北京工商大学高等数学题及答案(9)

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北京工商大学2012年试题

北京工商大学2012年801试题微观一. 名词解释（5`*5）1.纳什均衡2.边际技术替代率3.生产函数4.互补品5.预算线二.图示分析（15+10记不清楚分数了）1.猪肉价格问题，若已经均衡，分析以下事件发生之后的均衡价格和均衡数量变化（1）若羊肉价格上涨（和猪肉为替代品）（2）若消费者收入减少（3）若生产成本增加2.分析垄断竞争厂商短期均衡时获得经济利润的情况三.计算题（10+20）1.高鸿业微观119页第4题，就是数改了一下2.高鸿业微观212页第6题，就改了一个数四.分析市场失灵的原因和以及对策（20`）宏观一. 判断题（2`*5）1. GDP计算时候考虑家庭主妇的家务劳动2. 边际消费倾向与平均储蓄倾向之和为13. 均衡时计划存货与实际存货相等4. 忘了5. 内生增长理论里面资本边际收益不递减二.选择题（3`*5）1.支出法核算GDP为（）四个选项，很简单2.刚毕业的中学生正在找工作，这是一种（）失业A.摩擦性，B.结构性，C.周期性D.忘记了不过肯定这个是错误选项3.衰退是经济周期处于什么时候的（）A.萧条B.忘记了C.波峰D.波谷4.下面哪种调整属于财政政策A.调整货币供给量B.货币公开市场C.调整税率D.不记得了5. 下面哪个不会引起经济增长A.资本积累B.劳动力扩大C.技术进步D.增加政府购买。

三.分析题分析通货膨胀的经济效应四.计算题（第一问10分，第二问5分）给出了i(投资)，c（消费），m（实际货币供给），L1（交易动机和谨慎动机的货币需求量），L2（投机需求的货币需求量）（1）分别求出IS，LM方程（2）产品市场和货币市场同时均衡时候的利率和收入充分就业时不存在实业2011年第一部分：微观经济学（共100分）一名词解释（每小题5分，共25分）1 恩格尔定律 2博弈均衡 3边际技术替代率 4规模经济 5无差异曲线二图示分析题（第1小题15分，第2小题10分，共25分）1试画图并说明完全竞争厂商的短期均衡中获取经济利润和收支相抵的情形。

2023年工商综合题解答和知识点

由雷教材综合题解答《高数-1》（1）（2023-11-28） 1.若函数 , 在处连续, 则【考察】: 连续的定义, 左、右极限的定义答：连续的定义, 极限值等于函数值.k k f =++=00sin )0(3003)1(3lim )00(12=-+=-+=--→xx e x fk k x x k f x =++=++=++→00sin )2sin (lim )00(22.若函数 , 在处连续, 则【考察】: 连续的定义, 左、右极限的定义答：连续的定义, 极限值等于函数值.a a f =-++=)01()01ln()0(2200)22sin 5(lim )00(10=++=++=--→xx e x fa a x a x f x =+=-++=++→1ln )1()1(ln(lim )00(0已知当时, 与等价, 则【考察】: 等价无穷小的定义解: 等价无穷小的定义时为等价无穷小当与则称且若有∞→===∞→∞→∞→x x g x f x g x f x g x f x x x )()(,1)()(lim ,0)(lim ,0)(lima a xa x x ax x x x x x ax x x x x 400045654lim )5(654lim 6545/1lim 1222=+-+=+-+=+-+=-++=∞→∞→∞→ 已知当时, 与等价, 则【考察】: 等价无穷小的定义解: 等价无穷小的定义时为等价无穷小当与则称且若有∞→===∞→∞→∞→x x g x f x g x f x g x f x x x )()(,1)()(lim ,0)(lim ,0)(limk k xk x x kx x x x x x kx x x x x 500053235lim )3(235lim 2353/1lim 1222=+-+=+-+=+-+=-++=∞→∞→∞→ 5、点0=x 是函数 x xx f 3sin )(=的第几类间断点（第一类可去）【考察】: 间断点的定义（哪三个判别条件？）间断点的分类（第一类？第二类？）重要极限1sin lim 0=→xx x解: 间断点的分类: 有没有定义, 有没有极限, 极限值与函数值等不等第一类----左右极限都存在的间断点（有可去和跳跃两种）第二类----左右极限有一个不存在的间断点（有无穷和振荡） 3333sin lim)(lim 00=⨯=→→xxx f x x6、极限存在, 为第一类间断点；只要补充定义间断点可去7、点0=x 是函数xx x x f )1ln()(++=的第几类间断点（第一类跳跃【考察】: 间断点的定义（哪三个判别条件？）间断点的分类（第一类？第二类？）解：间断点的分类：有没有定义, 有没有极限, 极限值与函数值等不等第一类----左右极限都存在的间断点（有可去和跳跃两种）第二类----左右极限有一个不存在的间断点（有无穷和振荡）0)1ln(lim lim )(lim 000=++=---→→→x x x xx f x x x左极限 2)1ln(lim lim )(lim 0=++=-++→→→xx xx x f x x x 右极限左右极限都存在, 但不相等；为第一类跳跃间断点7、求极限 412lim (1)3x x x→∞++ 【考察】: 重要极限及其应用解：)321(lim )321(lim )321(lim 414xx x x x x x x ++=+∞→∞→+∞→383838231)321(lim )321(lim e e xx x x x =⨯=++=∞→⨯∞→ 设 , 求【考察】: 左、右极限的定义解: 6sin lim 5lim )01(1sin 5lim 000=+=--++=---→→→xxx x x x x x x x 9、设 , 求【考察】: 左、右极限的定义解:1122lim )1()1sin(lim 11=--+---=--→→x x x x x x 10、求曲线x xe y x 2sin +=- 在点(0, 0)处的切线方程【考察】: 导数的几何定义、四则运算的求导法则、基本导数公式解:3]2cos 2[0=+-==--x x x x xe e k 切x y x y f 3),0(30,0)0(=-=-=切线方程11、求曲线 xx y -=2 在点(0, 0)处的切线方程【考察】: 导数的几何定义、四则运算的求导法则、基本导数公式解:1)]2ln 12[0=-==-x xx k （切x y x y f =-=-=),0(10,0)0(切线方程设 , 求一阶导数在 x=0处的值【考察】: 复合函数的求导法则、基本导数公式解：等号两边同时对x 求导, 得0411arctan 222='+-'++y e y y x y x x041arctan 222='+++-y yx e y x x）（ 44)arctan 2)(1(222++-+='y x y x e y y x当时, 代入可得,414171617416140)41arctan 02)(1611(20410==+⨯+⨯⨯-+='==e y y x 设 , 求二阶导数在 x=1处的值【考察】: 复合函数的求导法则、基本导数公式、高阶导数解: )15221(151322+++++=x x x x1513)1515(15132222++=++++++=x x x x x x15)15(0)151()1513(2222+'+-='+='++=''x x x x y3222)15(1522151+-=+⨯+-=x xx x x 641)151(1])15([)1(3132-=+-=+-=''=x x x y设 , 运用导数定义求【考察】: 导数的等价定义、两个重要极限、极限的四则运算法则解:1sin lim )21(lim 201+=++=→→e xxx x xx 设 , 运用导数定义求【考察】: 导数的等价定义、极限的四则运算法则、第一个重要极限、有关无穷小的极限法则解:55sin lim 1sin lim 00=+=→→xxx x x x 设函数为 , 求一阶导数【考察】: 对数求导法、四则运算的求导、复合函数的求导基本导数公式解: 两边取对数, 两边对x 求导数,]135)313(ln 5[)311(]135)313(ln 5[5+-++=+-+⨯='x x x x x x x y y x已知函数为 , 求一阶导数【考察】: 隐函数的求导法、四则运算的求导、基本导数公式解：两边对x 求导数,)(1)(1y ye x x xy y dx dy y e x x xy --='='-=-，设参数方程为 , 求一阶导数【考察】: 参数方程的求导法、微商就是导数、四则运算的求导、复合函数的求导、基本导数公式解:dt te e t dt te t dx tt t )2()(2----+='+=)1(221)1(2121222t te t t t e t t t dx dy t t -++=-+⨯+=--设参数方程为 , 则解:dt t dt t t dx )63()334(2-='-+= 005(1)2ln 25(10)2ln 25ln 2,(1)(36)(10)(30)3t t dy t dydx t t dx=-+-+-===+-+-。

北京工商大学大一高等数学上册期末考试卷及答案

北京工商大学大一高等数学上册期末考试卷及答案一、单选题1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2-【答案】C2、211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】D3、定积分ba dx ⎰()ab <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯【答案】D4、若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ). (A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+【答案】D5、设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f - 【答案】C6、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）.A 、 x y =B 、)1)(1(ln --=x x yC 、 1-=x yD 、)1(+-=x y【答案】C7、下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x x e e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰【答案】A8、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（）A 、 )1(2-=x yB 、)1(4-=x yC 、14-=x yD 、)1(3-=x y【答案】B9、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、x x 2lim +∞→ 【答案】A10、下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+ (C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =【答案】C11、以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点.(B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点.(C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0.(D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.【答案】C12、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）. A 、()()+∞--,01,2 B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞-【答案】B二、填空题1、设函数x xe y =，则 =''y ；【答案】x e x )2(+2、如果322sin 3lim0=→x mx x , 则 =m . 【答案】94 3、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ；【答案】)12(2e- ；4、30y y y '''+-=是_______阶微分方程.【答案】二阶 5、函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________. 【答案】2x =三、解答题(难度：中等)1、求 x x y arccos 12-= 的导数；【答案】1arccos 12---x x x；2、求微分方程6130y y y '''++=的通解.【答案】特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r i y e C x C x -++=⇒=-±=+3、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；【答案】31 ；4、求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 【答案】11x y x y '=+- 5、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；【答案】31；6、求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程. 【答案】sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即 7、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ；【答案】)12(2e - ；8、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ；【答案】)12(2e - ；。

北京工商大学高等数学题及答案(6)

.
四.应用及证明题(28 分) 1.求由曲线
x + y = 1 与坐标轴所围平面图形的面积;
a a
f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 0 . 2.设 f ( x) 为连续函数,求证 ∫−a
x ln( x + 1) > 1+ x . 3.证明:当 x > 1 时,有 ln x
∞
A
). (C)
(B) 0 (D) 不存在但不为 ∞ .
f ' ( x0 ) =
2.若函数 y = f ( x) 有是( B ).
1 2 ,则当 ∆x → 0 时,该函数在 x = x0 处的微分 dy
(A) 与 ∆x 是等价的无穷小 (C) 比 ∆x 低阶的无穷小小. 3. f ' ( x0 ) = 0 是可导函数 f ( x) 在 x0 处取极值的( (A) 必要条件无关条件. (B) 充分条件
高等数学 6 一.填空题（15 分）
sin x = x
1.
lim
x →∞
.

a + bx 2 , x ≤ 0 f ( x) = sin bx , x>0 x 2.设函数在 x = 0 连续,则常数 a 和 b 应满足的关系式是 .
x = 1 + t 2 y = t 3 在 t = 2 处的切线方程为 3.曲线
2.若函数 y = f ( x) 有是( ).
1 2 ,则当 ∆x → 0 时,该函数在 x = x0 处的微分 dy
(A) 与 ∆x 是等价的无穷小 (C) 比 ∆x 低阶的无穷小小.
(B) 与 ∆x 是同阶的无穷小 (D) 比 ∆x 高阶的无穷

北京工商大学高等数学题及答案(15)

,求
dy d 2 y . , dx dx 2
35.计算
∫∫ | x
D
2
+ y 2 − 43 | dxdy, 其中 D 为 x 2 + y ≤ 9 .
36.求微分方程 y"+ y = x 的通解。
37.判别级数
n!3 n 的敛散性。 ∑ n n =1 n
∞
三、应用和证明题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 38.求函数 f ( x, y ) = (4 x − x 2 )(2 y − y 2 ) 的极值。 39.求椭圆 x 2 + 2 xy + 5 y 2 − 16 y = 0 到直线 x + y − 8 = 0 的最短距离。 40. 证明双曲线 y =
∫
A. e − x (1 − x) + C C. e − x ( x − 1) + C
26. f ( x, y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 的偏导数 f z ( x 0 , y 0 ) 和 f y ( x 0 , y 0 ) 存在是 f ( x, y ) 在 D 连续
∫∫ f ( x, y)dσ =
2
2
1 B. x 1+ x
2
1 x C. x 1+ x
2
x D. x 1+ x
2
【 2.设 y = A.
】
1 [arcsin( x 2 )], 则 dy = 2
B.
xdx 1+ x4
xdx 1− x4
C.
xdx 1+ x4
D.
xdx 1− x4
一、单项选择题（本大题共 30 小题，1—20 每小题 1 分，21—30 每小题 2 分，40 分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。（一）（每小题 1 分，共 20 分）

北工商《概率论与数理统计》期末考试试题A

《概率论与数理统计》期末考试试题A一、填空题（每题3分，共15分）1、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________．2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P3、设二维随机变量()Y X ,的分布列为若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为。

4、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -=___ _5、设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布.二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】 (A) 11a a b -+-； (B) (1)()(1)a a a b a b -++-； (C) a a b +； (D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是【】(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ;(C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =.3、设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和()1,1N ，则【】 (A)()210=≤+Y X P ； (B) ()211=≤+Y X P ；(C)()210=≤-Y X P ； (D)()211=≤-Y X P 。

4、如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有【】（A ）X 与Y 独立；（B ）X 与Y 不相关；（C ）0=DY ；（D ）0=DX5、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量()Y X Z ,max =的分布律为【】(A)()()211,210====z P z P ； (B) ()()01,10====z P z P ； (C) ()()431,410====z P z P ；(D) ()()411,430====z P z P 。

北京工商大学高等数学题及答案(11)

D
第一象限内的闭区域。五、（10 分）计算 ∫∫∫ xydzdv ，其中 V 由平面 = x 0, = z 0, = x 1, = y 1, = y z 所围成
V
六、（10 分）计算 ∫ 段弧.
L
xdS ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点（0，0）到点（1，1）的一
七、（9 分）计算 ∫∫ [ f ( x, y, z ) + x]dydz + [2 f ( x, y, z ) + y ]dzdx + [ f ( x, y, z ) + z ]dxdy ，其中 S
2
∂2 z ∂2 z , ∂x 2 ∂x∂y
∂z ∂x
3、设方程 x 2 + y 2 += z 2 1确定 = z z ( x, y ) ，求
三、（10 分）设函数 = u 2 xy − z 2 ，问 u 在点 (2, −1,1) 处沿什么方向的方向导数最大？其最大值是多少？四、（10 分）计算 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy ，其中 D 是由圆 x 2 + y 2 = 1 与 x 轴、y 轴所围成的在
D D
= dxdy ∫∫
D
1 2
八、 I = ∫∫ (
D
∂Q ∂P − )dxdy = (2 + 2)dxdy = 4∫∫ dxdy = 2 ∫∫ ∂x ∂y D D
九、1、 lim(
(n + 1)10 2n 1 1 1 × 10 ) = lim ⋅ (1 + )10 = < 1, ∴ 收敛 1 n + n→∞ n→∞ 2 2 n n 2 ∞ 3 3 2、 ∑ ( ) n 为几何级数，且 q = < 1 ，∴ 收敛 5 n =1 5

2021年工商大学高等数学试题及答案

2021年工商大学高等数学试题一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1、(,)z f x y =的偏导数(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)f x y 可微的（）. （A ）无关条件（B ）充要条件 (C ）必要条件（D ）充分条件 2、sin xz y=，则zx ∂=∂( )． (A) sin xy(B) sin 1sin x yx -⋅ (C) sin cos ln x y x y ⋅⋅ (D) sin ln x y y ⋅ 3、若(,)()(0)f x y xy a x y a =--≠，则点(0,)a 是(,)f x y 的( ).（A ）极大值点（B ）极小值点（C ）非极值点（D ）极值点需要进一步判定 4、设D 是xoy 面上的以点(1,1),(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则Dxydxdy ⎰⎰=( ).(A) 18D xydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰ (C) 14D xydxdy ⎰⎰ (D) 05、如果1n n u ∞=∑收敛，则1(n n u ∞=+∑是（）. （A ）收敛（B ）发散（C ）可能收敛（D ）可能发散 6、微分方程62y x ''=+的通解为y =（）.（A ）3212x x c x c +++ （B ）21232x x c x c +++ （C ）32x x c ++ （D ）32x x +二、填空题（每小题2分，共16分） 1、设22(,)(1)f x y x y =+-,则(,1)x f x =__________, 2、设xyz xe =，则(1,1)dz= .3、设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰dxdy xeDxy_________________.4、更换积分次序100(,)dy f x y dx =⎰⎰.5、设区域22{(,)|2}D x y x y y =+≤,则二重积分(,)DI f x y dxdy =⎰⎰化为极坐标系下的二次积分为I = .6、若1(5)nn u ∞=-∑收敛，则lim nn u→∞= .7、幂级数∑∞=⋅-13)3(n nnn x 的收敛域为 . 8、微分方程320y y y '''-+=的通解是 .三、计算题（每小题7分，共14分） 1、设方程2224x y z z ++=确定隐函数(,)z z x y =，求,z z x y∂∂∂∂.2、设22(2)(,)z f xy x y C =+∈，求22,,z z z x y x∂∂∂∂∂∂.四、计算题（每小题8分，共16分） 1、计算||Dxy dxdy ⎰⎰，其中D 是由圆221x y +=围成的闭区域.2、求微分方程0xxy y xe '++=满足初始条件(1)0y =的特解.五、计算题（每小题7分，共14分） 1、判别级数2211(1)ln nn n n ∞=+-∑的敛散性，若收敛指出是条件收敛或是绝对收敛.2. 求幂级数1(1)nn n x∞=+∑的收敛域及其和函数.六、应用题（每小题8分，共16分） 1. 设某种产品的产量是劳动力x 和原料y 的函数3144(,)100f x y x y =，又每单位劳动力费用是150元，每单位原料费用是250元。

北京工商大学高等数学题及答案(1)

y=e
1 − ( − ) dx x
y 1 + x 2 ，且该曲线经过点 1, ． x 2
∫
) dx 2 ∫ (− 1 ∫ x e x dx + C
1 = x x 2 + C ， 2 由y
1
x =1
=
1 1 知 C = 0 ，故 f ( x) = x 3 ． 2 2
（2） V = ∫ πf 2 ( x)dx
0
=
π
x 4∫
0
1
6
dx =
π
28
．
28 ．设平面薄板所占 xOy 平面上的区域 D 为 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, ≥ 0, y ≥ 0 ，其面密度为
µ ( x, y ) = x 2 + y 2 ．求该薄板的质量 m ．
解法一 m = ∫∫ µ ( x, y )dσ
24．设函数 z = ln(1 − x + y ) + x 2 y ，求 ∂z −1 = + 2 xy ， ∂x 1 − x + y ∂2z 1 = + 2x ． ∂x∂y (1 − x + y ) 2 25．将函数 f ( x) = x 2 e 2 x 展开成 x 的幂级数．解： e x = ∑
2− x 2 2− x
1
1
=
1
e2 e
− 1 2
解法二
2x 2x 2+ xx lim = lim1 + x →0 2 − x x →0 2− x
⋅
=e
tan ax , x < 0, 18．设函数 f ( x) = x 在 x = 0 处连续，求 a 的值． x + 2, x ≥ 0

北京工商大学高等数学题及答案(4)

−1 0
0
1
(2 + x) 2 x 3 = − 3 2
= 27．证 7 4 1 + =2 6 3 2
x 0
0 -1
2 + 2 x − x 3 3
1 0
令 F ( x) = ∫ [a1 cos t + a 2 cos 3t + + a n cos(2n − 1)t ]dt 1 1 则 F ( x) = a1 sin x + a 2 sin 3 x + + a n sin( 2n − 1) x 3 2n − 1
1 t
2．C
3．C
4．C
5．B
7．－1 9． f (−2) = 28 11． 2 tan x + C 13．0 15． ∫ dy ∫
−2 2 4− y 2
0
f ( x, y )dx
三、解答题
16．解
当 x → +∞ 时， arctan 2 x < 1 1 → 0, 为无穷小量 x x 1 故 lim ⋅ arctan 2 x = 0 x → +∞ x 1 ，另外（令 arctan =t） 2x 而
n =1 ∞ n −1
( x − 2) n n ⋅ 2n
由 −1 < 19．解
x−2 ≤ 1 ，解得收敛区间为 (0,4] ． 2
对应齐次方程的特征方程为 r 2 + 2r = 0 ，得 r = 0,−2 因此对应齐次方程的通解为 Y = C1 + C 2 e −2 x 由于原方程的自由项中，－2 是特征方程的单根，故设原方程的一个特解为 y ∗ = Axe −2 x ，代入所给方程，并消去 3 3 e −2 x ，得 A = − ，于是 y ∗ = − xe − 2 x 2 2 从而原方程的解为

高等数学习题答案(北大)

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

普通高等学校招生全国统一考试数学卷北京.理含答案

2019年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案．不可以答在试卷上．一、本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．已知costan0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数f(x)3x(0x≤2)的反函数的定义域为（）Ａ．(0，)Ｂ．(19]，Ｃ．(0，1)Ｄ．[9，) 3．平面∥平面的一个充足条件是（）Ａ．存在一条直线，a∥，a∥Ｂ．存在一条直线a，a，a∥Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线a，b，a，b，a∥，b∥a，b，a，a∥，b∥4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC0，那么（）Ａ．AO ODＢ．AO2ODＣ．AO3ODＤ．2AO OD5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人摄影，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两头，不一样的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种x y ≥，2x y ≤2， a 的取值范围是（6．若不等式组表示的平面地区是一个三角形，则）y ≥0，x y ≤aＡ．a ≥4Ｂ．0a ≤1Ｃ．1≤a ≤4Ｄ．0a ≤1或a ≥43 3 37．假如正数a ，b ，c ，d 知足abcd 4，那么（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．ab ≤cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值独一ab ≥cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值独一ab ≤cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值不独一ab ≥cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值不独一8．关于函数① f(x) lg(x 2 1)，②f(x) (x 2)2，③f(x)cos(x2) ，判断以下三个命题的真假：命题甲： f(x 2)是偶函数；命题乙： f(x)在( ，)上是减函数，在(2， )上是增函数；命题丙： f(x2)f(x)在(，)上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的全部函数的序号是（）Ａ．①③Ｂ．①② Ｃ．③Ｄ．②2019年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共 6小题，每题 5分，共30分．把答案填在题中横线上．29．．(1i)210．若数列a n的前n 项和S nn 210n(n1，2，3，)，则此数列的通项公式为；数列na n 中数值最小的项是第项．11．在△ABC 中，若tanA1 150，BC1，则AB．，C312．已知会合A x|xa ≤1，Bxx 25x 4≥0．若AB，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于．14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123 f(x)131x123 g(x)321则f[g(1)]的值为；知足f[g(x)]g[f(x)]的x的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）数列 a n中，a12，a n1a n cn（c是常数，n1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；A（II）求a n的通项公式．16．（本小题共14分）如图，在Rt△AOB中，OAB π4．Rt△AOC可，斜边AB6以经过Rt△AOB以直线AO为轴旋转获得，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值．DOB C17．（本小题共14分）矩形ABCD的两条对角线订交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(11)，在AD边所在直线上．I）求AD边所在直线的方程；II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点N(2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．18．（本小题共13分）某中学呼吁学生在今年春节时期起码参加一次社会公益活动参加人数（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计以下图．50（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；40（II）从合唱团中随意选两名学生，求他们参加活动次数恰巧30相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次20数之差的绝对值，求随机变量的散布列及数学希望E．10活动次数12319．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将C此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的D端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S．4r （I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．A2r B20．已知会合A a1，a2，，a k(k≥2)，此中a i Z(i1，2，，k)，由A中的元素构成两个相应的会合：S (a，b)a A，b A，a b A，T(a，b)a A，b A，a b A．此中(a，b)是有序数对，会合S和T中的元素个数分别为m和n．若关于随意的a A，总有a A，则称会合A拥有性质P．（I）查验会合01，，2，3与1，2，3能否拥有性质P并对此中拥有性质P的会合，写出相应的会合S和T；（II）对任何拥有性质P的会合A，证明：n≤k(k1)；2（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．2019年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．Ｃ2．Ｂ3．Ｄ4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ7．Ａ8．Ｄ二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．13．i10．2n11311．1012．(2，3)2714．1225三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（I）a12，a22c，a323c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2c)22(23c)，解得c0或c2．当c0时，a1a2a3，不切合题意舍去，故c2．（II）当n≥2时，因为a2a1c，a3a22c，a n a n1(n1)c，所以a n a1[12(n1)]c n(n1)c．2又a12，c2，故a n2n(n1)n2n2(n2，3，)．当n1时，上式也成立，所以a n n2n2(n1，2，)．16．（共14分）解法一：（I）由题意，CO AO，BO AO，BOC是二面角B AO C是直二面角，又二面角B AO C是直二面角，CO BO ，又AO BO O ， CO 平面AOB ，又CO平面COD ．平面COD 平面AOB ．（II ）作DEOB ，垂足为E ，连接CE （如图），则DE ∥AO ， CDE 是异面直线AO 与CD 所成的角． A在Rt △COE 中，COBO 2，OE1BO 1，2CECO 2 OE 2 5．又DE1 3．DAO2CE 5 15在Rt △CDE 中，tanCDE33DE异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan153（III ）由（I ）知，CO 平面AOB ，．．EOBCOC2CDO 是CD 与平面AOB 所成的角，且tanCDO．OD OD当OD 最小时， CDO 最大，这时，ODOAOB 32 3 AB ，垂足为D ，OD，tanCDO，AB3CD 与平面AOB 所成角的最大值为arctan23．3解法二：（I ）同解法一．（II ）成立空间直角坐标系 O xyz ，如图，则 O(0，0，0)，A(0，0，23)，C(2，0，0)，zD(0，1，3)，OA(0，0，23)，CD (2，1，3)，AcosOA ，CDOACDDOACD66232 2．46 ．OBy异面直线AO 与CD 所成角的大小为arccos4xC（III）同解法一17．（共14分）解：（I）因为AB边所在直线的方程为x 3y 60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．又因为点T(11)，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x1)．3xy20．x3y6，（II）由解得点A的坐标为(0，2)，3xy2=0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又AM(20)2(02)222．进而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28．（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以PM PN22，即PMPN22．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．因为实半轴长a2，半焦距c2．所以虚半轴长b c2a22．进而动圆P的圆心的轨迹方程为x2y22)．21(x≤218．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230100．100（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰巧相等的概率为C102C502C40241P0C2．99100（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加 1次活动，另一人参加 2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知P( 1) P(A) P(B)C 101 C 501 C 501C 40150 C 1002C 1004；99P(2)P(C)C 1 C 181040；C 100299的散布列：1 2P4199的数学希望：E0 4115028 2 ．99 9999 319．（共13分）解：（I ）依题意，以 AB 的中点O 为原点成立直角坐标系为x ．点C 的纵坐标y 知足方程x 2y 2 1(y ≥0)，r 24r 2解得y2r 2x 2(0xr)S1(2x2r)2r 2x 222(x r)r 2 x 2 ，其定义域为x0x r ．（II ）记f(x)4(x r)2(r 2x 2)，0 xr ，则f(x) 8(xr)2(r2x)．令f(x)0，得x1 r ．2508 9999xy （如图），则点C 的横坐标yDCAO Bx因为当0x r r时，f(x)0，所以f1是f(x)的最时，f(x)0；当xr r222大值．所以，当x1r时，S也获得最大值，最大值为f1r33r2．222即梯形面积S的最大值为33r2．2。

北京工商大学高等数学题及答案(2)

x =0
．
18．设 x1 = 1, x 2 = 2 均为函数 y = a ln x + bx 2 + 3 x 的极值点，求 a, b 的值．
19．计算 ∫ 4π cos 2 x dx ． − 1 + e −x 4
π
20．设 f ( x) = ∫
x 0
π sin t dt ，计算 ∫ f ( x)dx ． 0 π −t
x
y ′′
y
(−∞,0)
0 0 拐点（0， 1）
(0,1)
1 0 拐点（1， 0）
(1 + ∞)
＋上凹
－下凹
＋上凹
27．解
已知方程两边对 x 求导，得
f ′( x) = 2 f ( x) + 2 x 即 f ′( x) − 2 f ( x) = 2 x
于是根据一阶线性方程的求解公式，得 f ( x) = e
−2 x
[ [− xe
[∫ 2 xe
∫ −2 dx
dx + C
]
[ ]
]
]
+ ∫ e − 2 x dx + C = − x −
x y y 2 x 2 1 ( z − 1) 1 ( z − 1) ( ) ( ) =1 +2 t 故 + t = 1 ，即 2 9 25 25 9
x 2 y 2 ( z − 1) 2 从而锥面方程为． + = 25 9 4
2x + y′ = 3 x 2 y + x 3 y ′ + cos x x2 + y
将 x = 0, y = 1 代入上式

北京工商大学2014年考研数学真题及答案（完整版）

北京工商大学2014年考研数学真题及答案（完整版）
2014年考研时间为1月4日至6日，考生们出了考场最关心的莫过于2014年考研数学真题及答案了，这不仅对于2014年考研在线估分和评测有所帮助，更是对于2015年考研复习有所帮助。考研频道第一时间为您提供了2014年北京工商大学考研数学真题及答案，希望对您有所帮助!
2014年北京工商大学研究生考试数学试题及答案解析汇总
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北交高等数学试题及答案

北交高等数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）A. 3x^2-3B. x^3-3xC. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 函数y=e^x的不定积分是（）A. e^x + CB. e^x - CC. x * e^x + CD. x * e^x - C答案：A4. 曲线y=x^2与直线y=2x-3的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是________。

答案：1和37. 函数f(x)=x^3-3x+1的二阶导数是________。

答案：6x8. 函数y=ln(x)的不定积分是________。

答案：x * ln(x) - x + C9. 曲线y=x^2与直线y=2x-3的交点坐标是________。

答案：(1, -1)和(3, 3)10. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是________。

答案：x=-1三、计算题（每题10分，共40分）11. 求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)。

答案：112. 求函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2, 2]上的定积分。

答案：8/313. 求函数f(x)=x^2+2x+1在x=0处的切线方程。

答案：y=2x+114. 求函数f(x)=e^x的二阶导数。

答案：e^x四、解答题（每题10分，共20分）15. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

答案：最大值是0，最小值是-1。

16. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求其在区间[-1, 1]上的单调区间。