一只会下金蛋的鸡——费马大定理
数学史上的著名猜想之(一)
数学史上的著名猜想之（一）—―被否定的数学猜想过伯祥数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。
本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.1．被否定的数学猜想（1）试证第五公设的漫长历程几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的.几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑.其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题.在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设.于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程.这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作.然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决.第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！“在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜想本身有没有毛病.”（2）引出一个大胆猜想第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什•鲍耶、罗巴契夫斯基意识到:“欧几里得第五公设是不能从《几何原本》的其余公设、公理中导出.”也即与其它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想——与第五公设相矛盾的公理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何——的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个——非欧几何的创造，就是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。
希尔伯特23个问题及解决情况
希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
费马大定理一个困惑了世间智者的谜
“证明这种不可能 性旳尝试，提供了 一种明显旳例子， 阐明这么一种非常 特殊、似乎不十分 主要旳问题会对科 学产生怎样令人鼓
舞旳影响”。
“费马猜测是一只 会下金蛋旳鸡”。
David Hilbert, 1862-1943
无数英雄尽折腰
➢1941年，雷麦证明 当n〈 253747887时 ，“费马最终定 理”旳第一种情况成立。
无穷递降法： 假设某结论对于某正整数成立，那么，能够求出或构造出更小旳正整数使得 该结论对于该更小整数也成立。……，无限地进行下去，就可得到一种无穷 正整数列，而正整数是有限数，故假设不成立。
(X1, Y1, Z1) > (X2, Y2, Z2) > … >(Xk, Yk, Zk) >…
无穷递降法旳精神一直到目前都在用，这就是高度理论，或称高度有 限性理论。
• 费马凭借丰富旳想像力和深 刻旳洞察力，提出一系列主 要旳数学猜测
费尔马小猜测
• 1640年，费尔马在研究质数性质时，发觉了一 种有趣旳现象：
• 当n=1时，22n+1=221+1=5； • 当n=2时，22n+1=222+1=17； • 当n=3时，22n+1=223+1=257； • 当n=4时，22n+1=224+1=65537； • 猜测：只要n是自然数， 22n+1一定是质数 • 1732年，欧拉进行了否定
因为经过三百数年，都没有人能作出反例， 所以人们相信是它是正确旳，是一种定理。
（2）费马提出这命题后三十年才逝世，为何 会把这个命题做“费马最终定理”呢？
因为费马曾经提出过旳命题，都已经被证明 或否定，只剩余这一题，未能获证。
n = 4旳证明
费马大定理--会下金蛋的鹅-人教B版选修3-1数学史选讲教案
费马大定理–会下金蛋的鹅-人教B版选修3-1 数学史选讲教案一、教学目标1.理解费马大定理的含义和意义；2.熟悉费马大定理的证明历程；3.掌握利用费马大定理解决实际问题的方法。
二、教学重点和难点1.教学重点：费马大定理的含义、证明和应用；2.教学难点：费马大定理的证明历程。
三、教学内容3.1 费马大定理费马大定理是古代数学中的经典问题，由法国数学家费马在17世纪提出，其内容是“对于大于2的正整数n，无法找到三个正整数a、b、c，使得a n+b n=c^n成立”。
3.2 费马大定理的证明历程自费马提出该定理以来，大量数学家在证明该问题上努力了几个世纪之久，但一直未能成功得证。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯用现代数学方法，利用复杂的数学技巧，最终成功证明了该定理。
3.3 费马大定理的应用费马大定理不仅是一个数学上的问题，还具有实际应用价值。
例如在信息加密和密码学中，常常使用该定理来加密信息，防止信息泄露。
四、教学方法本课程采用讲授、讨论和课堂练习相结合的教学方法。
具体包括：1.通过多媒体展示，讲解费马大定理的概念和历史；2.分析费马大定理的证明历程，引导学生思考；3.组织课堂讨论，激发学生兴趣，增强学生的理解和应用能力；4.安排课堂练习，巩固学生对费马大定理的掌握程度。
五、教学评价方法本课程的教学评价主要采用以下几种方法：1.掌握情况调查：课堂练习和作业的成绩定期评定；2.交流讨论：定期安排学生展示所掌握的费马大定理的应用实例；3.科技实践：通过开展实验和科技实践活动，考察学生对费马大定理的理解和应用能力。
六、教学资料费马大定理相关文献和视频资料。
教师还可以根据学生实际情况，选用相关教材和案例。
人教版八年级数学下册《费马大定理》教学设计 (1)
《费马大定理》教学设计教学目标：知识与技能1、了解费马大定理的产生和证明过程；2、了解类比推理是从特殊到特殊的推理；3、正确认识合情推理在数学中的重要作用；4、养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
过程与方法通过学习费马大定理，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
情感态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
教学重点：能利用类比进行简单的推理。
教学难点：由费马大定理总结出，类比推理，并用类比进行推理，做出猜想。
教具准备：与教材内容相关的资料。
课时安排：1课时教学过程：一、费马大定理1、业余数学家之王费马(Fermat,1601—1665),法国数学家，他非常喜欢数学，常常利用业余时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称为“业余数学家之王”，费马凭借丰富的想象力和深刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想。
2、费马小猜想1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一个有趣的现象：当n=1时，22n+1=221+1=5；当n=2时，22n+1=222+1=17；当n=3时，22n+1=223+1=257；当n=4时，22n+1=224+1=65537；猜测：只要n是自然数， 22n+1一定是质数1732年，欧拉进行了否定3、费马小定理如果P是一个质数，那么对于任何自然数n，n P-n一定能够被P整除.这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为“费马小定理”，利用费马小定理，是目前最有效的鉴定质数的方法4、费马大定理1637年前后，费马在读古希腊丢番图的《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这样一个结论（现在的写法）：同时又写下一个附加的评注：“对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下”5、费马大定理产生的历史性背景费尔马大定理，启源于两千多年前，挑战人类三个多世纪，多次震惊全世界，耗尽人类最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。
大问题教学(黄爱华)
“大问题”教学的导学金规则深圳市福田区彩田小学林炜深圳市福田区南园小学谭春兰“大问题”教学的核心词之一是“导”：在“大问题”的教学背景下，我们应该如何引导学生深层思考，诱导学生进入学习，指导学生渐入佳境，甚至误导学生掉入陷阱？以“大问题”为导向的课堂教学中，教师如何当好一名重要的导演，把教学导向透彻、自主、高效，把终极目标导向学生的终身可持续发展，还真是一门艺术。
下面，就让我们一起来分享黄爱华老师提出的若干个“大问题”教学的导学金规则吧！【大问题的“导”需要引发问题】能引出学生问题的问题，就是好问题。
“大问题”始终要让有问题的孩子保持有问题。
——黄爱华小时候看伊索寓言，就听说过“会下金蛋的母鸡”的故事。
有了一只会下金蛋的母鸡，就能带来源源不断的财富。
后来发现在数学界上，有个鼎鼎大名的数学定理—费马大定理，被希尔伯特称为是“会下金蛋的鸡”，因为这个定理引申出了无数重要的数学猜想与验证，将近代高等数学推向一个高峰。
带着“金蛋”的梦想，我们走近黄爱华老师……在不同的会场上听黄老师上“认识百分数”一课，他都会问：“这节课，你想学习关于百分数的哪些知识？”以问导问，孩子们都自己提出了“为什么喜欢用？”、“意义是什么？”、“特殊在哪里？”这三个典型的“大问题”。
课堂中黄老师顺势引导孩子们一一解决这三个问题，从而将百分数的意义、区别于分数的特殊处及与现实生活的联系等重难点问题都深入渗透了进去。
当学生把些问题都解决了，他们对百分数就有了完整的认识。
郑毓信教授在《数学教师的三项基本功》中提到“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。
”而what、why、where，正是学生学习每一个新概念时都应该向自己提出的问题，经常问这三个问题是促进学生元认知能力的一个有效手段，而元认知水平的高低正是决定解题活动成功与否的一个重要因素。
黄老师巧妙的设问，促使学生自发的提出“大问题”，将“老师给的大问题”延伸至“老师引导学生自己提出的大问题”。
费马大定理与_下金蛋的鹅_
大众科技报/2006年/8月/17日/第A03版科学文化费马大定理与“下金蛋的鹅”老涂大数学家希尔伯特曾经把著名的费马大定理叫作“下金蛋的鹅”，因为一方面这个问题本身简单得可以让普通人都了解；另一方面，解决这个问题却有足够的难度，需要人们不断地发现和发明，这样，这只“鹅”就能不断生出各种各样的“金蛋”。
古生物学今天能够这么热闹，人们不断地争论“进化论”、“灾变论”、“寒武纪物种大爆发”等，就是因为背后有一个大“金鹅”——恐龙是怎么灭绝的？在进化论还没有出现之前，学者们把恐龙称为诺亚方舟时代以前的巨型生物。
其后不久，达尔文提出进化论，指出恐龙由于不适应自然界的法则而被淘汰，在很长一段时间内成为科学家们的主流看法。
可是这个看法也遭到了质疑，因为如果恐龙在进化过程中被逐渐淘汰，那么这个过程就应当是缓慢而匀速的，但根据瑞士籍华裔科学家许靖华在其所著《大灭绝》中的观点，化石记录显示，在白垩纪末期，恐龙和大部分浮游生物在约一万年左右的时间内灭绝殆尽，这显然不符合进化论的节奏。
而且，就恐龙而言，现在的研究显示，它们已经发展出足够多的适应环境的多样性，不像是走到穷途末路的样子。
许靖华认为，一定是出现了某个突发事件，导致生物界的一次“大崩盘”。
至于究竟发生了什么样的突发事件，《大灭绝》中收录了各种各样奇怪的说法，有“淡水说”、“海外投毒说”、“冷血谋杀说”和“气候变化说”。
然而，这些说法先后都被科学家们证伪，此时天文物理学家也加入进来，他们提出的观点是陨石撞击导致了恐龙的灭绝。
天文学家验证了这样的概率和可能性，而核物理学家则演示了大撞击的后果，在地层中也留下了这次撞击的“罪证”。
虽然许靖华在《大灭绝》中，将恐龙因为陨石撞击而灭绝的过程推演得很严密，但是并非天衣无缝。
有人提出在大撞击之前恐龙就已经开始衰微，大撞击只不过是压上去的最后一根稻草。
而且大撞击时，恐龙只是被灭绝的动物之一，还有其他相当多的动植物也惨遭灭顶之灾。
人类最美的23个数学公式
人类最美的23个数学公式“每一个公式都是一段历史，每一个公式都是至美语言，每一个公式都蕴含着一个理性世界，每一个公式都集结了人类最高智慧。
”一、23个最美公式1、数学的溯源：1+1=2（数学独立于时空之外，在哪个宇宙都是恒古不变的）哥德巴赫猜想手稿2、勾股定理：数与形的结合（人类历史上第一次把“数”与“形”相结合）毕达哥拉斯树3、费马大定理：困扰人类358年（一只下了358年金蛋的鹅）4、牛顿-莱布尼茨公式：无穷小的秘密（如果没有微积分，英国的工业革命会推迟至少200年）5、万有引力：从混沌到光明（天不生牛顿，万古如长夜）6、欧拉公式：最美的等式（有数字的地方就有欧拉，欧拉被誉为“数学之王”）7、伽罗瓦理论：无解的方程（伽罗瓦的群论，拉开了现代数学的帷幕）8、危险的黎曼猜想（能有引诱数学家出卖灵魂）9、熵增定律：寂寞是宇宙宿命？麦克斯韦妖实验图10、麦克斯韦方程组：让黑暗消失（宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释）11、质能方程：开启潘多拉的魔盒（一粒尘埃，也蕴含着人类无法想象的巨大能量）12、薛定谔方程：猫与量子世界（猫，徘徊于宏观与微观世界之间）13、狄拉克方程：反物质的“先知”（应优先寻找美丽的方程，而不要去烦恼其物理意义）14、杨-米尔斯规范场论：大统一之路（规范场论不属于人间，它属于宇宙）15、香农公式：5G背后的主宰（香农重新建造了一个全新的世界，从宙斯的额头开始）16、布莱克-斯科尔斯方程：金融“巫师”（方程能定价期权，却无法预测人性）17、枪械：弹道里的“技术哲学”（子弹穿过大脑的瞬间，意识活动就会戛然而止）18、胡克定律：机械表的心脏（方寸之间内的“表里乾坤”，自由天地）机械表的结构19、混沌理论：一直蝴蝶引发的思考（混沌，才是这个世界的本质）洛伦兹方程组三维模拟图20、凯利公式：赌场上的最大赢家（赌徒迷信的是运气，赌场相信的是数学）25%投注下10次收益表21、贝叶斯定理：AI如何思考？（AI是人类最优秀的机器，然而AI永远只是一个机器吗？）22、三体问题：挥之不去的乌云（寻求三体解析解，是人类的梦想）23、椭圆曲线方程：比特币的基石（人会说谎，但数学不会骗人）二、我们应该熟知的数学家们1、朱塞佩·皮亚诺（ Giuseppe Peano ,1858-1932)：意大利数学家，数学逻辑和集合理论先驱。
人类智慧的象征：证明费马大定理
国数学科学研究所(MSRI)，在旧金山市向公众介绍费
文化时空 马定理的证明情况，美国数学会的《通报》(Notices)刊 登了该报导，并评论说“：这是对人类文化的珍视.”
怀尔斯 紧接着，美国、欧洲以及香港等地召开了多次的 专家会议，审查怀尔斯的证明，结果是发现了一些漏 洞，大家试图补救它，但都没有成功.1993 年 12 月，怀 尔斯向数学界的同行发出电子信件，承认他的证明还 有一条沟坎没有越过去，但他相信在普林斯顿工作几 个月以后，将会顺利获得解决.1994 年，怀尔斯的又一 封电子信件说，他利用和自己的学生泰勒(R.Taylor)合 作的一条定理，采取另一种方法绕过了那个沟坎，费 马定理可以获证.这一次，大家都没有轻易下结论，而 是投入了更多的研究.同行们评论说，怀尔斯的工作是 非常好的，即使作为推论的费马定理的证明失败了， 但是他证明费马定理的想法和其他结果是很好 的.1995 年 5 月，世界权威的学术刊物《数学纪年》(An⁃ nals of Mathematics)在第 141 卷第 3 期上，以整期的篇 幅，发表了怀尔斯修正后的证明《模椭圆曲线与费马 大定理》，以及他和泰勒的文章《某些赫克代数环的性 质》.三百年的费马大定理悬案，就此画上了句号.一个 20 世纪伟大的数学成就从此诞生.1998 年的柏林国际 数学家大会，授予怀尔斯以“特别奖”，以表彰他的历 史功绩. 希尔伯特曾说：“费马大定理是一只‘会下金蛋的 鹅’.”因为它，扩展了“无穷递降法”和虚数的应用；催 生 出 库 默 尔 的“ 理 想 数 论 ”；促 成 了 莫 德 尔 猜 想 、谷 山--志村猜想得证；拓展了群论的应用；加深了椭圆 方程的研究；找到了微分几何在数论上的生长点…… 费马大定理从 1637 年诞生，到 1994 年怀尔斯将 它攻克，整整用了 358 年的时间，而在这其中，无数数 学家前赴后继，虽然它耗尽了众多数学家的精力和心 数 血，但却推动了数学的发展，同时又催生出一批又一 学 批重量级的数学家.怀尔斯正是综合了前面众多数学 篇 家的成果，终于证明了费马大定理是正确的.
人教版八年级数学下册《费马大定理》教学设计
（3）多媒体展示师生活动：教师继续介绍费马大定理的证明历史，并强调此时证明的两个重要的方向——将整数问题转化为有理数问题、将代数问题与图形结构相结合。
并且教师给出一个定理产生的“金蛋”——利用椭圆曲线实现对网络信息的加密的一个例子。
（4）怀尔斯的证明教师介绍怀尔斯从1975年开始研究 时间人物历史事件 19世狄利克证明了n=5时，方程无正整数1908沃尔夫斯凯尔 悬赏10万马克 1983年 法尔廷斯 发现A 3+B 3=1至多有有限个理数解1984年 弗雷将x n + y n =z n 与椭圆曲线相联通过多媒体展示，向学生进一步介绍19到20世纪的数学家们证明的思路和方向，从中领略数学世界的精彩，体会数学思想的美妙之处，从而激发学生学习数学的热情。
y2= x3+ax2+bx+c的整数解，强调他的一个解决问题的方法--利用“时钟算术”将无限问题有限化。
并让学生尝试解决下面问题。
探究问题：如图①，在12格时钟里，2+13=？3×7=？如图②，在5格时钟里，4+6=？3×6=？图①图②师生活动：教师引导学生完成上述两个问题，并说明把椭圆方程放在不同格数时钟算术求它的解，形成一个解的序列，就像DNA一样携带着椭圆方程的本质特征。
教师播放视频，学生观看怀尔斯从1993年宣布证明结果到1995年正式通过审查的曲折而精彩的过程。
一方面让学生了解怀尔斯的证明的思路，并且通过设置探究问题让学生亲身体会将无限问题有限化的数学思想方法。
另一方面展现怀尔斯在证明过程中所经历的种种困难，以及他面对困难时不服输，知难而进的钻研精神。
培养学生遇到问题时能够积极向上的良好品质。
（5）多媒体展示师生活动：教师介绍怀尔斯通过顽强的拼搏取得了丰硕成果、获得了很高的荣誉，以及费马大定理最终彻底的证明对整个数学及人类所产生的深远影响。
三.小结与反思1.小结：回顾本节学习的内容，谈一谈对我们今后学习数学有哪些启示？师生活动：教师引导学生谈一谈自己的想法和收获，学生积极发言表达自己学习后的体会。
善待会下金蛋的母鸡
善待会下金蛋的母鸡作者：华夫脱来源：《作文与考试·高中版》 2014年第12期华夫脱大名鼎鼎的费尔马虽以律师为终身职业，却把一生所有的业余时间都贡献给了数学。
1637 年他提出一个著名设想，至今三百多年过去了，既无人能证明，又没人能否定，成为最著名的数学难题之一。
在攻克费尔马大定理的努力中，数学家们不断使用新颖的方法，无意中创立和发展了新的数学分支，推动了数学的发展。
库默尔为解决费尔马大定理创立的“理想数论”，为现代数论奠定了基础，其意义远远超过解决一个难题本身。
一旦这个难题解决了，某些有益的副产品也许就得不到了。
故而费尔马大定理被誉为“经常生出金蛋的母鸡”。
说到会下金蛋的母鸡，我不由想到了法兰西第一帝国皇帝波拿巴·拿破仑。
拿破仑叱咤风云，但也招致了欧洲各国的反对。
英俄普奥等国为了打败拿破仑，先后组织了七次反法同盟，最后把拿破仑制服。
在反法联军进攻巴黎的时候，巴黎某大学学生要求参军参战保卫祖国，但拿破仑不允，他说了这么一句注定要流传千古的名言：“我不能为取金蛋而杀了我的母鸡。
”拿破仑被流放到荒岛上，在孤寂中结束了自己曾经辉煌的一生，莘莘学子的生命却得以保全。
拿破仑说的那句关于母鸡与金蛋的名言被镌刻在了该大学阶梯教室的天花板上。
拿破仑堪称善待会下金蛋的母鸡的典型。
外国有会下金蛋的母鸡，中国难道就没有？中国的太极图经传教士传到莱布尼兹那里，启示他发明二进制，使他成为现代计算机科学的先驱。
玻尔用太极图来表达他的量子力学的互补原理，解决了微观世界中的波粒佯谬。
苏州大学中文系来景南副教授认为它是世界上最早的一张脑电图，在现代科学实证的基础上揭开了太极图的原始起源之谜。
1940 年，中国在法留学的刘子华（1899—1992）根据《易经》的太极图探讨宇宙构成，结合现代天文成果，写成《八卦宇宙论与现代天文——一个新行星的预测》，断定太阳系中必有第十颗行星。
1981 年美国海军天文台宣布：“根据最新仪器，发现太阳系第十颗行星”。
新思维八年级因式分解1-2
1.因式分解——解读课标——因式分解是整式乘法的逆向运用，她不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是学习后续内容（如分式的化简、解方程）等普遍使用的恒等变形的基础，为数学交流提供有效途径。
提公因式、公式法是因式分解的基本方法，有公因式先提公因式、分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，这是因式分解的基本原则。
一些复杂的因式分解问题，常用到以下知识方法：1.若q=ab 且p=a+b ，则形如2x +px+q 的多项式可分解为（x+a)(x+b); 2.当多项式数较多（4项或4项以上）时，通过恰当分组分解； 3.对结构较复杂的多项式，利用换元法分解 ——问题解决——例1 分解因式3)32(y x -+3)23(y x --3)(125y x -= .(“五羊杯”竞赛题）试一试 从公式3a +3b =（a+b)(2a -ab+2b )入手，若能发现前两项与后一项的联系，则能获得简解。
例2 把下列各式分解因式（1）（2x +5x+2)（2x +5x+3）-12； （2）（x+1)（x+2)（x+3)（x+6)+3x （3） (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（1），视x x 52+为整体，或用一个新字母代替；（2）是形如abcd+e 型的多项式，恰当把四个因式两两分组相乘，使得分组相乘后所得的项中有相同的部分；（3）式中（x+y)、xy 多次出现，引入两个新字母，突出式子特点。
例3 阅读理解观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-原式=()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x（2）bc c b a 2222+--原式=()()()()c b a c b a b a a bc c b a +--+=--=-+-222222第1题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式。
尔雅通识数学文化考试答案
《数学文化》期末考试( 20 )一、单选题 (题数：50，共 50.0 分)1 《算法统综》的作者是()。
1.0 分A、秦九韶B、李冶C、刘徽D、程大位正确答案： D 我的答案： D2 在解决哥“尼斯堡七桥问题” 时，数学家先做的第一步是( )。
1.0 分 A、分析 B、概括 C、推理 D、抽象正确答案： D 我的答案： D3 有理数系具有稠密性，却不具有( )。
1.0 分 A、区间性 B、连续性 C、无限性 D、对称性勾股定理 C、正确答案： B 我的答案： B4 第 24 届“国际数学家大会”会议的图标，与()有关。
1.0 分 A、费马猜想 B、勾股定理 C、哥德巴赫猜想 D、算术基本定理正确答案： B 我的答案： B5 点线图上的点，如果奇结点是()个，就不可能得到一笔画。
1.0 分A、 .0B、 1.0C、 2.0D、 3.0正确答案： D 我的答案： D6 “阿基里斯追不上乌龟”这一悖论的含义，与下列哪句话类似？() 0.0 分 A、有限段长度的和，可能是无限的 B、有限段时间的和，可能是无限的 C、《静静的顿河》 C、冰冻三尺，非一日之寒 D、一尺之锤，日取其半，万世不竭正确答案： D 我的答案： B7 下列哪部作品的作者，因为数学研究方法的帮助，洗清了剽窃别人作品的罪名？ ( ) 1.0 分 A、《安娜·卡列尼娜》 B、《静静的顿河》 C、《战争与和平》 D、《复活》正确答案： B 我的答案： B8 在探讨黄金比与斐波那契数列的联系时，需要将黄金比化为连分数去求黄金比的近似值，这时要运用()的思路。
1.0 分 A、勾股定理 B、递归 C 、迭代 D、化归正确答案： C 我的答案： C9 “没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度”，这句话出自()。
1.0 分A、 ProclusB 、 Immanuel Kant C 、 C.B.Allendoerfer D 、 Demollins正确答案： D 我的答案： D 10 类比是一种()推理。
费尔马大定理
费尔马对n=4的情况给出了一个证明，欧拉给出了n=3的情况，大约1825年，勒让德和狄利克雷独立地对于n=5的情况给出了证明．拉梅于1839年证明了n=7的情形．德国数学家库默尔对此问题的研究作了有意义的推进．1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔给哥廷根科学院留下十万马克，作为“定理”的第一个完全证明的奖金，更多的证明者纷至沓来．
费尔马大定理
费马大定理又称费尔马最后“定理”，这个著名的猜想产生于1673年，费尔马在读丢蕃图《算术》时，在第二卷问题8──“分给定的平方数为两个平方数”──的页边写下如下的注解：“分一立方数为两个立方数，分一个四次幂（或者一般地，任何次幂）为两个同次幂，这是不可能的，我确实找到了一个极妙的证明，但是页边太窄，写不下．”费尔马是否真有此问题的一个完善的证明，也许将永远是个谜！
1993完美地解决了．这357年中，有多少优秀的数学家为了费尔马问题作出不懈的努力，然而，他们都纷纷失败了．但是，他们为解决问题而作的努力，作出的好设想，却是有价值的，有重大意义的，正如希尔伯特所说，费尔马问题是一只会下金蛋的鹅，能激发许多思想，推动数学向前发展．
怀尔斯用7年时间证明了费马大定理，杀死了一只会下金蛋的鹅
怀尔斯用7年时间证明了费马大定理，杀死了一只会下金蛋的鹅如果要用一个定理涵盖整个数学发展史，那么肯定非“费马大定理”莫属，从1637年诞生，到1993年怀尔斯将它攻克，整整用了356年的时间，而在这其中，无数数学家前赴后继，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，就连欧拉、高斯都未能将他全部攻克。
对于费马大定理的证明工作可以说就是一部活生生的数学发展史。
直到1993年怀尔斯成功攻克了费马大定理，而这也被誉为““20世纪最辉煌的数学成就”。
今天我们就来聊聊怀尔斯证明费马大定理的前世今生。
喜欢恶作剧的费马，提出了费马大定理，却将证明过程省略费马是一位业余数学家，他的本职工作其实是一位律师，他的爱好是数学，由此费马也被称为“业余数学家之王”。
《业余大数学家的数学》这本书却不愿意把他的名字列上去，因为如果费马都算“业余数学家”了，那其他专业数学家怎么活？为什么这样说，因为费马在数学领域的成就太多，无论是数论还是几何，费马都有突出的贡献，费马独立于勒奈·笛卡尔发现了解析几何的基本原理。
他还建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。
他还在概率论方面有贡献！而在数论方面，费马非常喜欢古希腊数学家丢番图所著的《算术》，这本书也跟随了费马一生，他非常喜欢在律师工作之余求证丢番图的《算数》这本书。
他在这本书上简单、潦草地记下了48个评注。
费马认为这些评注都是一个个数学定理，但他对此要么根本没有解释，要么仅仅给出一点点证明提示。
这其实是费马的恶趣味，他很喜欢与一些知名数学家通信，在信中他叙述自己的最新定理，却不提供证明。
这种明显的挑衅叫他人无法忍受，有人叫他“那个该诅咒的法国佬”。
费马手稿除此之外，他并不喜欢自己的数学成果被发表，费马曾与著名数学家帕斯卡探讨了概率论。
当帕斯卡催促费马发表他的某个成果时，费马说“不管我的哪个工作被确定值得发表，我不想其中出现我的名字”。
当他在阅读数学书籍的过程中，他习惯把随想的一些思路写在旁边空白的地方。
费马猜想证明艰难历程的概述
费马猜想证明艰难历程的概述王德忱（黑龙江省农业科学院黑河分院）一、费马猜想费马猜想：又称费马大定理，是世界最著名的数论难题之一，即当n是一个大于2的正整数时不定方程z n＝x n＋y n为正整数等式不成立，也就是没有zxy ≠ 0的正整数解。
几何学中被誉为两大宝藏之一的“勾股定理”（另一为“黄金分割”）自史以来非常受人们重视，它的正整数解被称为“勾股弦数”。
大约在公元前1900年到公元前l600年之间古巴比伦人就掌握了多组勾股弦数，公元前12世纪我国《周髀算经》也记载了“勾三股四弦五”的重大发现。
古希腊数学家丢番图（330－246年）给出了勾股弦数a2＋b2 = c2基本组解公式：a = 2mn、b = m2－n2、c = m2+ n2（m ＞n）。
这些数学的辉煌成果是人类历史上杰出智慧的结晶。
于是数学家们要找到a3＋b3 = c3的正整数解，乃至要找到a n＋b n = c n的正整数解。
数论，闪烁着神秘的光环，皇冠上璀璨的明珠！费马，1601年— 1665年生于法国。
他职业最初是律师，后来为图卢兹议会议员。
他博览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学，近三十岁时钻研数学，成果累累，在数论、解析几何学、概率论等方面都有重大贡献，被誉为“业余数学家之王。
他提出了许多数学定理，特别是1637年在巴契校订的希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”旁边写道：“把一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分为两个同次的幂是不可能的。
关于这一点，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。
从此z n = x n＋ y n没有正整数解的“美妙的证法”吸引了许多优秀数学家及成千上万数学爱好者的痴劳寻觅。
所有巨大的辛苦与付出都没能达到目的，这个问题就成了数学史上一个最深奥的谜。
为推进费马猜想的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖，1908年哥廷根皇家科学会悬赏10万马克（当时值200万美元）期限定为100年（至2007年）征求对费马猜想的证明。
费马大定理：“一只会下金蛋的鹅”
费马大定理：“一只会下金蛋的鹅”费马大定理是由法国数学家费马提出的。
此“定理”提出后，经过多个天才数学家的猜想辩证，历经三百多年，1995年，终于被英国数学家安德鲁·怀尔斯攻克，证明费马的断言是正确的。
费马大定理的提出：一个留在书旁空白处的断言1637年法国数学家费马在研读古希腊数学家丢番图的著作《算术》时，看到有一道关于勾股数的问题“给定一个平方数，如何将它写成另两个平方数之和？”不知这位伟人对此进行了怎样的考究，但在这道题旁边的空白处，他却写下了这样一段话“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”费马的这段话是在断言：当n>2时，x?+y?=z?没有正整数解。
这个断言就是著名的费马大定理，又称“费马最后的定理”。
费马大定理非凡的费马大定理：一只会下金蛋的鹅“地方太小，写不下”，这位伟人竟然找了如此的理由未将他美妙的证法写下来，不知道他是在开玩笑，还是故意给后人留了一个天大的“玄虚”，挑战后人的智慧。
这个“定理”以其独特的魅力，吸引了众多杰出数学家致力于它的辩解论证，耗尽了许多天才大脑的精力，它困惑了三个世纪的数学家，或许当初费马根本就没有证明他的这个定理，因为300多年数学家们前赴后继的研究，发现攻克它实在是太难了！18世纪，瑞士数学家欧拉仅仅做出了n=3的证明；19世纪，德国著名数学家高斯曾经研究过它，但终因得不到结果而放弃；20世纪，当大数学家希尔伯特被劝去破解费马大定理时，他却说他不愿意“杀死这只会下金蛋的鹅”。
为什么这么说呢？原来对费马定理长达3个多世纪的研究中，发展起了很多绝妙的数学概念和理论，甚至还产生了数学分支。
这也是人们怀疑费马当时是否真的找到正确证法的另外一个理由。
1.扩充了“整数”的概念在研究的过程中，数学家们发现，如果把n次单位根ω（即ω?＝1）看作“整数”，那么x?+y?=z?(n＞2)就可以分解为z"=x"+y"=(x+y)(x+yω)(x+yω2)…(x+y ω?)，进而再进行深入的分析。
一道不等式题引发的思考
丽
＋ ｂ ｃ ０ ＋ ｃ 口＋ｂ ≤ ． 乏 ＂ ＂ 芝 － ＋ ２－ ４ － Ｉ－ ２－ ） ｎ ｃ ｔ ｂ ＋（
丝 ３
命题 ３ 设 口 ｂ ｃ ， ， 是正 实数 ， 证 ： 求
２ ４ ｂ －
口 （ ＋ｃ ＋２ ） ’ ｂ
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２ ｏ Ｓ ｏＣ ＋ ｃｓＢ＋（ ｏＣ ＋ｃ ｓ ＋ ｓ ｒ ０Ａ ＋ｃ ｓ 、 ‘ ． ｃｓＡ＋（ＯＢ＋ｃｓ 。 ｏ Ｃ ） ２ ｃｓ ２ Ｃ ｓ ０Ｂ ＜ｌ’ ６ ０Ａ） 。 ｃ ＋ ｏ ｃ １ ｕ
（ ｃ ｃｓ ｃｓ ） ２ ｏＢ＋ Ｃ＋ ｏＡ ３ ｓ ｏ
４ －
（ ＋ ） 。 口＋ ｃ 口 ｃ ＋（ ）
＋
２
ｂ
≤
） 、 … ＋ｃ ． ６ 。‘
以上 ２ 个命题不等式 的左边都不是零次齐次式 ， 命题 １ 的解题方法仍可借鉴 下面只证命题 ３ ．
证明 设 ０＋ｂ ： ， ＋ｃ ｓ令 ）＝ ， 则
者 岛 ＋＋ ｝
Ｉ ￣ ｔ ｇ ｔ
命题 ３得证．
≤ ＋＋ ｝
＋・ 争
。 ） ｃ ８ ＋ ＋ 争：（ ＋． ） ６ ） （ ｃ ３ ｃ ＋ 十 ≤ ） × ）
保持分母不变 ， 仅改变分子 ， 利用以上思路还可以获得很多优美 的不等式． 有趣 的是 ， 借助于熟知的三
・
３ ・ ６
中 学教 研 （ 学 ） 数
Ｊ
口Ｉ ＂ ＝ － ４ １的假设下 ， － － ｂ ｃ 它正好是不等式等号成立时 口ｂｃ ， ， 的取值． 联想与类 比在很多场合下是获得新命题的金钥匙． 比命题 Ｉ 类 的结构 ， 不难猜想如下 ２ 个相似命题 ： 命题 ２ 设 口６Ｃ 正实 数 ， ４ ４ ＝１求证 ： ，，是 口＂ － － ｃ ， ｂ＂
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一只会下金蛋的鸡
——费马大定理
学了勾股定理，我们都知道直角三角形的三边满足关系式
a2+b2=c2，
同时还知道，有无数组正整数满足这个关系式。
如果a、b、c的次数不是2，而是大于2的正整数，能不能找到正整数满足这个关系式呢？
十七世纪，法国的一位法官、著名的业余数学大师费马，在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8个命题：“将一个平方数分解为两个平方数之和”时，在书的空白处写下了一段引人注目的文字：“要想把一个立方数分成两个立方数，把一个四次幂分成两个四次幂，一般地说，把任何高于二次的幂分成两个同次幂，都是不可能的。
关于此，我确信已发现一种美妙的证法。
可惜这里空白的地方太小，无法写下。
”费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。
这就是说，费马自称证明了定理：
x n+y n=z n，（n≥3）
无正整数解。
人称费马大定理，也称费马最后定理。
为什么叫这个名称呢？因为费马提出了数论方面许多引人注目的、富有洞察力的结论，这些结论一直到他去世后很久才被人证明大多是正确的，只有一个是错的。
到1840年左右，其中只剩下上述这一个结论还没有被证明，因此称为费马的最后定理。
把该定理称为费马大定理，是用以区别费马小定理。
费马小定理是费马在1640年10月18日给他朋友的一封信中传出去的，这定理说，若p是一个素数而a与p互素，则a p-a能被p整除。
费马真的证明了自己的定理吗？人们普遍持怀疑的态度。
费马逝世后，他的后人翻箱倒柜，也只找到了n=4的证明。
他是用直角三角形三边长为整数，面积决不是平方数这一事实来证明的。
后来，有人经过详实的考证，认为费马不可能完全证明了自己的定理。
三百多年来，上百名最优秀的数学家为了证明它付出了巨大的精力，其中有欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利赫勒、拉梅、柯西、库默等。
问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作，有些数学家，如库默和近代的范迪维尔，为此献出了毕生的精力。
林德曼在1882年证明了π是超越数后，也终身研究费马定理，而未获结果。
布鲁塞尔和巴黎科学院曾设奖金悬赏数次，但也未得到解决。
1908年，数学家佛尔夫斯克尔在哥廷根皇家科学会又悬赏十万马克，征求正确的证明。
一大批业余爱好者也进行了尝试，并寄去了自己的解答。
据说，著名的数论专家朗道请人印了许多明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士：你对费马大定理的证明已经收到，现予退回。
第一个错误出现在第 页，第 行”。
朗道将这些明信片分发给他的学生们，吩咐他们将相应的数字填上去。
最初的证明是从n=3开始一个数一个数的进行的。
后来，库默经过终生的努力，“成
批地”证明了定理的成立，人们视之为费马大定理证明的一次重大突破。
1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。
前人直接证明费马大定理的努力取得了许多成果，并促进了一些数学分支的发展，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离。
怎么办呢？按数学家解决问题的传统，就是要作变换——把问题转化为已知的或易于解决的领域的“新”问题。
种种转化的方法既推进了所转化的领域的发展，也使费马大定理的证明得到进展。
每一次对费马大定理证明的重大突破，都对许多数学分支产生重要的影响。
有好多结论已十分接近费马大定理了，但它们毕竟不是原定理的证明，离原定理的证明尚有并非容易跨越的“一小步”。
三个世纪的历史表明，费马最后定理是有巨大价值的数学问题。
要想预先正确判断一个问题的价值是困难的，并且常常是不可能的。
因为最终的判断取决于科学从该问题得到的收益。
希尔伯特在一次演讲中谈到费马大定理的价值时说：“证明这种不可能性的尝试，提供了一个明显的例子，说明这样一个非常特殊、似乎不十分重要的问题会对科学产生怎样令人鼓舞的影响。
受费马问题的启发，库默引进了理想数，并发现了把一个循环域的数分解为理想素因子的唯一分解定理，这一定理今天已被狄德金和克朗奈克推广到任意代数域，在近代数论中占着中心地位，而且其意义已远远超出数论的范围而深入到代数的函数论的领域。
”希尔伯特还评价说，“费马猜想（即费马大定理）是一只会下金蛋的鸡”。
【附录】
一、【费马简介】
彼埃尔 · 德 · 费马（1601年～1665年）法国数学家、物理学家。
物理学中的费马最小时间原理是几何光学的基本定理。
费马在数学中的贡献是多方面的。
在数论中以他的名字命名的有费马小定理、费马大定理、费马数、费马二平方差定理等，几何学中有费马螺线和费马点，微积分学中有关于极值的费马定理。
此外，费马还首创了无限下推法，他分别是概率论与解析几何的首创者之一。
费马1601年8月20日出生于法国南部土鲁斯附近的波蒙，1665年1月12日卒于土鲁斯（或卡斯特）。
他出生于商人家庭，青年时期在土鲁斯攻读法律，后来成为著名的律师，曾任土鲁斯议会议员。
他不但法律知识渊博，而且以严格的清廉为人称颂。
费马不是一位职业数学家，他近30岁才认真注意数学，只能利用公务之余通过自学研究。
他在研究几何的过程中发现了解析几何的原理；他是微积分学的杰出先驱者；他和帕斯卡一起奠定了古典概率论的基础；他振兴了数论的研究。
因此，被称为“业余数学家之王”、“近代数论之父”。
费马谦逊、好静。
生前只发表过很少的著作。
他对数学的研究成果，主要是写在他阅读过的数学书的边缘和空白处或写在给朋友的信件中，也有一些是散放在旧纸堆里。
他去世后，人们（包括他的儿子）才把这些资料汇编成书，共两卷，先后于1670年和1679年
在土鲁斯出版。
二、【证明费马大定理的小故事】
在数学史上，曾流传着这样一个掌故。
据说，希尔伯特的一个学生，有一次写了一篇关于费马大定理的论文，一天晚上，他对希尔伯特说：“我已经证明了费马大定理，请老师看一看我的论文。
”希尔伯特回答说：“哦！你可能太疲倦了，需要好好休息一下，明天再来找我吧。
”第二天，这个学生又去找希尔伯特，他说：“我已经发觉昨天的证明是错误的。
”
三、【费马大定理的最终证明】
1993年6月23日，星期三。
英国剑桥大学新落成的牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。
报告从上午8点整开始，报告人维尔斯用了两个半小时就他关于“模形式、椭圆曲线和伽罗华表示”的研究结果作了一个冗长的发言。
10点30分，在他的报告结束时，他平静地宣布：“因此，我证明了费马大定理。
”这一句话象一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手“定”在了空中，大厅里鸦雀无声。
半分钟后，雷呜般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶，英国学者们顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢呼起来。
很快，这一消息轰动了全世界，许多一流的大众传播媒体迅速地报道了这一消息，并一致称之为“世纪性的科学成就”。
维尔斯证明的实际上是另一个猜想：谷山—志村—韦伊猜想。
为此，他写了200多页的证明，在1993年6月23日报告。
但好事多磨，维尔斯长达200多页的论文送交审查时，却被发现其证明有漏洞。
许多传媒又迅速地报道了这一“爆炸性”新闻。
数学界普遍认为，在数学命题证明中出现漏洞然后再加以补正，是不足为怪的，在数学发展的历史中时有发生。
一些审阅过维尔斯论文的专家还指出，即使维尔斯没能证明出费马大定理，他的论文也已经包含有一项表现为重大突破的数学成就。
维尔斯在挫折面前没有止步，从1993年7月起，他就一直在修改论文，这是一项十分困难的工作，以致于他应邀在1994年8月在瑞士苏黎世召开的国际数学家大会上作报告时，对费马大定理只字未提。
1994年9月，维尔斯终于解决了困难，重新写出了一篇108页的论文，于1994年10月14日寄往美国《数学年刊》，论文顺利通过审查，1995年5月，《数学年刊》的41卷第3期只登载了他的这一篇论文！这一被认为是“二十世纪最重大的数学成就”使得维尔斯获得1995/1996年度的沃尔夫数学奖，并于1998年破格获得菲尔兹奖。