二次函数系数a、b、c与图像的关系89058
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式∆=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，∣ 若y > 0，则a + b + c >0；∣ 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，∣ 若y > 0，则a - b + c >0；∣ 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c ……等等）的符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：∣2χγa =∣2χγb =∣2χγc =∣2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ．A ．a > b > c > dB ．a > b > d > cC ．b > a > c > dD ．b > a > d > c例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果 ①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤4a-2b+c ＜0，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤ 练习1. （2015•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞0y x O x y O ① ② yx O2.（2015•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2- 4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2- 4ac＞0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞03.（2015•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44.（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．\其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③5.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3能力提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是。
二次函数系数a,b,c与图像的关系ppt课件
-1
0
1
x
8
9.练习：填空
（1）函数y=ax2 +bx+c（a 0）的函数值恒为正的
条件为：
，恒为负的条件为：
。
（2）已知抛物线y=ax2 +bx+c的图象在x轴的下方，
则方程ax2 +bx+c 0的解的情况为
。
（3）二次函数y=ax2 +bx+c中，ac<0，则抛物线与x轴 有 交点。
9
11、二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，
下列结论①c<0,②b>0③4a+2b+c>0,④(a+c)2 b2
其中正确的是
（填序号，并说明理由）
y
x=1
(a+c)2 b2 (a b c)(a b c)
1 2
其中正确的结论是（ ） （A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
11
-1 o
1x
4
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所
示则下列关于a、b、c间的关系判断正
确的是（ ）
y
A）ab<0
O
x
B）bc<0
C）a+b+c>0
D）a－b+c<0
（图1）
5
例4(青海)二次函数 y ax2 bx c 图象如图2所示，
则点 A(b2 4ac， b ) 在第 象限．
a
y
O x
二次函数的图象与系数的关系
二次函数的图象与系数的关系二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与系数的关系如下：1、a 决定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。
2、a 决定抛物线的开口大小：a 越大，则开口越小；a 越小，则开口越大。
3、a 、b 的符号决定抛物线的对称轴：当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧。
4、c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标：当0=c 时，抛物线经过原点；当c ＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴；当c ＜0时，抛物线与y 轴交于负半轴。
5、ac b 42-决定图象与x 轴是否相交：当ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有两个交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴只有一个交点；当ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
应用上述关系，便能简洁明快地根据a 、b 、c 的符号判断抛物线的位置，或者根据抛物线的位置确定a 、b 、c 的符号。
例1（海淀区中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ）A 、a b c ><>000，，B 、a b c <<>000，，C 、a b c <><000，，D 、a b c <>>000，，例2（天津市中考题）图2为二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限例3（广安市中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图3所示，则点A （a ，b ）在（ ）图1 图2 图3 图4A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限例4（苏州市中考题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象如图4所示，下面结论正确的是（ ）A 、a < 0, c < 0, b 2 > 4acB 、a > 0, c < 0, b 2 > 4acC 、a > 0 , c > 0 , b 2 > 4acD 、a > 0 , c < 0 , b 2 < 4ac例5（南通市中考题） 已知反比例函数y ＝xk 的图象如图5所示，则二次函数y ＝222k x kx +-的图象大致为（ ）例6（山西省中考题）已知函数y ax bx c =++2的图象如图6所示，关于系数a 、b 、c 有下列不等式：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④b a +2＜0；⑤c b a ++＞0。
二次函数系数a、b、c与图像关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式∆=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，∣ 若y > 0，则a + b + c >0；∣ 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，∣ 若y > 0，则a - b + c >0；∣ 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b 2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c ……等等）的符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是： ∣2χγa =∣2χγb =∣2χγc =∣2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ．A ．a > b > c > dB ．a > b > d > cC ．b > a > c > dD ．b > a > d > c例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤4a-2b+c ＜0，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤y xO x y O ① ② ④ ③练习1. （2015•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞02.（2015•文山州）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2- 4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞03.（2015•泸州）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0，②b 2- 4ac ＞0，③a-b+c=0，④a+b+c ＞0，其中正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44.（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c ＜0； ②a ﹣b+c ＜0； ③b+2a ＜0； ④abc ＞0． \其中所有正确结论的序号是（ ）A ． ③④B ． ②③C ． ①④D ． ①②③y x O5.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3能力提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是。
二次函数图象与系数a、b、c的关系
模块三 函数第五讲 二次函数图象与a 、b 、c 的关系知识梳理 夯实基础二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征a >0开口向上aa <0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4acb 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,hx =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
（3）赋值法：在二次函数c bx ax y ++=2中，令1=x ，则c b a y ++=；令1-=x ，则c b a y +-=；令2=x ，则c b a y ++=24；令2-=x ，则c b a y +-=24；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。
直击中考 胜券在握1．（2021·山东日照中考）抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．（2021·四川巴中中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论：①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0；④7a +c ＜0．其中正确的有（ ）x …﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.875…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④3．（2021·牡丹江中考）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c>0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．（2021·辽宁丹东中考）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且13,22a b c a b c ++=--+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x ££时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2021·山东枣庄中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ¹）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．（2021·四川广安中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -³+，④30a c +<，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·湖南株洲中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >9．（2021·齐齐哈尔中考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2021·湖北鄂州中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．（2021·四川达州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2021·湖北随州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a bc->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ^．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2021·天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．315．（2021·四川遂宁中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ¹）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．（2013·山东德州中考）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系下面就y =ax 2+bx +c 中的a ，b ，c 的作用归纳如下． 1、a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 2、决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．3、b 的作用与抛物线的顶点、a 有关，b 与a 的符号共同决定抛物线的顶点横坐标．4、b 与a 同号，说明02<-ab ，则顶点在y 轴的左边；5、b 与a 异号，说明02<-ab ，则顶点在y 轴的右边；6、若顶点在y 轴上，则b = 0．7、c 的作用：c 由抛物线与y 轴的交点坐标决定． 8、c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 9、c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 10、若抛物线过原点，则c = 0．11、若抛物线与x 轴交于(1，0)，则a + b + c = 0；若抛物线与 x 轴交于(－1，0)，则a －b + c = 0． 12、当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 0，则a + b + c < 0 13、当x =－1时，①若y > 0，则a －b + c >0；②若y < 0，则a －b + c < 0． 例1、二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图，则点M (b ，ac ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0 ∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b > 0；∴ac < 0；∴点M 在第四象限，选D例2、二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图，则下列关系判断正确的是（ ）A ．ab < 0B ．bc < 0C ．a + b + c > 0D ．a －b + c < 0分析：∵开口向下，∴a < 0； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0 ∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴ab > 0， bc > 0 故A 、B 均错 ∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0，故C 错 ∵x = -1时，y < 0，∴a －b + c < 0．故选D例3、如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①y =ax 2；②y =bx 2；③y =cx 2；④y =dx 2，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ． A ．a > b > c > d B ．a > b > d > c C ．b > a > c > dD ．b > a > d > c分析：∵③、④的图像开口向下，∴c < 0，d < 0； ∵④的张口比③的张口大，∴∣d ∣<∣c ∣， ∴d > c ； ∵①、②的图像开口向上，∴a > 0，b > 0；∵①的张口比②的张口小，∴∣a ∣ > ∣b ∣， ∴a > b ；∴选B 例4、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ．a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c > 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴选A例5 二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图，x =31为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可)． 解： ①∵开口向上，∴a > 0；②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0； ③∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b < 0； ④∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0；⑤∵x =－1时，y > 0，∴a - b + c > 0．例6、为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y =ax 2+bx +c 如图，则下列结论：①1-<a ，②01<<-a ，③a －b +c >0，④a <b <－12a 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 剖析 排除法判定，易知c =2.4，把(12，0)代入y =ax 2+bx +c 中得：144a +12b +2.4=0，11205a b ++=，由图象知a <0，对称轴002bx b a-=>>，，11120560a a ∴+<<-，， 即①成立， ②不成立，故不可能选C 与D ．①④ ③111201201255a b a b b a ++=∴+-<<- ，，， 000022b ba b a a<->∴<> ，，，．,12a b a -<<∴④正确，故在A ，B 中只能选B ．例7、已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(－1，0)且满足4a +2b +c >0以下结论：①a +b >0，②a +c >0，③－a +b +c >0， ④b 2－2ac >5a 2其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 特殊值判定法，∵抛物线过(－1，0)点，∴a －b +c =0， c =b －a 代入4a +2b +c >0中得．a+b >0，①正确．∵a <0， a+b >0，∴b >0，∵a －b +c =0，∴a +c =b >0，a +c >0，②正确．∵a <0，b >0，∴c =b －a >0，－a >0，∴－a +b +c >0，③正确．∵a －b +c =0，∴a +c =b ，2a +c =a +b >0，2 a +c >0，∵a <0，c >0，∴c －2a >0， ∴(c -2a)(c +2a )>0，c 2－4a 2>0，c 2>4a 2，∵b =a+c ，∴b 2= c 2+a 2+2ac ，c 2=b 2－a 2－2ac ，b 2－a 2－2ac >4a 2，b 2－2ac >5a 2， ④正确． 所以选D ． 注意 ：有时利用x =±1时，y =a±b+c ，x =±2时，y =4a±2b+c 中，y 符号判定a±b+c 和4a±2b+c 的符号． 例8、已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象与x 轴交于(－2，0)、(x 1，0)且1<x 1<2，与y 轴正半轴交点在(0，2)下方， 下列结论，①a <b <0，②2a +c >0，③4a+c <0，④2a －b +1>0其中正确个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 数形判定法，根据题意可画草图3， 1122b bx a a=->-∴< 对称轴，， 00022b ba a a<-<∴> ，， ∴a <b <0 ①正确． ∵抛物线过(－2，0)，∴4a －2b +c =0， 2a +c =－2a +2b =－2(a －b )>0∴2a +c >0，②正确． ∵4a －2b +c =0，4a +c =2b <0∴4a +c <0，③正确． ∵4a －2b +c =0，22c b a -=-∴∵0<c <2，12->-∴c ，2a －b >－1，即2a －b +1>0 ④正确． 所以选D ．。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与a 同号，说明02<-ab ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明−b 2b >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；（特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式∆=b 2−4bb 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2−4bb >0 与x 轴两个交点b 2−4bb =0 与x 轴一个交点b 2−4bb <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c……等等）的符号。
二次函数a、b、c与图像的关系
一一、首首先就 y=ax +bx+c（a≠0）中的 a，b，c 对图像的作用用归纳如 下：
1 a 的作用用：决定开口口方方向：a > 0 开口口向上；a < 0 开口口向下；
决定张口口的大大小小：∣ a∣ 越大大，抛物线的张口口越小小．
2 b 的作用用：b 和 a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．
3.（2015•泸州）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，有下
列列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正 确结论的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
4.（2015•仙游县二二模）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：y ①② NhomakorabeaO
x
③④ 例例 3 已知二二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=-1，给出下列列结果 ①b2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+ c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论 是（ ） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤
2
练习
1. （2015•重庆）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）在平面面直⻆角坐标系中的
4 a,b,c 共同决定判别式的符号进而而决定图象与 x 轴的交点 与 x 轴两个交点 与 x 轴一一个交点 与 x 轴没有交点
5 几几种特殊情况：x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c ．
二次函数图像与abc的关系课件
c=0时的情况
总结词：水平线段
详细描述：当c的值为0时，二次函数退化为线性函数，图像成为一条水平线段。 这是因为当c=0时，二次函数变为一次函数，其图像是一条直线。
05 综合分析abc对图像的 影响
a，b同号时的情况
总结词
开口向上，对称轴为y轴
详细描述
当a和b同号时，二次函数的图像开口向上或向下，对称轴为y轴。此时，如果a和b都大 于0，则图像开口向上；如果a和b都小于0，则图像开口向下。
二次函数图像与abc的关 系课件
目 录
01 二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是 $f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中 $a$ 、 $b$、$c$是常数，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是描述函数 图像的基础，其中$a$决定了抛物 线的开口大小和方向，$b$和$c$ 决定了抛物线的位置。
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向由系数$a$决定。 当$a > 0$时，抛物线开口向上；当 $a < 0$时，抛物线开口向下。
详细描述
系数$a$的正负决定了抛物线的开口方 向，这是理解二次函数性质的重要一环。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为$(-frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$。
a，b异号时的情况
总结词
开口向下，对称轴为y轴
VS
详细描述
当a和b异号时，二次函数的图像开口向 上或向下，对称轴为y轴。此时，如果a和 b的绝对值大小不同，则图像开口向下； 如果a和b的绝对值大小相同，则图像开 口向上。
二次函数系数a、b、c与图像的关系(最新整理)
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax +bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如2下：1a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明，则对称轴在y 轴的左边；02<-ab b 与a 异号，说明，则对称轴在y 轴的右边；‒b 2a>0特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4a,b,c 共同决定判别式的符号进而决定图象与x 轴的交点∆=b 2‒4ac与x 轴两个交点b 2‒4ac >0与x 轴一个交点b 2‒4ac =0与x 轴没有交点b 2‒4ac <05几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
二、经典例题讲解例1 已知二次函数的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ）()02≠++=a c b a χχγA ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ．a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①②③④，则a ， b ， c ， d 的大小关系2χγa =2χγb =2χγc =2χγd =是 ．A ．a > b > c > dB ．a > b> d > c C ．b > a > c > d D ．b > a > d > c例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤4a-2b+c ＜0，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤练习1. （2015•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞02.（2015•文山州）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2- 4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞03.（2015•泸州）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0，②b 2- 4ac ＞0，③a-b+c=0，④a+b+c ＞0，其中正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44.（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c ＜0； ②a ﹣b+c ＜0； ③b+2a ＜0；④abc ＞0．\其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③④B．②③C ．①④D ．①②③5.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（ ）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大x1x2C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是=-1，=3能力提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B．2个C．3个D．4个3.（2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（ ）A、1B、2C、3D、4。
二次函数图象与系数的关系最全总结
二次函数图象与系数的关系最全总结二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一，它的图象是一条抛物线，其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。
所以，二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点，今天，小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。
1. a决定抛物线的开口方向及大小具体内容：•a>0，抛物线开口向上•a<0，抛物线开口向下•|a|越大，抛物线的开口越小•|a|越小，抛物线的开口越大我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变，只是位置发生改变，那么只要两个二次函数的a相同，那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数.图象：抛物线开口向上，a>0，抛物线开口向下，a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|.图象示例：2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置对称轴的位置具体内容：•b=0时，对称轴为y轴•b/a>0，对称轴在y轴左侧（即a、b同号，则对称轴在y轴左侧，简记为“左同”）•b/a<0，对称轴在y轴右侧（即a、b异号，则对称轴在y轴右侧，简记为“右异”）上述当b≠0时，a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”图象：对称轴在y轴，则b=0,对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”判断a、b同号，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断a、b异号.图象示例：3. c决定抛物线与y轴交点的位置具体内容：•c=0，抛物线过原点•c>0，抛物线与y轴交于正半轴•c<0，抛物线与y轴交于负半轴可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容图象示例：4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数具体内容：•b2-4ac=0时，与x轴有唯一交点（即顶点）•b2-4ac>0时，与x轴有两个交点（即开口向上时顶点在x轴下方，开口向下顶点在x轴上方）•b2-4ac<0时，与x轴没有交点（即开口向上时顶点在x轴上方，开口向下顶点在x轴下方）图象示例：5. 特例•当x=1时，y=a+b+c•当x=-1时，y=a-b+c•当x=2时，y=4a+2b+c•当x=-2时，y=4a-2b+c•若a+b+c<0，即当x=1时，y<0•若a-b+c>0，即当x=-1时，y>0•当对称轴为直线x=1时，则2a+b=0•当对称轴为直线x=-1时，则2a-b=0从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息，做此类问题一定要注意数形结合.例题讲解例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号，则b>0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，所以<0，则点M（b，）符合第四想象点的坐标特征（+，-），故选D.例2若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A.a＞0B.a＞- 4/9C.a＞9/4D.a＜9/4且a≠0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，即32-4a×1>0，解得a＜9/4，根据二次函数定义可知a≠0.故选D.▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a 中正确个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】•a+b+c是当x=1时y的值，根据图象可知当x=1时，图象上对应的点在x轴下方，则y=a+b+c<0，故①正确；•a-b+c是当x=-1时y的值，根据图象可知当x=-1时，图象上对应的点在x 轴上方，则y=a-b+c>0，故②正确；•根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴左侧，可得a、b同号，故b<0，根据图象与y轴交于正半轴可得c>0，所以abc>0，故③正确；•由图象得抛物线的对称轴为直线•x=-b/2a=-1，则b=2a，故④正确；故本题选A.。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、ｂ、ｃ与图像的关系一、首先就y ＝a ｘ2+b ｘ+c(ａ≠0）中的ａ，b ，c 对图像的作用归纳如下:1 a 的作用：决定开口方向：a > ０开口向上;a ＜ 0开口向下;决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 ｂ的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号,说明02<-a b ,则对称轴在y 轴的左边;b 与a 异号，说明−b 2a >0,则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用:ｃ决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与ｙ轴的交点（0,c) c > ０ 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与ｙ轴的交点在y 轴的负半轴；特别的,c = ０,抛物线过原点.4 a,b,c 共同决定判别式∆=b 2−4ac 的符号进而决定图象与ｘ轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x ＝１时，y=a + b + c ;x= -1时,y=a - ｂ ＋ c .当x = 1时,∣ 若y > 0，则a + ｂ + c >０；∣ 若y ＜ 时０,则ａ + ｂ + ｃ ＜ 0 当ｘ = -1时,∣ 若y > 0，则a － b + c ＞0;∣ 若y < 0，则a － b + ｃ < 0.扩：x ＝２, y=４a + 2b + ｃ ；x= -2, y=4a -２b ＋ ｃ ； x ＝3， ｙ=9a +3 b+ c ;ｘ= -3， y=9a -3b + c 。
反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,ｃ以及它们组合成的一些关系结构(例如对称轴−b2a ； 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c ……等等）的符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、ｃ满足（ ) A ．a < 0，ｂ < 0，c ＞ 0 ;B .a ＜ 0，b < 0，c < 0 ;C ． a < 0,b > ０，c ＞ 0 ；D.a > 0，ｂ ＜ ０,c > 0 ；例2(2015呼和浩特)如图,四个二次函数的图像中分别对应的是: ∣2χγa =∣2χγb =∣2χγc =∣2χγd =，则a ， ｂ， c , d 的大小关系是 .A.a ＞ b ＞ c ＞ d ﻩﻩﻩB.a ＞ ｂ > ｄ > cC ．b ＞ a ＞ c > d ﻩﻩﻩﻩD ．ｂ > a ＞ ｄ > c例3已知二次函数ｙ＝a ｘ２+bx+ｃ的图象如图,其对称轴x ＝－1，给出下列结果①b ２>4ac;②a ｂｃ＞0；③2ａ+b ＝０；④a+ｂ+ｃ>0；⑤４ａ－2b ＋ｃ<0,则正确的结论是（ )A 、①②③④ Ｂ、②④⑤ Ｃ、②③④ D 、①④⑤y xO x y O ① ② ④ ③练习1. （２０15•重庆)已知抛物线y=a ｘ2+ｂx+ｃ（ａ≠0）在平面直角坐标系中的 位置如图所示,则下列结论中,正确的是（ ）A 、a>０B 、b<0C 、ｃ<０ Ｄ、a+b+c>0２.(20１5•文山州）已知二次函数ｙ=ax 2＋ｂx ＋c 的图象如图所示,则ａ，b,c 满足( ）A 、a ＜0,ｂ＜0,c ＞0，b 2- ４ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，ｃ<0，b ２- 4a ｃ＞0C 、ａ<０，b>０,ｃ＞0,b 2- 4ａc ＞０D 、a ＞0,b<０，c>0,ｂ2- 4ac>０3.（2015•泸州)已知二次函数y=ax 2+bx+ｃ(a,b ，c 为常数,a ≠0)的图象如图所示，有下列结论:①abc<0，②b 2- ４ac>0,③a-ｂ+c=0，④ａ+b+c ＞0,其中正确结论的个数是（ )A 、１B 、2C 、3D 、44.(20１5•仙游县二模)已知二次函数y ＝ax 2+b ｘ+c （ａ≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ①a ＋b+c<0; ②a ﹣ｂ+c ＜０； ③b+２ａ<０； ④ａbc ＞0． \其中所有正确结论的序号是（ )Ａ． ③④ B. ②③ Ｃ． ①④ D. ①②③yx O5.（20１1•雅安)已知二次函数y=ax２+ｂｘ＋c的图象如图,其对称轴x=-１,给出下列结果①b2>4ac；②aｂc>0;③2ａ+b=０;④ａ+b+c＞0;⑤a-b＋ｃ<0，则正确的结论是( ）Ａ、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.(20１５•黔南州)如图所示为二次函数y＝ａx2＋bx+c(ａ≠0)的图象，在下列选项中错误的是（）Ａ、ａc＜0 Ｂ、ｘ>1时,y随x的增大而增大C、a+b＋c＞0 Ｄ、方程aｘ2+bx+c=0的根是x1=－１，x2=3能力提升1.已知二次函数y=ａx２+bx+ｃ(a≠0)的图象如下图所示,有下列5个结论：①abc＜0; ②a-ｂ＋ｃ＞0；③２a+b＝0; ④ｂ2- 4ac＞０；⑤a＋b+c＞m(am+b）+c（ｍ＞1的实数)，其中正确的结论有( )A.１个Ｂ．2个C．３个D.4个2.（201４•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣３,0),对称轴为x=﹣１.给出四个结论：①b２>4ac; ②2a+b=0；③3a+ｃ=0; ④a+b+c=０．其中正确结论的个数是（)A．1个Ｂ．2个C．３个D．4个3.(２０15•天津)已知二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠０）的图象如图所示，有下列结论:①ｂ2- 4ａc＞0; ②aｂc＞0;③8a+ｃ>０; ④9a+3b+c<０其中，正确结论的个数是( )A、1B、2 Ｃ、3 Ｄ、４４. 如图所示，二次函数ｙ=aｘ２+ｂｘ＋c(ａ≠0）的图象经过点（-１，２）,且与x轴交点的横坐标为ｘ1、x2,其中-２＜x1＜-１，０<x2<1,下列结论:①ａｂc＞０;②4a-2ｂ+c<0；③2a-b>０;④b2＋８a>4ac，正确的结论是。
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二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳：
1.a的作用：决定开口方向和开口大小
2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）
3.c的作用：与y轴交点的位置。
4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。
5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。
针对训练：
1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。
(1)a___0；b___0；c___0；△__0.
(2)a___0；b___0；c___0；△__0.
(3)a___0；b___0；c___0；△__0.
(4)a___0；b___0；c___0；△__0.
(5)a___0；b___0；c___0；△__0.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，
用（＞，＜，=）填空：
a___0；b___0；c___0；a+b+c__0；a-b+c__0.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的
关系判断正确的是（）
A.ab<0
B.bc<0
C.a+b+c>0
D.a－b+c<0
4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点A（b2-4ac，-b a ）在第象限．
4题图6题图
图6题图
5．已知a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：
(1)a；(2)b；(3)c；(4)a+b+c；(5)a-b+c；(6)b2-4ac；
(7)4ac-b2；(8)2a+b；(9)2a-b
7.练习：填空
（1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒
为负的条件：.
（2）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则方程ax2+bx+c=0
的解得情况为：.
（3）二次函数y=ax2+bx+c中，ac＜0，则抛物线与x轴有交点。
8.二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论①c＜0；②b＞0；③4a+2b+c＞0；④（a+c ）2＜b 2.其中正确的是 （填序号。
并说明理由）
22
2222
()()
x 1a+b+c 0
x 1a-b+c 0
()()0
b a b
c a b c a b c a b c b b -=++-+=>=-<∴++-+<-<∴<Q (a+c)时，时，即(a+c)(a+c)
9.抛物线y=ax 2+bx+c 的图角如图9，则下列结论：
①abc>0；②a+b+c=2； ③a>12； ④b<1. 其中正确的结论是（ ）
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
10.y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1,3，则下列结论正确的个数有（ ）
①abc＞0； ②2a+b=0； ③4a+2b+c ＜0；
④对于任意x 均有ax 2+bx≥a+b；
⑤对于任意x 均有ax 2+a+bx -b ＞0；
⑥对于任意x 均有ax 2-a+bx -b ＞0；
A. 3；
B.4 ；
C.5 ；
D.6 ；
11.已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中正
确的是（ ）
①abc＞0； ②4ac＜b 2； ③2a+b=0； ④a -b+c ＞2；
A.1;
B.2;
C.3;
D.4;
12.如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象， 其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间． 则下列结论：
①a﹣b+c ＞0； ②3a+b=0；③b 2=4a （c ﹣n ）；
④一元二次方程ax 2+bx+c=n ﹣1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
13.已知抛物线y=ax 2+bx+c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；
②关于x 的方程ax 2+bx+c+2=0无实数根；
③a -b+c≥0； ④ 的最小值为3．
其中正确的是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12题图
10题图 11题图。