材料力学-附录

2

R
3
同理可得对 y 轴的惯性矩 对原点的极惯性矩
1 I y πR 4 16 1 4 I P I x I y πR 8
动脑又动笔
求图形的惯性 矩与惯性积。
y D
y
1 I x I y πR 4 16
x

1 D 1 π πD 4 16 2 256
4
D
x
附 录 截面图形的性质
Appendix
Properties of Plane Areas
平面图形的几何性质包括：重心， 形心，静矩，惯性矩与惯性积。
重心与形心 1、定义：如果将物体看成由许多个质点组成的，则 各质点所受到的重力便组成一个空间力系。此力系合 力的大小就是物体的重量。合力的作用线总是通过一 个确定点，该点称为物体的重心。如果是均质物体， 重心的位置完全取决于物体的几何形状，而与物体的 重量无关。这时物体的重心也称为形心。
求直角三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。
1 3 I K bh 24
1 KC h 6
1 3 I C bh 36
例
求如图的截面对 x 和 y 轴的惯性矩。
y a a a a
已知半圆对 x 轴的惯性矩为
x K
1 1 1 4 4 I x π (2a ) π a 2 64 8
故图形对 x 轴的惯性矩为
2
8 1 π a4 9π 8
y 轴与 C 间的距离为
4 2 a 3π
故半圆对 y 轴的惯性矩为
8 4 8 4 1 2 4 2 17 1 I y π a πa 2 a π a 3 9π 8 8 2 3π
4bh Sx 2h 15 yC 2bh A 5 3
2
数学工具箱
平面图形中的微元面积 直角坐标系
y b dA x
dA dx dy dA b dy
y
如果被积函数与 x 无关 极坐标系
dA r dr d dA r dr
r
θ
如果被积函数与 无关
dA dA
x
例 求如图半径为 R 的四分之一圆的形心位置。
组合图形
组合图形的分割
例
求如图工字形截面关于中线的
惯性矩。
60
10
10
截面可视为 一个矩形与两个 矩形之差。
60
10
组合图形的 负二次矩法
1 3 I 60 60 2 10 12 1 60 10 3 2 60 12 2
1 .66 10 6 mm 4
Sy
S x A AA x x A A
yi ci i i i i c ci i i i i
i
S y S y1 S y 2
组合图形形心计 算中的负面积法
A A 1 A2
S y1 S y 2 xy A1 A2
例 求如图截面的形心位置。
3a a 7a/ 2 5a/ 2 a
x
（x，y） —— 形心坐标系。
Ix
y a dA
2 A
I x y 2 dA 2 a y dA a 2 d A I x 2 aS x a 2 A
A A A



由于 x 轴过形心 同理

A
y dA S x 0
I x I x a 2 A
c c
c
a a
I1 x
c
I2x
c
1 13 4 2 2 3 3 a a (3a ) a a 12 4 1 21 4 2 2 3 a (3a ) 3a a a 12 4
17 4 Ix a 2
c
动脑又动笔
h b K C
1 1 5 4 3 3 I y a ( 3a ) 3a a a 12 12 2
错在何处？ 1 4 1 4 9 4 2 I x π a π a 2 a π a 8 8 4
半圆对 C 轴的惯性矩
y C a a a a a a a a 4a/ 3 x C K
1 4 1 1 2 4a + I c πa ? π( 2 a ) 8 2 4 3π
1 3 行于底边的坐标轴的惯性矩为 bh 。 12
重要数据 实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩
为 1 π D 4 ，极惯性矩为 1 π D 4 。空心圆截面的惯性矩
64 32 1 1 4 4 为 π D 1 ，极惯性矩为 π D 4 1 4 ， 为内径 64 32
与外径之比。 重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。
2、积分法 若将平面图形分割成无穷多个微分面积 ，在极限情 况下用积分公式 3、组合法 工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组 成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截 面。由于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此 计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
一、几何图形的一次矩
面积矩（静矩）( first moment of area )
i
i
V
重心与形心的简单确定 根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其 重心及形心的位置。• 1、对称法：对于形状比较规则的物体及图形，其重心 及形心可根据对称性直接判断。•（1）具有 一 根对称 轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；•（2）具 有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称 轴的交点上；•（3）中心对称的简单物体及图形，其对 称中心便是重心或形心。
I x y dA
2 A


0 0
b hx b
x

b
另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条
b dA b y dy h
b 1 3 I x y dA y b y dy bh h 12 A 0

2

h
2
分析和讨论
可以用如图的竖向微元面积条将二重
y
S x y dA
A

S y x dA
A

xc x
c dA y y c
形心 ( center of an area ) 公式
Sy 1 xc x dA AA A
x

yc
S 1 y dA x AA A

S x y c A S y xc A
重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。
A

极惯性矩 ( polar moment of inertia )
I P ( x 2 y 2 )dA r 2 dA
A A


例 求如图三角形对 x 轴的惯性矩。
斜边的方程为
y b h dA
h y x b
1 1 3 3 y dydx hx b dx bh 3 12 0
2
[例1]求三角形ABC对底边BC的静矩
解: h y DE ,
h
b
b DE (h y ) h
h
y A
b dS y (h y ) ydy h h b S x dS x (h y) ydy 0 h A
积分得：
dy
y B
D
E
O
b
x
C
b h 2 1 3 1 2 S y y y bh h 2 3 0 6 1 h S y ( bh) 2 3
h h
y h(1 x2 / b2 )
y dx
xdy
y
2x dy h 2 dx b
4bh Sx 15
2
O
x
b
dx
x
A dA ydx 0
A 0
b
b
x2 h(1 2 )d x b
2bh A 3 2 形心坐标为 : bh Sy 3b 4 xC A 2bh 8 3
A

b 2
x dx y d y 0
h 2
例 求如图半径为 R 的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和
极惯性矩。
y
对 x 轴的惯性矩
r
θ
I x y 2 dA
dA x
A
π 2

π 2R

0 0
r 2sin 2 rdrd
1 sin d r dr π R 4 16 0 0
积分化为单重积分吗？
动脑又动笔
y h b
求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。
x
对 x 轴的惯性矩
I x y 2 dA
A

h2 b2
h 2 b 2

y 2 d xd y
1 3 bh 12
同理可得对 y 轴的惯性矩
b2
1 3 I y hb 12
h2
对 xy 轴的惯性积
I xy xy dA
实心圆
1 I x I y πD 4 64
1 I P πD 4 32
y
x d
1 1 4 4 π D 4 (1 4 ) I x I y π D d 64 64
D
空心圆
d D
1 I P π D 4 1 4 32
重要数据 高为 h 宽为 b 的矩形截面对通过形心且平
三、平行移轴定理
y y
如果已知图形对某一坐标系Байду номын сангаас 惯性矩和惯性积，
x x
如何求图形关于另一平行坐标 系的惯性矩和惯性积？
特别地，先考虑过形心的坐标系。
平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )
y b b a c y x dA y a x
（x ，y ）—— 普通坐标系。
h
[例4-2]：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面 图形对y轴和x轴的静矩，并确定图形的形心坐标 2 2 。 b b x b h 解：S y xdA xydx S y xh(1 2 )d x 0 0 b 4 A
x2 S x ydA xydy h(1 2 ) xdy y A 0 0 b b x2 2x 0 h(1 b2 ) x(h b2 )dx h
xc P x
i ci
P
yc
P y
i
ci
P
zc
P z
i
ci
P
式中式中xi, yi, zi为mi 的坐标，xc ,yc, zc为重心的 坐标 当物体为均质时，得到如下的重心坐标公式：
xc
V Vi yi yc V
V x
i
i
zc
V z
I xy I xy abA
I y I y b 2 A
平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )
y y x dA y c
重要公式
x x
b a
I x I x a 2 A
I y I y b 2 A
I xy I xy abA
15a 3 A 2 3a
2
5 yc a 2

20a 1.37 a 3(8 π)
二、几何图形的二次矩
y
x
惯性矩 ( moment of inertia )
I x y 2 dA
dA y
A

I y x 2 dA
A

r
x
惯性积 ( product of inertia )
I xy xy dA
y
S x y dA
A

π 2R
r sin r dr d
0 0 R
r

dA
x
1 3 sin d r dr R 3 0 0
π 2


2
1 2 A πR 4
4R yc 3π xc 4R 3π
同理
组合图形
组合图形的面积矩 组合图形的面积 组合图形的形心公式为
注意
在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。
否则应用公式 I I 2 aS a 2 A 。 x x x
重要结论 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的
惯性矩为最小。
例 求如图的截面对形心轴的惯性矩。
y 3a a xc 5a/ 2 a 3a
I x I1x I 2 x
a a a a
1 1 4 64 π 4 3 I x ( 4 a ) ( 4 a ) 2 π a a 20.55a 4 12 8 3 4
半圆对 K 轴的惯性矩
1 1 1 4 4 I K π (2a ) π a 2 64 8
半圆对 y 轴的惯性矩为
例 求如图截面的形心位置。
a a 1.37a x 2a
3a/ 2
3a
x
形心位于左右对称轴上 以下边缘为基准
形心位于左右对称轴上 以下边缘为基准
7 3 S x 3a 2 a 3a 2 a 2 2
1 2 4a 2 y C ( 2 a ) a π a 2 3π 1 2 2 ( 2 a ) πa 2