解析函数的级数表示(练习题)

基本要求

1． 正确理解级数收敛、发散等概念，了解无穷级数收敛的充分必要条件。

2． 了解绝对收敛及条件收敛的概念及其关系。

3． 掌握简单幂级数的收敛半径和收敛区域的求法。

4． 清楚地知道幂级数的收敛范围是圆域以及它在收敛圆内的性质、有理运算与分析运算。

5． 要求会把比较简单的解析函数用适当的方法展开成泰勒级数，并指出其收敛半径，要记住几个主要的初等函数的泰勒展开式。

6． 要求会把比较简单的函数环绕它的孤立奇点用适当的方法展开成洛朗级数。

一、填空题

1．函数131()z f z e z i

-=-在0z =处泰勒展开式的收敛半径为（ 1 ）； 2．311z

+的幂级数展开式为（ 30(1)n n n z ∞=-∑ ），收敛域为（ ||1z < ）； 3．函数21

()(1)f z z =+展开成z 的幂级数，有()f z =

（ 211123(1),||1n n z z nz z ---+-+-+< ）；

4．设C 为单位圆周||1z =内包围原点的任一条正向简单闭曲线，则

2()n C n z dz ∞=-=∑⎰ （ 2i π ）；

5．若幂级数0n n n c z ∞=∑在1(1)2z =

+处收敛，那么该级数在45

z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）。

二、计算下列各题

1． 求1()1z f z e z

=-在区域（1）||1z <，（2）0|1|z <-<+∞的幂级数展开式。 解：（1）211,||11n z z z z z =++++<- ，21,2!!

n

z z z e z n =++++ 22()(1)(1)2!!n

n

z z f z z z z z n ⇒=+++++++++ 21111111(1)(1)(1)1!1!2!1!2!!

n z z z n =++++++++++++

（2）2111(1)(1)()[1(1)]112!!

n

z z z f z e e e z z z n ---=⋅=⋅⋅+-++++-- 1

1(1)(1)[1]12!!

n z z e z n ---=-⋅+++++- 2． 将函数 2

1()1f z z =

+分别在z i =-与z =∞展开成级数。 解：（1）21()1f z z =+有奇点分别为z i =-，z i =，所以()f z 在z i =-处的圆环域0||2z i <+<和2||z i <+<∞可展开成洛朗级数， 在0||2z i <+<圆环内，1111111()()()2212f z z i z i z i z i z i i z i i i

-=⋅=⋅=⋅++-++-+- 221()()()[1]22(2)(2)

n

n i z i z i z i z i i i i +++=⋅+++++ 1

10()(2)n n n z i i -∞

+=+=-∑。 在2||z i <+<∞圆环内，2111111()2()2()1f z i

z i z i z i z i i z i z i

=⋅=⋅=⋅+-++-+-+ 220012(2)()()n

n n n n i i z i z i z i ∞∞+==⎛⎫=⋅= ⎪+++⎝⎭∑∑。 （1）21()1f z z

=+有奇点分别为z i =-，z i =，故1||z <<∞内解析， 22(1)02111()(1)1(1)n n n f z z z

z

∞+==⋅=-+∑。 3． 把1()32f z z =

-分别在0z =和2z =展开为泰勒级数。 4． 将2(1)()(1)

z f z z z +=

-分别在圆环域（1）0||1z <<；（2）1||z <<+∞内展开为洛朗级数。 5． 求下列幂级数的收敛半径（1）21n n z n ∞

=∑；（2）0!n

n z n ∞=∑；（3）0!n n n z ∞=∑。

6． 判断下列级数的敛散性（1）1n n i n ∞=∑；（2）1(35)!n

n i n ∞=+∑；（3）115()2n n i ∞=+∑。