计算方法习题

《计算方法》练习题一

练习题第1套参考答案 一、填空题

1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2

10- ）。

2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （

))((!2)

(b x a x f --''ξ ）

。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5

2

）。

4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。

5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题

1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。

A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2

)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）

． Ａ．

2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6

π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次

5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.

A ．)(h o Ｂ．)(2

h o Ｃ．)(3

h o Ｄ．)(4

h o 三、计算题

1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。

2

212

212

2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，

由

0,021=∂∂=∂∂x x ϕ

ϕ得：⎩⎨⎧=+=+9

629232121x x x x ， 解得14

9

,71821==

x x 。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰

2

1

1

dx x

，并估计误差。

⎰

≈++++≈2

1

697.0]2

1

7868581[81x dx ， 96

1

1612)(2=

⨯≤

M x R 。 3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++4

26453426352321321321x x x x x x x x x 。

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1142242644223214264426453426352 回代得：T

x )1,1,1(-= 4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)

1(x

）。

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131410*********x x x

因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++ ,1,0,)

1(41)3(41)1(41)(2)1(3)

(3)(1)1(2)

(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。

取T x )1,1,1()

0(=计算得： T x )5.0,25.1,5.0()

1(=。

5．用切线法求0143

=+-x x 最小正根（求出1x ）。

．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*

∈x ，在]5.0,0[上，06)(,043)(2

≥=''<-='x x f x x f 。

由0)()(0≥''x f x f ，选00=x ，由迭代公式： ,1,0,4

3142

3

1

=-+--=+n x x x x x n n n n n 计算得：25.01=x 。

四、证明题

1． 证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：

1010),)((!

2)

()(x x x x x x f x R <<--''=

ξξ。 2. 对初值问题：⎩

⎨⎧=-='1)0(10y y

y ，当2.00≤

１．设))()(()()()(),)()(()(10110x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有

x x x ,,10为三个零点。应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零点ξ，!

2)

()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''=

=-''=''。 ２．由欧拉法公式得：

0~1~y y oh

y y n

n n --=-。

当2.00≤

00~~y y y y n n -≤-。欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案 一、填空题

1． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ 21

102

-⨯，

）。 2．用辛卜生公式计算积分

⎰≈+101x dx

（

）。

3．设)()1()

1(--=k ij k a A

第k 列主元为)1(-k pk a ，则=-)

1(k pk

a （ 21x =， ）。 4．已知⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡=2415A ，则=1

A （ ())(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , ）。 5．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ 0()0f x > ）。 二、单选题

1．近似数2

1047820.0⨯=a 的误差限是（ C ）。 Ａ．

51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．2102

1

-⨯ ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR 。

A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det