均值不等式的待定系数法

均值不等式的待定系数篇

在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观点，高手直接pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子: 已知,,x y z R +

∈，求函数

2

22

xy yz u x y z +=++的最大值。 解析：取待定正数α，β，有基本不等式得：

2222222222222

22111[()()][()]

22y

y

y z y xy yz x x x y x y x αβαβαββαβαβαβ

+=⋅+⋅≤+++≤++++令22

2211αβαβ=+=

，解得：α=

β=，于是

2222222

())

22

xy yz x y z x y z α+≤++=++

所以222222222()

22

x y z xy yz u x y z x y z +++=≤=++++

y ==时，等号成立。

推广：设,a b 为给定实数，,,x y z 为任意不全为0的实数，则222

axy byz x y z +++的最大值

，最小值为。

简析：即证2222

22222

222222a y b y

x z x z x y z a b a b ⋅+⋅≤+++=++++。 1. 设

是不全为零的实数，求

的最大值

分析：显然只需考虑的情形

直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数

满足

故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大

值。

消去我们得到一个方程

此方程的最大根为我们所求的最大值

解之得

我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了

2. 设是不全为零的正实数，求的最大值

是的同我们依然可以引进参数使其满足

依据取等条件我们有

消去参数我们得到一个方程

这个方程的最大根为我们所求的目标。

解之得

呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。

你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。

当且仅当取等。

好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们开始来处理下面的几个问题吧！

3.设是正实数，求的最小值。

解：我们考虑引进参数使其满足：

依据取等条件我们有：

故的最小值为4

4.设是正实数且满足，求的最小值

解：观察题目的结构考虑到地位的平等性，引进参数

由取等条件我们有：

解之得

所以

当然了这个题目明显可以拉格朗日数乘法来解决，这也从另外一个角度启示我们某些条件极值是可以用待定系数均值来解决的……….

5．设为正实数，且，求的最小值

分析：这个题玩过不等式的会说权方和秒！今天我们从待定系数均值的角度也

来玩一玩。考虑和为定值，我们为了使用均值，可以这样引进参数

因此+=

由取等条件：

所以

6.若对任意恒成立，求的最小值。

解：对任意恒成立

所以对任意恒成立

下面我们依然可以待定均值

由取等条件：

消去我们得到：方程的最大根及为我们所求

解之得

因此的最小值为

读到这里也许有读者会说：你每次解那个比例式方程为什么说那个比值就是我们要求的目标呢？这个问题我想不用我解释吧，这太显然了！是不是？

为了加深对这个方法的认识和应用，我们来看一个大家都很熟悉的问题：

7.若且，求证：

好吧！你也许会说哥用柯西一行就秒了。是的，今天在这里我用待定系数来处理一下这个问题。考虑这样引进参数

考虑取等条件：

所以

8.有一边长为和的长方体纸板，在四个角各裁去一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使纸盒的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？

分析：这是一个很old的问题了，大多可以建立函数模型用导数解决之。今天我们换个角度用均值，对还是用均值来kill it！

解：设裁去正方形的边长为则做成的无盖长方体容积为

同样引入参数

考虑取等情况：

当时，右边为常数

故当二者同时成立时函数有最大值。

消去参数得到：

解之得：

故

9.求函数的最小值。

分析：这个单变量的函数，话说单变量都可以导数的嘛，你明白的在这里我还是想说均值可以kill it

解：考虑引进参数

由取等条件：消去参数得：

即

解得

此时，

10.问取什么值时，取最大值。

解：考虑引进参数

考虑取等条件：