高中数学专题讲解之抛物线
高二数学知识点抛物线公式
高二数学知识点抛物线公式抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有独特的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握抛物线的各种知识点和公式。
下面我将为大家详细介绍高二数学中与抛物线相关的知识点和公式。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上一点到定点的距离与这个点到某一条定直线的距离相等的轨迹，这个定直线称为准线，定点称为焦点。
抛物线的主轴是垂直于准线的直线，焦点到准线的垂直距离称为焦距，抛物线的对称轴是准线的垂直平分线。
根据抛物线的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 抛物线是对称的，关于对称轴对称；2. 抛物线在焦点处有最小值，称为顶点；3. 镜面反射定律成立，入射角等于反射角。
二、标准形式的抛物线方程标准形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
对于标准形式的抛物线方程，我们可以根据已知条件求解抛物线的性质。
1. 抛物线开口方向的判断通过 a 的正负可以判断抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过方程的顶点公式求解：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
3. 抛物线与 x 轴的交点抛物线与 x 轴的交点可以通过方程的因式分解求解：令 y = 0，解方程 ax^2 + bx + c = 0，求得 x 的值。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴可以通过方程的对称轴公式求解：对称轴方程为 x = -b/2a。
三、一般形式的抛物线方程一般形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
与标准形式相比，一般形式的抛物线方程可以通过平移和缩放变换得到。
1. 抛物线的平移如果抛物线方程中有(h, k) 的平移，则原来的抛物线方程变为：y = a(x - h)^2 + k。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．知识点二抛物线的标准方程与几何性质O(0,0)规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．例1已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92例2(2015年10月学考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝3 x的距离为3，则p等于()A．2B．4C．23D．43例3(2016年10月学考)已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________________．例4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，－22)，则它的标准方程为________．例5已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．例6已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．例7 过抛物线y 2＝2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA ，OB . (1)求AB 的中点的轨迹方程； (2)求证：直线AB 过定点．一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(12，0) B ．(14，0) C ．(0，18)D ．(0，14)2．已知抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．03．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．－18B ．18C ．8D ．－84．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( ) A ．5B ．10C ．20D.155．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．486．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2,2)7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝2x －3 B ．y ＝－2x ＋5 C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －18．设抛物线C ：y 2＝16x ，斜率为m 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，则直线l 恒过定点( ) A ．(8,0) B ．(4,0) C ．(16,0) D ．(6,0)二、填空题9．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是__________．10．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 11．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 三、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图，由抛物线定义知|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|P A|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值．又A(0,2)，F(12，0)，∴(|P A|＋|PF|)min＝|AF|＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.]例2B由抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(p2，0)．F到直线y＝3x的距离为3，可得|3p2|(3)2＋(－1)2＝3，解得p＝4，故选B.]例32x＝－1例4y2＝2x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上，设方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．若方程为y 2＝2px (p >0)，则8＝2p ×4，得p ＝1，故方程为y 2＝2x ；若方程为y 2＝－2px (p >0)，则8＝－2p ×4，得p ＝－1，不符合条件，故不成立． 所以抛物线的标准方程为y 2＝2x . 例5 x 2＝－12y解析 设动圆圆心M (x ，y )，半径为r ，根据题意可得⎩⎨⎧y <2，r ＝|y －2|，x 2＋(y ＋3)2＝1＋r ，解得x 2＝－12y .例6 解 方法一 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ， 则|AB |＝2p <52p ，∴直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)． 方法二如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ， ∴直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．例7 (1)解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x . 联立直线OA 与抛物线的方程知，点A 的坐标为(2k 2，2k )， 联立直线OB 与抛物线的方程知，点B 的坐标为(2k 2，－2k )，则AB 的中点M 的坐标为(1k 2＋k 2，1k －k )，故点M 的轨迹方程为x ＝y 2＋2.(2)证明 由(1)可知k AB ＝－k －1kk 2－1k 2＝－1k －1k＝－k k 2－1，则直线AB 的方程为y －(1k －k ) ＝－k k 2－1x －(1k 2＋k 2)]，整理，得y ＝－kk 2－1(x －2)．所以直线经过定点(2,0)． 考点专项训练1．C 抛物线y ＝2x 2的标准形式为x 2＝12y ， ∴p ＝14，则p 2＝18， ∴焦点坐标是(0，18)．]2．B 抛物线y ＝4x 2的标准形式为x 2＝14y ， ∴其准线方程为y ＝－116， 设点M 的纵坐标是y 0，由抛物线的定义，得y 0＋116＝1， ∴y 0＝1516.] 3．A4．B 设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线准线方程为x ＝－1， ∴x 0＝5－1＝4，∴|y 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积为12×5×4＝10.]5．C 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F (p2，0)， ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6， 又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.]6．D 由题意得F (12，0)，准线方程为x ＝－12. 设点M 在准线x ＝－12上的射影为P ， 则M 到准线的距离为d ＝|PM |，则由抛物线的定义得|MA |＋|MF |＝|MA |＋|PM |，故当P 、A 、M 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值为|AP |＝3－(－12)＝72. 把y ＝2代入抛物线y 2＝2x ，得x ＝2，故点M 的坐标是(2,2)．] 7．A ∵抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1， ∴－p2＝－1，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －3.]8．C 设直线l ：x ＝my ＋b (b ≠0)，代入抛物线y 2＝16x ，可得y 2－16my －16b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16b ， ∴x 1x 2＝(my 1＋b )(my 2＋b )＝b 2， ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 可得b 2－16b ＝0，∵b ≠0，∴b ＝16，∴直线l ：x ＝my ＋16， ∴直线l 过定点(16,0)．] 9．y 2＝16x解析 点P 到点F 的距离与到x ＝－4的距离相等，由抛物线定义，知点P 轨迹为抛物线，设y 2＝2px ，由p2＝4，知p ＝8.10．1或0解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 11．(18，±24)解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18， ∴此点坐标为(18，±24)． 12．8 解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8.13．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。
高中数学知识点精讲精析 抛物线
2.4 抛物线1.定义平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。
另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。
2.抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px左开口抛物线:y^2=—2px上开口抛物线:x^2=2py下开口抛物线:x^2=—2pyp为焦准距（p>0）抛物线的标准方程有四个：（开口向右）；（开口向左）；（开口向上）；（开口向下）；在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2；在抛物线y^2=—2px 中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2；在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2；在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；抛物线3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P4.它的解析式求法：以焦点在X轴上为例知道P（x0,y0)令所求为y^2=2px则有y0^2=2px0∴2p=y0^2/x0∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x5.抛物线的一段的面积和弧长公式面积 Area=2ab/3弧长 Arc length ABC=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)6..其他抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x-h）^2 + k就是y等于a乘以（x-h）的平方+kh是顶点坐标的xk是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py7.关于抛物线的相关结论过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A （x1,y1)，B(x2,y2),有① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2②焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]③（1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）⑥弦长公式：AB=x1+x2+p⑦△=b^2-4ac⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根⑶△=b^2-4ac<0没实数根⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册 《抛物线》知识探究课件
,这一公式的应用会给我们求解抛物线上的点
到定点、定直线的距离有关的最值问题时带来方便.
典型例题
分析计算能力
典例3 设点是抛物线 = 上的一个动点.求点到(−, )的距离与点
到直线 = −的距离之和的最小值.
思路 当、、三点共线时,距离之和最小,由两点间的距离公式即可得解.
坐标,根据条件列出等式求解,有时需要依据条件进行转化.
利用抛物线的定义判断轨迹形状,求轨迹方程时,务必要认真审题,寻找题设中
的等量关系并转化为符合抛物线定义结构的形式,再利用抛物线的定义求解.
解题时要注重挖掘题目中的隐含条件,做出准确的判断,以防漏解而致错.
典型例题
推测解释能力、分析计算能力
典例5 平面上一动点到定点(, )的距离比点到轴的距离大1,求动点
语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
2.以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,应用抛物线解决
问题主要体现在:①建立平面直角坐标系,求抛物线的标准方程;②利用已求方
程求点的坐标.
要点辨析
3.求解抛物线实际应用题的步骤
建系
建立适当的坐标系
假设
设出合适的抛物线标准方程
计算
准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
典型例题
方程的右端取正号;开口方向与轴(或轴)的负半轴相同,即焦点在轴(或
轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
要点辨析
1.若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出
的值即可得解.若焦点位置无法确定,则需分类讨论.特别地,已知抛物线上一
点的坐标,一般能求出两个标准方程.
高中数学抛物线知识点
高中数学抛物线知识点抛物线是高中数学的一个重要考点。
抛物线是指平面内到一个定点f和一条定直线l距离相等的点的轨迹。
1抛物线的概念1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同。
2.抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。
3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。
说明：（1）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
（2）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
（3）解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何*质。
5.抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆.(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有p(x0，y0)在抛物线内部p(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点p(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点p(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点m(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点p作两条切线，切点为a,b，若焦点为f,又若切线pa ⊥pb，则ab必过抛物线焦点f.2抛物线的解题技巧1.利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关*.2.抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何*质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合。
高中数学复习专题讲解与练习-----抛物线定义的应用
2. 直线 y = k(x−1)与抛物线 y2 = 4x 交于 A, B 两点，若 AB = 16 ，则 k = __________． 3
【答案】:± 3
3. 已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，点 在抛物线上且满足 ，若 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
证明： 是 的等差中项.
【分析】:先化简
得到
,再根据线段 的中垂线的性质得到
，
把这两个式子结合起来即可证明 是 的等差中项.
【解析】:设
，由抛物线定义知
又 中垂线交 轴于 ，故
，
因为 ，所以
，
，
故
即 ， 是 的等差中项.学-科网 【点评】:由抛物线定义将 m 转化为 AB 的横坐标的表达式,再利用垂直平分线的性质得到另外一组表达式, 化简后即可得到所证目标. 【规律总结】: 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点 到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物
所以最小值为4 + 2 −1 = 5 .
6. 设 ， 分别为曲线 上不同的两点， ，若
，且
，则
__________． 【答案】:8
7.
过抛物线C : y2
= 4x 的焦点 F
的直线l 与抛物线C
交于P,Q 两点，与其准线交于点M
，且 uuuuv FM
=
uuuv 3FP
，
则
uuuv FP
高考抛物线知识点总结
高考抛物线知识点总结高中数学中的抛物线是一个重要的知识点，也是高考数学中经常会出现的考点。
在解题过程中，对于抛物线的性质、方程及应用需要有深入的理解。
本文将对高考抛物线知识点进行总结，帮助考生加深对这一部分内容的理解和应用能力。
一、抛物线的基本形状和性质抛物线是一种二次曲线，其基本形状为开口朝上或朝下的弧线。
抛物线由一个定点（焦点）和一条定线（准线）确定，焦点和准线之间的距离称为焦距。
抛物线的顶点为曲线上的最低点或最高点，称为顶点。
在图像上，抛物线呈现出对称性，即以顶点为对称中心将曲线分成两个对称的部分。
抛物线的开口方向取决于二次曲线的二次项的系数正负。
若为开口朝上，则二次项系数为正，反之为负。
二、抛物线的常见方程1. 顶点坐标形式：设抛物线的顶点为(h, k)，焦点坐标为(F, k)，则抛物线的顶点坐标形式方程为：(x-h)² = 4a(y - k)，其中a为焦距的一半。
2. 标准形式：设抛物线的焦点坐标为(F, 0)，焦距为2a，则抛物线的标准形式方程为：y² = 4ax。
3. 配方形式：将标准形式方程简化得到的抛物线的配方形式方程为：x = ay² + by + c。
三、抛物线的性质及相关公式1. 抛物线的对称轴是与准线垂直并通过抛物线的顶点的直线。
对称轴的方程为x = h。
2. 离心率和焦距之间的关系：抛物线的离心率e等于焦距与准线之间的比值：e = F/a。
3. 焦点和准线之间的关系：焦点关于对称轴对称，焦点到准线的距离等于焦距。
4. 定点和定线之间的关系：抛物线上任意一点到定点的距离等于该点到准线的距离。
5. 直角坐标系中的曲线长度公式：设函数y = f(x)在闭区间[a,b]上连续，则抛物线上的曲线长度：L = ∫[a,b]√(1+(f'(x))²)dx。
四、抛物线的应用抛物线的应用范围广泛，在数学、物理、经济等多个学科中都有应用。
以下是抛物线在几个常见领域中的应用案例：1. 圆锥曲线：抛物线是圆锥曲线的一种，它在天文学、建筑学等领域中有着广泛的应用。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。
在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。
1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。
其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。
当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。
这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。
（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。
焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。
（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。
（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。
（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。
求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。
3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。
在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。
抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。
高中数学专题：抛物线
抛物线专题复习一、抛物线的知识点：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 02x p PF)(21x x p AB22ppx yxyOFl,0x 轴0,2p2p x1e 02x p PF)(21x x p AB22ppy x,0y轴2,0p 2p y1e 02y p PF)(21y y pAB 022ppy x,0y轴2,0p 2p y1e 02y p PF)(21y y p AB 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：pd 2AB 为抛物线px y 22的焦点弦，则BA x x 42p，B A y y 2p ，||AB =px x BA考点 1 抛物线的定义[例1 ]已知点P 在抛物线x y42上，则点P 到点)1,2(Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为考点 2 抛物线的标准方程[例2 ]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点)2,3(； (2)焦点在直线240xy 上考点 3 抛物线的几何性质[例3 ]设B A,为抛物线px y22上的点,且O AOB(2为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______[例4 ]设F 是抛物线2:4G xy 的焦点．（I ）过点(04)P ，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0FBFA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．二．基本题型1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621x x ，那么||AB =( )（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有（）A ．321x x x B ．321y y y C ．2312x x x D. 2312y y y 3．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）64．过抛物线02aaxy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则||1||1QF PF （）（A ）a 2（B ）a21（C ）a4（D ）a45．已知抛物线C ：24y x 的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为()A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则11FB A （）A. 45B. 60C. 90D.1207．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且,b a则抛物线2()y b a x 的焦点坐标为（）A ．1(0,)4 B ．1(0,)4 C ．1(,0)2 D ．1(,0)48．抛物线,42F x y的焦点为准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l ABA 垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（）A ．33B ．34C ．36D．389．已知抛物线C ：212xy ,过点(0,4)A 和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是()A ．(,1)(1,)B. 22(,)(,)22C ．(,22)(22,)D ．(,22)(2,)10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x 上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21N nx x x n 成等差数列且45921x x x ，则||5F P =（）．A ．5B ．6C ．7D ．911．设O 是坐标原点，F 是抛物线24yx 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA为．12．若直线10axy 经过抛物线24yx 的焦点，则实数a13．若抛物线22ypx 的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p 的值14．(文)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．15．抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点M ,为准线与y 轴的交点A ,为抛物线上一点,且3||,17||AF AM ，求此抛物线的方程．16．在抛物线24y x 上求一点，使该点到直线45y x 的距离为最短，求该点的坐标．17．设抛物线22y px (0p )的焦点为,F 经过点F 的直线交抛物线于B A,两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．18．已知直线b xy 与抛物线px y220p 相交于A 、B 两点，若OB OA，（O 为坐标原点）且52AOB S ，求抛物线的方程．19．椭圆12222by ax 上有一点)59,4(在抛物线px y22（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求||||NQ MN 的最小值.20．椭圆C 1：2221(04xy b＜b ＜2)的离心率e3,2抛物线C 2：22(x py p ＞0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过(1,0)M 的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．21．已知抛物线C ：24yx 的焦点为,F 过点(1,0)K 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为 D.(1)证明：，点F 在直线BD 上；(2)设8.9FA FB求BDK 的内切圆M 的方程．20．(文)[解析](1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝ca ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，(理)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由y ＝k x ＋1x 2＝4y得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0. 21．[解析]设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4①直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1x －y 224令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F(1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y 2－y 1＝±4m 2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t<1)，M(t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为x －192＋y 2＝49. 例4（I ）设切点24x Q x ，．由2xy ，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为200()42xx yx x ．即20424x xyx．因为点(0)P ，在切线上．所以2044x，2016x，04x ．所求切线方程为24y x ．（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k．因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1ykx ．点A C ，的坐标满足方程组214y kx xy ，，得2440xkx，由根与系数的关系知121244.x x k x x ，2222212121212()()1()44(1)ACx x y y k x x x x k ．因为ACBD ，所以BD 的斜率为1k，从而BD 的方程为11yx k ．同理可求得22214(1)41k BD kk．2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BDk kk≥．当1k时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．。
高中数学-抛物线知识点
高中数学-抛物线知识点抛物线是数学中的重要概念，广泛应用于几何学和物理学中。
本文将介绍高中数学中与抛物线相关的知识点。
1. 抛物线的定义和特征- 抛物线是由平面上一动点P和一定点F以及到F的距离与到直线l的距离相等的所有点P的轨迹形成的曲线。
- 抛物线的特征是对称性，即关于对称轴对称。
对称轴是通过焦点F的垂直于直线l的直线。
- 抛物线的焦点F与对称轴的交点称为焦点，对称轴上的任意一点P到直线l的距离称为焦距。
2. 抛物线的方程- 抛物线的一般方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
- 抛物线的判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以判断抛物线的开口方向和与x轴的交点个数。
3. 抛物线的图像和性质- 当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的顶点是极小值点或极大值点，具有最值性质。
- 抛物线的对称轴与x轴的交点是抛物线的零点，也是方程的实根。
- 抛物线的导数表示斜率，斜率为0时对应抛物线的顶点。
4. 抛物线的应用- 抛物线可用于描述物体在一定条件下的运动轨迹，如炮弹抛体运动、射击训练等。
- 抛物线的最值性质可应用于优化问题，如求解最大最小值等。
- 抛物线的几何性质可应用于建筑设计、桥梁设计等。
以上是高中数学中关于抛物线的基本知识点。
抛物线作为基础的数学概念，为其他数学和物理学知识的研究奠定了坚实基础。
参考资料：- 高中数学教材- 数学知识网站。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，在高中数学中经常遇到。
抛物线的定义是平面上到定点和定直线的距离相等的点的集合。
抛物线有许多基本性质和相关公式，下面是对抛物线的知识点的总结。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点的集合。
2. 抛物线的方程抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（顶点在上凸抛物线中为最高点）。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为抛物线方程。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于准线的直线。
5. 抛物线的焦点和准线焦点是到定点相等距离的点，准线是到定直线相等距离的点。
焦点的坐标为(-b/2a, c - (b^2-1)/4a)，准线的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
6. 抛物线的开口方向抛物线的开口方向取决于系数a的正负。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
7. 抛物线的对称性抛物线具有对称性，即抛物线上的任意一点关于对称轴的对称点也在抛物线上。
8. 抛物线的性质- 抛物线是一条连续曲线。
- 抛物线没有最大值或最小值。
- 开口向上的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都大于或等于对称轴上的点的纵坐标。
- 开口向下的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都小于或等于对称轴上的点的纵坐标。
9. 抛物线与二次函数的关系二次函数是一种特殊的抛物线，即二次函数的图像为一条抛物线。
10. 抛物线的平移和缩放抛物线的平移可以通过改变抛物线方程中的常数项b和c的值来实现。
抛物线的缩放可以通过改变抛物线方程中的系数a的值来实现。
11. 抛物线的判别式抛物线的判别式D用来判断抛物线的开口方向和是否与x轴相交。
当D > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当D = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当D < 0时，抛物线与x 轴无交点。
高中数学抛物线知识点
高中数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个非常重要的知识点，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
如果抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；如果焦点在 x 轴的负半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；若焦点在 y 轴的正半轴上，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2；焦点在 y 轴的负半轴上时，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2。
这里的 p 叫做焦准距，是焦点到准线的距离。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、＼（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），其焦点在 x 轴的正半轴上，开口向右。
2、＼（y^2 ＝－2px （p>0)＼），焦点在 x 轴的负半轴上，开口向左。
3、＼（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的正半轴上，开口向上。
4、＼（x^2 ＝－2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下。
对于给定的抛物线方程，我们可以通过其形式迅速确定抛物线的开口方向、焦点位置和准线方程。
三、抛物线的性质1、对称性抛物线关于其对称轴对称。
例如，＼（y^2 ＝2px\）关于x 轴对称，＼（x^2 ＝ 2py\）关于 y 轴对称。
2、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。
在标准方程中，顶点坐标分别为：＼（y^2 ＝ 2px\）的顶点为（0, 0)；＼（x^2 ＝ 2py\）的顶点也为（0, 0)。
3、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1，这意味着抛物线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等。
4、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（y^2 ＝ 2px\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ x_0 ＋p/2\）；若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（x^2 ＝ 2py\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ y_0 ＋ p/2\）。
高中数学课件-第7讲 抛物线
17
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位 置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一 个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直 观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结 合思想解题的直观性.
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
|PF|＝
|PF|＝
|PF|＝
_□_5_x_0_＋__p2_ _□6__－__x_0＋__p2__ _□_7__y_0＋__p2_
|PF|＝
_□8__－__y_0＋__p2__
8
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
弦.( √ ) (4)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，其焦点坐
标是a4，0，准线方程是 x＝－a4.( × )
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2.回源教材 (1)抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是________.
抛物线的方程为y2＝10x，则p＝5， 所以抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是5.
x2＝2py (p>0)
向上
x2＝－2py (p>0)
向下
图形
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标准 方程 顶点 对称轴
焦点
离心率 准线 方程
y2＝2px
y2＝－2px
抛物线的定义-高中数学知识点讲解
抛物线的定义1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0 时，为右开口的抛物线；当p＜0 时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0 时，为开口向上的抛物线，当p＜0 时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：푝①焦点为（2，0）；②准线方程为：x =―푝2；③离心率为e＝1．④通径为 2p（过焦点并垂直于x 轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例 1：点P 是抛物线y2＝x 上的动点，点Q 的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P 是抛物线y2＝x 上的动点，∴设P（x，푥），∵点Q 的坐标为（3，0），∴|PQ| =(푥―3)2+(푥―0)2=푥2―5푥+9=(푥―5)2+11，24∴当x =5525，即P（，）时，224|PQ|取最小值112．1/ 2故答案为：11 2．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例 2：已知点P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，点P 到点（0，3）的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P 作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q 三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF| =32+12=10．即|PM|+|PQ|的最小值为10．故答案为：10．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p 点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．2/ 2。
高中数学抛物线知识点高三网
高中数学抛物线知识点高三网高中数学抛物线知识点在高中数学学习中，抛物线是一个重要的数学概念。
它是一个非常基础也是比较常见的曲线形状，广泛应用于数学和物理的领域。
本文将介绍一些与高中数学抛物线相关的知识点，包括定义、特征和一些典型问题的解决方法。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上的一类曲线，其定义可以通过几种不同的方式描述。
一种常见的定义是：抛物线是一个平面上所有距离一个定点（称为焦点）和一条直线（称为准线）的距离相等的点的集合。
换句话说，对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F 的距离等于它到准线 L 的距离。
2. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
这个方程中的a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。
b决定了抛物线在x轴上的平移，而c决定了抛物线在y轴上的平移。
3. 抛物线的对称性抛物线具有对称性。
即抛物线的焦点和准线之间存在一条对称轴，对称轴垂直于准线，并通过抛物线的顶点。
对称轴的方程为x = -b/2a。
这意味着，抛物线上的任意一点P(x,y)，与对称轴上的点P'(-x,y) 关于对称轴对称。
4. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要属性。
焦点F(x,y)距离准线的距离称为抛物线的焦距。
焦点的坐标可以通过方程的系数计算得出。
准线的方程为y = -b/2a。
5. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最高或最低点，也是对称轴与抛物线的交点。
顶点的坐标可以通过将对称轴的x值代入抛物线方程计算得出。
6. 抛物线的性质抛物线具有许多有趣的性质。
例如，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
这一性质被称为焦准线性质。
此外，抛物线的切线在切点处与对称轴垂直，这意味着切线的斜率为零。
这些性质对于解决抛物线相关的问题至关重要。
7. 抛物线的应用抛物线广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
高二抛物线知识点
高二抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
作为高中数学的一部分，抛物线是高二学生需要掌握的重要知识点之一。
本文将为大家详细介绍高二抛物线的相关知识点。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线可以通过以下定义来描述：给定一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线），离焦距离等于准线与任意一点P（抛物线上的点）之间的垂直距离。
抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离。
抛物线的形状是对称的，它的对称轴与准线平行。
抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
a的取值决定了抛物线的开口方向，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标可以通过计算公式 (-b/2a, c-b^2/4a) 求得。
二、抛物线的焦点和准线焦点和准线是抛物线的两个基本要素。
我们已经知道，焦点是定点F，准线是定直线l。
焦点到准线的距离叫做抛物线的焦距，记作p。
焦距与抛物线的开口方向有关，当a > 0时，焦点在抛物线的上方，焦距为焦点到准线的垂直距离的两倍；当a < 0时，焦点在抛物线的下方，焦距为焦点到准线的垂直距离的绝对值的两倍。
准线是抛物线的对称轴，抛物线上每个点到准线的距离都等于该点到焦点的距离。
三、抛物线的顶点和轴抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，记作V(h, k)。
顶点的横坐标h可以通过公式 -b/2a 求得，纵坐标k可以通过代入横坐标h计算得出。
抛物线的轴是通过焦点和顶点的连线。
轴是对称轴，也是抛物线的中线，将抛物线分成两个对称的部分。
四、抛物线的图像和性质抛物线的图像通常是一个U字形曲线。
抛物线在轴上对称，其两侧的点关于轴对称。
抛物线在准线上有一个最高点（当a < 0时）或最低点（当a >0时），也就是顶点V。
抛物线的顶点是整个抛物线图像的极值点。
当a < 0时，抛物线开口向下，最低点为极小值；当a > 0时，抛物线开口向上，最高点为极大值。
高中数学解析几何专题之抛物线[汇总解析版]
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圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。
注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。
以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1）pxy22=（>p），其焦点为)0,2(pF，准线为2px-=；（2）pxy22-=（0>p），其焦点为)0,2(pF-，准线为2px=；（3）pyx22=（>p），其焦点为)2,0(pF，准线为2py-=；（4）pyx22-=（0>p），其焦点为)2,0(pF-，准线为2py=.2.抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程px y 22=（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ；（6）焦点：)0,2(p F ； （7）准线：2p x -=；（8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ；（10）焦半径：若),(00y x P 为抛物线px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF +=；（11）通径长：p 2.注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。
数学高二选修抛物线知识点
数学高二选修抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在高中数学的选修课程中占有重要地位。
在高二学年，学生将进一步深入研究和应用抛物线的相关知识。
本文将重点介绍高二选修课程中涉及的抛物线知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。
一、抛物线的定义和性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上动点到定点和到定直线的距离之差恒等于定值的轨迹。
2. 抛物线的标准方程：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）3. 抛物线的顶点坐标：顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a。
4. 抛物线的对称轴：对称轴的方程为 x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点坐标：焦点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a + 1/4a。
6. 抛物线的准线：准线的方程为 y = c - b²/4a - 1/4a。
二、抛物线的平移和缩放1. 抛物线的平移：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其向右平移 h 个单位，新的方程为 y = a(x-h)² + b(x-h) + c。
2. 抛物线的缩放：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其纵坐标扩大 k 倍，新的方程为 y = kax² + bx + c。
三、抛物线的图像和性质1. 抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的对称性：抛物线相对于其顶点具有对称性。
3. 抛物线的最值点：当 a > 0 时，抛物线的最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与 x 轴交点称为零点，与 y 轴交点称为截距。
四、抛物线的应用1. 抛物线在物理学中的应用：通过抛物线的运动轨迹，我们能够计算出抛物线在不同时间点的速度和加速度，从而研究物体受到的力和运动规律。
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高中数学专题讲解之抛物线考点1 抛物线的定义：平面上与一个定点F 和一条直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
抛物线的定义中条件“F 不在l 上”不可遗漏，否则，如果F 在l 上，则轨迹为过F 且与l 垂直的直线。
题型： 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1、（1）已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为（2）抛物线y=4上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.B. C. D. 0例2、求平面内到原点与直线20x y --=距离相等的点的轨迹方程，并指出轨迹所表示的曲线。
例3、求到点A ()2,0-的距离比到直线:3l x =的距离小1的点的轨迹方程。
巩固练习：1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有 （ ） A ．B ．C ． D.2. 已知点F 是抛物线的焦点,M 是抛物线上的动点,当最小时,M 点坐标是 ( )A. B. C. D.3.已知方程()220x py p =->的抛物线上有一点M (),3m -，点M 到焦点F 的距离为5，求m 的值。
4、在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为…………( )2x 161716158722(0)y px p =>F 111222()()P x y P x y ，，，333()P x y ，||1F P ||2F P ||3F P 321x x x =+321y y y =+2312x x x =+2312y y y =+),4,3(A x y 82=MF MA +)0,0()62,3()4,2()62,3(-考点2 抛物线的标准方程 题型：求抛物线的标准方程例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上巩固练习：1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值2、 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 3、 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程 考点3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 ()：标准方程图形焦点240x y --=22y px =2213x y -=p 3||,17||==AF AM 0>p px y 22=px y 22-=py x 22=py x 22-=▲y xO▲yxO▲y xO▲yxO)0,2(pF )0,2(pF -)2,0(p F )2,0(p F -A 1B 1 B AP(A)A 1B 1B AP(B)A 1B 1 B AP(C)A 1B 1BAP(D)例5、求抛物线24y x =上的点P 到直线34150x y ++=的距离的最小值，并求出P 点的坐标。
例6、给定抛物线22y x =，设A (),0,a a R ∈，P 是抛物线上的一点，且PA d =，求d 的最小值。
例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线2y x =上运动，求AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值。
例8、设A 、B 90（O 为坐标原点）例9、已知正方形另两个顶点C 、D 长。
例10、已知抛物线个动点（AB 8AF BF +=例11、设点O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =，求OPQ ∆的面积。
例12、 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.例13、已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值..解：(1)设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a ≤－4p . (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p ,则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p . ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时，S 有最大值为2p 2.基础巩固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6x y 42=)(422R a a a ∈++xOy 24x y =P3.两个正数a 、b 的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( )A ．B ．C ．D ．4. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F 是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）．A ．5B ．6C ． 7D ．95、抛物线准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ． 题型、焦点弦问题例14、已知抛物线()220y px p =>，过焦点F 的弦AB 的直线倾斜角为θ，求AB 的弦长。
例15、若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
例16、已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。
例17、已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切。
与准线l 相切9225,b a >2()y b a x =-1(0,)4-1(0,)41(,0)2-1(,0)4-1P 2P 8P 24y x =1x 2x 8x )(,,,21*∈N n x x x n 45921=+++x x x ||5F P ,42F x y 的焦点为=33343638O F 24y x =A FA x 60OA BAM N Q P y xOF例18、若抛物线方程为，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。
巩固练习：1、若直线经过抛物线的焦点，则实数2、过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为,则 ( )A. B. C. D. 题型、中点弦问题：例19、过点A ()0,1-，作直线l 交抛物线24y x =于B 、C 两点，求BC 中点P 的轨迹方程。
例20、若抛物线2y x =上存在两点PQ 关于直线():3l y m x =-对称，求m 的取值范围。
巩固练习：1、在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标2、已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为． （1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？3、设抛物线（）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．4、椭圆上有一点M （-4，）在抛物线（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值. 5、已知抛物线C 的一个焦点为F （，0），对应于这个焦点的准线方程为x =-.（1）写出抛物线C 的方程；（2）过F 点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 点为坐标原点，求△AOB 重心G 的轨迹方程；（3）点P 是抛物线C 上的动点，过点P 作圆（x -3）2+y 2=2的切线，切点分别是M ，N .22(0)y px p =>10ax y -+=24y x =a =11,B A =∠11FB A 45 60 9012024y x =45y x =-2:ax y C =a F P c P c l F P F l 22y px =0p >12222=+by a x 59px y 22=2121当P 点在何处时，|MN |的值最小？求出|MN |的最小值. 课后作业：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A ．（1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ． y 2=－2x B ． y 2=－4x C ．y 2=－8xD ．y 2=－16x6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A ． y 2=-2x B ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．48．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（ ）41412x y =042=--y x 41,21)49,23(66)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x yA ．0条B ．1条C ．2条D ．3条10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于 （ ）A ．2aB ．C ．4aD ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为4，则焦点到AB 的距离为 ．12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ． 13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是 ．14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．(12分)16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．（12分） 17．动直线y =a ，与抛物线相交于A 点，动点B 的坐标是，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．(12分)18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)19．如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(14分)qp 11+a 21a4314922=+y x 1)3(22=++y x x y 212=)3,0(a20．已知抛物线．过动点M （，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A 、B ，． （Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交轴于点N ，求面积的最大值．(14分)参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12． 13．（1，0） 14． 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为． 16． (12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F （），由题意可得，解之得或， 故所求的抛物线方程为，17．（12分）[解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （，），又B 得消去，得轨迹方程为，即18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为，由题意可知，)0(22>=p px y a l p AB 2||≤a x NAB Rt ∆4kx =x y 542-=y x 122-=)0(22>-=p py x 0,2p-⎪⎩⎪⎨⎧=-+=5)23(6222p m p m ⎩⎨⎧==462p m ⎩⎨⎧=-=462p m y x 82-=62±的值为m 22a a )3,0(a ⎩⎨⎧==a y a x 22a 42y x =x y 42=)0(22>-=p py xB （4，-5）在抛物线上，所以，得，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A （），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．由题意可知：曲线C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为， 其中分别为A 、B 的横坐标，．所以，． 由，得 ① ②联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．因为△AMN 为锐角三角形，所以，故舍去． ∴p=4，．由点B 在曲线段C 上，得．综上得曲线段C 的方程为．20．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，得 ． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，6.1=p y x 2.32-=A y ,2A y 2.322-=45-=A y 75.0+=A y h )0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A B A x x ,MN p =)0,2(),0,2(pN p M -17=AM 3=AN 172)2(2=++A A px p x 92)2(2=+-A A px px p x A 4=⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p A x p>2⎩⎨⎧==22Ax p 1=A x 42=-=p BN x B )0,41(82>≤≤=y x x y l a x y -=px y a x y 22=-=代入0)(222=++-a x p a x l ),(11y x A ),(22y x B则 又，∴ ． ∵， ∴ ． 解得 ． （Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为，则由中点坐标公式，得 ， ．∴ ． 又 为等腰直角三角形，∴ ， ∴即面积最大值为1、抛物线y x 82=的准线方程是 。