2020高考数学分类讨论思想

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高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)

专题4 数形结合、分类讨论思想一．知识探究：1．数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

数形结合的途径:（1）通过坐标系形题数解（2）通过转化构造数题形解数形结合的原则:（1）等价性原则；（2）双向性原则；（3）简单性原则2．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；二．命题趋势分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。

分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

三．再现性题组1．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是（）。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<1 对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；2. 若θ∈(0, π2)，则lim n →∞cos sin cos sin n n n n θθθ＋θ-的值为（）。

高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识讲解及考点梳理

a
1 1
x 1
∵ a 0 ，∴ a ，∴不等式解为 a 或 x 1，
(x 1)(x 1) 0
②若 a 0 ，则原不等式化为
a，
1 1 （ⅰ）当 a 1时， a ，不等式解为 x ，
1 1
1 x 1
（ⅱ）当 a 1时， a ，不等式解为 a
；
1 1
1 x 1
（ⅲ）当 0 a 1时， a ，不等式解为
高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识讲解及考点梳理
【高考展望】数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整” 的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
a，
综上所述，原不等式的解集为：
{x | x 1 或 x 1}
当 a 0 时，解集为
a
；
当 a 0 时，解集为{x|x＞1}；
{x |1 x 1}
当 0 a 1时，解集为
a；
当 a 1时，解集为；
2
{x | 1 x 1}
当 a 1时，解集为 a
.
总结升华：这是一个含参数 a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类：（1）a≠0（2） a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0 或 a<0，因为这两种情形下，不等式解集形

高考数学解题思想方法分类讨论思想方法

二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

分类讨论思想

2
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一例一变”的相似与相异之处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，叙述方便，使问题表述有层次、有条理，叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所分类讨论思想又称要研究的数学对象划分为若干不同的情形，要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位，思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现，某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变未表明不等式的次数，参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［上的最大值. 分析求最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下是二次函数，

高考数学复习分类讨论思想、转化与化归思想

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12，因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2，若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二转化与化归思想应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20，又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。

高考数学专题复习分类讨论的思想

2008高考数学专题复习分类讨论的思想一、考点回顾分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

高考数学导数问题常见的分类讨论

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）疑难解释1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2．函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)．当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1 g ′(x )－0 ＋g (x )极小值所以当x ＝3时，g (x )有最小值g ⎛⎪⎫3＝－23. 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。

2020年高考数学一轮复习专题2.14参数的分类讨论练习(含解析)

函数 f (x) 的导函数，求函数 g( x) 在区间 [0,1] 上的最小值 .
【答案】见解析
【解析】由 f ( x) ex ax2 bx 1，有 g( x) f ( x) ex 2ax b ，所以 g ( x) ex 2a .
因此，当 x [0,1] 时， g ( x) [1 2a,e 2a] .
综上，实数 a 的取值范围为 ( －∞， 1] ．
考向三对数型函数中的参数
【例 3】已知函数 ??( ??) = ?? + ??ln ??．
（ 1）当 ?? = 1时，求曲线 ?? = ??( ??)在点 (1, ??( 1)) 处的切线方程；
（ 2）求 ??( ??) 的单调区间．
【答案】（1） 2?? - ?? - 1 = 0；（ 2）当 ?? ≥ 0时， ??(??) 的单调增区间是 (0, + ∞) ；
a
a
a
根据题意得 f －2 ＝ aln －2 ＋2× － 2 ≥－ a，即 a[ln( － a) －ln 2] ≥0.
因为 a<0，所以 ln( － a) －ln 2 ≤0，解得－ 2≤ a<0，所以实数 a 的取值范围是 [ － 2,0) ．
【套路总结】用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步： ( 求导数 ) 求函数 f ( x) 的导数 f ′ ( x) ；第二步： ( 求极值 ) 求 f ( x) 在给定区间上的单调性和极值；第三步： ( 求端点值 ) 求 f ( x) 在给定区间上的端点值；第四步： ( 求最值 ) 将 f ( x) 的各极值与 f ( x) 的端点值进行比较，确定 f ( x) 的最大值与最小值；第五步： ( 反思 ) 反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．

高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)九、分类讨论思想含解析

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。

高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》

由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq －＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.

【高考数学考点突破】分类讨论思想(2020-2021)

难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n 21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立. 当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立.当c =3时，因为S 1=2，S 2=3，所以当k =1，k =2时，c ＜Sk因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS cS k k 成立.［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||bbx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-= 由x –a ≠0，得ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0 若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOACOA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan =)1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a ) 以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x aby -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk-=-=θθθ 又tan2θ=–b ∴–b =212k k- ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x abkx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x kkkx a --=+ ③ 又xyk =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nnnn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ；（3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参考答案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ；当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1；当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种. 答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0}, 由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2；由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22）三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根. 若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0. 将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得01)1()1(20=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾.又由A ∩B ≠∅,∴x 0=1x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1 ∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x ,y )，则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程. （1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()(即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1 ∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b1. 因b ≠1，得∑==nk n x 1(x k –x k –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知 f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1) 即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1. 因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1 即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1 即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。

全国高考数学复习：专题(含参函数的单调性讨论)重点讲解与练习(附答案)

全国高考数学复习：专题（含参函数的单调性讨论）重点讲解与练习【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一导主一次型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是＋有没有＋在不在[例2](2021ꞏ全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3](2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．[例4]设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．[例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性．10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．考点三导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．[例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．考点四导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e xꞏ(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性参考答案【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性． 1．解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021ꞏ全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2． ①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42．当x ∈⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0．所以f (x )在⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上单调递增． 4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2， x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a ，x 2＝－1＋1－1a ．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax －1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e－ax ＋x 2(－a )e －ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )．因为e －ax >0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ；当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0． [例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ．当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3．当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x． ①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间． 7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x． (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a 2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a 2a ，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)． ①当0<k <2时，4k k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性． 10．解析函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1． ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．考点三导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a 2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a 2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a 2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a 2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x －x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )ꞏ1x －x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ，此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞1时，f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．考点四导主正余型【例题选讲】[例12] (2017山东理)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ꞏ(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析 (1)g′(x)＝(e x)′ꞏ(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x －a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析 (1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．。

江苏省2020届高考数学二轮复习第18讲分类讨论思想

专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．注：能回避分类讨论的尽可能回避．1. 一条直线过点(5,2)且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为________．2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.3.函数f(x)＝ax 2－a a ＋1x ＋12a ＋1的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是________．4.数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n －1(n∈N *)，则其通项a n ＝________.【例1】在△ABC 中，已知sinB ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．【例2】解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．【例3】设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n>0(n＝1,2，…)．(1) 求q的取值范围；(2) 设b n＝a n＋2－a n＋1，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小.【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1) 求函数g(x)的解析式；(2) 若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．1. (2009·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．2.(2011·辽宁)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．3.(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为________．4.(2010·福建)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x≤0，－2＋lnx ，x>0，的零点个数为________．5.(2011·江西)设f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx.(1) 如果g(x)＝f′(x)－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式； (2) 如果m ＋n<10(m ，n∈N ＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b)的长度为b －a)6.(2010·江苏)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f′(x)＝h(x)(x 2－ax ＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．设函数f(x)＝lnx ＋b ＋2x ＋1(x>1)，其中b 为实数．(1) 求证：函数f(x)具有性质P(b); (2) 求函数f(x)的单调区间．(2011·南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c,2S n ＝a n a n ＋1＋r.(1) 若r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由．(2) 设P n ＝a 1a 1－a 2＋a 3a 3－a 4＋…＋a 2n －1a 2n －1－a 2n ，Q n ＝a 2a 2－a 3＋a 4a 4－a 5＋…＋a 2na 2n －a 2n ＋1，若r ＞c ＞4，求证：对于一切n∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立．(1) 解：n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵ a 1＝c≠0，∴ 2c＝ca 2＋r ，a 2＝2－rc . (1分)n≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，① 2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵ a n ≠0，∴ a n ＋1－a n －1＝2. (3分) 则a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，… 成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)． a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，… 成公差为2的等差数列， a 2n ＝a 2＋2(n －1)．要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1.即2－r c －c ＝1，r ＝c －c 2. (4分)∵ r＝－6，∴ c 2－c －6＝0，得c ＝－2或3. ∵ 当c ＝－2时，a 3＝0不合题意，舍去．∴ 当且仅当c ＝3时，数列{a n }为等差数列. (5分)(2) 证明：a 2n －1－a 2n ＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝c ＋rc－2.a 2n －a 2n ＋1＝[a 2＋2(n －1)]－(a 1＋2n)＝a 2－a 1－2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋r c . (8分) ∴ P n ＝1c ＋r c －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n n －12×2＝1c ＋r c－2n(n ＋c －1) (9分) Q n ＝－1c ＋r c⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 2＋n n －12×2＝－1c ＋r cn ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c . (10分) P n －Q n ＝1c ＋r c －2n(n ＋c －1)＋1c ＋r cn ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1c ＋r c－2＋1c ＋r c n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1c ＋r c －2＋1－r cc ＋r c n.(11分) ∵ r＞c ＞4，∴ c＋r c ≥2r ＞4，∴ c＋r c －2＞2，∴ 0＜1c ＋r c －2＋1c ＋r c <12＋14＝34＜1.(13分)且c －1c ＋r c －2＋1－rc c ＋r c ＝c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c －1＞－1. (14分)又∵ r＞c ＞4，∴ r c >1，则0＜c －1<c ＋r c －2,0<c ＋1<c ＋r c .∴ c －1c ＋r c －2＜1，c ＋1c ＋r c <1.∴ c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c －1＜1.(15分)∴ 对于一切n∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立．(16分)专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想1. 已知函数f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|，则f(x)的值域是____________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 解析：f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|＝⎩⎪⎨⎪⎧cosxsinx≥cosx ，sinx sinx ＜cosx ，f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 2. (2011·徐州三模)设函数f(x)＝x 2－alnx 与g(x)＝1a x －x 的图象分别交直线x ＝1于点A 、B ，且曲线y ＝f(x)在点A 处的切线与曲线y ＝g(x)在点B 处的切线平行．(1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；(2) 当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3) 当a<1时，不等式f(x)≥mg(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由f(x)＝x 2－alnx ，得f′(x)＝2x －a x ，由g(x)＝1a x －x ，得g′(x)＝1a －12x.又由题意得f′(1)＝g′(1)，即2－a ＝1a －1，故a ＝2或a ＝12.当a ＝2时，f(x)＝x 2－2lnx ，g(x)＝12x －x ，当a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.(2) 当a>1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－2lnx －12x ＋x ，得h′(x)＝2x －2x －12＋12x ＝2x －1x ＋1x －x －12x＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x x ＋x ＋x ＋1－x 2x .由x>0，得4x x ＋x ＋x ＋1－x2x>0.故当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)递增．所以h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln1－12＋1＝32.(3) a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f′(x)＝2x －12x ＝4x 2－12x <0，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数，f(x)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12ln2. 当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，g′(x)＝2－12x ＝4x －12x >0，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数，且g(x)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－22，且g(x)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，要使不等式f(x)≥mg(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，m 为任意实数，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，m≤f x g x ，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋24ln(4e)，所以m≤2＋24ln(4e)． 3. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1a≤－1.(2) 当x≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f a ，a≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a≥0，2a23，a ＜0.当x≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f －a ，a≥0，fa ，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a 2，a ＜0.综上可得f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a23，a ＜0.(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a≤－62或a≥62时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)；当－62＜a ＜62时，Δ>0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a.讨论得：当a∈⎝⎛⎭⎪⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)；当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞；当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练1. 2x －5y ＝0或x ＋y －7＝0 解析：分直线过原点和不过原点两种情况．2. 43或833解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况． 3. 0≤a≤1 解析：由题知ax 2－a(a ＋1)x ＋12(a ＋1)≥0对x∈R 恒成立，分a ＝0和a＞0两种情况讨论．4. a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，4n －1，n≥2且n∈N*解析：在使用公式a n ＝S n －S n －1时要注意条件n≥2，n∈N *.例题选讲例1 解析：sinB ＝154，a ＜b ，若B 为锐角，则cosB ＝14，由余弦定理得， c 2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c 2－3c －28＝0，∴ c＝7；若B 为钝角，则cosB ＝－14，由余弦定理得c 2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c 2＋3c －28＝0，∴ c＝3，故边c 的长为7或3.(注：在三角形中，内角的取值范围是(0，π)，b ＞a ，cosB ＝14，则B 可能是锐角也可能是钝角，故要分两种情况讨论．但本题如改成a ＝8，b ＝6，那情况又如何呢？)变式训练 △ABC 中，已知sinA ＝12，cosB ＝513，求cosC.解：∵ 0＜cosB ＝513＜22，B∈(0，π)，∴ 45°＜B ＜90°，且sinB ＝1213.若A 为锐角，由sinA ＝12，得A ＝30°，此时cosA ＝32；若A 为钝角，由sinA ＝12，得A ＝150°，此时A ＋B ＞180°.这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见A≠150°. ∴ cosC＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B) ＝－(cosA·cosB－sinA·sinB)＝－⎝⎛⎭⎪⎫32·513－12·1213＝12－5326. 例2 解：(1) 当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1＜0，∴ x＞1.(2) 当a≠0时，原不等式化为a(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0， ① 若a ＜0，则原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， ∵ 1a ＜0，∴ 1a ＜1，∴ 不等式解为x ＜1a或x ＞1. ② 若a ＞0，则原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.(ⅰ) 当a ＞1时，1a ＜1，不等式解为1a ＜x ＜1；(ⅱ) 当a ＝1时，1a ＝1，不等式解为；(ⅲ) 当0＜a ＜1时，1a ＞1，不等式解为1＜x ＜1a .综上所述，得原不等式的解集为：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1a ＜x ＜1.变式训练解关于x 的不等式ax －1x －2＞1(a∈R 且a≠1)．解：原不等式可化为：a －1x ＋2－ax －2＞0，① 当a ＞1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0同解．由于a －2a －1＝1－1a －1＜1＜2，∴ 原不等式的解为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)．② 当a ＜1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2) ＜0同解．由于a －2a －1＝1－1a －1，若a ＜0，a －2a －1＝1－1a －1＜2，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2；若a ＝0时，a －2a －1＝1－1a －1＝2，解集为；若0＜a ＜1，a －2a －1＝1－1a －1＞2，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1.综上所述，当a ＞1时不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)；当0＜a ＜1时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1；当a ＝0时，解集为；当a ＜0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2. 例3 解：(1) 因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q≠1时，S n ＝a 11－q n1－q＞0，即1－qn1－q＞0(n ＝1,2,3，…)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＞0，1－q n＞0n ＝1，2，3，…或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＜0，1－q n＜0n ＝1，2，3，….由于n 可为奇数，可为偶数，故q ＞1或－1＜q ＜1且q≠0.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2) 由b n ＝a n ＋2－a n ＋1＝a n (q 2－q)，∴ T n ＝(q 2－q)S n .∴ T n －S n ＝(q 2－q －1)S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫q －1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1－52S n .又S n ＞0，－1＜q ＜0或q ＞0，－1＜q ＜1－52或q ＞1＋52时T n ＞S n ；1－52＜q ＜0或0＜q ＜1＋52时，T n ＜S n . q ＝1±52时，S n ＝T n .(注：等差、等比数列的通项、前n 项的和是数列的基础，已知一个数列的前n 项和求其通项时，对n ＝1与n≥2要分别予以研究，而涉及等比数列求和或用错位相减法求和时，要对公比q 是否为1进行分类讨论．)例4 解：(1) 利用函数图象的对称求解函数的问题．容易求出g(x)＝－x 2＋2x.(2) h(x)＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x＋1，(解法1) 为求实数λ的取值范围，就要对λ的取值分类．(1) 当λ＝－1时，h(x)＝4x ＋1，此时h(x)在[－1,1]上是增函数，(2) 当λ≠－1时，对称轴方程为x ＝1－λ1＋λ.① 当λ＜－1时，需满足1－λ1＋λ≤－1，解得λ＜－1；② 当λ＞－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1＜λ≤0.综上可得λ≤0.(解法2) 由题知，h′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0对x∈[－1,1]恒成立．即(1＋x)λ≤1－x 对x∈[－1,1]恒成立，显然x ＝－1时上式恒成立，λ∈R ， x∈(－1,1]时，λ≤1－x 1＋x ＝21＋x－1，函数y ＝21＋x－1在x∈(－1,1]上单调减，函数的最小值为0.∴ λ≤0，经检验符合题意．(注：两种解法，值得思考，在做分类讨论题时要尽可能回避复杂的讨论．) 变式训练设0<x<1，a>0，且a≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小．解：(解法1) 因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，则0<1－x 2<1.① 当0<a<1时，由log a (1－x)>0，log a (1＋x)<0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)]＝log a (1－x 2)>0，即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.② 当a>1时，由log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0，得|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x)－log a (1＋x)＝－log a (1－x 2)>0，即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.由①②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.(注：在解答该类问题时，首先从概念出发判断出绝对值内的数(或式子)的符号，然后再去掉绝对值符号(这时需按条件进行分类讨论确定)，再按照相关的法则去计算，直至得出结论．其实这道题是可以回避讨论的．)(解法2) 因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，则0<1－x 2<1.|log a (1－x)|＝|lg1－x ||lga|＝－lg 1－x |lga|，|log a (1＋x)|＝lg 1＋x|lga||log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－lg1－x2|lga|＞0，∴ |log a (1－x)|>|log a (1＋x)|. 高考回顾 1.132或133 解析：由渐近线方程为3x －2y ＝0知a b ＝32或b a ＝32. 2. [0，＋∞) 解析：f(x)≤2得⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，21－x≤20≤x≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 2x≤2x ＞1.3. a ＝－34解析：分a ＜0和a≥0两种情况讨论．4. 2 解析：当x≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋lnx ＝0，解得x ＝100，所以已知函数有两个零点． 5. 解：(1) f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx ，∴ f′(x)＝x 2＋2mx ＋n.又∵ g(x)＝f′(x)－2x －3＝x 2＋(2m －2)x ＋n －3在x ＝－2处取极值，则g′(－2)＝2(－2)＋(2m －2)＝0m ＝3，又在x ＝－2处取最小值－5.则g(－2)＝(－2)2＋(－2)×4＋n －3＝－5n ＝2， ∴ f(x)＝13x 3＋3x 2＋2x.(2) 要使f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx 单调递减，则f′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＜0.又递减区间长度是正整数，所以f′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＝0两根设为a ，b(a ＜b)．即有：b －a 为区间长度．又b －a ＝a ＋b 2－4ab ＝4m 2－4n ＝2m 2－n(m ，n∈N ＋)．又b －a 为正整数，且m ＋n<10，所以m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5符合． 6. (1) 证明：f′(x)＝1x －b ＋2x ＋12＝1x x ＋12(x 2－bx ＋1)．∵ x＞1时，h(x)＝1x x ＋12＞0恒成立，∴ 函数f(x)具有性质P(b)．(2) 解：设φ(x)＝x 2－bx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋1－b 24，φ(x)与f′(x)的符号相同．当1－b 24＞0，－2＜b ＜2时，φ(x)＞0，f′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＝±2时，对于x ＞1，有f′(x)＞0，所以此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＜－2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x ＝b 2＜－1，而φ(0)＝1. 对于x ＞1，总有φ(x)＞0，f′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，φ(x )图象开口向上，对称轴x ＝b 2＞1，方程φ(x)＝0的两根分别为：b ＋b 2－42，b －b 2－42，而b ＋b 2－42＞1，b －b 2－42＝2b ＋b 2－4∈(0,1)．当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42时，φ(x)＜0，f′(x)＜0，故此时f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减；同理得：f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增．综上所述，当b≤2时，f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减； f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增．。

2020年新高考数学全国卷1(山东)(附答案与解析)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =＜＜，则 A B =∪ （）A .}{23xx ＜≤B .}{23xx ≤≤C .}{14x x <≤D .}{14x x ＜＜ 2.2i=12i-+（）A .1B .1-C .iD .i -3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A .120种B .90种C .60种D .30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A .62%B .56%C .46%D .42%6.基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数()It 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln20.69≈）（） A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围（） A .()2,6-B .(6,2)-C .(2,4)-D .(4,6)-8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-+∞D .[1,0][1,3]-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.已知曲线22:1C mx ny +=（）A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B .若=0m n ＞，则C是圆，其半径为C .若0mn ＜，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D .若0m =，0n ＞，则C 是两条直线10.下图是函数() siny x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（）A .πsin(3x +）B .πsin(2)3x -毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无------------------效----------------C .πcos(26x +）D .5πcos(2)6x - 11.已知0a ＞，0b ＞，且1a b +=，则（）A .2212a b +≥B .122a b -＞C .22log log 2a b +-≥D12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，L ，n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p =====∑＞，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑（）A .若1n =，则()0HX =B .若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C .若1(1,2,,)ip i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大D .若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则()()H X H Y ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.C ：24y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 14.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3an 5t ODC ∠=，BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________2cm ．16.已知直四棱柱1111–ABCD A B C D 的棱长均为2，60BAD ∠=︒．以1D径的球面与侧面11BCC B 的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在①ac ②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：3），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．-------------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________22.已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=＞＞的离心率为2，且过点()2,1A．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）数学答案解析一、选择题 1．【答案】C【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==，故选C ．【考点】集合并集【考查能力】基本分析求解 2．【答案】D【解析】()()()()212251212125i i i ii i i i ----===-++-，故选D ．【考点】复数除法【考查能力】分析求解 3．【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种．故选：C ．【考点】分步计数原理和组合数的计算【考查能力】运算求解 4．【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选B ．【考点】中国古代数学文化，球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质5．【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．故选C ．【考点】事件的概率公式 6．【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t ee +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天．故选：B ．【考点】指数型函数模型的应用【考查能力】运算求解 7．【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【考点】有关平面向量数量积的取值范围【考查能力】运算求解 8．【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x ＞，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x ＜，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D ．【考点】函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式【考查能力】分类讨论思想方法二、选择题 9．【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n ＞＞，所以11m n＜，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选ACD ．【考点】曲线方程的特征【考查能力】运算求解 10．【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A ，当2536212x πππ+==时，1y =-，∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．而5cos 2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选：BC ．【考点】诱导公式变换【考查能力】运算求解11．【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭=+- ⎝≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+===- ⎪⎝⎭≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，所以，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD ．【考点】不等式的性质【考查能力】运算求解 12．【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确．对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⎡⋅+-⋅-⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误．对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确．对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）．()2222111log log m mi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅． ()()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m H Y p p p p p p p p p p p p -+-+=+⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m =＞，所以2111i i m i p p p +-+＞，所以222111log log i i m ip p p +-+＞，所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅⋅+＞，所以()()H X H Y ＞，所以D 选项错误．故选：AC ．【考点】新定义“信息熵”的理解和运用【考查能力】分析、思考和解决问题三、填空题 13．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==，所以12116||||3|33AB x x =--= 解法二：10036640∆=-=＞，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=，过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示．12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【考点】抛物线焦点弦长【考查能力】运算求解14．【答案】232n n -【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -．【考点】等比数列的通项公式和前n 项和公式【考查能力】运算求解15．【答案】542π+【解析】设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以2125=，解得r = 等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+．故答案为：542π+．【考点】三角函数在实际中应用【考查能力】运算求解16．【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为60BAD ∠=︒，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以111D B C △为等边三角形，所以1DE =，111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111A B C D ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =||EP 所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E，因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得FG π==．．【考点】直棱柱的结构特征，直线与平面垂直的判定【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解四、解答题17．【答案】解法一：由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b mm ==>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =．选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯=1m ∴=，此时1c m ==．选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A =sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件c =矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+，∴()sin6A A C A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()1sin 2A A C A A +=⋅，∴sin A A =，∴tan A =，∴23A π=，∴6BC π==，若选①，ac =，∵a ==2=，∴1c =；若选②，sin 3c A =3=，c =;若选③，与条件c =矛盾．【考点】正弦定理、余弦定理、三角恒等变换【考查能力】化归与转化，运算求解 18．【答案】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12,2a q ==，或1132,2a q ==（舍），所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ====，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【考点】等比数列基本量的计算【考查能力】分析思考与解决问题的能力 19．【答案】（1）0.64 （2）答案见解析（3）有【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；（2（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈＞，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关．【考点】古典概型的概率公式【考查能力】逻辑推理，运算求解 20．【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =，所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则cos ,=3n PB n PB n PB⋅=⋅＜＞根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>===，当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD ．【考点】线面平行的判定和性质【考查能力】推理论证，运算求解，抽象概括 21．【答案】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-．(1)1f e =+，∴切点坐标为()11e +,， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--，即()12y e x =-+，∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --，∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--；（2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+，11()x f x ae x-'∴=-，且0a ＞．设()()g x f x ='，则121()0,x g x ae x -'=+＞∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=，∴()()11min f x f ==，∴()1f x ≥成立．当1a ＞时，11a＜，111a e -∴＜，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--＜， ∴存在唯一00x ＞，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '＜，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '＞，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+≥-++＞， ∴()1,f x ＞∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时，(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[1)+∞，．解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-+=+≥，令()x g x e x =+，上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥，显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥，令()1h x lnx x =-+，则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上()’0h x ＞，()h x 单调递增；在(1)+∞，上()0h x '＜，()h x 单调递减， ∴()()10max h x h ==，ln 01a a ≥，即≥，∴a 的取值范围是[1)+∞，．【考点】导数几何意义【考查能力】综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想22．【答案】（1）由题意可得：222222411c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=．（2）设点()()1122,,,M x y N x y ．因为AM AN ⊥，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++②，根据1122,y kx m y kx m =+=+，代入①整理可得： ()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=，将②代入，()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，∵()2,1A 不在直线MN 上，∴210k m +-≠， ∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，如图2．代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=，结合2211163x y +=，解得()1122,3x x ==舍，此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于AE 为定值，且ADE △为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE=．由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值．【考点】椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题【考查能力】数形结合，化归与转化。

专题09 恰当分类,搞定函数中参数讨论题(解析版)

2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇函数与导数专题09 恰当分类，搞定函数中参数讨论题一．方法综述1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度.2.分类讨论思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;(3)由数学运算要求引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．本专题举例说明解答此类问题的方法、技巧.二．解题策略类型一函数单调性问题中的参数讨论【例1】【2020·新兴一中期末】已知函数()()ln f x x a x a R =-∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）谈论函数()f x 的零点个数【解析】（1）∵()()ln ,0,f x x a x x =-∈+∞，故()1a x a f x x x'-=-=，∵0a >∴()0,x a ∈时，()0f x '<，故()f x 单调递减，(),x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 单调递增，所以，0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞（2）由（1）知，当0a >时，()f x 在x a =处取最小值()()ln 1ln f a a a a a a =-=-，当0a e <<时，()1ln 0a a ->，()f x 在其定义域内无零点当a e =时，()1ln 0a a -=，()f x 在其定义域内恰有一个零点当a e >时，最小值()()1ln 0f a a a =-<，因为()110f =>，且()f x 在()0,a 单调递减，故函数()f x 在()0,a 上有一个零点，因为a e >，2a e a a >>，()2ln 0a a a a f e e a e e a =-=->，又()f x 在(),a +∞上单调递增，故函数()f x 在(),a +∞上有一个零点，故()f x 在其定义域内有两个零点；当0a =时，()f x x =在定义域()0,∞+内无零点；当0a <时，令()0f x =，可得ln x a x =，分别画出y x =与ln y a x =，易得它们的图象有唯一交点，即此时()f x 在其定义域内恰有一个零点综上，0a e ≤<时，()f x 在其定义域内无零点；a e =或0a <时，()f x 在其定义域内恰有一个零点；a e>时，()f x 在其定义域内有两个零点；【指点迷津】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．【举一反三】【2019·福建莆田一高月考】已知函数1()ln a f x x x +=+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．【解析】（1）由1()ln a f x x x +=+得2211(1)'()(0)a x a f x x x x x +-+=-=>. 当10a +≤即1a ≤-时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．当10a +>即1a >-时，由'()0f x >得1x a >+；由'()0f x <得1x a <+，所以()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增．（2）要证()(sin 1)xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-.现证：ln 1x x ax ≥-.设()ln 1g x x x ax =-+．则'()1ln ln 1g x x a x a =+-=+-，所以()f x 在1(0,e )a -上单调递减，在1(e ,)a -+∞上单调递增．所以1111()()(1)11a a a a g x g e a e ae e ----≥=--+=-.因为01a ≤≤，所以110a e --≥，则()0g x ≥，即ln 1x x ax ≥-，当且仅当1x =，1a =时取等号．再证：1sin 1ax a x -≥-.设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥.所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin x x >.因为01a ≤≤，所以1sin 1ax a x -≥-．当且仅当0a =时取等号，又ln 1x x ax ≥-与1sin 1ax a x -≥-两个不等式的等号不能同时取到，即ln sin 1x x a x >-，所以()(sin 1)xf x a x >+．类型二函数极值问题中的参数讨论【例2】【2020·山东东营一中月考】已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥． ()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．【解析】()1Q 函数()()20f x lnx ax x a =--+≥， ()()2212121210ax x ax x f x ax x x x x-+-+-∴=--+>=-'=， 0x > 0a Q ≥，∴当0a =时，()1x f x x'-=，0x >，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当1x =时，()f x 有极小值；当18a ≥时，0≤V ，故()0f x '≤， ()f x ∴在()0,+∞上单调递减，故此时()f x 无极值；当108a <<时，0V >，方程()0f x '=有两个不等的正根1x ，2x ．可得1x =2x =则当10,4x a ⎛∈ ⎝⎭及1,4x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈⎝⎭时，()0f x '> ；()f x 单调递增； ()f x ∴在1x x =处有极小值，在2x x =处有极大值．综上所述：当0a =时，()f x 有1个极值点；当18a ≥时，()f x 没有极值点；当108a <<时，()f x 有2个极值点． ()2由()1可知当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程的两个正根，则1212x x a +=，1212x x a=． ()()()(()()2121212121211[)2ln 212144f x f x x x a x x x x lnx lnx a lna ln a a⎤∴+=+-+--+=++=+++⎦；令()1214g a lna ln a=+++， 108a <<Q ；()24104a g x a -'=<， ()g a ∴在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()13228g a g ln ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭， ()()12322f x f x ln ∴+>-．【指点迷津】1．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f ′(x )零点的存在；(2)参数是否影响f ′(x )不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)．2．在研究函数极值问题的时候，要注意可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极大值的充要条件是：f ′(x 0)＝0，且存在一个x 0的邻域(x 0－σ，x 0＋σ)，当x ∈(x 0－σ，x 0)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 0，x 0＋σ)时，f ′(x )<0.可导函数在x ＝x 0处取得极小值的充要条件是：f ′(x 0)＝0，且存在一个x 0的邻域(x 0－σ，x 0＋σ)，当x ∈(x 0－σ，x 0)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 0，x 0＋σ)时，f ′(x )>0.【举一反三】【2020·福建鹰潭一中月考】已知函数()()e 4ln,,2x x a f x ax g x x-=-= （1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时，当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()e ln ,2x f x ax =-所以()ln 12x f x x a =-+，所以()21112ax f x a a x x x-'=⨯-=-=()0x >，当0a …时，()0f x '>，所以函数()f x 无极值点；当0a >时，令()0f x '=，解得1x a=. 由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得10x a <<；由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得1x a >. 故函数()f x 有极大值点1a，无极小值点. 综上，当0a …时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 有极大值点1a，无极小值点. （2）当0a >时，()()()()4ln 02x a h x f x g x ax x x=-=-+>，所以()()2221440a ax x a h x a x x x x -+-'=--=>，设()24k x ax x a =-+-，则21 16,a ∆=- ①当00a ∆⎧⎨>⎩…即14a …时，()0h x '…，所以()h x 在()0,∞+单调递减，所以()h x 不可能有三个不同的零点；②当00a ∆>⎧⎨>⎩即104a <<时，()k x 有两个零点1x =2x = 所以120,0.x x >>又因为()24k x ax x a =-+-开口向下，当10x x <<时，()0,0)(k x h x '<∴<，所以()h x 在()10,x 上单调递减；当12x x x <<时，()()0,0k x h x '>∴>，所以()h x 在()12,x x 上单调递增；当2x x >时，()()0,0k x h x '<∴<，所以()h x 在2(,)x +∞上单调递减.因为()42ln1202a h a =-+=，又124x x =，所以122x x <<，()()()122.0h h h x x ∴<=<3222211141ln ln 22ln 4,12a h a a a a a a a a ⎛⎫=-⋅+=---+ ⎪⎝⎭Q 令()31ln 22ln 4,a a am a =---+ 则()4222221122112 120a a a m a a a a a a-+-'=-++=>>. 所以()m a 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()3ln 211113ln 22ln 404441644m a m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<==-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---+，即210h a ⎛⎫ ⎪⎭<⎝. 由零点存在性定理知，()h x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的一个零点0x . ()0000000044ln ln 24404241,a x h x h a a a x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝⋅⋅=⎭Q 又()00h x =，所以040h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以1040x x <<，所以()h x 在区间()10,x 上有唯一的一个零点04x ，故当104a <<时，()h x 存在三个不同的零点004,2,x x . 故实数a 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.类型三函数最值问题中的参数讨论【例3】【2020·江苏九江期末】一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.【解析】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2，设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x ≥>，得15x ≥，设总费用为()f x ，则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈ ⎪⎝⎭， ()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈ ①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，x b ⎡∈⎢⎣时，()0S x '<，()S x 递减；x b ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增，因此30b x b==3015b b AD AB ==综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【指点迷津】本题的第(1)问实际上是已知单调性，借助其与导数的关系，求参数的取值范围．求解的策略包括分类讨论和参变分离两大类，法1和法2分别使用了上述两种解法．本题的第(2)问是求函数的最大值和最小值，求最值需依赖于函数的单调性．而含参函数的单调性需要对参数进行分类讨论．在对参数进行讨论的时候，需要从三个层次来分类：第一层次，讨论－2ax －a ＋1是否是一次式，分两种情况，当其是一次式时，进入第二层次；第二层次，讨论－2ax －a ＋1的根的位置是否在所考查的范围[0,1]之间，分三种情况，当其根在[0,1]之间时，进入第三层次；第三层次，比较g (0)和g (1)的大小．【举一反三】【2020·山东枣庄八中月考】已知函数2()ln (1)2a f x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0. （1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>.【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--记()()h x f x ='则()1ax h x x ='-. 当0a ≤时，()10ax h x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =. 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<. 所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减。

高中高考数学专题总结复习分类讨论思想

二、分类议论思想高考动向分类议论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中常常使用的数学思想方法之一.突出考察学生思想的谨慎性和周祥性，以及认识问题的全面性和深刻性，提升学生剖析问题，解决问题的能力，能表现“侧重考察数学能力”的要求.所以分类议论是历年数学高考的要点与热门 .并且也是高考的一个难点.数学中的分类议论贯串教材的各个部分，它不单形式多样，并且拥有很强的综合性和逻辑性.知识升华1．分类议论的常有情况（ 1）由数学观点惹起的分类议论：主假如指有的观点自己是分类的，在不一样条件下有不一样结论，则一定进行分类议论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（ 2）由性质、定理、公式惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，2在不一样条件下结论不一致，如二次函数y=ax +bx+c(a ≠，0)由 a 的正负而致使张口方向不确定，等比数列前n 项和公式因公比q 能否为 1 而致使公式的表达式不确立等.（3）由某些数学式子变形惹起的分类议论：有的数学式子自己是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0， a=0， a＜0， a＞ 0 解法是不一样的 .（4）由图形惹起的分类议论：有的图形的种类、地点也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的地点关系等 .（5）由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中常有.（6）由参数变化惹起的议论：所解问题含有参数时，一定对参数的不一样取值进行分类议论；含有参数的数学识题中，参变量的不一样取值，使得变形受限致使不一样的结果.2．分类的原则（1）每次分类的对象是确立的，标准是同一的；分类议论问题的难点在于什么时候开始议论，即认识为何要分类议论，又从几方面开始议论，只有明确了议论原由，才能正确、适合地进行分类与议论.这就要求我们正确掌握所用的观点、定理、定义，考虑问题要全面. 函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线地点关系中的鉴别式等等，常常是分类议论区分的依照.（ 2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级议论.当问题中出现多个不确立要素时，要以起主导作用的要素进行区分，做到不重不漏，而后对区分的每一类分别求解，再整合后获取一个完好的答案.数形联合是简化分类议论的重要方法.3．分类议论的一般步骤第一，明确议论对象，确立对象的范围；第二，确立分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类议论，获取阶段性结果；第四，概括总结，得出结论.4.分类议论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类议论是一种重要的解题策略，但这类分类议论的方法有时比较繁琐，如有可能，尽量防止分.经典例题透析种类一：不等式中的字母议论1、（ 2010·山）若于随意，恒建立， a 的取范是________.一反三：【式 1】解对于的不等式:（）.【式 2】解对于的不等式:.种类二：函数中的分类议论2、数，函数的最大，（Ⅰ），求的取范，并把表示的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求足的全部数 .分析：（ I）∵，∴要使存心，必且，即∵，且⋯⋯①∴的取范是，由①得：，∴，，（ II ）由意知即函数，的最大，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种状况进行议论：（ 1）当时，函数，的图象是张口向上的抛物线的一段，由知在上单一递加，故；（ 2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是张口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（ III ）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，进而有或，要使，一定有，，即，此时，，综上所述，知足的全部实数为：或.贯通融会：【变式1】函数的图象经过点(-1， 3)，且 f(x) 在 (-1， +∞)上恒有f(x)<3 ，求函数 f(x).分析： f(x) 图象经过点 (-1， 3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不知足题意；(2)当，则，此时，x∈ (-1，+∞)时，即 f(x)<3 ，知足题意为所求.综上，.【变式 2】已知函数有最大值2，务实数的取值.分析：令，则().(1)当即时，，解得 :或（舍）；(2)当即时，,解得 :或（舍）；(3) 当即时，，解得（全都舍去） .综上，当或时，能使函数的最大值为 2.贯通融会：【变式 1】设，（ 1）利用函数单一性的意义，判断f(x) 在（ 0， +∞）上的单一性；（2）记 f(x) 在 0<x≤1上的最小值为 g(a)，求 y=g(a) 的分析式 .分析：（1）设 0<x 1<x 2<+∞则f(x 2)-f(x 1)=由题设 x2-x1>0 ，ax1·x2>0∴当 0<x 1<x2≤时，，∴ f(x2)-f(x1)<0，即 f(x 2)<f(x 1)，则 f(x) 在区间 [0，]单一递减，当<x 1<x 2<+∞时，，∴ f(x 2)-f(x 1)>0，即 f(x 2)>f(x 1)，则 f(x) 在区间（，+∞）单一递加.（ 2）由于 0<x≤1，由（ 1）的结论，当 0<≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;当>1，即 0<a<1 时， g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a) ＝.种类三：数列4、数列 {a n} 的前n 项和为S n，已知 {S n} 是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.分析：设等比数列 {S n} 的公比为q，则 q>0①q=1 时， S n=S1=a1当 n=1 时，，a2=0，∴，即当 n≥2时， a =S -Sn-1 =a -a =0，，即nn 1 1n-1n-1 (2)q ≠1时， S n=S1·q=a1·q当n=1 时，∴ ，即.当 n ≥2 ，a n =S n -S n-1 =a n-1n-2n-21·q -a 1·q =a 1·q (q-1)此∴ q>1 ，，0<q<1 ，.升：等比数列前 n 和公式分 q=1 或 q ≠1两种状况行 .一反三：【式 1】求数列： 1， a+a 2 234 3456n,a +a +a ,a +a +a +a , ⋯⋯（此中 a ≠0）的前 n 和 S .分析：数列的通 n-1 n2n-2a n =a +a +⋯ +a：（ 1）当 a=1 ， a n =n ， S n =1+2+⋯ +n=（ 2）当 a=-1 ，，∴ ，（ 3）当 a ≠±1且 a ≠0 ，，∴.【变式 2 】设 {a n} 是由正数组成的等比数列， S n是其前n项和，证明:.分析：（ 1）当 q=1 时，S n=na1，进而，（ 2）当 q≠1时，，进而由（ 1）（ 2）得 :.∵函数为单一递减函数.∴∴.【变式 3】已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列 .(Ⅰ )求 q 的值；(Ⅱ )设 {b } 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为 S ，当 n≥2时，比较 S n n nn的大小，并说与 b明原由 .分析：2(Ⅰ )由题设 2a3=a1+a2，即 2a1q =a1+a1q,∵a1≠0，∴ 2q2 -q-1=0，∴或，(Ⅱ )若 q=1 ，则当 n≥2时，若当 n≥2时，故对于 n∈N +，当 2≤n≤9时， S n>b n；当 n=10 时， S n=b n；当 n≥11时， S n<b n.【变式 4 】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，此中；一般地，规定为的 k 阶差分数列，其中且 k∈ N* ， k≥2。

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难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值.●案例探究［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案. 解：（1）由S n =4(1–n21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N x ) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N x ) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N x ）因为S k +1＞S k ，(k ∈N x ) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N x )得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立. 当c =3时，因为S 1=2，S 2=3，所以当k =1，k =2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立. 综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS c S k k 成立. ［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有 )(1a x ab y -+-= 由x –a ≠0，得a x y a b -+-=)1( ② 将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+--- ④ 所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=. ∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD∴COACOA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan = )1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-== ∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a )以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x ab y -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是 2212tan 1tan 22tan k k -=-=θθθ 又tan2θ=–b∴–b =212k k - ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x ab kx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k k kx a --=+ ③ 又xy k =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a =1时，④表示抛物线弧段.●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn nn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ；（3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参考答案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a )此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43 若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增. 从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1.综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ；当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1；当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43. ●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证.答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0},由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2；由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22）三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根.若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0.将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得 01)1()1(020=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x 0=01x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1设动点M 的坐标为(x ,y )，则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f ∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()( 即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f 又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1. 因b ≠1，得∑==n k n x 1(x k –x k –1) =1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在. （3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1 ∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1.因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］.可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b .(3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。