电磁场与电磁波第10讲静电场的边值问题
静电场边值问题的解法探讨
静电场边值问题指的是，在电场边界处，电势的变化要满足一定的条件。
这些条件可以用来求解电场的边界条件，也可以用来求解电场的分布情况。
常见的静电场边值问题有电势边界条件和电流边界条件。
电势边界条件：在某些情况下，电势的变化会受到一些限制，这种情况下，我们可以使用电势边界条件来解决问题。
常见的电势边界条件有以下几种：1.固定电势：在某些情况下，电势的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电势边界条件来解决问题。
2.无穷大电势：在某些情况下，电势的值会无限增大，这种情况下，我们可以使用无穷大电势边界条件来解决问题。
电流边界条件：在某些情况下，电场中会存在电流，这种情况下，我们可以使用电流边界条件来解决问题。
常见的电流边界条件有以下几种：1.固定电流：在某些情况下，电流的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电流边界条件来解决问题。
2.零电流：在某些情况下，电流的值为零，这种情况下，我们可以使用零电流边界条件来解决问题。
3.无限大电流：在某些情况下，电流的值会无限增大。
4.无穷小电流：在某些情况下，电流的值会无限减小，这种情况下，我们可以使用无穷小电流边界条件来解决问题。
5.常数电流：在某些情况下，电流的值为一个常数，这种情况下，我们可以使用常数电流边界条件来解决问题。
6.线性电流：在某些情况下，电流的值随着某个参数的变化而呈线性关系，这种情况下，我们可以使用线性电流边界条件来解决问题。
7.周期电流：在某些情况下，电流的值随着时间的变化而呈周期性变化，这种情况下，我们可以使用周期电流边界条件来解决问题。
8.随机电流：在某些情况下，电流的值随机变化，这种情况下，我们可以使用随机电流边界条件来解决问题。
9.随机电流：在某些情况下，电流的值随机变化，这种情况下，我们可以使用随机电流边界条件来解决问题。
这些电流边界条件都可以在求解静电场边值问题时使用。
第三章 静电场的边值问题
u (1 2 ) 0
积分后 , 1 - 2 C, 该式既满足场域 , 又满足边界 , 故 C 0,1 2 ,得证
若导体边界为第二类边 界条件 , 即已知电荷面密度
1 2 , n n
即
(1 -2 ) u 0 n n
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
0
( y 0 ,b x a )
0
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d d 21 2 (r 2 1 ) (0 r a ) r dr dr 0
2u 21 2 2
利用矢量恒等式
0 (uu) u2u (u) 2 ( u )2
对场域求体积分, 并利用高斯散度定理
V
(uu )dV uu dS (u ) 2 dV
s V
S为体积 V的边界面 ,即S S0 S , S S1 S2 Sn , 由于在无穷远 S0处电位为零 ,因此有
静电场的边值问题 数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯
方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解泊松方程
或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。
边值问题 微分方程
边界条件
2 2 0
场域 边界条件
分界面 衔接条件
S f1 (s)
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
布或边界是电力线的条 件是等价的？ 边值问题框图
《静电场的边值问题》课件
用离散的差分代替微分方程中的导数项，将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限元方法
将连续的求解区域离散化为有限个小的单元，用每个单元的中心函数近似代替该单元上的函数，从而将 微分方程转化为线性方程组进行求解。
2023
PART 03
静电场的边界条件
REPORTING
边界条件的定义
01
边界条件是指在求解静电场问题时，电场在边界处的
2023
PART 05
静电场的实际应用
REPORTING
电场在物理中的应用
静电感应
当一个带电体靠近导体时，导体因静电感应 而带电。
电容器的充放电
电容器在充电和放电过程中，电荷在电场的 作用下移动。
电子显微镜
利用电场对电子的加速和聚焦作用，实现高 分辨率的显微成像。
电场在化学中的应用
离子交换
利用电场对离子的作用力，实现离子的分离 和纯化。
VS
详细描述
有限元法是一种将连续的静电场划分为有 限个小的区域（即元），然后对每个元进 行求解的方法。这种方法能够处理复杂的 几何形状和边界条件，并且具有较高的计 算精度和稳定性。
边界元法
总结词
只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。
详细描述
边界元法是一种只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。这种方法能够大大减少 未知数的数量，并且适用于处理具有复杂边界条件的问题。但是，由于只对边界进行离散化，因此需要更高的计 算精度和更复杂的数学处理。
电化学反应
在电解池和原电池中，电场驱动离子在溶液 中的迁移，并参与化学反应。
电泳技术
在电场的作用下，带电粒子在介质中移动， 用于分离和纯化生物分子。
电磁场与电磁波名词解释复习
安培环路定律1）真空中的安培环路定綁在真空的磁场中，沿任总回路取乃的线积分.其值等于真空的磁导率乘以穿过该回路所限定面枳上的电流的代数和。
即in di=^i kk=l2）•般形式的安培环路定律在任总磁场中•磁场强度〃沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路所包鬧而积的自由电流（不包括醱化电流）的代数和。
即B （返回顶端）边值问题1）静电场的边值问题静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数®的泊松方程（沪卩=一％）或拉普拉斯方程（gp=O）定解的问題。
2）恒定电场的边值问题在恒定电场中，电位函数也满足拉普拉斯方程。
很多恒定电场的问題，都可归结为在一定条件下求竝普拉斯方程（▽?信=° ）的解答，称之为恒定电场的边值问题o3）恒定磁场的边值问题（1）磁矢位的边值问题磁矢位在媒质分界面上满足的衔接条件和它所满足的微分方程以及场域上给定的边界条件一起构成了描述恒定磁场的边值问题°对于平行平而磁场，分界而上的衔接条件是* 1 3A 1 dAn磁矢位*所满足的微分方程V2A = -pJ（2）磁位的边值问题在均匀媒质中.磁位也满足拉普拉斯方程。
磁位拉普拉斯方程和磁位在媒质分界面上满足的衔接条件以及场域上边界条件一起构成了用磁位描述恒定磁场的边值问題。
磁位满足的拉普拉斯方程= °两种不同媒质分界浙上的衔接条件边界条件1.静电场边界条件在场域的边界面s上给定边界条件的方式有：第•类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet）已知边界上导体的电位第二类边界条件（聂以曼条件Neumann）已知边界上电位的法向导数（即电荷而密度或电力线）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合5静电场分界而上的衔接条件% "和场*二丘"称为静迫场中分界面上的衔接条件。
前者表明.分界而两侧的电通壮密度的法线分址不连续，其不连续虽就等于分界面上的自由电荷血•密度：后者表明分界而两侧电场强度的切线分址连续。
静电场的边值问题
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
静电场的边值问题
0
R
2 1
ex
9ex
V
/
m
E2
q2
4
0
R
2 2
ey
3ex
V
/
m
E3
q3
4
0
R
2 3
4 5
ex
3 5
ey
14.4ex
10.8ey
V
/
m
E
5.4ex 7.8ey V / m
12
面电荷
电荷面密度 lim q dq
S0 S dS
dq为面元 dS 上所具有的电荷量
σ 的单位为库仑每平方米(C/m2)
电荷沿空间曲面S连续分布
空间任一点的电场强度为
E
S
dS 4 0R2
R0
R为面元
dS
至研究点的距离
R0 为面元 dS 指向研究点方向上的单位矢量。
5
二、电场强度
电场与电场强度
1. 电场强度的定义
微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点
电荷电量之比的极限，通常以 E 表示
E
lim
F
q0 q
Δq为正的试验点电荷的电量，国际单位制，单位为库仑(C)；
F 为正的试验点电荷所受的电场力，单位为牛顿(N)。
E 电场强度的单位为牛顿每库仑(N/C)，国际单位制 单位为 伏特每米(V/m) 。
研 究 坐 标 平 面 xoz 上 的 电 场分布具有普遍性
[工学]静电场及其边值问题的解法
![[工学]静电场及其边值问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/923e28d2551810a6f524866c.png)
a）高斯定律的微分形式
（真空中） E v 0
（电介质中） E v v 0
代入v P ,得
E
1 0
(v
P)
(0E P) v
定义电位移矢量（ Displacement） D 0E P 则有 D 电介质中高斯定律的微分形式
2 0l
ln R2
R1
3) 球形电容器
Q
E 40r 2
R2
R1
U＝ Q
4 0
R2 R1
dr＝ Q
r2 4 0
1 R1
1 R2
C0
Q U1 U2
4 0
R1 R2 R2 R1
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1 E 和 D 的边界条件
q q 0 得 q q 4 R0
于是，
q
4
1 R
1 R
q4 来自1x2 y2 (z h)2
1
x2 y2 (z h)2
R
1
40
＝8.99 109 (m)
103
Re
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
Q
ssds
nˆ Eds
s
E ds
s
B
U A E dl l E dl
C Q ＝ sE ds U E dl
求电容的两条途径 l
折射定律
16
电磁场与电磁波名词解释复习
安培环路定律1）真空中的安培环路定律在真空的磁场中，沿随意回路取 B 的线积分，其值等于真空的磁导率乘以穿过该回路所限制面积上的电流的代数和。
即2）一般形式的安培环路定律在随意磁场中，磁场强度 H 沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路所包围面积的自由电流（不包含磁化电流）的代数和。
即B( 返回顶端 )边值问题1）静电场的边值问题静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类界限条件下，求电位函数的泊松方程() 或拉普拉斯方程() 定解的问题。
2）恒定电场的边值问题在恒定电场中，电位函数也知足拉普拉斯方程。
好多恒定电场的问题，都可归纳为在必定条件下求拉普拉斯方程 () 的解答，称之为恒定电场的边值问题。
3）恒定磁场的边值问题（ 1）磁矢位的边值问题磁矢位在媒质分界面上知足的连接条件和它所知足的微分方程以及场域上给定的界限条件一同构成了描绘恒定磁场的边值问题。
关于平行平面磁场，分界面上的连接条件是磁矢位 A 所知足的微分方程（ 2）磁位的边值问题在平均媒质中，磁位也知足拉普拉斯方程。
磁位拉普拉斯方程和磁位在媒质分界面上知足的连接条件以及场域上界限条件一同构成了用磁位描绘恒定磁场的边值问题。
磁位知足的拉普拉斯方程两种不一样媒质分界面上的连接条件界限条件1．静电场界限条件在场域的界限面S 上给定界限条件的方式有：第一类界限条件( 狄里赫利条件，Dirichlet)已知界限上导体的电位第二类界限条件（聂以曼条件Neumann)已知界限上电位的法导游数( 即电荷面密度或电力线)第三类界限条件已知界限上电位及电位法导游数的线性组合静电场分界面上的连接条件和称为静电场中分界面上的连接条件。
前者表示，分界面双侧的电通量密度的法线重量不连续，其不连续量就等于分界面上的自由电荷面密度；后者表示分界面双侧电场强度的切线重量连续。
电位函数表示的分界面上的连接条件和，前者表示，在电介质分界面上，电位是连续的；后者表示，一般状况下, 电位的导数是不连续的。
第三章静电场边值问题
导体B = 常数
∫ S D ⋅ dS = −τ ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？ 能否用高斯定理求解？ 根据唯一性定理，寻找等效线电荷 电轴。 根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。 电轴
y p ρ1 +τ b o ρ2 b −τ x
2. 两根细导线产生的电场
h
图3.2.10
h
两根细导线的电场计算
• • • •
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法 实验法 实测法 模拟法 定性 定量 模拟电荷法
• • • •
边值问题 研究方法
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
作图法
图3.1.2 边值问题研究方法框图
例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形， 铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为
q1 = − q q2 = − q q3 = q
d2 y
F = F1 + F 2+ F3
d1
q2
d2 d2
d1 o
q
d2 d2
q2 F1 = − y 4πε 0 (2d 2 ) 2 q2 F2 = − x 4πε 0 (2d1 ) 2 x
∧ ∧ F3 = 2d1 x + 2d 2 y 2 2 3/ 2 4πε 0 (2d1 ) + (2d 2 ) ∧
边界条件
C3 ϕ2( r ) = + C4 r
ϕ1
r →0
ϕ1
ε0
r=a
= ϕ2
r =a
r=a
⇒ 有限值 =0
参考点电位
∂ϕ 1 ∂r
= ε0
∂ϕ 2 ∂r
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD dS dV Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
静电场及其边值问题的解法.pptx
2 L2 L
l 0
ln
2 L2 L
l 0
ln 2L
4π0 2 L2 L 2π0
2π0
L
当
时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点
选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有
(r ) l0 ln 2L C 2π0
并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ= a 的点为电位参 考点，则有
静态场
➢静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。 ➢恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 ➢恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。
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第3章 静电场及其边值问题解法
The Electrostatic Field and Solution Techniques for
结论：静电场中电场力作的功与路径无关, 只取决于始点和终点的位置；
静电场是保守场, 也称位场；
第11页/共49页
利用斯托克斯公式, 可得其微分形式为
cA dl s A ds
l E (r ) dl 0
E (r) 0
上式说明任何静电荷产生的电场, 其电场强度矢量 E 的旋度恒
等于零, 静电场是无旋场。
(P) l 1n 2 0
x
d
2
y2
2
x
d
2
y2
2
l 4
0
1n
x x
d 2 d
2
2
y2 y2
(V )
2
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✓ 一维电位方程的求解
电位的微分方程
在均匀介质中，有
D E
E
《静电场的边值问题》PPT课件
精选课件ppt
23
例3-4-1 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限
端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图
所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。
y =0
= 0 O
=0
d x
n
值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位
的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟
一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。该定理适用于非线性
介质。
精选课件ppt
3
证明唯一性定理： （反证法）
设静电场存在的区域为V，其边界表面为S，如果在给定的第一类或第
式中A, B, C, D为待定常数。
精选课件ppt
22
分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令
变为
k，x 则j上述通解
X(x)AexBex 或者 X (x ) C sin x h D cox sh
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解 的线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的， 它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给 定的边界条件。
7
电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将
产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及 导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜 像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理， 镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在 上半空间中，源及边界条件未变。
EM03静电场边值问题
镜像法 第三类 线电荷与带电的导体圆柱 例3.5 设半径为a的无限长导体圆柱外，有一 根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度 为ρl，与圆柱轴线距离为d1，横截面如图。
a d1
ρl
27
镜像法 求解方法和第二类镜像法类似： 第一步 构造镜像电荷； 第二步 求出空间中电位的表达式 第三步 列出满足导体表面电位为0的边界条件 的方程（组），求解出设定的未知量。 第四步 将求出的未知量代入电位的表达式，得 到可用的电位表达式。
12
镜像法 分析：
Z轴
- - - - - - - -
XY平面
Φ=0 可用叠加法求解 可用叠加法求解
13
镜像法 解： 在直角坐标系中， 当z>0 时， ∇
2
Z轴
ϕ = 0
XY平面
当z=0时，φ=0； 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。 选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求出导 体上方无源区任一点的电位：
5
电位微分方程 第三类边值问题（混合问题）： 在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的 函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分 边界上的法向导数值。
6
电位微分方程 例3.1 两块无限大的接地导体平面分别置于 x=0和x=a处，其间在x=x0处有一面密度为 σ0(C/m2)的无限大均匀电荷分布，求两导体板 之间的电位。 y σ0
电磁场与电磁波
第三章 静电场边值问题
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
电位微分方程 镜像法 分离变量法
2
电位微分方程 电位微分方程的提出：
E = −∇ Φ
∇ ⋅ E = −∇ Φ
2
ρ ∇⋅E = ε
《静电场边值问题》PPT课件
X"kx2X0 的求解
1. 如果 kx2 0 kx k(k为正实数)
X A sk i n x B ck o x 或 sX A e jk x B e jk x
2. 如果 kx2 0 kx 0
XA xB
3. 如果 kx2 0 kx jk (k为正实数)
X A si k n x B h co k s xh
)
b
kz2 (m a)2(nb )2 Z(z)kz2Z(z)0
(m )2(n)2z
(m )2(n)2z
Z(z)Be a b C e a b
腔内电势解
(m)2(n)2z
(Bmne a b
m1n1
Cmne
(ma)2(nb)2z)sinmxsinn y ab
由z0得BmnCmn 0
由 得 zc
一、求解矩形区域的Laplace方程
• 微波导和光波导器件的 横截面常是矩形, 其中的 电磁场模式多是横电波或横磁波, 即电场或磁场 不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的 坐标变化;
• 此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中 场量和模式的重要手段。
z x
y
举例. 如图的波导中求解电位
22 (r) C 1 ln r D
利用边界条件：
由ra得：1 AlnaBU
由rb得：2 C1lnaD0
由于rc处有AlncBC1lncD
rc处有D1n=D2n
,即
1
1
r
2
2
r
根据以上条件求出系数就得到介质中电位。
§5.4 别离变量法求解拉氏方程
内容主要包括:
二维拉氏方程 直角坐标系下 柱坐标系下 未包括： 二维球坐标系下拉氏方程 三维Laplace方程求解 泊松方程〔非齐次方程〕求解
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In cylindrical coordinates:
1 V 2 V r r r r
In spherical coordinates:
2 2 1 V V 2 2 2 z r
2 1 V 1 V 1 V 2 2V 2 R sin 2 R R sin R 2 sin 2 2 R R
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积分变换法 分离变量法 解析法 镜像法（电轴法） 微分方程法 计算法 保角变换法
格林函数法
边值问题 研究方法
实验法
半解析法/半数值法 有限差分法 有限元法 边界元法 数值法 矩量法 实测法 模拟法
作图法
定性 定量
数学模拟法 物理模拟法
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Example 1.一维泊松方程的解
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In Cartesian coordinates:
2V V V V V V ax ay az ax ay az x y z x y z 2 2 2 V V V 2 V 2 2 2 x y z
Main topic 静电问题的解
1. 泊松方程和拉普拉斯方程
2. 静电问题解的唯一性
3. 镜象法 4. 直角坐标系中的边值问题
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1.泊松方程和拉普拉斯方程
电位函数 V 和电场强度 E 之间的关系可表示为:
E V
上式方程中两边同时取散度运算,有:
E V 2V
在线性、各向同性介质中电场强度 E 的散度满足:
E
2
电位函数的微分方程是:
V
2
上式称为泊松方程.
如果是在一个无源区,则上式方程为:
V 0
2
上式称为拉普拉斯方程.
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Remarks
V 的拉普拉斯运算(梯度的散度) 等于 –/ ,其中 是介质的介电常数, 是自由电荷体密度. ② 算子 2 , 即拉普拉斯算子, 它表示: “梯度的散度” or “”. ③ 散度运算和梯度运算都是一阶空间导数. 泊松方程是一个二 阶偏微分方程，在二阶导数存在的空间中每一点 ,二阶偏微 分方程都成立.
2 2 2 2 V V V V 2 V V 2 2 2 2 0 x y z z
2V V 区域中的场方程： 2 0 边界条件 z V
z 0 z d
0 V0
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3. 方程的通解
2V 区域中的场方程： 2 0 V C1 z C （积分两次） 2 z
The two metal plates having an area A and a separation d form a parallel-plate capacitor. The upper plate is held at potential of V0 , and the lower plate is grounded. Determine (a)the potential distribution (b)the electric field intensity (c)the charge distribution on each plate (d)the capacitance of the parallel-plate capacitor
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导体/介质分界面边界条件： Dn s；Et 0;
The lower plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆz a ˆ z a sl d d The up plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆ z a ˆz a su d d
ˆn : 指向导体外部 a
Q A V0 Q sl A A; C d V0 d
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Example 2. The inner conductor of radius a of a coaxial cable is held at a potential of V0 while the outer conductor of radius b is grounded Determine (a)the potential distribution between the conductors (b)the electric field intensity (c)the charge density on the inner conductor (d)the capacitance of the per unit length
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Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition. 匀强电场，电位V只是随高度z的变化而变化
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Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition.
4. 特解（带入边界条件求解未知系数）
V V
z 0
0 V0
V
z 0
C1z C2 C1 0 C2 0 V0 C1d
C2 0
z d
V
z d
V0 V0 C1 V z d d
V V0 V0 ˆz ˆ z ；D E a ˆ z E V a a z d d