均值不等式的待定系数法
2.待定系数法
2.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
高中数学公式(均值不等式)
高中数学公式(均值不等式) 均值不等式是高中数学中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用。
均值不等式的理论研究可以从不同的角度入手，比如从数学分析、概率论和统计学等角度进行探讨。
本文将从这三个角度出发，对均值不等式的理论研究进行详细的阐述。
一、数学分析视角下的均值不等式在数学分析的视角下，我们可以利用柯西-施瓦茨定理来证明均值不等式。
柯西-施瓦茨定理是一个非常重要的定理，它告诉我们：如果一个函数满足某些条件，那么它的积分可以表示为一个定积分的形式。
具体来说，如果函数f(x)满足以下条件：1. f(x)是定义域上的连续函数。
2. g(x)是定义域上的可导函数，且g(x)在闭区间[a,b]上恒有$g'(x)\geq 0$;3. h(x)是定义域上的可积函数，即存在常数c>0使得$\int_a^b h(t) dtleq \frac{1}{c} \int_a^b g(t) dt$,其中积分限不包含端点。
那么，对于任意实数a≤x≤b,有：$$\left|\int_a^b f(t) dt-\left(\int_a^b g(t) dt\right)^{\frac{1}{c}}\right|\leq\left(\int_a^b h(t) dt\right)^{\frac{1}{c}}$$这个结论被称为柯西-施瓦茨定理。
通过这个定理，我们可以证明许多重要的均值不等式，比如算术-几何平均不等式、调和平均不等式等。
这些不等式在实际问题中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学等领域。
二、概率论视角下的均值不等式从概率论的角度来看，均值不等式可以用来估计样本均值与总体均值之间的差异。
这个过程通常称为中心极限定理。
中心极限定理告诉我们：如果一个随机变量X服从正态分布N(μ，σ^2),并且样本量n足够大，那么样本均值X̄近似于总体均值μ。
具体来说，当n趋向于无穷大时，有：$$lim_{n\to\infty}left(1-\frac{1}{n}\right)\left(X̄-mu\right)=\sigma$$这个结论可以帮助我们解决很多实际问题，比如在金融领域中估计股票价格的变化趋势等。
均值不等式构造“定”的技巧
均值不等式构造“定”的技巧用均值不等式求函数的最值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点。
使用均值不等式的三个条件“一正二定三相等”更是考题的焦点。
“正”和“相等”通常很容易获得解决，“定”却常常被设计为一个难点，怎样构造“定”是解题成败的关键。
今天我们就教你构造“定”的技巧！就教你构造“定”的技巧！总体思路我们先看一下均值不等式：我们先看一下均值不等式：1212......n nn a a a a a a n+++³（当且仅当12...n a a a ===时取等号）下面我们看看具体怎样来构造“定”这个条件：下面我们看看具体怎样来构造“定”这个条件：第一步：“一正二定三相等”，先判断是否“正”能够满足。
一般题目已知中会告诉各字母是正的，所以通常这个条件是满足的。
字母是正的，所以通常这个条件是满足的。
第二步：观察所求函数的形式：例如函数是1212...n k k k na a a ，则在已知条件中将1a 等分拆为1k 项，将2a 等分拆为2k 项，将n a 等分拆为n k 项。
这就是我们拆分构造“定”的关键，记住了，我们是从所求函数的形式出发，只要做好了这一步，均值不等式就能用的恰到好处！了这一步，均值不等式就能用的恰到好处！第三步：第三步：验证，验证，看各项相等时能否成立，看各项相等时能否成立，若能成立，若能成立，若能成立，则均值不等式运用成功，则均值不等式运用成功，则均值不等式运用成功，若不成立，若不成立，则只好再想别的辙了：）不过一般情况下绝对不会出现不成功的，题目想考的就是这个嘛！例题设x ，y ，z>0z>0，且，且，且x+3y+4z=6x+3y+4z=6x+3y+4z=6，求，求23x y z 的最大值。
的最大值。
思路： 一看题目，已知和，求积，看来可以运用均值不等式。
一看题目，已知和，求积，看来可以运用均值不等式。
过程： 第一步：题目中已经说了x ，y ，z>0z>0，所以可以运用均值不等式。
待定系数法
待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
均值不等式的待定系数法.doc
不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。
在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。
这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。
我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 uxy yz的最大值。
x 2y 22z解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得：xy yzyx y 1 [ 2 x 2y 22y 2z 2]12 x 212) y 22x 2y 2x2( )( ) [( 22]2令2121，解得：4 2 ，1 ，于是224 222 ( x 2xy yz2 ( x 2 y 2 z 2 )y 2 z 2 )2xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2所以 u2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成x2y2z2x 2 y 2 z 2 2立。
推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则axy byz 的最大值x 2y 22z为 a 2 b 2 ，最小值为a 2b 2 。
2 2简析：即证 2 xay2 zby b 2 x 2a 2 y 2z 2b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。
a 2b 2a 2a 2b 2a 2b 21. 设是不全为零的实数，求 的最大值分析：显然只需考虑 的情形直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数满足故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大值。
消去我们得到一个方程此方程的最大根为我们所求的最大值解之得我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了2.设是不全为零的正实数，求的最大值是的同我们依然可以引进参数使其满足依据取等条件我们有消去参数我们得到一个方程这个方程的最大根为我们所求的目标。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。
它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。
接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。
一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。
在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。
二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。
2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。
3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。
4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。
5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。
6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。
三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。
解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。
将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。
2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。
解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。
对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。
然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。
解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。
解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。
待定系数法在解题中的灵活运用
待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。
下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。
这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。
但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。
这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。
我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。
高中数学解题基本方法——待定系数法
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
用待定系数法求一类不等式的最值
用待定系数法求一类不等式的最值题 已知z y x ,,均为正数，求函数222),,(z y x yzxy z y x u +++=的最大值。
（第9届希望杯高二培训）一般解法是：222),,(z y x yzxy z y x u +++=)21()21(2222z y y x yz xy ++++= 2222=++≤yz xy yzxy 当且仅当 222221,21z y y x == 即y z x 22==)0,,(>z y x 时等号成立。
上述解法经过分母的变形后，巧妙地利用均值不等式，使问题得以求解，是开拓思路，培养创新精神的一个好题。
诚然，均值不等式是求函数最值的一种重要的方法，这种方法对变形能力的要求较高．常需考虑“一正、二定、三等”三个方面，但在实际问题中，我们发现有些题根本凑不出定值，或虽凑出定值而等号又不能成立，因此有时往往会觉得难以入手，如上例。
此时若通过“设参、定参”，并把表达式进行适当的分解或重组，创设使用含参均值不等式的情景，能使问题获解。
例如 ，我将原题该为：已知z y x ,,均为正数，求函数2222),,(z y x yzxy z y x u +++=的最大值。
分析：两者解法之间是否有一定的相同之处呢？若把222z y x ++拆成)21()21(2222z y y x +++是行不通的，不妨尝试引进新的参数。
解：2222),,(z y x yz xy z y x u +++=22222z ny my x yz xy ++++= （其中1=+n m ）yz n xy m yz xy 222++≤)(22yz m n xy m yzxy ++= 欲使上式为定植，只需2=m n，即m n 4=，又1=+n m 得54,51==n m 此时当且仅当y z y x 552,55==时，u 有最大值25max =u推广：已知z y x ,,均为正数，求函数222),,(z y x nyzmxy z y x u +++=)0(≠mn 的最大值。
高中数学解题方法系列：待定系数法
高中数学解题方法系列：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m 的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
高中数学方法篇之待定系数法
高中数学方法篇之待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
一、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52，2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
均值不等式知识点
均值不等式知识点
均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式有以下几个应用条件：
- 一正：这些数都必须是正实数，因为只有正数才有几何平均值。
- 二定：分为积定与和定。
当这组数的乘积为定值，则这组数的和才能取到最小值。
当这组数的和为定值，则这组数的乘积能取到最大值。
所以要求和的最值，就要让这组数的乘积为定值。
要求乘积的最值就要让组数的和为定值。
- 三相等：表示什么时候能取到最值，也就是取到等号的时候。
只有当这组数据都相同的时候，算术平均值等于几何平均值。
待定系数法
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f 1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52 , －2 B. －52， 2 C. 52, 2D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
数学基本方法之三 待定系数法 新课标 人教版
数学基本方法之三待定系数法陕西洋县中学刘大鸣要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：(1) 利用对应系数相等列方程；(2)由恒等的概念用数值代入法列方程；(3) 利用定义本身的属性列方程；(4)利用几何条件列方程;比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.【方法再现性题组】1设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为____A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____A. 10B. －10C. 14D. －143在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____A. －297B.－252C. 297D. 2074函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为32，最小值为－12，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____5与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________6与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________【方法探究过程】1小题：利用互为反函数的对应关系，求出反函数认识恒等意义求解，由f(x)＝x2＋m求出f-1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；2小题：认识方程，函数，不等式之间的一一对应关系，根与系数关系简化求解，由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ； 3小题：注意多项式组成和二项式定理求解，分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成，相加后得x 5的系数，选D ；4小题：注意正余函数的有界性，由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案23π； 5小题：平行直线系的认识切入，设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：共同渐近线的双曲线系方程的使用，设双曲线方程x 2－y 24＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x 23－y 212＝1。
均值不等式的待定系数法
不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。
在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。
这个纯属个人一些观 点，高手直接pass 掉。
我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！号 + 2*+ ZIF1.设扎风人用是不全为零的实数，求 「+』+ ?+『的最大值分析：显然只需考虑总0,疋0,毗0皿0的情形直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数"丿满足” + jt 3 +« (jr : + a X)*(l - a + + (I - + » N zVw" V + J Jn — 超•戸 >3?^ 2 JI - 0的最大值。
+ +X y z 解析：取待定正数a, P,有基本不等式得：2 o y 1 r 2 2 y 2 D 2 2 z 2 n 1 2 2 1 。
2、 2 D . 2 2 厂 + Px [a x + H +Py+^()]5-qx+& + P)y+Px+亍P 2a P 2 aP=古，解得：a=^2 , B =丘,于是引子：已知x, y, ZER 半求函数Uyxy Wz =«X —— a令a 2丄+阳 a 22Ct / 22<——+ y2所以u+xy yz 2 + 2+2 x 〒y 〒z+ z 2 ) = JZ (X2 + y 2 + z 2 )2-£(X2 + y 2 + Z 2 <— ---------------------- ~ x2+y2+z2严,当且仅当心yMz 时，等号成立。
推广：设a,b 为给定实数,X, y,z 为任意不全为0的实数，则「一+______ X yaXy+bYZ的最大值为+匕2 , 最小值为一笃? +匕22简析：即证2.X,b 2< X 2 + y2 + z?+ 匕2 y2 ~ a 2+b 2a 2 +b 2值。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
用待定系数法求解的三种情形
用待定系数法求解的三种情形作者：冯祖康冯显硕来源：《湖北教育·教育教学》2022年第02期学生虽然熟悉待定系数法的定义与解题步骤，但机械模仿解题过程、缺乏灵活运用能力者居多。
笔者思考并总结了用待定系数法求解的三种主要情形，帮助学生从根本上感悟其妙处，提升思维的灵活性与敏捷性。
情形1：所求结果的概型易锁定，可优先考虑待定系数法初中数学中求一次函数、二次函数解析式等问题，高中数学中求圆锥曲线方程、求数列通项公式及前[n]项和等问题，都具有相似的已知与设问架构。
求解时，我们可以先借助系数设出结果的基本形式，然后根据其他条件列出方程（组），最后借助方程求出该系数。
此种方法的哲学意蕴是先主后次，即先注重整体的统领地位，后灵活地协同部分。
例1 已知[a1=1]，[an+1=2an+5]，求[an]的通项公式。
解：[a2=2a1+5=7]，设an=A·2n-1+B当[n]=1时，A+B=1 ①当[n]=2时，2A+B=7 ②联解①、②得：A=6，B=-5∴an=6×2n-1-5=3×2n-5例2 已知an=2n+1，bn=2n，求：[Tn]=[a1b1]+[a2b2]+…+[anbn]的前[n]项和。
解：设Tn=（An+B）·qn-B，A，B为待定系数，将[n]=1和[n]=2分别代入得[（A+B）×21-B=6（2A+B）×22-B=26] 解得[A=4B=-2]∴Tn=（4n-2）×2n+2=（2n-1）×2n+1+2掩卷而思，如果我们不知道递推数列的通项公式为指数型函数an=Aqn-1+B，等差数列的前[n]项和是常数项为0的二次函数式Sn=An2+Bn，等比数列的前[n]项和为指数型函数Sn=A·qn+B，以及差比数列的前[n]项和公式为Sn=（An+B）·qn-B，就不可能用待定系数法便捷地求解上述两个题目。
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均值不等式的待定系数篇
在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。
在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。
这个纯属个人一些观点，高手直接pass 掉。
我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子: 已知,,x y z R +
∈，求函数
2
22
xy yz u x y z +=++的最大值。
解析：取待定正数α，β，有基本不等式得：
2222222222222
22111[()()][()]
22y
y
y z y xy yz x x x y x y x αβαβαββαβαβαβ
+=⋅+⋅≤+++≤++++令22
2211αβαβ=+=
，解得：α=
β=，于是
2222222
())
22
xy yz x y z x y z α+≤++=++
所以222222222()
22
x y z xy yz u x y z x y z +++=≤=++++
y ==时，等号成立。
推广：设,a b 为给定实数，,,x y z 为任意不全为0的实数，则222
axy byz x y z +++的最大值
，最小值为。
简析：即证2222
22222
222222a y b y
x z x z x y z a b a b ⋅+⋅≤+++=++++。
1. 设
是不全为零的实数，求
的最大值
分析：显然只需考虑的情形
直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数
满足
故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大
值。
消去我们得到一个方程
此方程的最大根为我们所求的最大值
解之得
我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了
2. 设是不全为零的正实数，求的最大值
是的同我们依然可以引进参数使其满足
依据取等条件我们有
消去参数我们得到一个方程
这个方程的最大根为我们所求的目标。
解之得
呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。
有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。
你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。
当且仅当取等。
好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们开始来处理下面的几个问题吧！
3.设是正实数，求的最小值。
解：我们考虑引进参数使其满足：
依据取等条件我们有：
故的最小值为4
4.设是正实数且满足，求的最小值
解：观察题目的结构考虑到地位的平等性，引进参数
由取等条件我们有：
解之得
所以
当然了这个题目明显可以拉格朗日数乘法来解决，这也从另外一个角度启示我们某些条件极值是可以用待定系数均值来解决的……….
5．设为正实数，且，求的最小值
分析：这个题玩过不等式的会说权方和秒！今天我们从待定系数均值的角度也
来玩一玩。
考虑和为定值，我们为了使用均值，可以这样引进参数
因此+=
由取等条件：
所以
6.若对任意恒成立，求的最小值。
解：对任意恒成立
所以对任意恒成立
下面我们依然可以待定均值
由取等条件：
消去我们得到：方程的最大根及为我们所求
解之得
因此的最小值为
读到这里也许有读者会说：你每次解那个比例式方程为什么说那个比值就是我们要求的目标呢？这个问题我想不用我解释吧，这太显然了！是不是？
为了加深对这个方法的认识和应用，我们来看一个大家都很熟悉的问题：
7.若且，求证：
好吧！你也许会说哥用柯西一行就秒了。
是的，今天在这里我用待定系数来处理一下这个问题。
考虑这样引进参数
考虑取等条件：
所以
8.有一边长为和的长方体纸板，在四个角各裁去一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使纸盒的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？
分析：这是一个很old的问题了，大多可以建立函数模型用导数解决之。
今天我们换个角度用均值，对还是用均值来kill it！
解：设裁去正方形的边长为则做成的无盖长方体容积为
同样引入参数
考虑取等情况：
当时，右边为常数
故当二者同时成立时函数有最大值。
消去参数得到：
解之得：
故
9.求函数的最小值。
分析：这个单变量的函数，话说单变量都可以导数的嘛，你明白的在这里我还是想说均值可以kill it
解：考虑引进参数
由取等条件：消去参数得：
即
解得
此时，
10.问取什么值时，取最大值。
解：考虑引进参数
考虑取等条件：。