2015年全国大学生数学建模竞赛A题

2015年数学建模国赛A题

二、问题分析
问题一要建立直杆影子长度变化的数学模型，首先需知道太阳影子长度计算公式，故引入太阳高度角[1]这个概念。即若已知某时刻太阳高度角的大小和直杆高度，根据其满足的三角函数关系便可得到此时太阳影子长度。太阳高度角与观测地地理纬度、地方时角和太阳的赤纬[2]相关。其中太阳赤纬是太阳直射点所在纬度，与日期有关；时角由当地经度及其所用时区时间决定，故根据影长、太阳赤纬、时角计算公式可求得直杆影子长度变化模型，并根据模型分析影子长度关于各参数的变化规律。将附件一中直杆的有关数据直杆影长变化模型中，可求出该直杆的具体影长变化公式。根据所建立的模型，运用 MATLAB 软件便可得到影子长度随时间的变化曲线。问题二需根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。首先由问题一可推测影子长度与时间的关系，故可将太阳影子长度与对应时间进行拟合，得到影长与时间关系模型。当某个时刻影长得到极小值时，该时刻为太阳与直杆距离最近，即地方时正午 12 时，结合当地所使用的标准时间便可得到当地经度。最后利用太阳高度角与直杆长度以及影长满足的三角关系式，便可得到影长关于直杆高度、直杆所在地点的纬度的函数关系式，即得到了有关太阳影子顶点坐标与直杆地点经纬度的模型。将附件一中影子顶点坐标数据应用于该直杆位置模型，可得到直杆所在位置。用相对误差分析法分析误差[3](168-169 页)，若所得的相对误差小于 2.5%，认为得到的模型合理。问题三可根据光照成影原理和太阳高度角计算公式建立影长与时间变化模型，根据相关数据，运用 MATLAB 软件拟合可得到直杆所在位置的经纬度。令年份均为 2015 年，根据太阳赤纬角计算公式，可求解具体的日期。将附件 2 和附件 3 时间和对应直杆影长数据分别代入模型中，通过拟合计

2015数学建模A题论文介绍

2015数学建模A题论⽂介绍A题太阳影⼦定位摘要本⽂⾸先确定了不同地点不同⽇期的直杆影长的模型，利⽤该模型解决了不同地点不同⽇期直杆影⼦变化和时间的的关系，为分析视频的拍摄地点和⽇期提供了模型上的基础。

对于问题⼀，为了确⽴直杆的影长与时间的关系，建⽴了地球坐标系和天球坐标系，引⼊太阳⾼度⾓、⾚纬、太阳时⾓、时差等参数变量。

利⽤太阳⾼度⾓和时间的关系建⽴了影长和时间的关系模型。

利⽤MATLAB软件求得影长关于时间的变化曲线，从9点到15点影⼦长度先减⼩后增⼤，在北京时间12点14分直杆影长最短，最短为3.5⽶，在北京时间9点直杆影长最长，长度为7.3⽶。

对于问题⼆，结合问题⼀中各参数变量之间的关系，使⽤Bourges算法和太阳⽅位⾓与时间的关系，得到确定直杆所在地点的数学模型，将附件1所给数据带⼊模型，利⽤excel和MATLAB软件进⾏求参数和拟合函数图像，求得直杆所处的可能地点为北纬19.21，东经108.43。

该地点在海南。

或者为南纬3.9412度，东经137.3度。

该地点在为印度尼西亚纳⽐雷附近。

对于问题三，由所给影⼦顶点坐标数据计算出各时间点的太阳⽅位⾓，利⽤excel 软件拟合出太阳⽅位⾓与时间的关系，进⽽确定直杆点的经度，结合问题⼆的数学模型得到直杆地点和⽇期求法的数学模型。

再次通过MATLAB进⾏求参数和拟合函数图像，求出了附件2地点可能为北纬39.88，东经79.7925或南纬39.88，东经79.7925，可能⽇期为：5⽉25号和7⽉20号或1⽉17号和1⽉26号。

对于问题四，提取出视频所有的帧数，等差得选取其中的20张进⾏模拟，利⽤3DMAX 软件仿真出视频的场景，通过测量所建模型中影⼦长度，确定出20组影⼦顶点坐标数据，再⽤问题⼆中所⽤到的模型进⾏求解，得到经纬度为北纬15.2，东经113.9.拍摄地点在海南省的三沙市。

⽤问题三中的模型求解得到拍摄地点纬度为0，东经123.8度在印度尼西亚，⽇期为3⽉21号或10⽉23号。

2015数学建模国赛论文A题

利用影子确定视频拍摄地点和日期的建模和算法摘要本文研究的问题是如何通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。

建模整体思路是，先建立一系列分析用到的物理量，设定一些假设和约束条件，使得问题求解有可行性，之后对这些物理量进行演绎。

建模使用的软件平台主要是matlab ，分析用到的主要参量是太阳赤纬、时角、高度角、方位角、纬度，分析过程当中用到的方法有，建立物理概念，明确物理意义，比如引用天球坐标系的概念，在天球坐标系的基础上进行物理分析，通过对建立的参变量进行物理关系的推导，形成公式体系进行求解，对题目所给予的影子坐标数据进行适当变换处理，使用matlab 进行合理的拟合，对于用公式法和方程法没法顺利解决的问题使用穷举法作为解题的补充，对于视频中坐标的取法用到了坐标转换的思想。

其中主要公式有 1.cos sin sin coshA δω= 2.tanh H L= 3. sinh sin sin cos cosh cos A ϕδϕ-= 4. sinh=cos Ωcos φcos δ+sin φsin δ第一问，通过物理量变换，先求出高度角，进而得到影子长度与时间变化关系。

第二问，拟合点求经度，取点套公式求纬度。

第三问，方程思想，过程复杂，采用穷举法近似实现求解。

第四问，难点在于通过视频分析，得到影子端点的变化坐标，进而将问题转化成第二问，已知日期（太阳赤纬），时间（时角），求解经度纬度。

关键词：天球坐标系物理量演绎分析 matlab 数据拟合分析二元方程组近似穷举法坐标转换思想1.问题重述与分析如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2015年全国大学生数学建模竞赛A题

§ 3 模型的假设
1、所收集的数据资料都是真实可靠的；
2
2、文章所统计的出租车均正常运营； 3、出租车和乘客不会中途中断交易； 4、假设乘客使用打车软件均呼叫出租车； 5、匹配程度只与乘客对打车软件服务平台的需求量与司机对打车软件服务平台的供给量有关。
§ 4 名词解释与符号说明
一、名词解释出行强度：每人每天出行次数，它可以反映城市交通服务水平；出租车使用率：在各种出行方式中，选择出租车出行所占比例；二、符号说明序号符号含义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 qij xi λi ci tj pij bj Amn α β y1 y2 te 表示第 i 个城市第 j 个时段出租车的需求量表示第 i 个城市的人口数表示第 i 个城市出行强度表示第 i 个城市出租车使用率表示第 j 个时段出租车需求比表示第 i 个城市第 j 时段的匹配程度表示第 j 个城市出租车总量表示准则层对方案层的判断矩阵表示乘客使用打车软件打车意愿表示司机使用打车软件接单意愿表示打车软件公司对乘客的补贴金额表示打车软件公司对司机的补贴金额表示某一时段出租车需求比
§ 5 模型的建立与求解
问题一的分析与求解 1、匹配程度时间函数模型日常生活中，当需求与供给越接近，既不会造成需求得不到满足，也不会造成资源
3
浪费，同时表示此时匹配程度较好。由此说明匹配程度由需求和供给共同决定。所以建立出租车匹配程度时间函数，需要出租车在所有出行方式中的占用率和出租车的总量。查阅相关文献[1-2]可得以下数据，如表格 1 所示。表格 1 基本数据人口数（万人）出行强度（次/人.天）出租车占用率出租车总量（万（%）辆）北京（1） 1917 2.64 9.01 6.6646 广州（2） 625.33 1.86 6.25 2.0300 成都（3） 533.96 2.56 7.60 1.4898 济南（4） 360 1.88 15.04 0.8043 哈尔滨（5） 495 2.54 18.23 1.4300 人们每日日常生活，相对比较规律，所以在出行规律也存在一定的相似性。我们通过查阅相关文献[3]，做出每天从早上 6:30 至晚上 22:00 每隔半小时的出租车需求百分比图，如图 1 所示。

2015年全国大学生数学建模竞赛A题

太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。

本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。

直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。

但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。

我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。

众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。

我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。

影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。

问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。

根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。

再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。

我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。

对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。

关键字：太阳影子轨迹Matlab曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

2015全国大学生数学建模竞赛A题解析

V
是' 无变位时的显示储油量。
i
以下为附加内容
不需要的朋友下载后可以编辑删除，谢谢
让更多的农民成为新型职业农民中央农业广播电视学校刘天金
2013˙05˙07 陕西
农业部部长韩长赋：这是一项基础性工程、创新性工作，
要大抓特抓、坚持不懈。
——让更多的农民成为新型职业农民（目标） ——生产更多更好更安全的农产品供给社会（方向）
由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考虑只发生纵向变位的情况。
三、解题思路（续）
球冠Ⅰ的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
球冠III的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
圆柱体II的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
在不考虑罐体横向变位的情况下（即），0 储油罐的体积与辅助变量的H 关1 系表达式为：
2r,
r(1cos)h纵2r
由于罐体只产生纵向变位时油位高度与h 纵储油量 V (, h纵) 的对应关系已得到，再根据上面推导出的 h 与纵同时发生纵向和横向变位时油位高h，就可以求出一般情况下，即罐体同时产生纵向和横向变位的油位高h与储
油量V之间的关系模型 VF(。,,h)
三、解题思路（续）
二、问题分析（续）
（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量的模型，将变位参数 4.1 代入计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。
第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方法的可靠性。

太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文

太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。

该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。

对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。

再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。

最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。

然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。

对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。

将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。

对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。

同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。

2015年全国大学生数学建模竞赛A题

太阳影子定位技术问题的数学模型摘要本文涉及的是太阳影子定位技术问题。

在已知视频中物体的太阳影子变化的情况下，要确定视频的拍摄地点和拍摄日期。

首先，分析了文中四个问题的关系，发现前三个问题的已知条件逐步减少，问题难度依次递进。

第四问则给出一个实际问题，该问题需要转化成数学模型利用前三问的方法求解；随后，建立了L-G模型、MinZ-模型等，并应用非线性最小二乘法、遗传算法等算法对模型求解。

得到基于模型的合理结果。

最后，将第四问的实际问题转化数学模型并求解，进而解决问题。

对于问题一，要解决的问题是杆长与影子长度的关系，根据天文、几何知识，我们建立了模型来刻画问题给出的参数之间联系，如赤纬角模型、时角模型、太阳高度角模型、影子长度模型（L-G模型）等；分析了各参数对影子长度的影响；最后运用MATLAB绘制出具体给定参数下的3米高直杆的影子变化曲线；从曲线可以看出在9:00到15:00这段时间里，影子长度先变短后变长，最短为3.627米，最长为7.182米。

问题二提供了一个关于时间、影子坐标的附件1，杆长未知，为了确定直杆所处的地点，本问建立了MinZ-模型，首先将经度、纬度、杆长离散化，搜索出大概的可行解，然后运用非线性最小二乘算法，选取matlab中的lsqcurvefit命令，以可行解为初值，再运用非线性最小二乘算法，选取MATLAB中的lsqcurvefit命令，在控制残差在10−8之内范围的情况下得到了三个可能地点皆在海南省昌江县内，最小误差的地点为海南省江黎族自治县，北纬19.3025°，东经108.6988°，此时对应直杆高度为2.0219m。

同时，将结果代入问题一的模型进行检验，验证了模型的稳定性和算法的合理性。

问题三沿用问题一的模型和问题二的算法，由于一个已知量变成一个变量，根据算法特点，在增加一个变量的情况下，算法搜索影长差时只需要增加一重循环。

关于附件2数据，残差最小对应的位置为北纬39.8926°，东经79.7438°，具体地点在新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县。

2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程

5.1. 旗杆影长的求解 5.1.1. 模型建立
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中为高度角，为方位角，为纬度角，为赤纬角，为太阳时角，和能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间，为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法最小二乘法遗传算法太阳影子定位模型
一．问题重述
1.1. 问题背景如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角和高度角在不同时刻的值，得到表

2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40

三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义表示太阳高度角表示修正后的太阳高度角表示杆子的长度表示杆子的影长表示太阳赤纬角表示某点的地理纬度表示某点的地理经度表示太阳时角表示大气层的折射率表示日期表示某一具体时刻表示太阳方位角
1
一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景早在 15 世纪时，定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。随着社会和科技的不断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。

2015年数模A题

合理的假设1假设论文的抽样网评是完全随机的具有代表性2假设评委打分数据是客观真实有效的出现偏差是评委水平导致3假设当时评委的精神处于最佳状态评委分数可信度不受客观因素影响4假设论文的网评和集中评审的评阅信息是相互独立的各评委打分之间没有相互交流影响个评委对第j份试卷打分份论文的第j份试卷的平均分数份论文的第j份试卷平均分数矩阵数据的预处理51初步分析数据根据数据文件给出的数据分别算出某一个评委所评阅的所有论文的平均分为x均方差为并利用附录给出的公式算出该评委的第k份论文的标准分具体数据见下表1
2.2问题二的分析
第二个问题根据对竞赛评委有不同的基本素质要求，给出合理的度量评委基本素质的指标体系。我们根据题目附件给出的数据，去发掘测评评委基本素质要求的一些指标体系。测评基本素质指标体系主要三个方面构成：指标一是评委打分的准确度，指标二是评委打分的稳定度，指标三是评委打分的偏差度。为了使指标准确可靠，需要把不同的论文的结果分为两大类，一个是得奖论文，另一个是未得奖论文。为简化问题的复杂度，我们从得奖论文入手，分别找到这三个指标的评价标准：
序号
阅卷号
评委
打分
标准分
1
A1
评委A04
35
46.25937
2
A2
评委A11
53
55.66406
3
A3
评委A06
46
60.54732
……
……
……
……
……
353
A9020
评委A03
62
61.27679
354
A9021
评委A12
28
46.8965
355
A9022
评委A11
30
36.32556

【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文17

杆在某一点的投影与当地经线的夹角为太阳方位角，在只知道投影坐标的情况下，先建立太阳方位角与经度纬度的函数关系，然后建立太阳方位角与杆投影坐标的函数关系，接着把经纬度当做参数确定投影坐标与经纬度的关系，最后对所给数据进行数据处理得到经纬度的值。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立影子坐标关于经纬度的数学模型，确定直杆所处的地点。将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，通过求解模型确定若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立影子坐标关于经纬度以及日期序数的数学模型，确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，通过求解模型确定若干个可能的地点与日期。
2
符号 i ai t t0 ni i i Hi hi Li fi Ci i i ti
二. 符号说明
定义纬度经度北京时间（东八区标准时间，东经 120 度）北京当地时间（东经 116 度 23 分 29 秒）日期序数杆的高度太阳高度角杆在不同时刻的影子长度太阳方位角投影与 x 轴所夹角和太阳方位角之差 N 组杆长的算数平均数 N 组杆长的标准差附件 1 影子长度的测量地点当地时间与北京时间的时差
1.2. 题中涉及知识点的说明
1.赤纬角是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。 2.太阳时角是指观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离[4] 。 3.太阳方位角指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角。 4.太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。
1.3. 所要解决问题的说明
针对问题 4：首先，运用 MATLAB 将视频转化为图片，通过分析图片建立合理的空间直角坐标系，从图片中获取时间对应于影长的 y 值；其次，建立 x 关于 y 以及太阳高度角和影长之间函数关系，将 x 用表示；然后，将问题 2 中得到的 y 关于 x 与经纬度的函数方程化简为 y 关于经纬度的函数方程并用 MATLAB 拟合定位；最后，根据拟合参数结合视频中获取的数据选择最优解。

2015数学建模竞赛A题：太阳影子定位技术研究

针对问题三，题中虽然没有给出采样日期，但其整体思路与问题二是一致的。在选取假设采样点后，将经度、纬度和日期作为变量，使用问题一中的模型求出该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟合，在 MATLAB 中编程计算，得到的结果为：附件 2 中的采样点在东经 79°，北纬 43°，采样日期为 6 月 12 日；附件 3 中的采样点在东经 107°，北纬 28°，采样日期为 11 月 25 日。
针对问题二，首先，我们通过影子的顶点坐标得到各个时刻的影子长度。之后进行数据标准化，消除直杆长度对影子长度的影响。任意选取某一经纬度为假设采样点，将经度、纬度作为变量，使用问题一中的模型求出该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟合，在 MATLAB 中编程计算，得到的最小目标函数值�� = 1.2981 × 10−7 ，该假设采样点为东经 109°，北纬 17°（见正文图 11），其周边海南三亚市、越南沿海地区都可以认为是采样点的可能位置。
太阳影子定位技术的研究
摘要
本文针对太阳影子定位问题，通过运用天球模型和最小二乘法，研究了直杆太阳影子长度与直杆长度、太阳高度角、采样点经纬度、采样日期和采样时间等参数的关系，实现了利用物体的太阳影子变化来确定视频拍摄地点和日期。
针对问题一，在已知直杆长度的情况下，太阳影子长度和太阳高度角满足一个确定的函数关系。因此，我们可以将研究对象从太阳影子长度转换为太阳高度角。引入天球模型后，使用天球坐标系统中的赤道坐标系和地平坐标系来描述太阳的运动和位置，得到了太阳高度角与采样地点经度、纬度、日期和当天具体时间的函数关系，进而得到了影子长度与各参数的关系。之后，使用控制变量法分别得到了影子长度关于直杆长度、经度、纬度、日期和时间这 5 个参数的变化规律（见正文图 5、6、7、8、9）。最后，运用该模型画出了天安门广场上 3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见正文图 10）。

2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14

阳光线的影响； 6、假设春分日为每年的 3 月 21 日，夏至日为每年的 6 月 22 日，秋分日为每年
的 9 月 23 日，冬至日为每年的 12 月 22 日。
三、符号说明
符号 R
含义地球半径，6371km
2

测量地点的纬度
（南纬为负，北纬为正）

测量地点的经度
（西经为负，东经为正）

太阳赤纬角
到各个点的空间坐标：A R cos,0, Rsin ，BR cos cos, R cos sin, Rsin ， C R cos, Rsin,0 ， D R,0,0 。
Z
N
E
阳光
B βO
A α
Y
C
θ
D
X S
图 1 太阳光直射地球正面图（1）
通过对包含点 A,B 的最大圆进行几何学分析，我们得到长度为 AE 的物体在太阳光的照射下，投影长度为 AF，则：
子与 Y 轴夹角 arctan(xi / yi )，进一步求出 20 组相邻时刻的影子之间的夹角 i arctan(xi / yi ) arctan(xi1 / yi1) 作为实际值。接着再引入影子与正北方向的夹角作为参数。我们运用几何学知识可以求出与各参数, , 之间的函数关系。并且与上一模型类似，我们对直杆所在地点的经度，纬度，测量时间 t 进行穷举法遍历，通过建立的模型对于每一组 ( , ) 求解出 20 组 i i i1 作
1
一、问题重述
确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2015数学建模A题

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要在整个“嫦娥三号”软着陆过程中发动机的燃耗问题是整个着陆过程的关键问题之一，其利用率直接影响到整个着陆过程的成果与否，本文主要利用数学建模的方法对整个软着陆过程进行分析，使得整个软着陆过程发动机能耗最优。

针对问题一，首先需建立一个三维立体坐标系，根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理得到嫦娥三号在月固定坐标系中的运动方程，再以卫星运行轨道切面为基面建立二维平面坐标系，将嫦娥三号软着陆问题简化为平面几何问题，求解出主减速阶段嫦娥三号水平位移的距离。

通过坐标变换求得位置。

最后根据天体运动规律得到近日点与远日点速度分别为s6226.1。

km.1、skm7006针对问题二，通过寻找一个制导律u,来调整推力的大小和方向,使嫦娥三号在月面实现燃耗最优着陆轨道，应用极大值原理设计这个最优制导律。

在障碍规避过程中，将动力学模型进行进一步简化，忽略了月球的自转角速度等相关因素。

再利用双线性插值的方法求取规则的采样点处的高程值，这样有利于方便的建立障碍检测算法并对着陆区表面的障碍进行提取，最后利用基于平面拟合的障碍检测算法取得着陆区域内某局部区域内的地形平面，我们将利用这个地表平面来对障碍物进行识别，达到安全着陆的目的。

针对问题三，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。

初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定，通过建立误差模型，可以很好地对初始状态偏差、传感器测量偏差等不同因素造成的误差进行分析。

关键词：月球着陆轨道能耗最优打靶法最优制导律控制策略一问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14

针对问题四，我们将平面倾斜的照片与现实建立联系，通过将影子分解为竖直方向与水平方向求解影子的长度，然后继续使用问题二的方法进行求解，在不知道日期的情况下，也可以通过问题三的方法进行求解。最后结果在东经 163.5 度，北纬 24 度。
关键字：枚举法微元法直杆影对角小孔成像牛顿莱布尼兹公式
间的变化规律。
针对问题二，建立确定直杆所处地点的数学模型。分别从影子实际长度 l 和相邻时刻影子的夹角两个方面考虑直杆所在地点。一方面，通过对附件 1 中的数据分析，求出实际影子长度比值 li / li1 。根据问题一中与各参数, , 之间的关系，对直杆所在地点的经度，纬度采用枚举法，对每一组 ( , ) 求解出 li / li1 tani / tani1 的比值，找出实际值与理论值之间的最小方差，即得到若干最优解 ( , ) 。另一方面，利用附件 1 中的数据求出相邻时刻影子之间的夹角 i ，再重新定义参数为影子与正北方向的夹角。与上一方法类似，我们应用参数通过对直杆所在地点的经度，纬度采用枚举法，对于每一组 ( , ) 求解出 i i i1 作为模拟值，用类似的方法得到若干最优解。最后比较两种方法
4、建立确定视频拍摄地点的数学模型，根据附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，给出若干个可能的拍摄地点。已通过某种方式估计出该直杆的高度为 2 米。若拍摄日期未知，试根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题假设
1、假设地球为规则的球体，半径为 R=6371km； 2、假设南纬为负，北纬为正，西经为负，东经为正； 3、假设地球公转的周期为 365 天，地球自转的周期为 24 小时； 4、假设题目中给出的所有数据都是准确的，忽略测量时出现的误差； 5、假设太阳为点光源，发出的光线为平行光线直射地球，忽略大气层折射对太

2015数学建模国赛A题论文Word版

太阳影子定位摘要太阳影子定位技术[1]是解决拍摄视频的地点和时间的重要手段，因此对太阳影子定位技术进行定性与定量的研究具有重要的理论和实际价值。

我们建立了直杆的影子长度，北京时间，日期等变量之间的关系模型，并应用模型解决了题目所列的四个问题。

对于问题一我们利用空间几何学建立数学模型，确定了(太阳光线与直杆之间的)夹角、直杆和太阳直射点位置之间的关系。

进一步地，我们得到了直杆影子长度与直杆、太阳直射点[2]位置（经纬度）之间的关系方程。

我们分两种情况进行讨论，一种情况是太阳直射点与直杆同处于南、北半球，另一种情况是太阳直射点与直杆分别处于南、北半球。

最后我们由方程和matlab软件作图得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

对于问题二我们根据附件一给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法[3]求解非线性方程组[4]，得到杆子的几个可能的位置。

对于问题三我们根据附件二和三给出的数据建立了多个关于直杆经度、纬度和日期的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到若干个可能的地点和日期。

对于问题四我们首先利用图像模拟方法，测得杆子在一些特定时刻的影子的实际长度值，再利用视频给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到杆子的几个可能的位置。

【关键字】：直杆影子长度，经纬度，非线性方程一、问题重述太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

本题就是利用物体影子随时间的变化规律来求解拍摄地点与拍摄日期。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。