随机微分方程课件
随机微分方程
一、一维分岔 考虑一维随机微分方程()()()()()()()()()dX = m X dt +X dB t =m X +X X /2dt +X dB t 6.141σσσσ'-⎡⎤⎣⎦ 生成的连续动态系统()()()()()()tt00t x =x +m s x dx + s x dB s 6.142ϕϕσϕ-⎰⎰ () 它是以 x 为初值的（6.1-41）之唯一强解。
假定()()m 0 = 00 = 0 6.143σ-，（）从而0是ϕ的一个固定点。
对此固定点，dB(t)是随机参激。
设m(x)有界，对所有x 0≠满足椭圆性条件 ()0 6.144x σ≠-()这保证最多只有一个平稳概率密度。
求解与（6.1-41）相应的平稳FPK 方程得平稳概率密度()()()()122m u p x C x exp[ ] 6.145u xdu σσ-=-⎰（） 于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。
前者的不变测度0δ的密度为()x δ，后者的不变测度ν的密度为（6.1-45）。
为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov 指数。
为此，考虑（6.1-41）的线性化方程()()()()dV =m X Vdt +X V dB t =[m (X)((X)(X))/2]Vdt VdB t 6.146σσσσ''''''++- （）利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解()()()()()ttV t =V 0exp[(m +/2)X ds +X dB s ] 6.147 σσσ''''-⎰⎰（）动态系统ϕ关于测度μ的Lyapunov 指数定义为()()1lim ln V t 6.148t tϕλμ→∞=-（）（6.1-47）代入（6.1-48），注意()00σ=，得不动点Lyapunov 指数()()()()()()()()001()lim [ln 000]00 lim0(6.1-49)?t tt t B t V m ds dB s m m ttϕλδσσ→∞→∞'''''=++=+=⎰⎰对以（6.1-45）为密度的不变测度ν，（6.1-47）代入（6.1-48）， 假定σ'有界，m /2σσ'''+可积，得Lyapunov 指数()01 lim (m /2)(X)ds [m (x)(x)(x)/2]p(x)dx 6.150tt Rt ϕλνσσσσ→∞''''''=+=+-⎰⎰（）进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得()2m(x) -2p(x)dx 0 6.151(x)R ϕλνσ⎡⎤=<-⎢⎥⎣⎦⎰（） 随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形()()2dX X X dt X dB t 6.152ασ=-+- （）生成的动态系统族αϕ()0exp[()] 6.1531[()]tx t B t t x x s B s dsαασϕασ+=-++⎰ （）（6.1-53）是以 x 为初值的（6.1-52）之解。
随机微分方程
随机微分方程随机微分方程（RDE）是一类在数学物理、工程、生物和社会科学中广泛使用的方程，它们描述了系统中存在的现象，如扩散、涡旋及系统中动力学的变化。
随机微分方程不仅是有效模型研究非线性随机系统，而且可以用来研究各种运动系统，如建筑物动力学、涡旋及垂直运动等。
随机微分方程通常由两部分组成，分别为随机微分方程的微分部分和随机部分。
在随机微分方程的微分部分，有一个变量，它描述了系统中的变化。
在随机微分方程的随机部分，有一个随机变量，它描述了系统中的扰动。
随机变量的取值受噪声因素的影响，可以是随机的，也可以是有规律的。
随机微分方程的主要方法有微分法、函数法和抽象法三种。
微分法求解随机微分方程主要包括解析法、转换法和数值法三类。
解析法利用变量分离、积分变换、积分变量等技巧求解随机微分方程；转换法是把随机微分方程转换成一类新的积分问题，使其可以用积分方法求解；数值法则是使用数值方法求解随机微分方程，包括差分技术和差分进化方法。
函数法是研究以非线性和随机的函数作为系统的动力模型的方法，其研究的核心内容是关于随机函数在随机微分方程空间上的函数变换，从而求解随机微分方程。
抽象法把随机微分方程分解成一类线性系统，并用线性系统的解析和数值解法解决，从而求解实际中的随机微分方程。
随机微分方程具有广泛的应用，可以用来研究扩散性的现象，如扩散现象的实时监测；也可以用来研究各种运动系统，如涡旋、振动以及垂直运动等。
此外，随机微分方程可以用来研究金融市场中的随机现象，如可能出现的风险和投资回报。
总而言之，随机微分方程是一种用于描述非线性随机系统及其动力学行为的有效模型，具有广泛的应用。
举凡物理、工程、生物和社会学等科学领域，都可以利用随机微分方程来描述扩散、涡旋和系统动力学等现象。
2.4 -随机微分(A)
9
Wk
有什么重要性？
无法预测的“消息”将连续发生，通过媒体、网络 等可以”实时”观察这些“消息”。因此，资产价格 Wk 中的“实时”运动受 所主导。 这意味着，为了讨论随机环境中的微分，我们需要 研究 Wk 的性质。特别地，我们试图证明在某些容易 2 Wk2 及其等价表示 dWt ，在泰勒级数 接受的条件下， 逼近式中无法忽略。
4
St表示证券价格，F（St,t）表示以St为标的的资产 价格。 股票经纪人对证券价格的下一个瞬时增量dSt感 兴趣 证券价格交易柜台需要知道以St为标的的资产价 格的增量变化dFt。 从dSt的估值出发，如何计算dFt呢？ 如果标准微积分的法则适用，我们可以考虑如下公 式
F dFt dSt S
12
命题：在假设1、2和3下， Wk 的方差与h成 比例，
E[Wk ] h
2 2 k
பைடு நூலகம்
k 是一个不依赖于n的有限常数，但依赖 于k-1时刻的信息。
根据这个命题，当h变得越来越小时，资 产价格的波动性也越来越小。
13
证明：
在假设3下，Vk A3Vmax 两遍对所有区间同时求和得： Vk nA3Vmax
5
微分的框架
讨论微分要使用的一个自然框架是随机微分方程：
dSt =a(St,t)dt+b(St,t)dWt
为了理解如何在随机环境中讨论微分，我们从零开 始来构造随机微分方程。这种构造的思路是先在离 散环境中进行，然后再连续时间环境中进行扩展。 考虑时间区间[0,T]。 x轴[0,T]被分割成长度为h 的n段，即
0 t0 t1 tk tn T
随机微分方程
利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t)=E[ X (t)]
t
E[
X
0
a(u )du
e t0
t
t
Y
(s)
eபைடு நூலகம்
s
a(u
)
du
)
ds]
t0
RX (s,t) E[X (s)X (t)]
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
t
mX
(t)
(EX
0
)
e
t0
a (u ) du
))nn
( ) (m) ij nn
EX (1, 2,..., n )
B (cov( X , X )) (ij )nn
则 (u) e X (m)
j ( m) uT 1uB( m)uT
2
X
(u)
lim
m
X
(m)
(u)
j ( m )uT 1uB( m )uT
lim e
2
m
juT 1 uBuT
定理2 n维正态随机向量序列的均方极限 仍是n维正态随机向量．即
设X m
(
X (m) 1
,L
,
X
(m) n
)为一列n维正态随机向量,m=1,2,…
若l.i.m X m X ,即对每个 k 1, 2 m
, n,均有
l.i.m
m
X (m) k
Xk,
则X ( X1, X 2,L , X n )是n维正态随机向量．
因为
l.i.m
n
Xn
X ,由均方收敛性质得
(t)
lim
n
n
随机微分方程
Let function f(t) be given in [0,T], and Π
be a partition of the interval [0,T]:
0 t0 t1 tN T
the quadratic variation of f(t) is defined
by
Q f tk 1 f tk
^ ^ where tk k ,1 k N 1; 0;0 t2 , t1 T .
利用二项分布的性质，方差的定义
中心极限定理
For any random sequence
k
where the random variable X~ N(0,1),
above, when k Ri defined 1 R X, k
Sk (t ), t tk , 线性插值 S (t ) t t t t k k 1 S Sk , tk t tt k 1. k 1
随机游动的分布
Let T=1,N=4,Δ=1/4,
S 0,
0
1, head Ri ( ) , (i 1, 2, ) 1, down
are independent. 0 t1 t2
tn ,
2：随机积分
需要指出的是用布朗运动刻画的粒子运
动的每一条轨线是连续的，但不可导。 高等数学中的积分定义是通过： （1）分割（2）近似（3）求和（4）取 极限
Definition of Quadratic Variation（二次变差）
S1 1/ 4 R1 1/ 2,1/ 2 ,
S2 1/ 4( R1 R2 ) 1, 0,1 ,
鞅与随机微分方程(王力)PPT模板
第2章测度与积分
2.1测度与测度空间 2.2随机变量的数字特征 2.3随机变量及其收敛性 2.4独立性与零一律 2.5乘积可测空间上的测 度
第2章测度与积分
2.1测度与测度空间
2.1.1测度空间 2.1.2代数上的测度 2.1.3完备测度 2.1.4分布函数及其生成的测度
第2章测度与积分
2.2随机变量的数字特征
鞅与随机微分方程(王力)
演讲人 202x-11-11
01
封面
封面
02
鞅与随机微分方程
鞅与随机微分方 程
03
内容简介
内容简介
04
前言
前言
05
主要符号对照表
主要符号对照表
06
第一篇概率论基础
第1章可测空间与 乘积可测空间
1.1σ代数理论 1.2可测空间和乘积可测空间 1.3可测映射与随机变量
第6章随机积分
6.2关于鞅的随机积分
6.2.1有界适应左连续简单过程关于l2鞅的随机积分 6.2.2可料过程关于l2鞅的随机积分 6.2.3截断被积函数和用停时停止积分 6.2.2可料过程关于L2鞅的随机积分 6.2.3截断被积函数和用停时停止积分
6.3.1独立增量过程
第6章随机积分
6.3适应brownian运动
第5章鞅
5.5下鞅样本函数的正则性
5.5.1右连续下鞅的样本函数 5.5.2下鞅的右连续修正
第5章鞅
5.6增过程
5.6.1关于增过程的积分 5.6.2doob-meyer分解 5.6.3正则下鞅 5.6.2Doob-Meyer分解 5.6.3正则下鞅
08
第三篇随机积分
第6章随 机积分
01 6 . 1 平 方可 积鞅和
12.数学建模-随机微分方程法-PPT文档资料
(2) 维纳 ( Wiener) 过程
i) 基本维纳过程
在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它 被称为 基本维纳过程 (wiener processes) .物理学中最早用它来描 绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为 布朗运动 (Brownian motion) . 如果变量 z 遵循 基本维纳过程 , 则 Δz 必须满足两个基本性质: 其中ε是服从标准正态分布的一个随机变量 . ( a ) z t (*) 当 Δt →0 时, 方程 (*) 可以写为 : dz dt . , .
i 1 i i 1 i
N
N
N
tE ( ) 0 i
i 1
[z(T) – z(0)] 的方差 = D ( z ) D ( t ) D ( t ) i i = N Δt = T , i )
i 1 i 1
股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the we form of market efficiency). 弱市场有效性 主要是有两点内涵: 其一, 现在的价格是过去所有信息的完全反映, 没有任何信息的作用 会持续到以后 ; 其二, 对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出反映. 从数学上来说, 这是一种称之为马尔科夫随机过程 所具有的性质.
漂移率为 0、方差率为 1 的维纳过程,我们常称之为 基本维纳过 程 . 生成 基本维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为：
0.01; z 1 10; Do N z i 1 z i Random Real, 10, 10 i, 1, 100 ; a Table z i , i, 1, 100 ; ListPlot a, PlotJoined True, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel " t 0.01" t0.5 ,
随机微分方程(stochastic differential equation,sde)
随机微分方程(stochastic differential equation,sde) 1. 引言1.1 概述随机微分方程（Stochastic Differential Equation，SDE）是一类描述随机现象的微分方程。
相比于传统的确定性微分方程，SDE中包含了一个或多个随机项，能够更准确地描述现实世界中的不确定性和变动性。
SDE在各个领域中广泛应用，特别是金融学、物理学和生物学等领域。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面介绍随机微分方程及其应用：定义与基本概念、解随机微分方程的方法与技巧，以及在实际问题中的应用。
具体可以分为三个主要部分：引言、主体内容和结论展望。
1.3 目的本文旨在介绍随机微分方程的基本概念、解法和应用，并探讨其在金融学、物理学和生物学等领域中的实际应用。
通过对随机微分方程的深入了解，读者可以更好地理解和利用该方法来解决实际问题，并对未来研究提出展望。
以上为“1. 引言”部分的内容。
2. 随机微分方程的定义与基本概念2.1 随机过程简介随机过程是一类描述随着时间推移而随机变化的数学模型。
它可以看作是时间参数上的一族随机变量的集合。
随机过程常用于描述具有随机性质的现象，如金融市场中的股票价格、天气预报中的温度变化等。
2.2 随机微分方程的定义随机微分方程是一类描述含有随机项（通常为噪声）的微分方程。
它通常采用以下形式表示：dX(t) = a(X(t), t)dt + b(X(t), t)dW(t)其中，X(t)是未知函数，a(X(t), t)和b(X(t), t)是已知函数，dW(t)表示Wiener 过程（也称为布朗运动或白噪声）。
这个方程表示了X在无穷小时间段dt内发生微小变化dX(t)，其中包含一个确定性项a(X(t), t)dt和一个随机项b(X(t), t)dW(t)。
2.3 常见的随机微分方程模型在实际应用中，有许多不同类型的随机微分方程模型被广泛使用。
- Ornstein-Uhlenbeck 过程：该模型描述了维持平衡状态的粒子在受到随机扰动时的演化过程。
第20讲 随机微分方程
(5.5.8)
b)进一步有,如果 w(t,x) ∈C1,2 (R×Rn) 是满足 (5.5.3) 和 (5.5.4)的有界函数,则 w(t,x) =u(t,x), 满足 (5.5.1).
17
例 5.5.2 (Black-Scholes 方程) 设
dSt rSt dt St dBt
t,x
0 t T , St x
(5.3.6)
(5.3.7)
4
定理5.3.6 (n维Itô 公式) 设 dX ( t ) udt vdB( t ) 为 n-维 Itô过程，设 g(t , x) ( g1 (t , x), g p (t , x)) 为 [0, ∞) ×Rn 到Rp的 C2 映射，则过程
Y (t , ) g(t , X (t ))
dXtYt X t dYt Yt dXt dXt dYt
7
§5.4 随机微分方程 dXt b(t , X t )dt (t , X t )dBt
(A) 方程(5.4.1)是否有唯一解? (B)方程(5.4.1)如何解?
(5.4.1)
解的存在唯一性定理
例5.4.1 设 Bt , t 0 是一维标准Brown运动, r,α为 常数, 解人口增长模型
18
定理 5.5.3. (Feynman-Kac 公式 ) 设 Xt 为Rn上的Ito 扩散, 具有生成元 A, 设 f ∈C02 (Rn) 且 q ∈C(Rn). 又设 q 下有界. a)取
v(t , x ) E x [exp( q( X s )ds) f ( X t )]
0 t
(5.5.9)
(5.5.1)
其中 f: Rn→R ∈DA ; DA =DA(x) 表示对所有x Rn,使 (5.5.1)极限存在的所有函数组成的集合.
12.数学建模-随机微分方程法
(3) 股票价格的随机模型 在对任何资产（例如股票）进行投资时，投资者所关心的是对资 产投资的回报率多大，而不是该资产的绝对增加量多大。例如， 有两种股票 A 与 B , 假定它们每年每股都平均增加10元，股票 A 的 市价为 100元/ 股，股票 B 的市价为 1000元/ 股。 显然，股票 A 是 投资者的最佳选择，因为它的回报率为 10 % ， 而股票B的回报率 只有 1 % 。 在进行股票投资时，如果记 Si 是第 i 天的股票价格，则投资的 S i +1 Si 日回报率为：
dz = ε dt
对于维纳过程而言, 对于维纳过程而言 我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该 平均漂移” 变量在该时刻的 “平均漂移”, 而称在单位时间处的平均漂移为该维 纳过程的漂移率 ; 同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该 . 维纳过程的方差率. 上面讨论到的维纳过程, 维纳过程的方差率 上面讨论到的维纳过程 其漂移率应是 0 , 方差 率应是 1 . 这里 , 漂移率为 0 , 意味着在未来任何时刻 , z 的期望值 的一段时间段后, 等于它的当前值 ; 方差率为 1 , 意味着在长度为 T 的一段时间段后 z 的变化的方差为 1×T = T . × 的维纳过程,我们常称之为 漂移率为 0、方差率为 1 的维纳过程 我们常称之为 基本维纳过 、 程 . 软件程序可以写为： 生成 基本维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为：
R e a l , 1 ,
- 1 0 0 , 1 0 0
;
* D t
0 . 5
,
i ,
1 0 0
= y
,
i
i i ,
+ 0 . 3 D t
1 0 0
1 ,
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1
随机微分方程的重要性
近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随 机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动 化等领域。 在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题， 在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量 的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随 机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规 律。 在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的 传播流行过程，肿瘤演化机制等。 在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反 常扩散。
X (0) X 0
根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微 t bt 分方程的解为：X (t ) e X 0 eb(t s ) dW
0
7
随机微分方程举例
E( X (t )) e 可以求出X的期望：
bt
E( X 0 )
t b ( t s )
E ( X (t )) E (e
随机微分方程——定义
1、随机微分方程的定义：
设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定 的函数，并不是随机变量，b : R n 0, T Rn ， B : Rn 0, T M nm 那么随机微分方程可以表示成如下形式：
dX b( X , t )dt B( X , t )dW X (0) X 0
从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态 分布 N (0, ) ，与初始分布无关。
2
2b
8
随机微分方程举例
例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型：
bY Y Y (0) Y0 , Y (0) Y1
其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定 的高斯随机变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数， ξ通常为白噪声。 ，即X表示速率，则原方程等价于以下 若 X Y 朗之万方程：
dX bXdt dW X (0) Y1
则方程的解为：X (t ) e Y1 0 eb(t s ) dW
bt
t
9
随机微分方程举例
Y (t ) Y0 X ds 则可以解出原微分方程的解Y(t)： 0
t
例4：随机谐波振子
2 X bX X X (0) X 0 , X (0) X 1
e 2b (t s ) ds)
2 e E ( X ) (1 e 2bt ) 2b 2 2bt 则X的方差为： V ( X (t )) e V ( X 0 ) (1 e2bt )
2bt
2b
E ( X (t )) 0 则当t趋于无穷大时：V ( X (t )) 2 2b
可以解出P(t)：P(t ) p0e 由此可知，若初始价格为正直，则股票价格总是正的。
2
W ( t ) (
2
)tPΒιβλιοθήκη t ) p0 Pds PdW 由随机微分方程可知：
t
t
并且
E ( PdW ) 0
0
t
，则可知：
t 0
0
0
E( P(t )) p0 E( P(s))ds
2
2bt
X 2e X 0 e
2 0 bt 0 bt 2 0 t 0
dW ( e b (t s ) dW ) 2 )
2 0 2
t
e
2bt
E ( X ) 2e E ( X ) E ( e
2 0 2 0
b ( t s )
dW ) E (
t
0
X (t ) X 0 b( X ( s), s)ds B( X ( s), s)dW 那么X就是此随 若X满足等式： 0 0 机微分方程的解。 如果系数b和B分别满足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x, 那么就称此方程为线性随机微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么 线性随机微分方程是齐次的。如果F(t)=0，这称随机微分方程 狭义上是线性。
dP dt dW P
其中υ和σ为常数，υ>0 表示股票趋势项，σ表示股票波 动项，则微分方程转化为下面的形式：
dP Pdt PdW
2 2 dP 1 P 根据伊藤公式可知： d (log(P)) dt 2 P 2 P 2 ( )dt dW 2
随机微分方程举例
t 可以解出： E( P(t )) p0e
因此股票价格的期望值由股票的趋势项决定，与股 票的波动没有关系。
随机微分方程举例
例2：朗之万方程 存在摩擦力的情况下，布朗粒子的运动模型服从一 bX ，其中ξ表示白噪声， X 维的随机微分方程， b>0表示摩擦系数，σ表示扩散系数。在此方程中，X 代表布朗粒子的运动速率。X0与维纳过程相互独立， 因为白噪声是维纳过程对时间的导数，所以此方程等 价于下面的随机微分方程： dX bXdt dW
解为： X (t ) (t )( X 0 ( s) 1 (c( s) e( s) f ( s))ds) ( s) 1 e( s)dW )
0 0
t
t
其中
f2 (t ) exp( (d )ds fdW ) 2 0 0
t
t
4
随机微分方程举例
2、线性随机微分方程举例 例1、股票价格 设P(t)表示在t时刻股票的价格，通过股票价格的变 化率可以建立P(t)的随机微分方程：
3
t t
随机微分方程——解的形式
2、线性随机微分方程的解的形式 以上我们定义的是基于n维随机变量和m维布朗运动的 随机微分方程，实际应用中大多数为一维的情况，以下给 出一维中随机微分方程的解的具体形式 当m=n=1时，线性随机微分方程的一般形式如下：
dX (c(t ) d (t ) X )dt (e(t ) f (t ) X )dW X (0) X 0