2019-2020学年高三数学大一轮复习讲义 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切 理 新人教A版.doc

2019-2020学年高三数学大一轮复习讲义 4.5两角和与差的正弦、余

弦、正切 理 新人教A 版

2014高考会这样考 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质．

复习备考要这样做 1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．

1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β (T α－β)

tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β (T α＋β)

2． 二倍角公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α； tan 2α＝2tan α

1－tan 2

α

. 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变

形用等．如T α±β可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β＝tan α－tan β

α－β

－1.

4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2

＋b 2

sin(α＋φ)

或f (α)＝a 2

＋b 2

cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan α

tan β

的值为_______．

答案

7

13

解析 由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝2

3，

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－1

5，

得sin αcos β＝730，cos αsin β＝13

30，

所以sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝7

13

.

2． 函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．

答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z ) 解析 f (x )＝2sin 2

x ＋2sin x cos x

＝2×1－cos 2x

2＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＋1

＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π

2＋2k π，k ∈Z ，

得－π8＋k π≤x ≤3π

8

＋k π，k ∈Z .

所以所求区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z )．

3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则

sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．

答案

172

50

解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.

∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4

＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4

＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤

2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1

＝

12225－7250＝17250

. 4． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，则tan 2α等于

( ) A ．－34

B.3

4

C ．－43

D.43

答案 B

解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝1

2，解

得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2

α＝3

4. 5． (2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝1

3，则sin 2θ等于

( ) A ．－7

9

B ．－19

C.1

9

D.79 答案 A

解析 sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝1

3

，

将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－7

9

.