电磁场与电磁波第10讲静电场的边值问题
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Main topic 静电问题的解
1. 泊松方程和拉普拉斯方程
2. 静电问题解的唯一性
3.wenku.baidu.com镜象法 4. 直角坐标系中的边值问题
1
1.泊松方程和拉普拉斯方程
电位函数 V 和电场强度 E 之间的关系可表示为:
E V
上式方程中两边同时取散度运算,有:
E V 2V
在线性、各向同性介质中电场强度 E 的散度满足:
2
In cylindrical coordinates:
1 V 2 V r r r r
In spherical coordinates:
2 2 1 V V 2 2 2 z r
2 1 V 1 V 1 V 2 2V 2 R sin 2 R R sin R 2 sin 2 2 R R
5
积分变换法 分离变量法 解析法 镜像法（电轴法） 微分方程法 计算法 保角变换法
格林函数法
边值问题 研究方法
实验法
半解析法/半数值法 有限差分法 有限元法 边界元法 数值法 矩量法 实测法 模拟法
作图法
定性 定量
数学模拟法 物理模拟法
6
Example 1.一维泊松方程的解
2 2 2 2 V V V V 2 V V 2 2 2 2 0 x y z z
2V V 区域中的场方程： 2 0 边界条件 z V
z 0 z d
0 V0
8
3. 方程的通解
2V 区域中的场方程： 2 0 V C1 z C （积分两次） 2 z
4
In Cartesian coordinates:
2V V V V V V ax ay az ax ay az x y z x y z 2 2 2 V V V 2 V 2 2 2 x y z
E
2
电位函数的微分方程是:
V
2
上式称为泊松方程.
如果是在一个无源区,则上式方程为:
V 0
2
上式称为拉普拉斯方程.
3
Remarks
V
2
① 泊松方程表明均匀媒质中, V 的拉普拉斯运算(梯度的散度) 等于 –/ ,其中 是介质的介电常数, 是自由电荷体密度. ② 算子 2 , 即拉普拉斯算子, 它表示: “梯度的散度” or “”. ③ 散度运算和梯度运算都是一阶空间导数. 泊松方程是一个二 阶偏微分方程，在二阶导数存在的空间中每一点 ,二阶偏微 分方程都成立.
4. 特解（带入边界条件求解未知系数）
V V
z 0
0 V0
V
z 0
C1z C2 C1 0 C2 0 V0 C1d
C2 0
z d
V
z d
V0 V0 C1 V z d d
V V0 V0 ˆz ˆ z ；D E a ˆ z E V a a z d d
9
导体/介质分界面边界条件： Dn s；Et 0;
The lower plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆz a ˆ z a sl d d The up plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆ z a ˆz a su d d
7
Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition. 匀强电场，电位V只是随高度z的变化而变化
ˆn : 指向导体外部 a
Q A V0 Q sl A A; C d V0 d
10
Example 2. The inner conductor of radius a of a coaxial cable is held at a potential of V0 while the outer conductor of radius b is grounded Determine (a)the potential distribution between the conductors (b)the electric field intensity (c)the charge density on the inner conductor (d)the capacitance of the per unit length
The two metal plates having an area A and a separation d form a parallel-plate capacitor. The upper plate is held at potential of V0 , and the lower plate is grounded. Determine (a)the potential distribution (b)the electric field intensity (c)the charge distribution on each plate (d)the capacitance of the parallel-plate capacitor
11
Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition.
1. 泊松方程和拉普拉斯方程
2. 静电问题解的唯一性
3.wenku.baidu.com镜象法 4. 直角坐标系中的边值问题
1
1.泊松方程和拉普拉斯方程
电位函数 V 和电场强度 E 之间的关系可表示为:
E V
上式方程中两边同时取散度运算,有:
E V 2V
在线性、各向同性介质中电场强度 E 的散度满足:
2
In cylindrical coordinates:
1 V 2 V r r r r
In spherical coordinates:
2 2 1 V V 2 2 2 z r
2 1 V 1 V 1 V 2 2V 2 R sin 2 R R sin R 2 sin 2 2 R R
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积分变换法 分离变量法 解析法 镜像法（电轴法） 微分方程法 计算法 保角变换法
格林函数法
边值问题 研究方法
实验法
半解析法/半数值法 有限差分法 有限元法 边界元法 数值法 矩量法 实测法 模拟法
作图法
定性 定量
数学模拟法 物理模拟法
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Example 1.一维泊松方程的解
2 2 2 2 V V V V 2 V V 2 2 2 2 0 x y z z
2V V 区域中的场方程： 2 0 边界条件 z V
z 0 z d
0 V0
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3. 方程的通解
2V 区域中的场方程： 2 0 V C1 z C （积分两次） 2 z
4
In Cartesian coordinates:
2V V V V V V ax ay az ax ay az x y z x y z 2 2 2 V V V 2 V 2 2 2 x y z
E
2
电位函数的微分方程是:
V
2
上式称为泊松方程.
如果是在一个无源区,则上式方程为:
V 0
2
上式称为拉普拉斯方程.
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Remarks
V
2
① 泊松方程表明均匀媒质中, V 的拉普拉斯运算(梯度的散度) 等于 –/ ,其中 是介质的介电常数, 是自由电荷体密度. ② 算子 2 , 即拉普拉斯算子, 它表示: “梯度的散度” or “”. ③ 散度运算和梯度运算都是一阶空间导数. 泊松方程是一个二 阶偏微分方程，在二阶导数存在的空间中每一点 ,二阶偏微 分方程都成立.
4. 特解（带入边界条件求解未知系数）
V V
z 0
0 V0
V
z 0
C1z C2 C1 0 C2 0 V0 C1d
C2 0
z d
V
z d
V0 V0 C1 V z d d
V V0 V0 ˆz ˆ z ；D E a ˆ z E V a a z d d
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导体/介质分界面边界条件： Dn s；Et 0;
The lower plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆz a ˆ z a sl d d The up plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆ z a ˆz a su d d
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Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition. 匀强电场，电位V只是随高度z的变化而变化
ˆn : 指向导体外部 a
Q A V0 Q sl A A; C d V0 d
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Example 2. The inner conductor of radius a of a coaxial cable is held at a potential of V0 while the outer conductor of radius b is grounded Determine (a)the potential distribution between the conductors (b)the electric field intensity (c)the charge density on the inner conductor (d)the capacitance of the per unit length
The two metal plates having an area A and a separation d form a parallel-plate capacitor. The upper plate is held at potential of V0 , and the lower plate is grounded. Determine (a)the potential distribution (b)the electric field intensity (c)the charge distribution on each plate (d)the capacitance of the parallel-plate capacitor
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Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition.