2019-2020学年高三数学大一轮复习讲义 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切 理 新人教A版.doc

2019-2020学年高三数学大一轮复习讲义 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切 理 新人教A 版2014高考会这样考 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质．复习备考要这样做 1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β＝tan α－tan βα－β－1.4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为_______．答案713解析 由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－15，得sin αcos β＝730，cos αsin β＝1330，所以sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝713.2． 函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z ) 解析 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x＝2×1－cos 2x2＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z .所以所求区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z )．3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 4． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( ) A ．－34B.34C ．－43D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 5． (2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( ) A ．－79B ．－19C.19D.79 答案 A解析 sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79.题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2；(2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 思维启迪：切化弦；注意角之间的联系及转化．解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sinα2cosα2＝cos2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin α2cos αcosα2＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°×12cos 10°＋32sin 10°cos 10°×2cos 10° ＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有 ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tanA2tan C2的值为________．答案3解析 因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tanA ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3.题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思维启迪：(1)拆分角：α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解 (1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 探究提高 (1)注意变角⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝α＋β2，可先求cos α＋β2或sin α＋β2的值．(2)先由tan α＝tan[(α－β)＋β]，求tan α的值，再求tan 2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．(4)解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β.解 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，cos α＝17，0<β<α<π2，∴sin α＝1－cos 2α＝437，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.题型三 三角变换的简单应用例3 已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．思维启迪：(1)化简f (x )，由tan α＝2代入求f (α)；(2)化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 探究提高 (1)将f (x )化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为正切tan α，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2[32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6]＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 此时2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z )，所以所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．审题视角 (1)问首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得；(2)问由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值．规范解答解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，[4分]所以f (x )的最小正周期为π.[6分] (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.[8分]于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；[10分]当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.[12分]答题模板第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：构造f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2)．第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中φ为辅助角)．第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ) (其中tan φ＝a b)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注． (2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误．方法与技巧 1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )； 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( ) A.15 B.14C.13D.12答案 D解析 由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝14，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.2． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53答案 A解析 方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二 由sin α＋cos α＝33， 两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝α－cos α2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. 3． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4答案 A解析 由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010. 所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22， 所以α＋β＝π4.4． (2011·福建)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴ta n α＝ 3.二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值为________．答案 54解析 由诱导公式及倍角公式，得cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15° ＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝54.6.3tan 12°－3212°－n 12°＝________.答案 －4 3解析 原式＝3sin 12°cos 12°－3212°－＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin －48°2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.7． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝____________.答案π2解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝45×35－35×45＝0，∴α＋β＝π2.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．解 因为1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝1＋sin α2cos 2α－1－sin α2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．9． (12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·山东)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34答案 D解析 ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 2． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318B.1322C.322D.16答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 3． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1 答案 D解析 f (x )＝sin x ＋3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由－π2≤x ≤π2，得－π6≤x ＋π3≤5π6.所以当x ＋π3＝π2时，f (x )有最大值2，当x ＋π3＝－π6时，f (x )有最小值－1.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝________.答案 12解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍)，∴sin 2α＝sin π6＝12.5． 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.答案1013解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝1213，∴sin α＋cos α＝12213，1＋2sin αcos α＝288169，2sin αcos α＝119169，1－2sin αcos α＝50169，cos α－sin α＝5213，cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013.6． 设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．答案3解析 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2xsin 2x ，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617得⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos β＝817. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。