人教a版必修4学案：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(含答案)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

自主学习

知识梳理

1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线．

(2)图象：如图所示．

2．“五点法”画图 步骤： (1)列表：

x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x

1

－1

1

(2)描点：

画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．

(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系

依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2，要得到y ＝cos x 的图象，

只需把y ＝sin x 的图象向______

平移π

2

个单位长度即可．

自主探究

已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．

对点讲练

知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象

例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．

回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．

变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．

知识点二利用三角函数图象求定义域

例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．

回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．

变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．

知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数

例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数．

回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．

变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．

1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．

2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.

课时作业

一、选择题

1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴

C ．直线y ＝x

D ．直线x ＝π

2

2．函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点、x 轴对称 D ．关于原点、坐标轴对称 3．如果x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域为( )

A ．[0，π] B.⎣⎡⎦

⎤π2，3π

2

C.⎣⎡⎦⎤π2，π

D.⎣⎡⎦

⎤3π2，2π 4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭

⎫5π4，7π4 5．已知函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭

⎫π2≤x ≤5π

2的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此

封闭图形的面积( )

A ．4

B ．8

C ．4π

D ．2π

二、填空题

6．函数y ＝cos x

1＋sin x

的定义域为____________．

7．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________．

8．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．

三、解答题

9．利用“五点法”作出下列函数的简图：

(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．

10．分别作出下列函数的图象．

(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R .

§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象

答案

知识梳理

1．(1)正弦 余弦

2．(2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π

2，0，

(2π，1) 3．左 自主探究

解 正、余弦曲线如图所示．

由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π

4

时，sin x ＝cos x ，

②当π4

4

时，sin x >cos x .

③当0≤x <π4或5π

4

对点讲练

例1 解 利用“五点法”作图 取值列表：

x 0 π

2

π

3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1

2

1

变式训练1 x

0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x

－2

－1

－1

－2