随机微分方程课件

dP dt dW P
其中υ和σ为常数，υ>0 表示股票趋势项，σ表示股票波 动项，则微分方程转化为下面的形式：
dP Pdt PdW
2 2 dP 1 P 根据伊藤公式可知： d (log(P)) dt 2 P 2 P 2 ( )dt dW 2
随机微分方程举例
t 可以解出： E( P(t )) p0e
因此股票价格的期望值由股票的趋势项决定，与股 票的波动没有关系。
随机微分方程举例
例2：朗之万方程 存在摩擦力的情况下，布朗粒子的运动模型服从一 bX ，其中ξ表示白噪声， X 维的随机微分方程， b>0表示摩擦系数，σ表示扩散系数。在此方程中，X 代表布朗粒子的运动速率。X0与维纳过程相互独立， 因为白噪声是维纳过程对时间的导数，所以此方程等 价于下面的随机微分方程： dX bXdt dW
随机微分方程——定义
1、随机微分方程的定义：
设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定 的函数，并不是随机变量，b : R n 0, T Rn ， B : Rn 0, T M nm 那么随机微分方程可以表示成如下形式：
dX b( X , t )dt B( X , t )dW X (0) X 0
解为： X (t ) (t )( X 0 ( s) 1 (c( s) e( s) f ( s))ds) ( s) 1 e( s)dW )
0 0
t
t
其中
f2 (t ) exp( (d )ds fdW ) 2 0 0
t
t
4
随机微分方程举例
2、线性随机微分方程举例 例1、股票价格 设P(t)表示在t时刻股票的价格，通过股票价格的变 化率可以建立P(t)的随机微分方程：
从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态 分布 N (0, ) ，与初始分布无关。
2
2b
8
随机微分方程举例
例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型：
bY Y Y (0) Y0 , Y (0) Y1
其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定 的高斯随机变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数， ξ通常为白噪声。 ，即X表示速率，则原方程等价于以下 若 X Y 朗之万方程：
3
t t
随机微分方程——解的形式
2、线性随机微分方程的解的形式 以上我们定义的是基于n维随机变量和m维布朗运动的 随机微分方程，实际应用中大多数为一维的情况，以下给 出一维中随机微分方程的解的具体形式 当m=n=1时，线性随机微分方程的一般形式如下：
dX (c(t ) d (t ) X )dt (e(t ) f (t ) X )dW X (0) X 0
dX bXdt dW X (0) Y1
则方程的解为：X (t ) e Y1 0 eb(t s ) dW
bt
t
9
随机微分方程举例
Y (t ) Y0 X ds 则可以解出原微分方程的解Y(t)： 0
t
例4：随机谐波振子
2 X bX X X (0) X 0 , X (0) X 1
可以解出P(t)：P(t ) p0e 由此可知，若初始价格为正直，则股票价格总是正的。
2
W ( t ) (
2
)t
P(t ) p0 Pds PdW 由随机微分方程可知：
t
t
并且
E ( PdW ) 0
0
t
，则可知：
t 0
0
0
E( P(t )) p0 E( P(s))ds
X (t ) X 0 b( X ( s), s)ds B( X ( s), s)dW 那么X就是此随 若X满足等式： 0 0 机微分方程的解。 如果系数b和B分别满足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x, 那么就称此方程为线性随机微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么 线性随机微分方程是齐次的。如果F(t)=0，这称随机微分方程 狭义上是线性。
e 2b (t s ) ds)
2 e E ( X ) (1 e 2bt ) 2b 2 2bt 则X的方差为： V ( X (t )) e V ( X 0 ) (1 e2bt )
2bt
2b
E ( X (t )) 0 则当t趋于无穷大时：V ( X (t )) 2 2b
X (0) X 0
根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微 t bt 分方程的解为：X (t ) e X 0 eb(t s ) dW
0
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随机微分方程举例
E( X (t )) e 可以求出X的期望：
bt
E( X 0 )
t b ( t s )
E ( X (t )) E (e
随机微分方程及其应用
1
随机微分方程的重要性
近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随 机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动 化等领域。 在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题， 在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量 的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随 机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规 律。 在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的 传播流行过程，肿瘤演化机制等。 在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反 常扩散。
2
2bt
X 2e X 0 e
2 0 bt 0 bt 2 0 t 0
来自百度文库
dW ( e b (t s ) dW ) 2 )
2 0 2
t
e
2bt
E ( X ) 2e E ( X ) E ( e
2 0 2 0
b ( t s )
dW ) E (

t
0