高等数学考研大汇总系列之一预备知识
2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品
2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品高等数学基础知识篇一1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
3、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
4、向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7、无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8、常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。
高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备
大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
考研随身知识点总结
考研随身知识点总结一、高等数学1. 数列与级数(*1) 等差数列：通项公式An=A1+(n-1)d，前n项和Sn=(A1+An)n/2(*2) 等比数列：通项公式An=A1*q^(n-1)，前n项和Sn=A1*(q^n-1)/(q-1)(*3) 收敛级数：若∑(an)收敛，则an趋于0。
计算收敛级数时，要考虑首项、末项、公比等因素。
(*4) 泰勒级数：函数f(x)在点x=a处的泰勒级数展开式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+…+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)，其中o((x-a)^n)是n次小量。
2. 微分与积分(*1) 微分：导数f'(x)=limΔx→0(f(x+Δx)-f(x))/Δx(*2) 积分：定义积分J(Δx)=f(x)Δx，当Δx趋于0时，J(Δx)极限存在时，积分∫f(x)dx 存在。
(*3) 常见函数的导数与积分a) 指数函数：f(x)=e^x，f'(x)=e^x，∫e^xdx=e^x+Cb) 对数函数：f(x)=ln(x)，f'(x)=1/x，∫(1/x)dx=ln|x|+Cc) 三角函数：f(x)=sin(x)，f'(x)=cos(x)，∫cos(x)dx=sin(x)+C3. 空间解析几何(*1) 直线的方程：a) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0b) 对称式方程：(x-x₀)/l=(y-y₀)/m=(z-z₀)/n(*2) 平面的方程：a) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0b) 三点式方程：[x-x₁,y-y₁,z-z₁]·[x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁]=0(*3) 空间曲面的方程a) 椭球面：x²/a²+y²/b²+z²/c²=1b) 椭圆锥面：x²/a²+y²/b²-z²/c²=1c) 双叶双曲面：x²/a²-y²/b²-z²/c²=1d) 单叶双曲面：x²/a²-y²/b²+z²/c²=1二、线性代数1. 矩阵(*1) 矩阵的基本概念：行数、列数、转置矩阵、单位矩阵、零矩阵等。
考研 高等数学必看知识点
考研高等数学必看知识点对于准备考研的同学来说，高等数学是一门至关重要的科目。
高等数学的知识点繁多且复杂，需要我们花费大量的时间和精力去理解和掌握。
在这篇文章中，我将为大家梳理一些考研高等数学中必看的知识点，希望能对大家的备考有所帮助。
一、函数、极限与连续函数是高等数学的基础，理解函数的概念、性质和分类是学好高等数学的第一步。
要掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，以及常见的函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
极限是高等数学中的核心概念之一，它贯穿了整个高等数学的学习。
要熟练掌握数列极限和函数极限的定义、性质和计算方法。
极限的计算方法包括四则运算、洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒公式等。
连续是函数的一个重要性质，要理解函数在一点连续的定义，以及连续函数的性质，如最值定理、介值定理、零点定理等。
二、一元函数微分学导数是微分学的核心概念，要掌握导数的定义、几何意义和物理意义，以及基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则。
能够熟练运用导数求函数的单调性、极值、最值、凹凸性和拐点。
微分是导数的一种应用，要理解微分的定义和几何意义，掌握微分的基本公式和运算法则，能够用微分进行近似计算和误差分析。
中值定理是微分学中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
要掌握这些定理的条件和结论，并能够运用它们解决相关的问题。
三、一元函数积分学不定积分是积分学的基础，要掌握不定积分的定义、性质和基本积分公式，能够熟练运用换元积分法和分部积分法求不定积分。
定积分是不定积分的应用，要理解定积分的定义、几何意义和物理意义，掌握定积分的基本性质和计算方法，能够用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
反常积分是定积分的拓展，要掌握反常积分的定义、收敛性的判断和计算方法。
四、多元函数微积分学多元函数的概念和性质是多元函数微积分学的基础，要理解多元函数的定义域、值域、偏导数、全微分等概念，掌握多元函数的连续性和可微性的判断方法。
数学一考研必备知识点总结
数学一考研必备知识点总结数学一考研是考研数学的一个科目，它的题目和知识点覆盖范围很广，包括高等数学、线性代数、概率统计和数学分析等内容。
在备考数学一考研的过程中，掌握一定的知识点是非常重要的。
本文将对数学一考研的必备知识点进行总结，希望能对考生们有所帮助。
一、高等数学高等数学是考研数学一的重要基础知识，包括微积分、常微分方程、多元微积分等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：1.1 微积分微积分是高等数学的基础，包括极限、导数、积分、微分方程和无穷级数等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用函数的导数和积分公式。
1.2 常微分方程常微分方程是微积分的一个重要应用，包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性常微分方程和非线性常微分方程等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握常微分方程的基本概念、解法和应用，特别是一阶线性常微分方程和二阶线性常微分方程的解法。
1.3 多元微积分多元微积分是微积分的一个重要拓展，包括重积分、曲线积分、曲面积分和梯度、散度和旋度等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握多元微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用的重积分和曲线积分公式。
二、线性代数线性代数是考研数学一的另一个重要基础知识，包括向量空间、线性方程组、矩阵和特征值等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：2.1 向量空间向量空间是线性代数的基础，包括向量的概念、线性相关和线性无关、基和维数、子空间和直和等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握向量空间的基本概念和性质，以及子空间和直和的相关定理和应用。
2.2 线性方程组线性方程组是线性代数的一个重要应用，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组、解的结构和解的存在唯一性等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握线性方程组的基本概念、解的性质和解的求法，特别是线性方程组的解的结构和解的存在唯一性的定理和应用。
考研数一归纳知识点
考研数一归纳知识点考研数学一（高等数学）是考研数学中难度较大的科目，它涵盖了高等数学的多个重要领域。
以下是考研数学一的归纳知识点：1. 函数、极限与连续性：- 函数的概念、性质和分类。
- 极限的定义、性质和求法。
- 函数的连续性及其判断方法。
2. 导数与微分：- 导数的定义、几何意义和物理意义。
- 基本导数公式和导数的运算法则。
- 高阶导数的概念和求法。
- 微分的概念和微分中值定理。
3. 积分学：- 不定积分和定积分的概念、性质和计算方法。
- 换元积分法和分部积分法。
- 定积分的应用，如面积、体积和物理量的计算。
4. 级数：- 级数的概念、收敛性判断。
- 正项级数的收敛性判断方法，如比较判别法和比值判别法。
- 幂级数和泰勒级数。
5. 多元函数微分学：- 多元函数的概念、偏导数和全微分。
- 多元函数的极值问题和条件极值问题。
6. 重积分与曲线积分：- 二重积分和三重积分的概念和计算方法。
- 对坐标的曲线积分和曲面积分。
7. 常微分方程：- 一阶微分方程的解法，如可分离变量方程、线性微分方程等。
- 高阶微分方程的解法，如常系数线性微分方程。
8. 解析几何：- 空间直线和平面的方程。
- 空间曲线和曲面的方程。
9. 线性代数：- 矩阵的运算、行列式、特征值和特征向量。
- 线性空间和线性变换的概念。
- 线性方程组的解法。
10. 概率论与数理统计：- 随机事件的概率、条件概率和独立性。
- 随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量。
- 数理统计中的参数估计和假设检验。
结束语：考研数学一的知识点广泛且深入，要求考生不仅要掌握基础概念和计算方法，还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。
因此，考生在复习过程中需要注重理解、练习和总结，以提高解题能力和应试技巧。
希望以上的归纳能够帮助考生更好地准备考研数学一的考试。
【考研数学】01.考研数学预备知识初高中知识点01讲义
预备知识轻松学一、函数基础知识1.函数的概念设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，通常简记为D x x f y ∈=),(，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，{}D x x f y y D f ∈==),(|)(称为值域，f 称为对应法则。
2.函数的性质（1）单调性任取21x x <，有)()(21x f x f <，则函数)(x f 单调递增；任取21x x <，有)()(21x f x f >，则函数)(x f 单调递减。
（2）周期性若)()(x f T x f =+，则()f x 是以T 为周期的周期函数。
（3）奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称.如果对其定义域D 内的任意一点x ，都有()()f x f x -=（或()()f x f x -=-），则称()f x 是一个偶函数（或奇函数）。
（4）有界性若M x f ≤)(，则函数有上界；若m x f ≥)(，则函数有下界；若0>M，对于I x ∈∀，有⇒≤M x f )(函数有界。
3.复合函数和反函数（1）复合函数设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x g u =的定义域为g D ，且其值域f g D D g ⊂)(，则由下式确定的函数[]g D x x g f y ∈=,)(称由函数)(x g u =与函数)(u f y =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量。
（2）反函数设函数)(:D f D f →是单射，则它存在逆映射D D f f →-)(:1，称此映射1-f 为函数f 的反函数，即：对每个)(D f y ∈，有唯一的D x ∈，使得y x f =)(，于是有)(1y f x -=.由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，所以D x x f y ∈=),(的反函数也常记为)(),(1D f x x f y ∈=-.二、常用函数1．基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数称为基本初等函数.以下为几个常见的基本初等函数的图像及性质：名称及表达式定义域图形（举例）特性幂函数y x α=随α而不同，但在(0,)+∞中都有意义经过点(1,1)；在第一象限内当0>α时，为增函数；当0<α时，为减函数指数函数xy a =(0,1)a a >≠(,)-∞+∞图象在x 轴上方，过点(0,1)．当01a <<时，为减函数；当1a >时，为增函数对数函数log a y x=(0,1)a a >≠(0,)+∞图像在y 轴的右侧；过点(1,0)；当01a <<时，为减函数；当1a >时为增函数三角函数正弦函数sin y x=(,)-∞+∞以2π为周期；奇函数，图形关于原点对称；在两直线1y =与1y =-之间，即1sin 1x -≤≤余弦函数cos y x=(,)-∞+∞以2π为周期；偶函数，图形关于y 轴对称；在两直线1y =与1y =-之间，即1cos 1x -≤≤正切函数tan y x=(21)2x k π≠+(0,1,2,)k =±±⋅⋅⋅以π为周期；奇函数；在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；值域为R反三角函数反正弦函数arcsin y x=[1,1]-单调增加；奇函数；值域：,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦反余弦函数arccos y x=[1,1]-单调减少；值域：[0,]π反正切函数arctan y x=(,)-∞+∞单调增加；奇函数；值域：,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.3．分段函数12(),()(),g x x I f x h x x I ∈⎧=⎨∈⎩；(1)符号函数：1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；(2)绝对值函数：(),()0()(),()0f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨-<⎩；(3)取整函数：[()]f x ：不超过()f x 的最大整数值；(4)最值函数：{}(),()()max (),()(),()()f x f x g x f x g x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩；{}(),()()min (),()(),()()g x f x g x f x g x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩.三、常用公式1．代数（1）幂函数公式1(0)aa x x x-=≠，a b a bx x x +⋅=，()a k ak x x =，a b a b x x =.（2）对数公式ln ln ln (0),(0)x x v v u e e x x u e u ==>=>ln ln ln()a b ab +=，ln ln lnaa b b-=,ln ln k a k a =，其中0,0a b >>.（3）一元二次方程（2(0)y ax bx c a =++≠）图像：若0a >，开口向上；若0a <，开口向下；对称轴为2bx a-=。
考研数学高数重要知识点总结
考研数学高数重要知识点总结职高一数学知识点总结篇一一、求导数的方法（1）基本求导公式（2）导数的四则运算（3）复合函数的导数设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即二、关于极限1、数列的极限：粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。
记作：=A。
如：2、函数的极限：当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作三、导数的概念1、在处的导数。
2、在的导数。
3、函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，即k=，相应的切线方程是注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。
例、若=2，则=（）A—1B—2C1D四、导数的综合运用（一）曲线的切线函数y=f（x）在点处的导数，就是曲线y=（x）在点处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程。
具体求法分两步：（1）求出函数y=f（x）在点处的导数，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k=（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为x。
职高一数学知识点总结篇二一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性。
3、集合的表示：(1){？}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}(2)。
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列举法与描述法。
常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R5、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
高等数学预备知识-新生自学内容
高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n 有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2 等）时,命题成立.（2）假设当k n =（0k N k n +∈≥且）时结论正确,证明当1k n +=时结论也成立. 由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立. 3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下. 例1、用数学归纳法证明：)1n 2)(1n (n 61n 3212222++=++++ . 证明：（1）当1n =时,左边=112=,右边=132161=⋅⋅⋅,等式成立. （2）假设当k n =时,等式成立,即)1k 2)(1k (k 61k 3212222++=++++ ,那么222222)1k ()1k 2)(1k (k 61)1k (k 321++++=++++++)6k 7k 2)(1k (61)]1k (6)1k 2(k )[1k (612+++=++++=]1)1k (2][(1)1k )[(1k (61)3k 2)(2k )(1k (61+++++=+++=故当1k n +=时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何+∈N n 都成立.例2、设)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= （+∈N n ）,求证：2)1n (a 2n +<.证明：（1）当1n =时,22)11(221a 21=+<=⨯=,不等式成立. (2 ) 假设当k n =时（1k ≥时）不等式成立,即有2)1k ()1k (k 3221a 2k +<+++⨯+⨯=那么,)2k )(1k (2)1k ()2k )(1k ()1k (k 3221a 21k ++++<++++++⨯+⨯=+2]1)1k [(2)2k (2)2k ()1k (2)1k (222++=+=+++++<, 即当1k n +=时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何+∈N n 都成立. 例3．设, ,11 ,11121 x x x x ++==) ,3 ,2(1111 =++=--n x x x n n n ,证明：{}n x 单调增加. 解：（1） ∵11=x ,且) ,3 ,2(1111=++=--n x x x n n n ,∴) ,3 ,2 ,1( 0 =>n x n .又∵0211111111112>=+=-++=-x x x x x x ,∴12x x >. （2）假设1->k k x x 成立,则)11()11( 111--+++-++=-k k k k k k x xx x x x 有 1111--+-+=k k k k x x x x 0)1)(1(11>++-=--k k k k x x x x ,由（1）、（2）可知, ) ,2 ,1( 1 =>+n x x n n ,从而{}n x 单调增加.（二） 三角函数A 三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--当αβ=时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512πcos π12的值. 解：sin512πcos π12＝12[sin (512π+π12)＋sin (512π-π12)]=12＋34. 或：sin512πcos π12＝sin (2π—12π)cos π12 ＝cos 2π12=12(1+cos 6π)=12＋34.练习: 2cos31︒sin 14︒; cos215πcos π5; sin 70︒cos20︒. 注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B 三角函数的和差化积在积化和差公式中,令α+β=θ,α—β=ϕ,则α=θϕ+2,β=θϕ-2所以有：sin θ+sin ϕ = 2sinθϕ+2cosθϕ-2sin θsin -ϕ = 2cosθϕ+2sinθϕ-2cos θ+cos ϕ = 2cosθϕ+2cosθϕ-2cos θ—cos ϕ = 2sin-θϕ+2sinθϕ-2叫做三角函数的和差化积公式1+cos α = 2cos 2α2,1－cos α = 2sin 2α2等都可看成和差化积的形式.例2、把sin 2α－sin 2β化成积的形式. 解：原式＝(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝2sinαβ+2cosαβ-2·2 cosαβ+2sinαβ-2＝sin (α+β)sin (α—β)例3、求.10cos 70cos 10sin 70sin+-解：s in s in cos cos cos s in cos cos 70107010240302403033-+==例4、化1+cot α+csc α 为积的形式.解：原式＝αααsin sin cos 1++= 222222cos sin 2cos sin 2cos 2ααααα+ =2222sin )cos(cos ααπα-+ = 44222cos cos()sin ππαα- =2cos(4π—2α) csc 2α练习： 化1+sin α和1+cos α+cos β+cos(α+β)为积的形式. ( 1+sin α=2sin (4π+2α)cos(4π—2α), 1+cos α+cos β+cos(α+β)= 4cos αβ+2cos 2αcos 2β)在三角函数的计算和化简中,常要把a sin α+bcos α化为A sin (α+ϕ)的形式.如：sin α+3cos α＝2(12sin α+32cos α)=2(sin αcos π3+sin π3cos α)=2sin (α+π3) 一般地,设a ＝Acos ϕ,b=A sin ϕ,则a sin α+bcos α=A(sin α cos ϕ+sin ϕcos α) =A sin (α+ϕ),其中：A ＝a b 22+,ϕ所在象限由a ,b 的符号决定,由tan ϕ=ba可求出ϕ的值. （ϕ在(—π,—2π),(—2π,2π),（0,2π），(2π,π)内的值）例5、将下列各式化为Asin(α+ϕ)的形式.(1) 3sin x -4cosx ； (2) 3cosx -4sin x ； 解：(1) A ＝5,tan ϕ＝b a =-43=-1 .3333 ,a >0,b <0,所以ϕ在第IV 象限,即ϕ=-53︒8'. 故3sin x -4cosx =5sin (x -53︒8'). (2) A ＝5,tan ϕ＝ba=-0 .75 ,a <0,b >0, 所以ϕ在第II 象限,即ϕ=180︒-36︒52'=143︒8',故3cosx -4sin x =5sin(x+143︒8').C 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ;cos ;tan .1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-统称为万能公式它们的特点是统一用tan 2α来表示sin ,cos ,tan αααD 一个常用不等式当x 为锐角时，sin tan x x x <<即 sin tan x x x <<OACxB作单位圆，取圆心角x AOB =∠，∵AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积AOC ∆<面积，∴x x x tan 2121sin 21<<，（三） 复数A 复数的概念一、复数的定义1、虚数单位 我们知道方程x 2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i 2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i 叫做虚数单位.因为i 2＝－1,所以i 3＝—i,i 4＝1,i 5＝i,i 6＝－1,i 7＝—i,i 8＝1… 即i 4n ＝1,i 4n+1＝i,i 4n+2＝－1,i 4n+3＝－i （n ∈Z ）.(—i) 2＝－1,即i 和—i 是－1的两个平方根.我们规定：i 0=1,i－m＝mi1（m ∈Z ）.例如：i 2001＝i, i —5＝ii 115==—i. 2、纯虚数 我们再来看x 2＝－4的解,可以看出有两个解2i 和－2i.数bi 叫做纯虚数,其中b ∈R,且b ≠0.3、虚数 考察方程x 2+2x+10＝0的解,x 等于—1+3i 或—1—3i.数a+bi 叫做虚数,其中a 、b ∈R,且b ≠0.4、复数 数a+bi 叫做复数,其中a 、b ∈R,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.复数集通常用C 来表示.虚数集通常用I 来表示.C ＝R I.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒≠+⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+)0()0()0(a bi b bi a b a bi a 纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数 例题：实数m 为何值时,复数(m 2—3m —4)+ (m 2—5m —6)i 是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b ＝0时,复数为实数.即m 2—5m —6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b ≠0时复数为纯虚数.即m 2—3m —4=0且m 2—3m —4≠0解得m=4. 5、复数相等的条件 两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等. 二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数 复数a+bi 是由一对有顺序的实数a 、b 构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi 就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a 和虚部b 分别是点M 的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面. 例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2 ,3) ;N(—3 ,—4) ;P(—3 ,0) ;Q(0 ,—2)各表示什么复数？解：略. 2、用向量表示复数 如果复平面内的点M 表示复数a+bi,连结原点O 与M 点,并且把O看作线段OM 的起点,M 点作为终点,那么线段OM 就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM .可以看出：复数a+bi ⇔点M(a,b) ⇔向量OM .向量OM 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi |.显然|a+bi |=a b 22+.例如：|－1+3i | =2.由x 轴的正半轴到向量OM 的角θ叫做复数a+bi 的幅角.它指出了向量OM 的方向.一个不等于0的复数a+bi 的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2π的整数倍,我们把幅角在[0 ,2π)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]ππ-范围内的角。
考研高等数学基础知识必背
考研高等数学基础知识必背高等数学在考研中占据着重要的地位，扎实的基础知识是取得高分的关键。
以下为大家梳理了考研高等数学中必背的基础知识。
一、函数与极限1、函数的概念函数是两个非空数集之间的一种对应关系。
设集合 D 是定义域，对于 D 中的每个 x，按照某种对应法则 f，都有唯一确定的实数 y 与之对应，记为 y ＝ f(x)。
2、函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和有界性。
单调性是指函数在某个区间上的增减情况；奇偶性指的是函数关于原点或 y 轴对称的性质；周期性是指函数在一定区间内重复出现的性质；有界性则表示函数的值域有上下界。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值趋近于一个确定的常数。
分为数列极限和函数极限。
4、极限的计算常用的方法有代入法、因式分解法、有理化法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
等价无穷小替换在计算极限时经常能起到简化运算的作用，例如当x → 0 时，sin x ～ x，tan x ～ x 等。
5、两个重要极限lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1 和lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x ＝ e ，这两个重要极限在极限计算中应用广泛。
二、导数与微分1、导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率。
设函数 y ＝ f(x)，在点 x₀处的导数为 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
2、导数的几何意义函数在某点的导数就是该点切线的斜率。
3、基本初等函数的导数公式要牢记常见函数如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法的求导法则。
5、复合函数求导设 y ＝ f(u)，u ＝ g(x)，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为 y' ＝ f'（u)g'（x) 。
6、隐函数求导对于由方程 F(x, y) ＝ 0 确定的隐函数 y ＝ y(x)，通过对方程两边同时求导来求解。
高宏数学预备知识总结
第一章 数学预备知识本章讲述若干数学预备知识，包括导数及其应用、静态优化、积分、微分方程、差分方程以及相位图分析等内容。
这些预备性的数学知识对于学习高级宏观经济学是必须的，但是在微观经济学、数理经济学、时间序列分析、高等数学等课程中有详细的讨论，在这里我们只是将与我们后面的学习有关的知识要点罗列在一起并在必要时做出一定的经济解释。
这里的数学知识只是与动态优化相关的部分，对于学习高级宏观经济学必须的其他数学知识并未涉及，特别是时间序列、概率论等知识。
第一节 导数及其应用一、导数有函数()f q π=，导数就是111()()limlim q q q f q q f q d dqq qππ∆→∞∆→∞+∆-∆==∆∆。
导数的经济含义是：边际量、q 变动一单位时π变动的大小、q 对π的变动速率。
二、常用求导公式（1）f b =为常数，0df dbdx dx ==； （2）b 为常数，(())d bf x dfb bf dx dx'==； （3）b 为常数，1bb dx bx dx-=； （4）1(ln )x x'=； （5）()ln x x a a a '=； （6）()x x e e '=； （7）()f g f g '''+=+；（8）()fg f gfg '''=+； （9）2()f f gfg g g ''-'=；（10）链式法则：(),()y f x x g z dy dy dxdz dx dz===【例题1-1】：求下面各题的导数。
（1）32 3y x y x '=⇒= （2）34 3y x y x --'=⇒=-（3）23 25621212(25)z y y x dz d z dy y y x dx dy dx ==+'=⋅=⨯==+（4）()()ax ax ax de de d ax e a dx d ax dx =⋅=⋅练习：求导数[]ln()d ax dx、[]ln ()d x t dt、2(ln )d x dx三、二阶导数二阶导数表示边际量的变化速率，可用如下方式表示：22(),,()d y d dy f x dx dx dx''四、微分22(),[]()y f x dy f dx d f dx d dy d y dx f dx dx f dxdx'=='''''==== 导数是微商。
2022年自考00020高等数学(一)核心考点资料
2.函数的性质
（1）有界性
设函数 f(x)在 D 上有定义，如果存在两个实数 m 和 M 满足条件：对 D 中所有的 x 都有不等式
m≤f(x)≤M，则称 f(x)在 D 上是有界函数，m 叫做 f(x)的下界，M 叫做 f(x)的上界.
如果对于任意 M＞0，在 D 中均存在 x，使得|f(x)|＞M,则称 f(x)在 D 上是无界函数.
限趋于”一个确定的数 A，则称函数 f(x)在 x→x0 时的极限是 A，记作
.
2.函数在一点的单侧极限
（1）函数在一点的左极限
设函数 f(x)在 x0 的左侧附近有定义，若当 x＜x0 且“无限趋于”x0 时，其对应的函数值 f(x)
“无限趋于”一个确定的常数 A，则称函数 f(x)在 x0 点的左极限是 A，记作
§1.4 函数运算
1.函数的四则运算 设函数 f(x)，g(x)都在 D 上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它 们的定义域不变（除法运算时除数为 0 的点除外），而函数值的对应定义如下： （1）加法运算(f+g)(x)=f(x)+g(x)，x∈D. （2）数乘运算(kf)(x)=kf(x)，x∈D. （3）乘法运算(fg)(x)=f(x)g(x)，x∈D.
f(x)=o(1)(x→x0).
2.无穷大量的概念
若函数
在 x→x0 时是一个无穷小量，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个无穷大量，记作 .
当 x 无限趋于 x0 时，若 量，记作
且无限趋于 0，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个正无穷大 .
当 x 无限趋于 x0 时，若
量，记作 3.无穷小量的比较
格函数.
平均收益函数为
高等数学考研知识点总结
第一讲函数、极限与连续一、考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5．理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。
7．掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
11.掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数: y=f(u), u=ϕϕ()[()]x y f x ⇒=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。
（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 *注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。
特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则⎰xdt t f 0)(为奇函数；若)(x f 为奇函数，则⎰xadt t f )(为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。
特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。
高等数学第一章预备知识
1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数，记作
y f (x), x X
数集X叫做这个函数的定义域，变量x称为自变量， 变量 y 称为因变量。
当 x取数值 x0 X 时，与 x0对应的 y 的数值
称为函数 f 在点处的函数值,记作 f (x0 ).
由函数 f 的定义可知,函数实际上即我们中学数
学中所介绍的实数集到实数集的映射.
必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。
文科生开设高等数学的目的:
一方面使学生获得相应数学基础知识—基本理论 和基本计算方法，提高学生的数学素质；
另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学 生分析问题和解决问题的能力。 对文科生来说，后者显得更为重要。
二、文科生开设高等数学的内容
本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个 部分内容：
（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
解 设产量为 x ，则
(1) C0 12000 ;
(2) C1 10 x;
(3) C 1200010x; (4) R 30x;
(5)L 30x (1200010x) 20x 12000.
解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元
考研必看考研数学基础知识点梳理(高数篇)
考研数学基础知识点梳理(高数篇) 第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)。
高等数学预备知识的教材
高等数学预备知识的教材在学习高等数学之前，我们需要掌握一些预备知识，这些知识将为我们打下坚实的基础，使我们能够更好地理解高等数学的概念和原理。
本文将介绍一些适合作为高等数学预备知识教材的内容。
一、初等数学回顾在学习高等数学之前，回顾初等数学的知识是必不可少的。
初等数学的内容包括数的性质、代数运算、方程与不等式、函数与图像、三角函数等。
通过回顾初等数学的知识，我们可以温故而知新，巩固基础。
1.1 数的性质数的性质是数学的基础，包括自然数、整数、有理数、无理数、实数的定义与性质。
在高等数学中，我们常常会涉及到这些数学概念，因此对这些概念的理解至关重要。
1.2 代数运算代数运算包括加、减、乘、除等运算，以及指数、对数、排列组合等运算法则。
通过学习代数运算，我们可以更好地理解高等数学中的代数表达式与方程。
1.3 方程与不等式方程与不等式是高等数学的核心内容。
通过学习方程与不等式，我们可以熟悉各种类型的方程与不等式，以及求解它们的方法与技巧。
1.4 函数与图像函数与图像是高等数学的基础。
通过学习函数与图像，我们可以了解函数的定义与性质，描绘函数的图像，以及对函数进行变换与组合等操作。
1.5 三角函数三角函数是高等数学中不可或缺的一部分。
通过学习三角函数，我们可以了解三角函数的定义与性质，掌握三角函数的运算法则，以及解决与三角函数相关的问题。
二、微积分预备知识微积分是高等数学的重要分支，对于学习微积分，一些预备知识是必要的。
2.1 极限极限是微积分的基础概念之一。
通过学习极限，我们可以了解极限的定义与性质，熟悉常用的极限运算法则，以及掌握计算极限的方法。
2.2 导数与微分导数与微分是微积分的重要内容。
通过学习导数与微分，我们可以了解导数的定义与性质，熟悉导数的计算方法，以及掌握微分的应用。
2.3 积分积分是微积分的另一个重要内容。
通过学习积分，我们可以了解积分的定义与性质，熟悉常用的积分运算法则，以及掌握计算积分的方法。
高等数学预备知识
高等数学预备知识(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学 预备知识1．不同三角函数间的关系αααcos sin tan =αααsin cos cot = ααcos 1sec = ααsin 1csc = 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα2．加法公式（注意“±”与“ ”） βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± αββαβαcot cot 1cot cot )cot(±=±3．和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±βαβαβαsin sin )sin(cot cot ±±=±βαβαβαsin cos )cos(cot tan ±=± （注意符号）4．积化和差)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=5．倍角公式ααααα2tan 1tan 2cos sin 22sin +== ααααααα222222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -= αααcot 21cos 2cot 2-=6．半角公式 2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot-=+=-+±= 7．降幂公式 )2cos 1(21sin 2αα-=)2cos 1(21cos 2αα+= 8．反三角函数（1）反三角函数的定义域与主值范围（2）图像（附加）三角函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx （3）反三角函数的相互关系21arctanarccos2)arcsin(arcsinxxxxx-=-=--=π21arctanarcsin2)arccos(arccosxxxxx-=-=--=ππ21arcsincot23)arctan(arctanxxxarcxx+=-=--=π21arccosarctan 2)cot(cot xx x x arc x arc +=-=--=ππ9．数列 （1）等差数列通项公式：d n a a n )1(1-+= 前n 项和：d n n na n a a S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列通项公式：11-=n n q a a前n 项和：qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）某些数列的和)1(21321+=++++n n n )1(2642+=++++n n n2)12(531n n =-++++)12)(1(613212222++=++++n n n n 23333)321(321n n ++++=++++ 10．乘法与因式分解2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ++±=± ))((22b a b a b a +-=- ))((2233b ab a b a b a +±=±))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为正整数) ))((122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为偶数) ))((122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为奇数) 11．不等式（1）有关绝对值的不等式||||||b a b a +≤± ||||||||||b a b a b a +≤-≤-||||||||k b a k b a +++≤±±± （（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)20(tan sin π<<<<x xx x )0(1sin cos π<<<<x xxx)0(1≠+>x x e x )0,1(11≠<-<x x xe x )0(1ln >-≤x x x )0,1(1)1ln(≠<-<--<x x xx x x)0,1(1)1(>>+>+x x x ααα（3）某些重要不等式 ① 222a b ab +≥，221()2ab a b ≤+；②1()2a b +≥12121()n n n a a a a a a n+++≥⋅⋅⋅；（0,0,0,1,2,,i a b a i n ≥≥≥=）③ ||||||||||a b a b a b -≤±≤+，11221122|()()()||||()||||()||||()|n n n n a f x a f x a f x a f x a f x a f x +++≤+++n a a a na a a n n2222121+++≤+++ na a a a a a nn n ++≤2121))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni ini i i b a b a （柯西不等式）12．阶乘、排列、组合 （1）阶乘n n ⋅⋅⋅⋅= 321! )12(531!2)!12(!)!12(+⋅⋅⋅⋅=+=+n n n n n （规定）1!0= 0!!0= )2(42!2!)!2(n n n n ⋅⋅⋅== （2）排列)1()2)(1()!(!+---=-=k n n n n k n n A kn123)2)(1(!⋅⋅--=== n n n n A P nn n（3）组合!)!(!!k k n n k A C kn kn-== （kn C 也记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ） 13．二项式定理与多项式定理二项式定理：∑=-----=+++++=+nk kk n k n nnnn n nn nn nnnnb a C b C abCb aC b a C a C b a 011222110)( 多项式定理：s q p ns q p n k b a s q p n k b a ∑=++=+++!!!!)(14．指数运算nm nmaa a +=⋅ n m n ma aa -= mn n m a a =)( m m mb a ab =)( mm m b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ m n n m n ma a a )(== m m a a 1=- )0(10≠=a a 15．对数运算01log =a 1log =a a y x xy a a a log log log +=y x yxa a alog log log -= x b x a b a log log = 对数恒等式：x a x a =log x a x a =log 换底公式：ayy b b a log log log =1log log =⋅a b b a 数学中常见基本初等函数和初等函数：①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数称为基本初等函数。
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高等数学考研大汇总系列之一预备知识————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章 预备知识 一， 函数1 函数的定义：⑴传统定义：如果在某变化过程中的两个变量x ,y 并且对于x 在某个范围内的每一个．．．确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一．．确定的值与之对应，那么y 就是x 的函数。
⑵近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。
记：()y x f x f →=:（X ∈A ）其中x 称为自变量，y 称为因变量。
()x f 表示函数f 在点x 处的值，A 称为函数的定义域，记为：()f D ；()(){}B A x x f A f ⊆∈=称为函数的值域，记为：()f R 。
解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化，而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值时，另一个变量总有确定的值与之对应。
函数的本质就是对应关系。
2 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
解析：⑴常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。
②)(*2N n x y n∈=定义域{}0≥x x 。
③)(N n x y n∈=-定义域{}0≠x x 。
④xa y log =（ａ>O ，ａ≠1）定义域{}0>x x 。
⑤x y tan =定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ。
⑥x y cot =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。
⑦x y arcsin =定义域{}11≤≤-x x 。
⑧x y arccos =定义域{}11≤≤-x x 。
⑨x y sec =定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ。
⑩x y csc =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。
⑾某些实际问题要注意函数的实际意义。
⑿求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。
⑵在研究函数时要树立定义域优先的原则。
⑶注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义域与定义区间是不同的例如：1cos -=x y 的定义域由)(2Z k k x ∈=π这些孤立的点组成而无定义区间。
（结合幂级数的收敛域和收敛区间）⑷函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X R ∈）③反函数法（即互换法）。
④均值定理法。
⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换元法。
⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。
）⑨形如)0(>+=k xkx y 的对号函数（图象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）可考虑用函数的单调性当x >O 时，单减区间为(]k ,0，单增区间为[)+∞,k 其分界点为()k k 2,至于x <O 的情况可根据奇偶性解决。
3 函数的表示法：⑴具体函数的表示法：①表格法（清晰，直观，精确） ②图象法（形象，明显，易比较） ③解析法，公式法（便于分析与计算）⑵抽象函数的表示方法：①坐标法()y x ,（概括）②叙述法（语言描述具有启发性） 4 函数的性质（定义域范围内，假设性定义）：㈠界性：①有界性：如果存在正数M 使得()M x f ≤对任意ｘ∈Ｘ都成立，则称函数()x f 有界；若()M x f ≤则()x f 有上界，若()M x f ≥则()x f 有下界。
既有上界又有下界称为有界。
②无界性：对于任给的正数Ｍ，总存在X x ∈使得()M x f >则称函数()x f 无界。
即：对任意给定一个正数Ｍ都不可能是()x f 的界，但相对于每一部分却是有上或下界的。
㈡单调性：设函数R I f →:，对于任意的．．．∈21,x x I （代数角度）①如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f ≤(或()()21x f x f ≥)则称()x f 在I 上是单调增(减) 函数(单调函数)。
②如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f < (或()()21x f x f >)则称()x f 在I 上是严格增(减)函数(严格单调函数)。
解析：与导数的关系：设∈21,x x []b a ,那么()()2121x x x f x f -->0(或<0)⇔()x f 在[]b a ,上是增(减) 函数,几何属性: 增(减) 函数图象上任意两点连线的斜率．．．．．．．．．大于(小于)0。
㈢奇偶性:设对于任意的x 属于A 有-x 属于A 如果f 在A 上定义并且对于任意的x 属于A 满足()x f - =()x f -（()()x f x f =-)则称f 是一个定义在A 上的奇(偶)函数。
解析：⑴定义域关于原点对称是奇偶性存在的必要条件。
⑵奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称。
（利用其画图象） ⑶如果()x f 是奇函数,那么()x f 在关于原点对称的区间上的单调性相同,若为偶函数,那么()x f 在关于y 轴对称的区间上的单调性相反。
⑷一般情况，证明定义在R 奇函数时要考虑特殊点()0,0即:()00=f ；此外若函数()x f 满足()()()y f x f y x f +=+，则函数()x f 是奇函数。
⑸可对关系等式进行四则运算即：①奇函数()()0=-+⇔x f x f 或()()1-=-x f x f 。
②偶函数⇔()()0=--x f x f 或()()1=-x f x f ，这样的操作对于某些函数是行之有效的。
⑹奇，偶函数的运算性质：①几个奇函数的代数和为奇函数，几个偶函数的代数和为偶函数。
②几个偶函数的积为偶函数。
奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数。
③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
④若()x f 是奇函数则()dt t f x⎰0是偶函数；若()x f 是偶函数则()dt t f x⎰0是奇函数。
㈣周期性：设有函数R A f →:如果存在常数0≠T 使对于任意的x ∈A 有A T x ∈+并且()()x f T x f =+则称f 是定义在A 上的周期函数，并且Ｔ是它的一个．．周期。
解析：⑴从()()x f T x f =+来看是自变量x 本身（即：单位x ）加的常数。
⑵周期函数的周期不止一个，若T 是周期则()Z k kT ∈一定也是周期。
⑶在周期函数()x f 中T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则kT x +也属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集（无界的）。
⑷如果周期函数中存在一个最小的正数就把这个最小的正数叫做最小正周期（或基本周期），但并不是每个周期函数都有最小正周期，如常数函数。
⑸周期函数的定义域不一定是实数集R .如x y tan =。
⑹若T 是()x f 的周期则()b ax f +(R b a ∈≠,0)其周期为aT。
⑺如果函数是几个周期函数的和且仍为周期函数此函数的周期为:分子是几个周期的分子的最小公倍数,分母是几个周期的分母的最大公约数。
⑻如何求出周期T :对定义中()x f =()T x f +变形为()x f -()T x f +=0或()T x f +-()x f =0将T 看作末知量求解.若解出的T 依赖于自变量x 或0则()x f 不是周期函数。
若可以求出不依赖于x 的非零常数解(一般都不唯一)其中最小的正数解．．．．．．就是所求的周期。
⑼若()x f 的周期是T 则()x f /的周期也是T 。
5 常用的几类函数关系:⑴反函数:假设函数y=()x f 作为映射()()f R f D f →:我们将f 的逆映射1-f叫做y =()x f 的反函数.解析：⑴单调性：原函数与反函数在其相对应的定义域内具有相同的单调性。
⑵奇偶性：原函数是奇函数则其反函数是奇函数，原函数是偶函数则一般不存在反函数。
⑶互换法：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
⑷对称性：原函数与反函数的图象关于直线x y =对称。
⑸还原性：设原函数的定义域为Ａ，值域为Ｂ，则：①()[]()B x x x f f ∈=-1②()[]()A x x x f f∈=-1⑹连续性：如果函数()x f 在区间上严格单调且连续，那么它的反函数也在对应的区间上严格单调且连续。
⑺反函数存在定理：严格单调的函数存在反函数。
（一一映射的函数）⑵复合函数：假设函数()u f y =的定义域为()f D ，值域为()f R ，而函数()x g u =的定义域为()g D 值域为()()f D g R ⊆则对任意的ｘ∈()g D 通过()x g u =有唯一．．的()()f D g R u ⊆∈再通过()u f y =又有唯一．．的y ∈()f R ，这样对任意ｘ∈()g D 通过ｕ有唯一．．的ｙ∈()f R 与之对应，因此我们称这个函数为()u f y =与()x g u =的复合函数。
记作：()()()[]()g D x x g f x g f y ∈=,:ο并称ｕ为中间变量，其中称()x g u =为内层函数，()u f y =外层函数。
解析：⑴单调性：内层函数与外层函数的增减性相同时，整个复合函数为增函数。
内层函数与外层函数的增减性相异时整个复合函数为减函数。
⑵奇偶性：：内层函数与外层函数同为奇函数时，整个复合函数才为奇函数，其余全部为偶函数。
⑶显隐函数：①显函数：我们把用仅含自变量ｘ的解析式()x f 直接表示出来的函数()x f y =称为显函数。
②隐函数：如果ｘ与ｙ的对应关系是由方程()0,=y x F 给出的，则称ｙ是ｘ的隐函数。
⑷分段函数：在自变量不同变化范围内对应法则用不同的式子来表示的函数。
有些分段函数并不一定要分段，分段只是为了更加明确而已。
6 常用函数及其性质⑴第一类：初等函数（由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数）：①常数函数：C y =。
无增减性，无最小正周期，平行于ｘ轴的水平直线。
②线性函数（一次函数）：b kx y +=。
ｋ为斜率，ｂ为纵截距。
③二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y （标准型）a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（顶点坐标型。
其顶点坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22）()()21x x x x a y --=（横轴截距型。
21,x x 横轴交点且()ac b ax x 4221-=∆∆=）。
重要特性：ⅰ。
()()()a f f f 20211=--+ ⅱ。