2020浙江高考数学

1
2
1 1 1
（第5题图）
侧视图 俯视图
绝密 ★ 启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：
若事件,A B 互斥，则
()()()P A B P A P B +=+
若事件,A B 相互独立，则
()()()P AB P A P B =
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)(0,1,2,,)
k k
n k n n P k C p p k n -=-=
台体的体积公式
11221
()3
V S S S S h =
其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，
h 表示台体的高
柱体的体积公式
V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式
1
3V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式 2=4S R π 球的体积公式
34
3V R π=
其中表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1. 已知集合{}
14P x x =＜＜，{}
2Q x x =＜＜3，则P Q =
A.{
}1x x ＜≤2
B.{
}2x x ＜＜3
C.{
}3x x ≤＜4
D.{}
1x x ＜＜4
2. 已知a R ∈，若1(2)a a i -+-（i 为虚数单位）是实数，则=a
A.1
B.-1
C.2
D.-2
3. 若实数,x y 满足约束条件310
3x y x y -+⎧⎨+-⎩
≤≥0，则2Z x y =+的取值范围是
A.(]
,-∞4
B.[)4+∞，
C.[)5+∞，
D.()-∞+∞，
4. 函数
cos sin y x x x =+在区间[],ππ-上的图像，可能是
A
B
C
D
5. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3
cm ）是
A.
73
B.
143
C.3
D.6
6. 已知空间中不过同一点的三条直线,,l m n .“,,l m n 共面”是“,,l m n ”
相交的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7. 已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，
1
1a d
≤.记12b S =，1222n n n b S S +-=-，*
n N ∈，下列等式不可能成立的是
A.4
262a a a =+
B.4
262b b b =+
C.2
428=a a a
D.2
4
28b b b =
8. 已知点O （0,0），A （-2,0），B （2,0）.设点P 满足
2PA PB -=，且P 为函数2
34y x =-图像上的点，则
OP
= 22
410
7 109. 已知,a b R ∈且,0a b ≠，对于任意0x ≥均有()()(2)0x a x b x a b ----≥，则
A.0a ＜
B.0a ＞
C.0b ＜
D.0b ＞
10.设集合S T ，，**S N T N ⊆⊆，，S T ，中字至少有两个元素，且S T ，满足：
①对于任意的x y S ∈，，若x y ≠，则xy T ∈；
②对于任意的x y T ∈，，若x y ＜，则
y
S x
∈.下列命题正确的是 A.若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B.若S 有4个元素，则S T 有6个元素， C.若S 有3个元素，则S T 有5个元素
D.
若
S 有3个元素,则S T 有四个元素
h R 姓名： 准考证号：
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
就是二阶等差数
列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
（*n N ∈）的前3项和是 .
12.二项展开式5
2
3
4
5
01234512)x a a x a x a x a x a x +=+++++（，则4a = ，
135a a a ++= . 13.已知tan 2θ
=，则cos2θ= ，tan()4
π
θ-= .
14.已知圆锥的侧面积（单位：2
cm ）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单
位：cm ）是 . 15.已知直线
y kx b =+（0k >）与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k = ，
b = .
16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取
出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ== ，()E ξ= .
17.已知平面向量1e ，2e 满足
1222e e -≤
，设12a
e e =+，123b e e =+，向量,a b 的夹角为θ，
则2
cos
θ的最小值是 .
三、解答题：本大题有5小题，共 74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，已知2sin 30b A a -=。

（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）求cos cos cos A B C ++的取值范围.
19.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ABC ⊥平面，
45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =.
（Ⅰ）证明EF DB ⊥；
（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.
20.（本题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足1111a b c ===1n n n c a a +=-,，
12
n
n n n b c c b ++=，*n N ∈
（Ⅰ）若{}n b 为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{}n a 的通项公式
（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，公差0d >，证明：1231...1n c c c c d
++++<+，*n N ∈.
21.（本题满分15分）如图，已知椭圆1C ：2
212
x y +=，抛物线2C ：22y px =（0p >），点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 与点M （,B M 不同于A ）。

（Ⅰ）若
1
16
p =
，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的
最大值.
22.（本题满分15分）已知12a <≤，函数
()x f x e x a =--，其中 2.71828...e =是自然对数的底数.
（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； （Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：
（i ）
012(1)a x a -≤≤-；
（ii ）00
()(1)(1)x x f e e a a ≥--.
（第19题图）
（第21题图）。