小学奥数《容斥原理》

• 某校六（1）班有学生 人，每人 某校六（ ）班有学生54人 在暑假里都参加体育训练队， 在暑假里都参加体育训练队，其中 参加足球队的有25人 参加足球队的有 人，参加排球队 的有22人 参加游泳队的有34人 的有 人，参加游泳队的有 人， 足球、排球都参加的有12人，足球、 足球、排球都参加的有 人 足球、 游泳都参加的有18人 排球、 游泳都参加的有 人，排球、游泳 都参加的有14人 都参加的有 人，问：三项都参加 的有多少人？ 的有多少人？
容斥原理
• 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 一次期末考试，某班有 人数学得满分， 人数学得满分 12人语文得满分，并且有 人语、数都是满分， 人语文得满分， 人语、 人语文得满分 并且有4人语 数都是满分， 那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
如果被计数的事物有A、B两类， 两类， 如果被计数的事物有 、 两类 那么，A类或 类元素个数= A类元素 那么， 类或B类元素个数 类元素 类或 类元素个数 个数+ 类元素个数 既是A类又是 类元素个数—既是 类又是B 个数 B类元素个数 既是 类又是 类的元素个数。 类的元素个数。
• 如果被计数的事物有 、B、C三类， 如果被计数的事物有A、 、 三类 三类， 那么， 类或 类或C类元素个数 类或B类或 类元素个数= 那么，A类或 类或 类元素个数 A类元素个数 B类元素个数 类 类元素个数+ 类元素个数 类元素个数+C类 类元素个数 元素个数—既是 类又是B类的元 既是A类又是 元素个数 既是 类又是 类的元 素个数—既是 类又是C类的元素 既是A类又是 素个数 既是 类又是 类的元素 个数—既是 类又是C类的元素个 既是B类又是 个数 既是 类又是 类的元素个 既是A类又是 类而且是C类的 数+既是 类又是 类而且是 类的 既是 类又是B类而且是 元素个数。 元素个数。
• 5、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 、在一次数学测验中，所有同学都答了第 、 两题，其中答对第1题的有 题的有35人 答对第2题的 两题，其中答对第 题的有 人，答对第 题的 有28人，这两题都答对的有 人，没有人两题 人 这两题都答对的有20人 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？ 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？ • 6、一个俱乐部里，会下中国象棋的有 人，会 、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人 下国际象棋的有52人 下国际象棋的有 人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有 人。这个俱乐部里有多少 人 都会下的有30人 人？ • 7、全班有50人，不会骑车的有23人，不会滑 、全班有 人 不会骑车的有 人 旱冰的有35人 两样都会的有5人 旱冰的有 人，两样都会的有 人。问：两样都 不会的有多少人？ 不会的有多少人？ • 8、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自行 、六年级（ ）班有 名学生， 名学生 车的有27个 会游泳的有18人 车的有 个，会游泳的有 人，既会骑自行车 又会游泳的有10人 问两样都不会的有多少人？ 又会游泳的有 人。问两样都不会的有多少人？
• 1、四（1）班有 个学生，其中 、 个学生， ）班有40个学生 25人参加数学小组，23人参加航 人参加数学小组， 人参加航 人参加数学小组 模小组， 模小组，有19个人两个小组都参 个人两个小组都参 加了，那么， 加了，那么，有多少人两个小组都 没有参加？ 没有参加？ • 2、有100位旅客，其中有10人既 、 位旅客，其中有 人既 位旅客 不懂英语又不懂俄语， 不懂英语又不懂俄语，有75人懂 人懂 英语， 人懂俄语 人懂俄语， 英语，83人懂俄语，问既懂英语 又懂俄语的有多少人？ 又懂俄语的有多少人？ • 3、求不超过 的自然数中， 、求不超过100的自然数中，不 的自然数中 能被3、 中任何一数整除的数的 能被 、5中任何一数整除的数的 个数。 个数。
试一试： 试一试：
• 在1到1000的自然数中，能被 的自然数中， 到 的自然数中 能被3 整除的数共有多少个？ 或5整除的数共有多少个？不能 整除的数共有多少个 整除的数共有多少个？ 被3或5整除的数共有多少个？ 或 整除的数共ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ多少个
试一试： 试一试：
• 某校选出 名学生参加区作文比赛 某校选出50名学生参加区作文比赛 和数学竞赛，作文比赛获奖的有16 和数学竞赛，作文比赛获奖的有 数学比赛获奖的有12人 人，数学比赛获奖的有 人，有5 人两项比赛都获奖了。 人两项比赛都获奖了。 • （1）共有多少人获奖？ ）共有多少人获奖？ • （2）两项比赛都没获奖的有多少 ） 人？
试一试： 试一试：
• 某班学生每人家里至少有空调和电脑 两种电器中的一种，已知家中有空调 两种电器中的一种， 的有41人 有电脑的有34人 的有 人，有电脑的有 人，二者都 有的有27人 这个班有学生多少人？ 有的有 人，这个班有学生多少人？
容斥原理
• 一个班有 名学生，订阅《小学生数 一个班有45名学生，订阅《 名学生 学报》的有15人 订阅《今日少年报》 学报》的有 人，订阅《今日少年报》 的有10人 两种报纸都订阅的有6人 的有 人，两种报纸都订阅的有 人。 • （1）订阅报纸的总人数是多少？（ ） ？（2） ）订阅报纸的总人数是多少？（ 两种报纸都没订阅的有多少人？ 两种报纸都没订阅的有多少人？
• 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 一次期末考试，某班有 人数学得满分， 人数学得满分 12人语文得满分，并且有 人语、数都是满分， 人语文得满分， 人语、 人语文得满分 并且有4人语 数都是满分， 那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
容斥原理
• 在计数时，为了使重叠部分不被重复计 在计数时， 人们研究出一种新的计数方法， 算，人们研究出一种新的计数方法，这 种方法的基本思想是： 种方法的基本思想是：先不考虑重叠的 情况， 情况，把包含于某内容中的所有对象的 数目先计算出来， 数目先计算出来，然后再把计数时重复 计算的数目排斥出去， 计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复， 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称 为容斥原理。 为容斥原理。