黄云清版数值计算方法习题解答.docx
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第一章
引论（习题）
2． 明 ：
f ( x)
x ，
x
x * x x * x
x x * 1
E r ( f )
x
x( x x * )xx *
x
2
E r
( x) .
3． 明：
令：
(a b)
fl (a b)
fl (a b)
可估 ： | fl (a b) |
c 1
（ c a b ），
故：
| |
1
c t c 1
1 1 t
2
2
于是：
fl ( a b) (a b) (1
) .
4．
解 (1)
2x 2 (1 x) (1 2x) .
(2)
2 x
.
( x 1 x
x 1 x )
1 cos x
sin 2 x
sin x .
(3) x
x(1 cos x)
1 cos x
6．解
a 的相 差：由于
| E( x) | x a
1 10 3 . E r ( x)
x a ,
2
x
E r (x)
1 10
2 1 10 2 . （ Th1）
2 9
18
f (a) 于 f (x) 的 差和相 差 .
| E( f ) | | 1 x
1 a |=
a x 21
10 3 =10 3
x
1 a
2 0.25
1
| E r ( f ) | 10 3 1 a 4 10 3 .
9．
解 推关系： y n 1 100.01 y n
y n 1
(1)
取初
y 0
1， y 1
0.01 算
可得：
y 2
100.01 10 2 1 1.0001 1 10 4
y 3
10 6 ， y 4 10 8 ， y 5 10 10
， ⋯
(2) 取初值 y 0 1 10 5 ， y 1 10 2 ,
记： n
y n
y n ,
序列
n
，满足递推关系，且
10 5 ， 1 0 n 1
100.01 n
n 1 ,
于是：
2
10 5 ,
3
100.01 10 5 , 4 (100.01) 2
10 5 10 5 ,
5
(100.01)3 10 5 200.02 10 5 ,
可见随着
n 的主项
(100.01)n 2 10 5 的增长，说明该递推关系式是不稳定的 .
第二章 多项式插值 ( 习 题)
1.
方法一 . 由 Lagrange 插值公式
L 3 ( x) f 0 l 0 ( x) f 1 l 1 (x) f 2 l 2 ( x) f 3 l 3 ( x)
l 0 (x)
x(x 21 )( x 1) 1 1 1) ,
( 1)(
23
)( 2)
x( x
2 )( x
3
(x 1)( x
21
)( x 1)
2(x 2
1)( x
21
) ，
l 1 (x)
1
2
l 2 (x)
(x !1) x( x 1)
8 2
1) x , l 3 ( x 1)x( x
21
)
1
3 1 1
3 ( x
( x)
1
( x 1)x( x 2 ) .
2 2
( 2 )
2 1 2
可得：
L 3 ( x)
x 2 ( x 1 2)
方法二 . 令： L 3 (x) x( x 1 2) (Ax
B)
由 L 3 (
1)
3
1
， L 3 (1)
， 定 A ， B （称之为待定系数法）
2
2
2.
证明 (1) 由于
l i ( x j )
i , j 故： L n ( x)
n
x i k l i (x)
x k j ， j 0,1,
i 0 ，当 x x j 时 有： L n ( x j )
, n
L n ( x) 也即为 x k 的插值多项式，由唯一性，有：
n
x i k l i (x)
x k ，
k
0,1, , n
i 0
明 (2) ：利用 Newton 插 多 式
N n ( x) f (x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] ( x x 0 )
f [ x 0 , , x n ] ( x x 0 )
(x x n 1 )
f ( x)
( x x 1 ) (x x n ) (x)
(x 0 x 1 ) (x 0
l 0
x n )
差商表：
f(x)
一
二
⋯n
差商
x 0
1
x 1
1
x 0 x 1
1
( x 0
x 2 ) ( x 0
x 1 )
x n
1
(x 0
x 1 ) ( x 0 x n )
代入 ( ) 式有： N n ( x)
x x 0 (x x 0 ) ( x x n 1 )
1
( x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) ( x 0
.
x 0 x 1
x n )
l 0 ( x)
n 次代数多 式，由插 多 式的唯一性：
有
l 0 ( x) N n (x) .
4.
解
作 f ( x) 以 a, a , b 点的
Lagrange 插 多 式，有：
f ( x) L 2 ( x) R 2 (x) ，
其中：
L 2 ( x) ( x a
) ( x b) f ( a) ( x a) (x b) f (a )
( ) ( a b)
( a b) ( x a) (x a )
f (b) ，
(b a) (b a
)
R 2 ( x)
f ( )
( x a) ( x a
) ( x b) ， a
b
3!
f ( ) (x
令：
0 有 R 2 ( x)
R( x)
a) 2 ( x b) ，
x a
6
a
又： L 2 ( x)
(b x) [
f (a
)
x (a)
(b (b f
a)
a )
x
a
( x a
)
(b a f ( a)
(b
f (a)]
)
a)
( x a) ( x a )
f (b)
(b a) (b a
)