小学奥数《容斥原理》
小学奥数容斥原理教案
小学奥数容斥原理教案【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理(1)】四年级数学讲义奥数：容斥原理(1)教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接二、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=na＋nb－nab。
（二）例题精讲 nanb例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
(完整版)小学四年级奥数容斥问题
容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
五年级数学奥数教学课件：容斥原理
在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有 45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只 懂英语的老师有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
书山有路勤为径
！
分析与解答
两个小组都参加的有25人，因此，至少参 加这两种小组的一个小组的人数是：
84＋86－25=144人， 所以，这两个小组都不参加的人数是： 250－144=106人。
实战演练3
1，五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参 加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。 两个小组都不参加的有多少人？
1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。 已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动， 其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少 人？
2，某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数 学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？
搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了 适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
五年级96名学生都订了报纸，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报。两种报纸
都订的有多少人？
分析与解答
1，一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人 做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、 数学作业都做完的有多少人？
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
数量关系:A∪B = A+B - A∩BA∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法:先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
可画文氏（韦恩）图来解题。
例题1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长 _____ 厘米。
解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例题2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例题3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
六年级《容斥原理》奥数教案
星系站备课教员：第二讲容斥原理一、教学目标： 1. 理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2. 培养逻辑思维和数学思考能力。
3. 培养良好的书写习惯。
二、教学重点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
三、教学难点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：一个家庭里有2个爸爸和2个儿子，同学们你们知道这个家庭有几个人吗？生1：4个啊，2+2=4啊。
生2：一个家庭怎么会有2个爸爸呢？师：这问题问的太好了，同学们，你爸爸叫你爷爷叫什么？生：爸爸啊。
师：那你爷爷管你爸爸叫什么呢？生：儿子。
师：所以这个家庭有几个人啊？生：3个。
师：也就是说爸爸既是爸爸也是儿子对吗？生：是的。
师：所以对于重复的题，我们在计算的时候要排除。
也就是我们这节课所要学习的内容。
【板书课题：容斥原理】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
师：同学们，最后班主任问了什么问题？生：谁语文、数学作业都没有做完？师：是的，但是有没有人举手啊？生：没有。
师：那说明什么？生：全班的人都至少做完一门作业。
师：至少做完一门作业都包括什么呢？生：只做完数学作业，只做完语文作业，语文、数学作业都做完。
师：现在我把我们班分成三组，第一组代表只做完语文作业的，第二组代表语文、数学都做完的，第三组代表只做完数学作业的，都明白自己都代表什么吗？生：明白。
师：那么我们班的人数怎么求？生：就等于三个组的人数和。
师：如果我问谁做完语文作业，那么哪些人会举手？生：第一组和第二组的人。
师：这些人有多少个？生：……（根据实际情况的人数）师：那如果我问谁做完数学作业呢？生：第二组和第三组的人。
奥数 容斥原理(例题+详解)
容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。
例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。
∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。
∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。
∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。
由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。
答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。
例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。
解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。
∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。
小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习
1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。
A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。
容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。
A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。
1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。
这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。
其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。
问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。
三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。
小学奥数《容斥原理》
有的有27人，这个班有学生多少人？
容斥原理
订阅报纸的总人数是 多少？（2）两种报纸 都没订阅的有多少人？
一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》的有15人， 订阅《今日少年报》的有10人，两种报纸都订阅的有6人。
二．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不 懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，问既 懂英语又懂俄语的有多少人？
三．求不超过100的自然数中，不能被3、5中任 何一数整除的数的个数。
一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下 国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12 人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？
. 六一班有学生46人，其中会骑自行 的有19人，会游泳的有25人，既会骑 又会游泳的有7人，既不会骑自行车 不会游泳的有多少人？
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手 工三个小组，参加美术小组有20人，参加音 乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时 参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音 乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手 工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3 人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类或B类或C类元素个数= A类元素个数 + B类元素个数+C类元素个数—既是A类 又是B类的元素个数—既是A类又是C类的 元素个数—既是B类又是C类的元素个数+ 既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
一．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学 小组，23人参加航模小组，有19个人两个小 组都参加了，那么，有多少人两个小组都没 有参加？
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理-五年级奥数
容斥原理1、五年级（1）班有学生56人，其中45人完成数学作业，42人完成语文作业，这个班两种作业都做完的有多少人？2、某校挑选18名学生参加春季运动会，获一等奖的有12人，获二等奖的有11人，两个奖都取得的有9人，这次运动会上两个奖都没取得的有多少人？3、在1-100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？4、某学校组织同学参加足球和乒乓球比赛，参加足球比赛的有20人，参加乒乓球比赛的有18人，同时参加足球和乒乓球比赛的有13人，问参加比赛的共有多少人？5、某班有46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有5人，问两样都不会的有几人？6、某班共有45人，其中有35人会用电脑打字，这个班有男生23人，女生中有6人不会用电脑打字，那么男生中有多少人会用电脑打字？7、五（1）班有40名学生，参加围棋班的有15人，参加电脑班的有11人，参加美术班的有13人，同时参加围棋和电脑班的有4人，同时参加围棋和美术班的有5人，同时参加美术和电脑班的有5人呢，班上有3人三个班都参加了，问班级中没有参加兴趣班的有多少人？8、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线，将木棍10等分，第二种刻度线将木棍12等分，第三种刻度线将木棍15等分。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？创新题1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？2、在1-100的所有自然数中，既非3的倍数也不是4或5的倍数的数有多少个？3、80个外语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既懂英语又懂日语的的老师，问只懂英语的老师有多少人？4、五年级某班学生进行百米跑、跳远、投掷3个项目的测试，跳远达到优秀的有28人，投掷达到优秀的有26人，百米跑达到优秀的有24人，百米跑和跳远都达优的有12人，跳远和投掷达优的有9人，百米跑和投掷都达优的有14人，3项都达优的有5人，这个班有多少位同学？单元测试题1、某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21 人得满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都活得满分的有多少人？2、第一小组的同学们都在做两道练习题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？3、问1-1000中所有不能被6,8,10整除的自然数有多少个？4、某校100个老师懂英语或法语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂法语的有20人，问懂法语的有多少人？只懂法语的有多少人？5、五年级112名同学参加语文、数学考试，没人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文一门获优的人数.6、五一班有56名同学，只会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，只会打羽毛球的有多少人？7、在1,2,3，、、、，1998这1998个数中，既不是8的倍数，又不是12的倍数的数共有多少个？。
小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题（含答案）一、填空题1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为 人.2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了 个病人.3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住 (平方厘米).4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有 个.5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有 人.6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm 2)并知A 、B 两圆重叠的面积是20(cm 2),A 、C 两圆重叠的面积为45(cm 2),B 、C 两圆重叠面积为31(cm 2),三个圆共同重叠的面积为15(cm 2),求盖住桌子的总面积是平方厘米.7.在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有 人.全班45人中两科都不得100分的有 人.8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有 个.9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有 个.10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有 人.2 AB C二、解答题11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.求(1)只得短跑奖的人数;(2)得二项奖的总人数;(3)一项奖均未得的人数.12.64人订A 、B 、C 三种杂志.订A 种杂志的28人,订B 种杂志的有41人,订C 种杂志的有20人, 订A 、B 两种杂志的有10人,订B 、C 两种杂志的有12人,订A 、C 两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.14.夏日的一天,有十个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可,有5个人要咖啡,有5个人要果汁,有3个人既要可可又要果汁,有一个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要.———————————————答 案——————————————————————1. 127从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人) 从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).2. 224从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).3. 10.75把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为 1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm 2)4. 15内科 150人 外科92人18 人不超过30的3的倍数有10330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),不超过30的4的倍数有7430=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(个);不超过30的3⨯4=12的倍数有24330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).5. 41如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).6. 219由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).7. 23;22至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).8. 333在1~1000的自然数中,2的倍数有50021000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),3的倍数有33331000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),2⨯3=6的倍数共有166321000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个).9. 28小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)10. 121由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为510+330+120-270+58=748(人)故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).11. (1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、 跳、投中得奖的人.数学 语文 7 17 13设x 为只得短跑奖的人数,y 为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z 为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u 为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u =12-5=7(人),z =36-15-12=9(人),y =29-5-7=8(人),x =31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.(2)得二次奖的人数为y +z +u =8+9+7=24(人).(3)因至少得一次奖的人数为x +y +z +u +5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).12. 设三种杂志均订的人数为x ,则有28+41+20-10-12-12+x =64,解得x =9,即三种杂志都订的有9人.13. 在1~1994中,能被5整除的个数为39851994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6整除的个数为33261994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被7整除的个数为28471994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6=30整除的个数为66301994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯7=35整除的数为56351994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6⨯7=42整除的个数为47421994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6⨯7=210整除的个数为92101994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).14. 要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.AB C x。
容斥原理及公式的证明
=50-(28+24+18)+(10+8+5) =3(人) 答：三个场馆都参观的有3人。
或：N=Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc。
四年级奥数之容斥原理及公示的证明
பைடு நூலகம்
A
B
N1 Na
N4
N2
Nab Nb
Nabc
Nca N6
N7
Nbc N5
Nc
N3 C
定理： |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C| 或：N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc
证明：设Na、Nb、Nc分别表示图A、B、C覆盖的 面积；Nab、Nbc、Nca分别表示图A和B、B和C、C和 A共同覆盖的面积；Nabc表示图A、B、C共同覆盖的面 积。再设N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7分别表示7个 互不覆盖区域的面积；N表示7个互不覆盖区域的面积 总和。
则：N1=Na-Nab-Nca+Nabc， N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc， N3=Nc-Nbc-Nca+Nabc N4=Nab-Nabc N5=Nbc-Nabc N6=Nca-Nabc N7=Nabc
五年级奥数之容斥原理及公示的证明
容斥问题
某班50名学生前往上海世博会 参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。 参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数 分别是28、24、18人，其中既参观 丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观 丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参 观法国馆又参观西班牙馆的5人。
小学五年级奥数课件 容斥原理
1、掌握两个容斥原理 2、一道经典的拉灯问题
本讲主线
在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重 复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来, 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏
又无重复,这种计数的方法称为容斥原理
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制,按顺序编号 为1,2,…,2006,将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再 将编号为3的倍数的灯拉线各拉一下,最后将编号为5的倍数 的灯的拉线各拉一下,拉完后亮着的灯数为多少盏？
2倍 3倍
5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
数学参加人数：40-25=15人 15-10+18-10 =5+8 =13（人）
例题【二】（★ ★ ★ ）
1～209这209个自然数中,与209互质的自然是有几个？
互质,没有公约数 分解,209=11×19 11:209÷11=19（个） 19:209÷19=11（个） 11/19：1（个） 大饼：19+11-1=29（个） 答：209-19=180（个）
有编号为1～2010的2010个气球,有一个神枪手,他第一次把 所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数的 气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么,最后 还剩几个是没有被打破的气球？
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
小学奥数(3)容斥原理
某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛 的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加 语文、数学两科竞赛的有多少人？
要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一 科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加 的人数：28＋27－31=24人。
抽屉Байду номын сангаас理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论 怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。 这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般 含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以 代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必 定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称 为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。
容斥原理
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被 重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是： 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出 来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无 遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，
例题 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7 个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色 相同，则最少要取出多少个球？ 解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小 球的数目必须大于3，故至少取出4个小球才能符合要 求。
将400本书分给若干个同学，每人都不超过11张， 至少有多少名同学分到的卡片的张数相同。
我们把分得的1，2，3，…，11这11张卡片看帮11个抽屉， 把学生人数看做物体的个数。如果每个抽屉都有一个物体，那 么就需要有1+2+3+…+11=66（个）物体，即66张卡片，而 400÷66=6……4（张），每个抽屉里有6个物体，还余4个物体， 这4个物体无论怎样放，都会有一个抽屉放了7个物体，所以至 少有7名同学分得的卡片的张数是相同的。
小学奥数知识点 —— 容斥原理
容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
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试一试： 试一试：
• 某班学生每人家里至少有空调和电脑 两种电器中的一种，已知家中有空调 两种电器中的一种， 的有41人 有电脑的有34人 的有 人，有电脑的有 人，二者都 有的有27人 这个班有学生多少人？ 有的有 人，这个班有学生多少人？
容斥原理
• 一个班有 名学生，订阅《小学生数 一个班有45名学生，订阅《 名学生 学报》的有15人 订阅《今日少年报》 学报》的有 人，订阅《今日少年报》 的有10人 两种报纸都订阅的有6人 的有 人，两种报纸都订阅的有 人。 • （1）订阅报纸的总人数是多少？（ ） ？（2） ）订阅报纸的总人数是多少？（ 两种报纸都没订阅的有多少人？ 两种报纸都没订阅的有多少人？
• 某校六（1）班有学生 人，每人 某校六（ ）班有学生54人 在暑假里都参加体育训练队， 在暑假里都参加体育训练队，其中 参加足球队的有25人 参加足球队的有 人，参加排球队 的有22人 参加游泳队的有34人 的有 人，参加游泳队的有 人， 足球、排球都参加的有12人，足球、 足球、排球都参加的有 人 足球、 游泳都参加的有18人 排球、 游泳都参加的有 人，排球、游泳 都参加的有14人 都参加的有 人，问：三项都参加 的有多少人？ 的有多少人？
容斥原理
• 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 一次期末考试，某班有 人数学得满分， 人数学得满分 12人语文得满分，并且有 人语、数都是满分， 人语文得满分， 人语、 人语文得满分 并且有4人语 数都是满分， 那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
如果被计数的事物有A、B两类， 两类， 如果被计数的事物有 、 两类 那么，A类或 类元素个数= A类元素 那么， 类或B类元素个数 类元素 类或 类元素个数 个数+ 类元素个数 既是A类又是 类元素个数—既是 类又是B 个数 B类元素个数 既是 类又是 类的元素个数。 类的元素个数。
• 如果被计数的事物有 、B、C三类， 如果被计数的事物有A、 、 三类 三类， 那么， 类或 类或C类元素个数 类或B类或 类元素个数= 那么，A类或 类或 类元素个数 A类元素个数 B类元素个数 类 类元素个数+ 类元素个数 类元素个数+C类 类元素个数 元素个数—既是 类又是B类的元 既是A类又是 元素个数 既是 类又是 类的元 素个数—既是 类又是C类的元素 既是A类又是 素个数 既是 类又是 类的元素 个数—既是 类又是C类的元素个 既是B类又是 个数 既是 类又是 类的元素个 既是A类又是 类而且是C类的 数+既是 类又是 类而且是 类的 既是 类又是B类而且是 元素个数。 元素个数。
• 1、四（1）班有 个学生，其中 、 个学生， ）班有40个学生 25人参加数学小组，23人参加航 人参加数学小组， 人参加航 人参加数学小组 模小组， 模小组，有19个人两个小组都参 个人两个小组都参 加了，那么， 加了，那么，有多少人两个小组都 没有参加？ 没有参加？ • 2、有100位旅客，其中有10人既 、 位旅客，其中有 人既 位旅客 不懂英语又不懂俄语， 不懂英语又不懂俄语，有75人懂 人懂 英语， 人懂俄语 人懂俄语， 英语，83人懂俄语，问既懂英语 又懂俄语的有多少人？ 又懂俄语的有多少人？ • 3、求不超过 的自然数中， 、求不超过100的自然数中，不 的自然数中 能被3、 中任何一数整除的数的 能被 、5中任何一数整除的数的 个数。 个数。
• 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 一次期末考试，某班有 人数学得满分， 人数学得满分 12人语文得满分，并且有 人语、数都是满分， 人语文得满分， 人语、 人语文得满分 并且有4人语 数都是满分， 那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
容斥原理
• 在计数时，为了使重叠部分不被重复计 在计数时， 人们研究出一种新的计数方法， 算，人们研究出一种新的计数方法，这 种方法的基本思想是： 种方法的基本思想是：先不考虑重叠的 情况， 情况，把包含于某内容中的所有对象的 数目先计算出来， 数目先计算出来，然后再把计数时重复 计算的数目排斥出去， 计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复， 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称 为容斥原理。 为容斥原理。
试被 的自然数中， 到 的自然数中 能被3 整除的数共有多少个？ 或5整除的数共有多少个？不能 整除的数共有多少个 整除的数共有多少个？ 被3或5整除的数共有多少个？ 或 整除的数共有多少个
试一试： 试一试：
• 某校选出 名学生参加区作文比赛 某校选出50名学生参加区作文比赛 和数学竞赛，作文比赛获奖的有16 和数学竞赛，作文比赛获奖的有 数学比赛获奖的有12人 人，数学比赛获奖的有 人，有5 人两项比赛都获奖了。 人两项比赛都获奖了。 • （1）共有多少人获奖？ ）共有多少人获奖？ • （2）两项比赛都没获奖的有多少 ） 人？
• 5、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 、在一次数学测验中，所有同学都答了第 、 两题，其中答对第1题的有 题的有35人 答对第2题的 两题，其中答对第 题的有 人，答对第 题的 有28人，这两题都答对的有 人，没有人两题 人 这两题都答对的有20人 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？ 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？ • 6、一个俱乐部里，会下中国象棋的有 人，会 、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人 下国际象棋的有52人 下国际象棋的有 人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有 人。这个俱乐部里有多少 人 都会下的有30人 人？ • 7、全班有50人，不会骑车的有23人，不会滑 、全班有 人 不会骑车的有 人 旱冰的有35人 两样都会的有5人 旱冰的有 人，两样都会的有 人。问：两样都 不会的有多少人？ 不会的有多少人？ • 8、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自行 、六年级（ ）班有 名学生， 名学生 车的有27个 会游泳的有18人 车的有 个，会游泳的有 人，既会骑自行车 又会游泳的有10人 问两样都不会的有多少人？ 又会游泳的有 人。问两样都不会的有多少人？