基本初等函数(Ⅰ)知识点总结

第三章 基本初等函数（Ⅰ）

一、指数和指数函数 ①指数

1、定义：n

a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。规定：1

a a = 2、整数指数幂的运算法则： m

n

m n

a a a +

⋅= ()

n

m m n a

a = (),0m m n n a a m n a a

-=>≠ ()m

m m ab a b =⋅

规定：()010a a =≠，；()1

0n

n a

a a

-=

≠ 3、平方根：如果2

x a =，则x 叫做a 的平方根

当0a >时，有两个平方根，互为相反数，记作：a ±（a 为算术平方根） 当0a =

时，00=

当0a <时，在实数范围内没有平方根

立方根：如果3

x a =，则x 叫做a 的立方根（或三次方根）

在实数范围内a 只有一个立方根，记作3a 举例382=，382-=-，311

273

-

=- n 次方根：如果n x a =（,1,a R n n N +∈>∈）

，则x 叫做a 的n 次方根 注意：（1）偶次方根： 正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作：,,n n a a -

（0,a a >为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在

（2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为n a （3）算术根： 正数的正n 次方根叫做的a 的n 次算术根 4、根式：当n a 有意义时，n a 叫做根式，n 叫做根指数 5、根式性质：（1）

()

()1,n

n

a a n n N +=>∈；

（2）,,n

n

a n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩

为奇数为偶数 6、分数指数幂性质：（1）()10n

n

a a a =

>；

（2）()()

()11

,0m

m m

n

m

m

n

n

n n a a a a

a a ⎛⎫===

=> ⎪⎝⎭

；（3）11

m

n

m n

m

n

a

a

a

-

=

=

1、定义：一般地，函数x y a =，()0,1a a >≠叫做指数函数。

2、指数函数的特征：（1）自变量在指数位置上；

（2）系数为1，底数0,1a a >≠，如2x y a = 不是指数函数

3、函数图像性质：

指数函数x y a =，()0,1a a >≠的图像性质

定义域 R

图像

1a >

01a <<

值域 ()0,+∞

奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数

过定点 ()0,1

单调性

1a >

01a <<

在R 上是增函数

在R 上是减函数 函数值与1比较

0x >时，1y >

01x <<时，01y <<

0x >时，01y << 01x <<时，1y >

图像与底数

a 的关系

在y 轴右侧，底数a 越大，图像弯向y 轴

4、底数性质探究：

作直线1x =，与四个函数图像均有一个交点，

并且交点的纵坐标依次为,,,c d a b 观察图像即可得到大小关系为 1c d a b >>>>

1 0 x

y

1

0 x

y

1110

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-8-6-4-2

246810

y=b x

y=c x y=d x

y=a x

例一、三个数()2

0.31,0.3,2的大小顺序是 【()2

0.3

0.312<<】

解：()2

0.30.09=，又知道2x y =为增函数，当0x =时，1y =。

故当0.30x =>时，1y >，即()2

0.3

0.312<<。

例二、不等式2

1

13

3x x +-⎛⎫> ⎪⎝⎭

的解集是 【12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭

】

解：()

2

2

1213

33x x x ++---⎛⎫== ⎪

⎝⎭

，原式可化简为1233x x --->

由于3x y =是增函数，故函数值大的自变量也大，即12x x ->-- 解得12

x >-

例三、函数122x y -=

-的定义域为 【{}2x x ≥】

解：根据定义要求，偶次方根下被开方数大于等于零，得到

11122022x x ---≥⇒≥，由于2x y =是增函数，故11x -≥，即2x ≥

例四、求值：（1）-

-+-11-20

3

217(0.027)(-)(2)(2-1)79

（2）3

21

1133

442

3

234x y x y xy --⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

解：（1）-

-+-1

1-20

3

217(0.027)(-)(2)(2-1)79

()1

50.3491

3

105

4914533

-=-+-=-+-=-

（2）()3

21

1121333

441121

34433322

33

2322727272244x y x y x y y y xy xy --++-+--⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭