止释放，求转到竖直位置重力的功及角速度.
[解] (1) 重力对z轴的力矩
l M z mg sin 2 可见，力矩随转角变，重力的元功
l dA M z d mg sin d 2
水平位置 转到竖直位置，重力做的总功 1 0
2
2
P x
B
l l A dA mg sin d mg 2 2 2
dAi Fi dri Fi cosdri Fi cos Rd i
Fi
Ri d


Mi FR i i sin FR i i cos
所以 dAi M i d 设刚体从0转到 ，则力 F 做的功为 i
A Ai ( M i d ) ( M i )d
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(t )
(t t ) (t )
（包含p并与转轴垂直） 转动平面 转轴
t2 t1 t d lim t 0 t dt
2 1
5
5.1 刚体的基本运动
角速度方向
SI: rad/s 弧度/秒
3
5.1 刚体的基本运动
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚 体 任 意 两 刚 体 各 质 元 刚 体 质 心 限 刚体绕过一固 转 动 与 平 动
点 的 连 线 保 绕一固定不动 制 在 一 平 面 定点的某一瞬 的叠加。 持方向不变。 的轴线作圆周 内 ， 转 轴 可 时轴线的转动。
0

1 Ek J 2 2
由此可得
1 1 2 2 Md J J 0 0 2 2

定轴转动的 动能定理
刚体绕定轴转动时，转动动能的增 量等于刚体所受外力矩所做的总功.
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5.3 刚体定轴转动的动能定理
[例5.5]
长为l、质量为m的均匀细棒，绕z轴转动，现将棒从水平位置由
i i
Ai M i d


0

0
0
i
Md
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0

力矩的功
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5.3 刚体定轴转动的动能定理
3.刚体定轴转动的动能定理
质点系的动能定理也适用于刚体
A外 +A 内 =Ek Ek 0
对刚体而言，内力相对位置不变，做功为零
A外 =Ek Ek 0
又有
A Md
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5.1 刚体的基本运动
[例5.1] 一发电机转子的转速在 8 s内由1200 r/min均匀的增加到2880 r/min，
试求：(1) 转子的角加速度。
(2)在这段时间内转子转过的圈数。
[解] ：(1) 在工程上，角速度也常用每分钟转过的圈数 n （单 位为 r · min-1，称为转速）来表示。角速度与转速的关系：

④. 角加速度 d d 2 k
v an r 2 r dv d at r r dt dt
SI: rad/s2 弧度/秒2
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dt
2
dt 2
⑤. 线量与角量的关系
速度的大小：v ri sin
6
v ri
① 理想化模型，绝对刚体不存在 ② 特殊的质点系，各质元间无相对运动
2.刚体的基本运动形式
平动： 在运动中，连接刚体内任意两点的直线在任意 时刻的位置都与初始位置的连线保持平行。 转动 ：在运动中，刚体上任一质元都绕同一直线做圆 周运动，包括定轴转动和定点转动。 一般运动：平动+转动
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[例5.4]
已知如右图 试求：定滑轮转动的角
加速度和绳中的张力
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轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑
m0 r
m2
m1
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5.2 力矩
转动定律

FT 2 FT 2
[解] 对于平动物体m1，m2应用牛顿第二
m1 g FT 1 m1a FT 2 m2 g m2 a
转动定律
F :垂直转轴的平面内 r : 作用点到垂点O的距离，矢径 d : 力的作用线对轴的距离，力臂 d r sin
力矩的大小：力的大小与力臂的乘积
1.力矩： M
M Fd Fr sin
M r F
力矩的方向：伸平右手，手平面垂直于矢径和力构成的平面， 四指由矢径的方向经小于 180°转到力的方向，拇指的方向。
可 当 质 点 处 运动。
理。 人步行 电机转子转动
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平动。
车轮的滚动
玩具陀螺转动
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5.1 刚体的基本运动
3.定轴转动的描述
①. 角坐标 转动运动方程 刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
SI: rad 弧度
②. 角位移 t 时间 内角坐标的变化 ③. 角速度矢量 平均角速度 瞬时角速度