高中数学一轮复习函数(带答案)

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高中函数专项复习题带答案

高中函数专项复习题带答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像的对称轴是：A. x = -1B. x = 1C. x = 3/2D. x = -3/22. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2，若f(a) = f(b)，a ≠ b，且f(x)在[a, b]上单调递增，则a和b的关系是：A. a < bB. a > bC. a = bD. 无法确定3. 函数y = 3x + 2在x = 1处的导数是：A. 3B. 5C. 6D. 94. 下列哪个函数不是奇函数？A. y = x^3B. y = sin(x)C. y = cos(x)D. y = x^25. 函数y = 1/x在区间(-1, 0)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：1. D2. B3. A4. D5. A二、填空题6. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a的值为________。

7. 函数g(x) = |x - 1| + |x + 2|的最小值为________。

8. 若函数h(x) = √x在区间[0, 4]上的平均变化率为1/4，则x的值为________。

9. 函数F(x) = log_2(x)的定义域是________。

10. 函数R(x) = sin(x) + cos(x)的周期是________。

答案：6. a = -17. 38. x = 19. (0, +∞)10. 2π三、解答题11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求证f(x)在[1, 2]上单调递增。

12. 已知函数g(x) = 2x - 3，求g(x)在x = 2处的切线方程。

13. 已知函数h(x) = x^2 - 4x + 4，求h(x)的极值点。

14. 已知函数p(x) = 3x^2 - 6x + 2，求p(x)在x = 1处的切线斜率。

高中数学一轮复习三角函数第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π 显然(1)正确，(3)错误α＝2不成立.
【解析】
对于(2)，cosAcos B－sin Asin B＝cos(A＋B)<0， ∴cos Acos B<sin Asin B，则(2)不正确． b 在(4)中，φ 的正切与a有关，φ 所在象限内 a，b 的符号确定，(4)错．
【答案】
θ π θ (2)由 θ∈(0，π)，得 0＜＜，∴cos ＞0. 2 2 2 因此 2＋2cos θ＝ θ 4cos ＝2cos . 2 2
2θ
θ θ 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) 2 2 θ θ θ θ 2θ ＝(2sin cos ＋2cos )(sin －cos ) 2 2 2 2 2 θ θ 2θ 2θ ＝2cos (sin －cos )＝－2cos cos θ. 2 2 2 2 θ －2cos cos θ 2 故原式＝＝－cos θ. θ 2cos 2
(2)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 ( )
tan α＋tan β (3)公式 tan(α＋β)＝可以变形为 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立( )
(4)公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值无关( )
【例 1 】 40° ；
θ θ 1＋sin θ＋cos θsin －cos 2 2 (2) (0＜θ＜π)． 2＋2cos θ
【思路点拨】
(1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；
θ (2)统一为的三角函数，变形化简． 2
【尝试解答】
sin 40° (1)4cos 50° －tan 40° ＝4sin 40° － cos 40°

对数与对数函数--选择题-2025届高中数学人教B版一轮复习题型滚动练(含解析)

对数与对数函数选择题 ——2025届高中数学人教B 版一轮复习题型滚动练一、选择题1．函数()2ln(23)f x x x =--+的单调递减区间为( )A.(,1)-∞-B.(1,)-+∞C.(1,1)-D.(1,)+∞2．已知2a b =，23b =，log 6b c =，则( )A.1b ac+= B.3b a c += C.2ac a b += D.b ac =3．2log 50.5=( )4．若函数()()2ln 22f x x mx m =-++的值域为R ，则m 的取值范围是( )A.()1,2-B.[]1,2-C.()(),12,-∞-+∞D.(][),12,-∞-+∞ 5．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务,期间进行了很多空间实验,目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限,要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水,循环使用.净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为( )（参考数据lg 20.3010=）A.10B.12C.14D.166．函数2lg[(2)1]y x m x =+-+的值域为R .则实数m 的取值范围是( )A.(0,4)B.[0,4)C.(,0)(4,)-∞+∞D.(,0][4,)-∞+∞ 7．牛顿曾提出：物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为1C θ ,空气温度为0C θ ,则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ︒）满足：()010e kt θθθθ-=+-（k 为常数）.若0.02k =,空气温度为20C ,某物体的温度从80C 下降到50C 以下,至少大约需要的时间为( )（参考数据：ln20.69≈）A.25分钟B.32分钟C.35分钟D.42分钟8．已知ln a a +=b b +=A.2a b << B.2a b << C.2b a << D.2b a<<9．已知()()2lg 21f x ax ax =++的值域为R ,则实数的取值范围为( )A.()0,1 B.(]0,1 C.[)1,+∞ D.()(),01,-∞+∞ 10．已知a =5b =,58c =,则( )A.a b c << B.a c b << C.c b a << D.b c a<<11．已知函数12()log a f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(,1]-∞ B.[0,1] C.(1,1]- D.[1,)+∞12．方程()2lg(21)lg 9x x --=-的根为( )A.2或4-B.4-C.2D.2-或413．若函数()7,42log (1),4a x x f x x x -+≤⎧=⎨+->⎩（其中0a >,且1a≠）的最小值是3,则a的取值范围是( )a <<1a ≤< C.13a << D.13a <≤14．计算的结果是( )A.1 B.2 C.lg2 D.lg515．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d (1,2,9,d = )的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为( )(参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈)A.2.9B.3.2C.3.8D.3.916．已知函数()()()log 4a f x x a x =--⎡⎤⎣⎦在()3,4上单调递减，则a 的取值范围是( )()2lg 2lg 20lg 5+⨯A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(]1,2D.[)2,417．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若，则( )A. B. C. D.1e a b +<18．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，设51049N =⨯，则N 所在的区间为( )（lg 20.3010≈，lg 30.4771≈）A.()101110,10B.()111210,10C.()121310,10D.()131410,1019．根据有关资料,围棋的状态空间复杂度的上限约为3613,记3613M =.光在真空中的速度约为8310m /s ⨯,记8310N =⨯（参考数据：lg30.48≈）A.15510B.16510C.17510D.1851020．若lg a 与lg b互为相反数,则( )A.a b +=1= C.1ab = D.以上答案均不对1e ln a a b b b ++<e ab >1e a b +>e ab <参考答案1．答案：C解析：由函数()2ln(23)f x x x =--+，令2230x x --+>，即2230x x +-<，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，令()223g x x x =--+，根据二次函数的性质，可得()g x 在(3,1)--单调递增，在(1,1)-上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，即()f x 的递减区间为(1,1)-.故选：C.2．答案：A解析：因为2a b =，23b =，所以2log a b =，2log 3b =，，222log log 6log 6log 31b ac b =⋅==+，故1b ac +=.故选：A.3．答案：C解析：222log 5log 5log 510.522-⎛⎫=== ⎪⎝⎭21log 52=故选：C.4．答案：D解析：函数()()2ln 22f x x mx m =-++的值域为R ，则函数222y x mx m =-++的值域应包含()0,+∞，则有()()22420m m --+∆≥=，解得1m ≤-或2m ≥，所以m 的取值范围是(][),12,-∞-+∞ .故选：D.5．答案：C解析：设过滤的次数为n ,原来水中杂质为1,则()120%5%n -<,即0.8n <所以lg 0.8n <所以lg 0.8lg 20n <-,所以lg 20lg 201lg 213.4lg 0.813lg 213lg 2n -+>==≈--,因为n *∈N ,所以n 的最小值为14,则至少要过滤14次.故选:C.6．答案：D解析：由函数2lg[(2)1]y x m x =+-+的值域为R ,得2(2)1x m x +-+的值域包含正实数集,因此2(2)40m --≥,解得0m ≤或4m ≥,所以实数m 的取值范围是(,0][4,)-∞+∞ .故选：D.7．答案：C解析：由题知020θ=,180θ=,50θ=,所以()0.025*******e t -=+-,可得0.02e t -=所以10.02t ln ln22-==-,50ln 234.5t ∴=≈.即某物体的温度从80C 下降到50C 以下,至少大约需要35分钟.故选：C.8．答案：B 解析：设()ln f x x x =+,易知()f x 在(0,)+∞上单调递增.且()5ln 2f a a a =+=,()()522ln 222f f a =+>+==,所以2a <;设()lg g x x x =+,易知()g x 在(0,)+∞上单调递增.且()lg g b b b =+=()()522lg 222g g b =+<+==,所以2b <.综上：2a b <<.故选：B.9．答案：C 解析：设,又()f x 值域为R ,能取遍所有正数,2Δ4400a a a ⎧=-≥∴⎨>⎩,解得,故选：C.10．答案：C解析：3log 5b =比大小,先比较5与2与33的大小,2353<,.b a ∴<5logc =比大小,先比较8与2与35的大小,2385<,.c a ∴<5335log 5log 3125(7,8)b ==∈,5555log 8log 32768(6,7)c ==∈,55c b ∴<,即c b a <<,11．答案：C 解析：令t x =()f x 在[1,)+∞上单调递减，且1log2y t =是减函数，所以根据复合函数的单调性可得t x =上单调递增.当时，在，即，此时在上恒成立；当时，满足题意；当0a <时，a t x x =+在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又需满足真数，所以，即，即.综上.12．答案：B解析：由已知，得2219x x --=-，即2280x x +-=，解得4x =-或2x =.经检验当2x =时，221950x x --=-=-<，舍去，所以原方程的根为4-，故选B.13．答案：D解析：由函数()7,42log (1),4a x x f x x x -+≤⎧=⎨+->⎩（其中0a >,且1a ≠）的最小值是3,221t ax ax =++t ∴1a ≥)+∞0a >a t x x=++∞1≤01a <≤0a x x +>[1,)+∞0a =t x =0a x x +>101a +>1a >-10a -<<11a -<≤当4x ≤时,函数()7f x x =-+为单调递减函数,所以()()min 43f x f ==,则当4x >时,函数()2log (1)a f x x =+-为单调递增函数,则1a >,且满足()()42log 33a f x f >=+≥,即log 31a ≥,解得13a <≤,综上可得,实数a 的取值范围为(1,3].故选：D.14．答案：A解析：由题意,()()()22lg 2lg 20lg 5lg 2lg 5lg 4lg 5+⨯=++⨯()()22lg 2lg 52lg 5lg 2=++⨯()()22lg 2lg 5lg101=+==.故选：A.15．答案：C解析：依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()lg 2lg 2lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2==-+--lg 20.301 3.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-.故选：C.16．答案：C解析：因为()()()log 4a f x x a x =--⎡⎤⎣⎦在()3,4上单调递减，则()()40x a x -->对任意的()3,4x ∈恒成立，可得03a <≤且1a ≠；且()()()()2444g x x a x x ax a =--=-++-开口向下，对称轴x =当01a <<时，则对称轴452,22a x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，可知()g x 在()3,4内单调递减，且log a y x =在定义域内单调递减，所以()f x 在()3,4上单调递增，不合题意；当13a <≤时，因为log a y x =在定义域内单调递增，可知()g x 在()3,4内单调递减，3≤，解得12a <≤；综上所述：a 的取值范围是(]1,2.故选：C.17．答案：B解析：由已知，得1e (ln 1)a a b b b +<-=ln e ln e a a b <()ln f x x x =，则()e e a b f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.因为0a >，所以e 1a >.因为1(ln 1)e 0a b b a +->>，0b >，所以ln 1b >，即b >1>.当1x >时，()ln 10f x x '=+>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以e a <1e a +>.18．答案：C解析：由51049N =⨯两边取常用对数，510lg lg(49)5lg 410lg 910lg 220lg 3 3.0109.54212.552N =⨯=+=+≈+=，则12.552121310(10,10)N =∈.故选：C.19．答案：B36183310==⨯360360883lg lg3lg10360lg383600.48816510M N ==-=-≈⨯-≈,16510≈.故选：B.20．答案：C解析：因为lg a 与lg b 互为相反数,则()lg lg lg 0a b ab +==,因此,1ab =.故选：C.。

高中数学一轮复习训练：函数(Ⅱ) Word版含答案

高三数学单元练习题：函数（Ⅱ）一、填空题： 1、函数y =的定义域为 ▲ 。

2、已知全集U =AB 中有m 个元素，()()u uC A C B ⋃中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为 ▲ 个。

3、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ▲ 。

4、函数)86(log 221+-=x x y 的单调递增区间是 ▲ 。

5、函数21)(++=x ax x f 在区间()+∞-,2上是增函数，那么a 的取值范围是 ▲ 。

6、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是▲ 。

7、()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为 . 8、已知二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围是 ▲ 。

9、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若 f(1－2x2)<f(1＋2x －x2)，则x 的取值范围是 ▲ 。

10、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 ▲ 个。

11、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ▲ 。

12、(2)k x ≤+[],a b ，且2b a -=，则k ＝ ▲ 。

二、解答题：13、设函数()x e f x x=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，求不等式()(1)()0f x k x f x '+->的解集。

高中数学一轮复习基本初等函数：第1节指数及运算

第1节指数及运算【基础知识】1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数； 3. 1(0,,,)nm nm n a a m n N ma -+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 4．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)． ④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1n a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．【规律技巧】指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【典例讲解】例1、 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．【探究提高】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．【变式探究】计算下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13b 13(a >0，b >0)．【针对训练】1、化简34]的结果为（） A ．5 B ．C ．﹣D ．﹣5 【答案】B2、1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________. 【答案】23、已知11223a a-+=，求下列各式的值. （1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6.4、已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【练习巩固】1【答案】22、1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.25＋)6 【答案】1103、已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x yx y -+的值.【答案】4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于 ( ) A.10B ．10C ．20D ．100【答案】A 【解析】∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10.5、计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，不注意n 是导致错误出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．温馨提醒：(1) n中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；(2) n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.6、已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.。

高中数学第一轮复习(教师用)第二章函数导数及其应用之第五节指数与指数函数

第二章函数导数及其应用第五节指数与指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．◆教材通关◆1．根式的概念(1)na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)，n为偶数；(2)(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．[必记结论]在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．3．指数函数的图象与性质[1．画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[小题诊断]1．化简的结果是( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：＝－1＝23－1＝7.答案：B2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：∵g (x )＝21－x ＝f (－x )，∴f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：A3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >cD ．b >a >c解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5<1，所以a >b >c . 答案：C4．(2018·邯郸质检)已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )解析：由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k <0,0<a <1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k >－1，所以－1<k <0.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B.答案：B5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________. 解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，∴f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.∴f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.答案：436．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)◆ 易错通关 ◆1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn个a 相乘．( )( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1,2)考点一指数幂的运算自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．求值：解析：原式＝＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.2．化简：解析：原式＝－54·1ab 3＝－5ab4ab 2.3．化简：解析：.指数幂运算的4个原则(1)有括号的先算括号里面的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二指数函数的图象及应用互动探究重点保分考点——师生共研[典例] (1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：(1)函数y ＝a x －1a 由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．故b 的取值范围是[－1,1]．答案：(1)D (2)[－1,1]与指数函数有关的图象问题的求解方法1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．3．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.[即时应用]1．(2018·唐山模拟)当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2 C.⎣⎡⎦⎤14，2D.⎣⎡⎦⎤14，2解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12×12 ≤a 1，即12≤a ＜1，综上可知，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2.答案：B2．若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．解析：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]．答案：(－∞，0]考点三指数函数的性质及应用多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．角度一比较指数式的大小1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.6－1＞0.62C．0.8－0.1＞1.250.2D．1.70.3＜0.93.1解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62.C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D中，∵1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1.答案：B比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.角度二与指数函数有关的函数值域问题2．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三探究指数函数性质的问题3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.答案：B4．已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用.[即时应用]1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：∵a ＝21.6，b ＝21.38，c ＝21.2，函数y ＝2x 在R 上单调递增，且1.2＜1.38＜1.6，∴21.2＜21.38＜21.6，即c ＜b ＜a .答案：A2．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D.答案：D3．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a >1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①真；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时，f (x )在R 上为减函数，②假；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④真；当a >1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.答案：①③④课时作业单独成册对应学生用书第201页A 组——基础对点练1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，所以f (x )的图象在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．答案：B2．(2018·广州市模拟)设a ＝0.70.4，b ＝0.40.7，c ＝0.40.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解析：∵函数y ＝0.4x 在R 上单调递减，∴0.40.7＜0.40.4，即b ＜c ，∵y ＝x 0.4在(0，＋∞)上单调递增，∴0.40.4＜0.70.4，即c ＜a ，∴b ＜c ＜a .答案：C 3．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )解析：故选C.答案：C4．设x >0，且10，∴b >1，∵b x <a x ，∴⎝⎛⎭⎫a b x >1，∵x >0，∴ab >1⇒a >b ，∴10，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 答案：A6．已知则( )A ．a 25，∴b <c . 又∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )解析：由函数f (x )的图象可知，－11，则g (x )＝a x ＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b >0，故选C.答案：C8．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或x ＞12}，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)，由f (10x )＞0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0，即10x ＜12，x ＜－lg 2，故选D. 答案：D9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12，即值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：A10．(2018·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x ＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋1e x ，∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x ＋1e x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．答案：D11．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y ＝{ f (x )，x ＞0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A.⎝⎛⎭⎫12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x ，故选D. 答案：D12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，得x ＜0，所以0＜⎝⎛⎭⎫32x ＜1，从而0＜2＋3a 5－a ＜1，解得－23＜a ＜34.答案：⎝⎛⎭⎫－23，34 13．不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析：不等式2x 2－x ＜4可转化为2x 2－x ＜22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，故所求解集为{x |－1＜x ＜2}．答案：{x |－1＜x ＜2}14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．解析：设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0＜t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14.答案：⎣⎡⎦⎤－14，14 B 组——能力提升练1．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32 D ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为单调递增函数，且43＜32＜53，∴f ⎝⎛⎭⎫43＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53，即f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13.选B. 答案：B2．已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①01，则有a >b >0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t <1，则有a 0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案：D4．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)，a ＝2x 2，b ＝(2x )2，c ＝22x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >a >c解析：∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较当x ∈(2,4)时x 2,2x,2x 的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，容易知x 2>2x >2x ，则a >c >b .答案：B5．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x .当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) B ．⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2] C.⎝⎛⎦⎤0，14∪[4，＋∞) D ．⎣⎡⎭⎫14，1∪(1,4]解析：当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，即a x ＞x 2－12在(－1,1)上恒成立，令g (x )＝a x ，m (x )＝x 2－12，当0＜a ＜1时，g (1)≥m (1)，即a ≥1－12＝12，此时12≤a ＜1；当a ＞1时，g (－1)≥m (1)，即a －1≥1－12＝12，此时1＜a ≤2.综上，12≤a ＜1或1＜a ≤2.故选B.答案：B6．(2018·菏泽模拟)若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x ＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x －12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x －12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，则g (x )在[－k ，k ]上的最大值与最小值互为相反数，∴m ＋n ＝4. 答案：D7．若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1时，f (x )取得最小值－4.答案：A8．若x ＞1，y ＞0，x y ＋x －y ＝22，则x y －x －y 的值为( )A. 6 B ．－2 C ．2D ．2或－2解析：∵x ＞1，y ＞0，∴x y ＞1,0＜x －y ＜1，则x y －x －y ＞0.∵x y ＋x －y ＝22，∴x 2y ＋2x y ·x －y ＋x －2y ＝8，即x 2y ＋x －2y ＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x－y ＝2，故选C.答案：C9．已知实数a ，b 满足12＞⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：由12＞⎝⎛⎭⎫12a，得a ＞1；由⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，得⎝⎛⎭⎫222a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，进而2a ＜b ；由⎝⎛⎭⎫22b ＞14，得⎝⎛⎭⎫22b ＞⎝⎛⎭⎫224，进而b ＜4. ∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝72－32＝2，有a ＞b －a ，排除C ；b ＞2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910，得b －a ＝3910－1110＝145，有a ＜b －a ，排除D.故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·，m ，n 为实数，则下列结论中正确的是( )A ．若－3≤m ＜n ，则f (m )＜f (n )B ．若m ＜n ≤0，则f (m )＜f (n )C ．若f (m )＜f (n )，则m 2＜n 2D ．若f (m )＜f (n )，则m 3＜n 3解析：∵f (x )的定义域为R ，其定义域关于原点对称，f (－x )＝＝＝f (x )，∴函数f (x )是一个偶函数，又x ＞0时，2x －12x 与是增函数，且函数值为正，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·在(0，＋∞)上是一个增函数，由偶函数的性质知，函数f (x )在(－∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A ，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误；对于选项B ，|m |＞|n |，∴f (m )＞f (n )，故B 错误；对于选项C ，由f (m )＜f (n )，一定可得出m 2＜n 2，故C 是正确的；对于选项D ，由f (m )＜f (n )，可得出|m |＜|n |，但不能得出m 3＜n 3，故D 错误．综上可知，选C.答案：C11．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C.12D ．1解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.答案：C12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.答案：113．(2018·眉山模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |,2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)14．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1可变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.答案：(－2,3)。

高中数学一轮复习之函数的奇偶性

第7节函数的奇偶性【基础知识】1. 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,；如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f(x)是奇函数．2．若一个函数既是奇函数又是偶函数，则解析式为()f x ＝0，但既是奇函数又是偶函数的函数不唯一，任意一个关于原点对称的区间都可以成为其定义域．3.奇函数的图象关于原点对称，反之亦然；偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦然．4．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．5．若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |),若函数()f x 是奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．6．在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．【规律技巧】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【典例讲解】例1、判断下列函数的奇偶性：(1) f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. 【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3. ∴f (x )的定义域为{－3,3}．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0.即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．【拓展提高】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．【变式探究】下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x. 其中奇函数的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D③由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f (－x )＝ln(－x ＋－x 2＋1)＝ln1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，则f (x )为奇函数；④f (x )＝3x －3－x2的定义域为R ，又f (－x )＝3－x －3x 2＝－3x －3－x2＝－f (x )，则f (x )为奇函数；⑤由1－x 1＋x>0得－1<x <1， f (x )＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－ln 1－x 1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数，∴奇函数的个数为5.【针对训练】1、判断下列函数的奇偶性：(1)(f x ；(2)()=(f x x +；()(3)f x 【答案】（1）()f x 既是奇函数，又是偶函数；（2）()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数.2、已知函数()2m f x x－＝是定义在区间2[3]m m m －－，－上的奇函数，则f (m )＝________．【答案】1－3、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -等于( ) A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A4、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】B【综合点评】判断函数奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简最后判断f (－x )与f (x )间的关系(相等还是互为相反数)；若定义域不关于原点对称，则不具有奇偶性．对于分段函数的奇偶性应分段判断．5、已知定义域为R 的函数()122x x a f x b+-+=+是奇函数，求,a b 的值．【答案】12a b =⎧⎨=⎩【练习巩固】1、判断下列函数的奇偶性：（1）2lg(1)()22x f x x -=--；（2）222,0,()0,0,2,0,x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩ 【答案】（1）()f x 为奇函数；(2) ()f x 为奇函数2、已知函数()x f y =是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：②()()x f x f y -+=为非奇非偶函数； ③()()x f x f y --=为奇函数； ④()[]2x f y = 为偶函数．其中正确判断的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B3、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，设）A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称【答案】C4、设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则)(x f 的值域是（）． A ．[10,2]- B ．[12,0]- C ．[12,2]- D ．与,a b 有关，不能确定【答案】A5、若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有( )A ．()()()230f f g <，则下列结论正确的是( )A ．(cos )(cos )f f αβ>B ．(sin )(sin )f f αβ＜C ．(sin )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<【答案】C。

高中数学一轮复习之分段函数

第3节分段函数【基础知识】1.在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数；3．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.【规律技巧】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．3.研究分段函数的性质，需把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．4. 含绝对值的函数是分段函数另一类表现形式.【典例讲解】例1、设函数f(x)＝2－x，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋，若f(x)>4，则x 的取值范围是______．【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【变式探究】已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为________．例2已知实数0a ，函数1,21,2x a x x a x xf ，若a f a f 11，则a 的值为（）A ．B ．C ．D．【答案】A例3在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人【答案】B 【针对训练】1、作出函数||()x f x xx的图象.【答案】见解析2、已知函数1,1(),1xex f x x x，那么(2)f 的值是（）A ．0 B． C．21eD ．2【答案】D3、设函数,0,22xxx x xxf 若2af f ，则实数a 的取值范围是______【答案】2a 4、设函数246,0()6,0xx xf x x x，则不等式()(1)f x f 的解集是（）A.B. C. D.【答案】A5、已知函数2log ,0,()3,0,xx x f x x ≤，则14ff．【答案】19【练习巩固】1.设)10()],6([)10(,2)(xxf f x x x f 则5f 的值为（）A ．10B ．11C ．12 D．13【答案】B【解析】这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式．(5)119151311f f f f f f f ，故选B ．2.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xx ax f x bxx ≤≤≤，，，，其中a bR ，．若1322ff，则3a b 的值为．【答案】10 【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴11f f ，即21=2b a ①.又∵311=1222ff a ，1322f f，∴141=23b a ②. 联立①②，解得，=2. =4a b 。

高考数学一轮总复习专题检测2.1函数及其性质

函数及其性质一、选择题1.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R 的是( ) A.y=1x B.y=1+1x C.y=x+1x D.y=x-1x答案 D 对于函数y=1x ,因为x≠0,所以y≠0,故它的值域不是R,所以A 不满足题意; 对于函数y=1+1x ,因为x≠0,所以y≠1,故它的值域不是R,所以B 不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),所以C 不满足题意;对于函数y=x-1x =x 2-1x,可得关于x 的方程x 2-yx-1=0有解,∵Δ=y 2+4>0,∴y 可以取任意实数,即y∈R,故D 满足条件. 故选D.2.(2022届北京一七一中学10月月考,7)存在函数f(x)满足:对任意x∈R 都有( ) A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x 2+x C.f(x 2+1)=|x+1| D.f(x 2+2x)=|x+1|答案 D A 选项,取x=0,可知f(sin0)=sin0,即f(0)=0,再取x=π2,可知f(sinπ)=sin π2,即f(0)=1,矛盾,∴A 错误;同理可知B 错误;C 选项,取x=1,可知f(2)=2,再取x=-1,可知f(2)=0,矛盾,∴C 错误.故选D.3.(2022届黑龙江适应性测试,2)托马斯说:“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断,下列对应关系是从集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是( ) A.y=2x B.y=x+2 C.y=x 2D.y=2x答案 C A.当x=-1时,y=2x=-2,集合N 中没有对应值,不满足条件. B.当x=4时,y=x+2=6,集合N 中没有对应值,不满足条件.C 中函数满足条件. D.当x=-1时,y=12,集合N 中没有对应值,不满足条件.故选C. 4.(2022届西安期中,4)下列各图中,一定不是函数图象的是( )答案 A 对于A 选项,由图可知,存在一个x 同时有两个y 值与之对应,A 选项中的图不是函数图象;对于B 选项,由图可知,对于每个x,有唯一的y 值与之对应,B 选项中的图是函数图象,同理可知CD 选项中的图是函数图象,故选A. 5.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,设f(1)=a,则f(a)=( )B.12 12 32答案 A 因为f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=(12)-1=2.6.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,则f(2018)=( ) A.1212答案 A∵f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,∴f(2018)=f(2008)=f(1998)=…=f(8)=f(-2),∴f(2018)=log 93=12.故选A.7.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=1x +4x 在[1,2)上的值域是( ) A.[5,172) B.[4,172) C.(0,172) D.[5,+∞)答案 A 因为f'(x)=-1x 2+4=(2x +1)(2x -1)x 2,所以当x∈[1,2)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以f(1)≤f(x)<f(2),即5≤f(x)<172.故选A.8.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R 上的函数f(x)=x·|x|,则f(x)( )A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案 A ∵f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∵f(x)=x·|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,∴函数f(x)为增函数,故选A.9.(2022届北京市育英中学10月月考,2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A.y=1x B.y=(x+1)2C.y=12x+√x +1 D.y=|x-1|答案 D A 选项,y=1x 在(0,+∞)上单调递减. B 选项,y=(x+1)2在(0,+∞)上单调递增.C 选项,y=12x+√x +1=12(√x )2+√x +1,在(0,+∞)上单调递增.D 选项,y=|x-1|={x -1,x ≥1,1-x ,x <1,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.故选D.10.(2022届山西忻州月考,9)设f(x)是定义域为R 的偶函数,若∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,则( )A.f(lo g 123.1)<f(log 23)=f (32)B.f(log 23)<f(lo g 123.1)<f (32)(32)<f(lo g 123.1)<f(log 23)(32)<f(log 23)<f(lo g 123.1)答案 D 因为∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(lo g 123.1)=f(-log 23.1)=f(log 23.1),又因为232=2√2,所以232<3<3.1,而y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以32<log 23<log 23.1,故f (32)<f(log 23)<f(log 23.1),即f (32)<f(log 23)<f(lo g 123.1),故选D.11.(2022届四川广元质检(二),9)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x)+f(4-x)=0,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,则f(11)=( )答案 D ∵f(-x)=f(x),且f(x)+f(4-x)=0,∴f(4+x)=-f(-x)=-f(x),即f(8+x)=f(x),∴f(x)是以8为周期的偶函数,又当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,∴f(11)=f(3)=-f(1)=-f(-1)=-[-(-1)2+4]=-3.故选D.12.(2022届合肥联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,∀x∈R,恒有f(x+4)=-f(x),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-x-1,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=()答案 B 因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是8.因为f(0)=0,f(2)=-f(-2)=-1,f(3)=-f(-1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(1)=-f(-3)=f(3)=0,f(5)=-f(1)= 0,f(6)=-f(2)=1,f(7)=-f(3)=0,f(8)=-f(4)=0,又f(x)是周期为8的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)+f(20 12)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)=f (0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+0+(-1)+0+0+0=-1.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=-1.故选B.13.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(11月),7)已知定义域为R的奇函数f(x)满足:f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=ax+b,若f(-1)=2,则f(-1.5)=( )答案 C 由题意,f(0)=b=0,且f(1)=a+b=-f(-1)=-2,所以a=-2,所以当x∈[0,1]时,f(x)=-2x,因为f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的函数,所以f(-1.5)=f(2.5)=-f(0.5)=-(-2×0.5)=1.14.(2022届河北保定重点高中月考,12)已知定义在R上的函数f(x),g(x),其中函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在[0,+∞)上单调递减,函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x)且在(1,+∞)上单调递减,设函数F(x)=1[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|],则对任意x∈R,均有( )2A.F(1-x)≥F(1+x)B.F(1-x)≤F(1+x)C.F(1-x2)≥F(1+x2)D.F(1-x2)≤F(1+x2)答案 C根据题意,函数f(x)满足f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,又由f(x)在[0,+∞)上单调递减,且|1-x 2|≤|1+x 2|,得f(1-x 2)≥f(1+x 2).函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),即g(x)的图象关于直线x=1对称,则g(1-x 2)=g(1+x 2),又由F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]={x (x ), x (x )≥x (x ),x (x ), x (x )<x (x ),则F(x)的示意图可表示为图中实线部分,所以有F(1-x 2)≥F(1+x 2).故选C. 二、填空题15.(2022届福建永安三中10月月考,13)设函数f(x)={1+log 2(2-x),x <1,2x ,x ≥1,则f(-2)+f(log 26)= . 答案 9解析 f(-2)=1+log 24=3,f(log 26)=2log 26=6,∴f(-2)+f(log 26)=3+6=9.16.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)={13x 3-ax +1,0≤x <1,x ln x ,x ≥1,若f(x)≥f(1)恒成立,则正实数a 的取值范围是 . 答案 (0,43]解析 ∵a>0,∴当x≥1时,f(x)=alnx≥f(1),当0≤x<1时,f(x)=13x 3-ax+1,f'(x)=x 2-a.(1)若a≥1,则f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)≥f(1)成立,则13-a+1≥0,解得a≤43,∴1≤a≤43,(2)若0<a<1,则当0<x<√x 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当√x <x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此x=√x 时,f(x)min =f(√x )=13(√x )3-(√x )3+1=-23x 32+1,所以-23x 32+1≥0,显然成立,∴0<a<1.综上,a 的取值范围是(0,43].17.(2022届山东学情10月联考,14)设f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(1-x)=f(2+x),若f (43)=12,则f (-53)= . 答案 -12解析因为f(1-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=32对称,又f(x)是奇函数,所以f (-53)=-f (53)=-f (43)=-12.18.(2022届山西忻州顶级名校联考,16)在下列命题中,正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号)①函数f(x)=x+x x(x>0)的最小值为2√x ;②已知定义在R 上周期为4的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数; ③定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)=0; ④已知函数f(x)=x 3,若a+b>0,则f(a)+f(b)>0. 答案 ②③④解析 ①当a=0时,f(x)=x(x>0)无最小值,故①错误;②因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的周期为4,所以f(-x)=f(-x+4)=f(4-(-x+4))=f(x),故函数f(x)一定为偶函数,故②正确;③因为f(x)是定义在R 上的奇函数,又是以2为周期的周期函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),f(-1)=f(-1+2)=f(1),故f(1)=0,又f(4)=f(0+2×2)=f(0)=0,f(7)=f(1+2×3)=f(1)=0,所以f(1)+f(4)+f(7)=0,故③正确;④f(x)=x 3为奇函数,且在R 上单调递增,若a+b>0,则a>-b,有f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0,故④正确.19.(2022届山东鱼台一中月考,16)定义在R 上的函数f(x)=x+a+sinx,若f (x+π)是奇函数,则a= ;满足f(x)-π>0的x 的取值范围是 . 答案 -π;(2π,+∞)解析 f(x+π)=x+π+a -sinx,因为f(x+π)是奇函数,则π+a=0,即a=-π,f(x)=x -π+sinx,因为f'(x)=1+cosx≥0,则f(x)递增,又f(2π)=π,则f(x)-π>0⇔f(x)>π⇔f(x)>f(2π)⇔x>2π. 三、解答题20.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,b∈R 且a>0,函数f(x)=4x +b4x -a 是奇函数. (1)求a,b 的值;(2)对任意x∈(0,+∞),不等式mf(x)-f (x2)>0恒成立,求实数m 的取值范围. 解析 (1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x +4-x)=0恒成立,∴{x -x =0,2-2xx =0,又a>0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-f (x 2)>0⇔m (1+24x -1)-(14x2-1>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令2x=t(t>1),则m>x +1x -1x 2+1x 2-1=(x +1)2x 2+1=x 2+1+2t x 2+1=1+2x x 2+1=1+2x +1x对t>1恒成立,∵y=2x +1x在(1,+∞)上单调递减,∴y=1+2x +1x<2,∴m≥2,∴m 的取值范围为[2,+∞).21.(2022届山西忻州顶级名校联考,19)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x 2+2x.(1)求函数f(x)在R 上的解析式; (2)解关于x 的不等式f(x)<3.解析 (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x 2-2x, 由f(x)是定义在R 上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=x 2+2x,且f(0)=0,综上,f(x)={-x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+2x,x <0.(2)①当x>0时,-x 2+2x<3⇒x 2-2x+3>0,解得x∈R,所以x>0; ②当x=0时,0<3显然成立,所以x=0; ③当x<0时,x 2+2x<3,得-3<x<0. 综上,不等式的解集为(-3,+∞).。

高中数学一轮复习函数、导数及其应用第5节指数与指数函数

＋lg
)
y
＝2lg x＋2lg y
＋y)
＝2lg x· 2lg y
lg y C．2lg x· ＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x· 2lg y
【解析】 A 项，2lg x
＋lg
y
＝2lg x· 2lg y，故错误；
y) B 项，2lg x· 2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(x· ≠2lg(x＋y)，故错误； lg y C 项，2lg x· ＝(2lg x)lg y，故错误；
4 5 ＋ 2) ＋ 1 ＝＋ 10 5 － 10 5 － 20 9
167 ＋1＝－ . 9
规律方法 1
1.这类问题的求解，首先将根式、分数指数
幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
变式训练 1 (1) 3
(2014· 安徽两所名校联考)计算： 3 a
－7
9 －3 a a ÷ 2
3
a13；
1 1 －2 71 (2)(0.027)－－( ) ＋(2 ) －( 2－1)0. 3 7 92
【解】
3
9 31 7 131 a－ a (1)原式＝a2a－2 ÷ 3 3 2 3
【解析】
【答案】
[(－2)6] －(－1)0＝(26) －1＝8－1＝7.
B
3．化简 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y
【解析】
4
)
B．2xy
4
8 4
C．4x2y

高中数学一轮复习之函数的周期性

第8节函数的周期性【基础知识】1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．【规律技巧】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．【典例讲解】例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.【拓展提高】判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【变式探究】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x ，当2≤x ≤3时， f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.【答案】2.5【针对训练】1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．【答案】10062、已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013【答案】A3、已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -≤≤时，2()1f x x =-.若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )A ．3{|24a a k =+或52,}4k k Z +∈ B ．1{|24a a k =-或32,}4k k Z +∈ C ．{|21a a k =+或52,}4k k Z +∈ D ．{|21a a k =+,}k Z ∈【答案】C【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．【练习巩固】1、已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )A.()()()7 6.5 4.5f f f <<B.()()()7 4.5 6.5f f f <<C.()()()4.5 6.57f f f <<D.()()()4.57 6.5f f f <<【答案】D2、设()g x 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则()f x 在区间[0,3]上的值域为 .【答案】()[]2,7f x ∈-【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．3.定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（）（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015【答案】A4.已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 【答案】A5.设()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(1)()f x f x +=-．当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = . 【答案】16、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)【答案】D7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于 ( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98【答案】A8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( ) A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算【答案】C 9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23 【答案】C【解析】函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23.。

高中数学(一轮复习)最基础考点系列考点10 对数函数的图象及应用含解析

专题10 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用★★★○○○○1．对数函数的图象函数y＝log a x，a〉1y＝log a x，0<a〈1图象图象特征在y轴右侧,过定点(1，0）当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的2。

底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图,0<c〈d<1〈a<b。

3．指数函数与对数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1）与对数函数y＝log a x(a〉0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的性质函数y＝log a x（a>0,且a≠1）a〉10<a〈1性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在（0，＋∞)上是增函数在(0,＋∞）上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y〉0；当0〈x〈1时，y〈0当x〉1时，y〈0;当0〈x<1时,y〉0研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地,要注意底数a〉1或0<a<1这两种不同情况．比较对数式大小的三种方法（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底,先化为同底．(2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0",“1”或其他特殊值进行“比较传递”．简单对数不等式问题的求解策略(1）解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．（2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a〈1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(2017·长沙五校联考）设方程10x＝｜lg（－x)｜的两个根分别为x1，x2,则( )A．x1x2〈0 B．x1x2＝1C．x1x2〉1 D．0〈x1x2<1［解析］构造函数y＝10x与y＝|lg(－x）|,并作出它们的图象，如图所示．因为x1,x2是10x＝｜lg(－x)|的两个根,则两个函数图象交点的横坐标分别为x1,x2，不妨设x2〈－1，－1<x1〈0，则10x1＝－lg（－x1），10x2＝lg(－x2），因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因为10x2－10x1〈0，所以lg(x1x2）〈0，即0<x1x2〈1。

2023届高三数学一轮复习专题利用常见函数的奇偶性解题讲义 (解析版)

专题：利用常见函数的奇偶性解题知识梳理：1、掌握高中常见函数的奇偶性，单调性可提高解题速度2、加强知识的归纳整理工作，由知识点构建知识块3、常见的奇，偶函数类型（10≠>a a 且）：①指数型奇函数：f(x)＝11+-±x x a a ，f(x)＝）（x x a a --±， ②对数型奇函数：f(x)＝±lgx b xb +-，f(x)＝±lg(x x ++12)，③幂函数奇函数：f(x)＝m x （为奇数m ），f(x)＝xb x ±④常见偶函数：f(x)＝m x （为偶数m ） f(x)＝|x| 典型例题：例1：已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>1) (1)判断f(x)奇偶性 (2)求函数f(x)的值域变式：已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .变式1：【答案】12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例2：(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )变式：已知函数f (x )＝e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．例3：判断并证明函数f(x)=lg x x +1-1的奇偶性（思考f(x)=lg xx-+11的奇偶性？）例4：判断并证明函数f(x)=lg(x x ++12)的奇偶性（思考f(x)=lg(x x -+12的奇偶性？)变式1：已知函数xxa x f +-=1log )(3为奇函数，则实数a 的值为________.变式2：设函数f(x)=1)1ln(1222+++++x x x x ）（的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值变式3：函数())lnf x kx =的图象不可能是（）A． B ．C ．D ．例5：已知，，则（） A ． B ． C ． D ．例6：已知函数2111)(x x x f +-+=，则满足f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 取值范围是（） A ．11(,)33- B ．]31,31[- C ．24(,)33D ．]34,32[课后作业：1、已知函数f(x)=xxa a 22+-是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-31B.3C.-31或3D.31或32、（2022年华美月考，多选）已知函数()1212xxf x -=+，())lg g x x =，则（）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为01()1f x x x=+-()2f a =()f a -=4-2-1-3-D ．设()()()F x f x g x =+，则()()210F a F a +--<的解集为()1,+∞ 3、(2019·金版创新)已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫⎝⎛21-的值为________． 4、(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(3)若f (k ·3x)＋f (3x－9x＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．专题：利用常见函数的奇偶性解题典型例题：例1：【答案】（1）奇函数（2）（-1，1）【解析】(1)()f x 的定义域为R ．又()()11111111xxx x xxa a a f x f x a aa ------====-+++，所以()f x 为奇函数．（2）11211,2120<+-<-∴<+<x x a a ，即值域为（-1，1）变式：【答案】（∞+-，21）【解析】0313113132131321313)()(=+-++-=-+-+++-=-+--xxx x x x x x x x x f x f 所以x x f x x 21313)(++-=为奇函数，因为1313)(+-=x x x f 在定义域上单调递增，又f(x)=2x 在定义域上单调递增，所以x x f xx 21313)(++-=在定义域上是增函数 2123)23()(->⇒-->⇒-->∴a a a a f a f例2：【答案】B 【解析】依题意，注意到函数的定义域是}0|{≠∈x R x ，且)()()(22x f xe e x e e xf x x x x -=--=--=---，因此)(x f 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，选项A 不正确，且当x>0时，)(x f >0,选项D 不正确，又+∞→+∞→)(,x f x ，结合选项知B 正确，故选B变式：【答案】]21,1[-【解析】函数f (x )＝e x－1e x 是常见的奇函数，且在定义域内是单调递增的，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0a a a f a f a f -≤⇒-=--≤∴12)1()1()2(22解得：211≤≤-a例3：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为11<<-x 关于原点对称所以f(x)+f(-x)=lgx x +1-1+lg x x -+11=0，即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg xx-+11也是奇函数例4：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为R 关于原点对称所以f(x)+f(-x)=lg(x x ++12)+lg(x x -+12)=lg1=0即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg(）x x -+12也是奇函数变式1：【答案】1【解析】由条件知：奇函数的定义域要关于原点对称，所以分母1-≠x ，为了对称，分子a=1变式2：【答案】2【解析】由已知得1)1ln(21)(22+++++=x x x x x f 因为)1ln())(1)(ln(22x x x x ++-=-++-，所以)1ln(2x x y ++=是奇函数，进而可判定，函数1)1ln(2)(22++++=x x x x x g 为奇函数，则)(x g 的最大值1M 和最小值1N ，满足1M+1N =0，因为1,111+=+=N N M M ，所以M+N=2变式3：【答案】C 【解析】因为A,B 选项中，图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数，f(x)+f(-x)=0 1010)1ln()1ln(2222±=⇒=-⇒=+++-+k x k kx x kx x ）（即当K=1时，f(x)的图像为选项A,当K=-1时，f(x)的图像为选项B 而C,D 选项中，图像关于Y 轴对称，所以f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)00)1ln()1ln(22=⇒=⇒++=-+k kx kx x kx x 即当K=0时，0)(≥x f 故f(x)的图像为选项D ，故f(x)的图像不可能为C例5：【答案】A 【解析】设xx x f x g 11)()(+=+=则)(1)()(x g x f x g -=+-=-，所以)(x g 是奇函数，31)()(=+=a f a g 因为)(x g 是奇函数，所以31)()(-=+-=-a f a g 所以4)(-=-a f ，故选A例6：【答案】C 【解析】函数2111)(xx x f +-+=在[)∞+，0上为增函数，所以不等式f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 等价为 f （|x －1|）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 所以|x －1|）<31⇒3432<<x课后作业：1、【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x xa a 22+-是奇函数，所以f(-x)=-f(x)整理得：02,02)22(2122>=-=+-x x x x a a a 因为））（（，所以1±=a 代入选C2、【答案】BCD 【解析】函数xx x f 2121)(+-=是奇函数，所以A 错，函数g(x)=lg ）x x -+12是奇函数，所以B 正确，．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上是奇函数，在对称区间上，最大值最小值之和为0，C 正确;是减函数xx f 2121)(++-=,010ln 11)()1lg()(2'2<+-=⇒-+=x x g x x x g 故F （x ）=f(x)+g(x)是减函数，a a a F a F a F a F +>⇒+<⇒<--+12)1()2(0)1()2(所以1>a ，D 正确3、【答案】2【解析】函数)(x f 是奇函数，所以0)21()21(=+-f f ，令xx h 212)(+=，则22112212)21()21(=+++=-+h h ，所以g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-=2 4、【答案】（1）奇函数（2）在R 上单调递增函数（3）），（34∞-【解析】略。

第01讲函数的概念及其表示(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

题型突破·考法探究
题型三：给出函数解析式求解定义域
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为40，底边长是腰长的函数，则函
数的定义域为(
A． 10,20
)
B． 0,10
C． 5,1
【答案】A
对求函数定义域问题的思路是：
【解析】由题设有 = 40 − 2，
2024年上海卷第2题，5分
（2）在实际情景中，会根据 2024年I卷第8题，5分
不同的需要选择恰当的方法
2023年北京卷第15题，5分
（如图象法、列表法、解析法）2022年浙江卷第14题，5分
表示函数．
2021年浙江卷第12题，5分
（3）了解简单的分段函数，
并会简单的应用．
复习目标：
1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素
, ≥ 0
D． = ， =
−, < 0
【答案】D
【解析】对于A中，函数 = 2 的定义域为R， =
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
2

4 的定义域为 0, +∞ ，
对于B中，函数 = − 1的定义域为R， = − 1的定义域为 | ≠ 0 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数 = 1的定义域为R，与 = 0 = 1的定义域为{| ≠ 0}，
所以定义域不同，所以不是相同的函数，故C错误；
, ≥ 0
, ≥ 0
对于D中，函数 = =
与 =
的定义域均为R，
−, < 0
−, < 0
个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它

新高考一轮复习特训-三角函数-(含答案)高中数学-高考专区-一轮复习

2025届新高考一轮复习特训三角函数一、选择题1．函数()sin 2f x =到()g x 的图象,则()g x =( )A.cos 4xB.cos x- C.cos 4x- D.sin x-2．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==,则()sin αβ-=( )3．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是( )A.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.511,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,则cos 2α=( )355．与1990-︒终边相同的最小正角是( )A.80︒B.150︒C.170︒D.290︒6．已知tan α==( )7．下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭πT <<，且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )D.3二、多项选择题9．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]y x =被称为高斯函数；例如[]2.13-=-，[]2.12=，已知()sin sin f x x =+()()x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 是偶函数B.函数()g x 是周期函数C.函数()g x 的图像关于直线x =()g x x =只有1个实数根10．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.()()πf x f x += B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =A.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增)()12x f x -=-D.函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称三、填空题12．若tan θ==____________.13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC 交于点D .若5AB =，sin CAB ∠=DCE ∠=ABE 的面积是______.14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.四、解答题15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[0,)t ∈+∞.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，且最高点与最低点间的距离为10cm .（1）求小球相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系式；（2）小球在0t s 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围.16．已知α=(1)写出与角α终边相同的角的集合;(2)写出在()4π,2π-内与角α终边相同的角.17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）图象的最高点为π,16⎛⎫⎪⎝⎭，距离该最高点最近的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()(0)2a g x f x a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()g x 的图象关于直线x =()g x 在π0,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的值.18．已知函数（1）化简；（2）若的值.19．如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.cos αβ的值.()f x =()f x ()0f x =00π2π2cos(2)63x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭参考答案1．答案：A解析：()sin 2f x=ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到()cos 4g x x =的图象故选：A.2．答案：A解析：因为()sin sincos +cos sin αβαβαβ+===cos 5cos sin αβαβ=,所以11sin cos cos sin 6cos sin ,cos sin ,sin cos 212αβαβαβαβαβ+====所以()5141sin sin cos cos sin .1212123αβαβαβ-=-=-==故选：A.3．答案：A解析：因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ωω⎡+∈+⎢⎣π[2π,3π)3+∈，所以5,42ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．答案：D解析：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,所以cos α==所以2cos 22cos 1αα=-=故选：D.5．答案：C解析：因为199********-=-⨯-︒︒︒，199********-=-⨯+︒︒︒，所以与1990-︒终边相同的最小正角是170︒.故选C.6．答案：B,故选：B.7．答案：A解析：方法一：令πππ2π2π262k x k -+-≤+≤，k ∈Z ，得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z .取0k =，则π3x -≤≤ππ2π0,,233⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎭⎣⎦Ü，所以区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间.方法二：当π02x <<时，，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正πx <<π6x <-<()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当πx <<π6x <-<()f x 在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；当3π2π2x <<π6x <-<()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.8．答案：A T <<2ππω<<，解得23ω<<.因为()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2b =，且，即，所以，又π4π4+=，解得ω=5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ3πsin 2sin 2122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.9．答案：AD解析：选项A ，函数()f x 的定义域为R ，2tan 313tan 2αα+==-πππ663x -<-<()f x 3ππsin 224b ω⎛⎫++= ⎪⎝⎭3ππsin 024ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πππ()24k k ω+=∈Z 2ω<<3ππ24ω<+<因为()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当0πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，…因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象如下图所示由()()g x f x =⎡⎤⎣⎦可知，在0x ≥内，当2πx k =+∈Z 时，()2g x =，当π2π2π6k x k +≤≤+2πx k ≠+∈Z 时，()1g x =，当2π2πk x k ≤<5ππ2π2π6k x k +<≤+，k ∈Z 时，()0g x =，因为()()()()g x f x f x g x -=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()g x 为偶函数，则函数()g x 的图象如下图所示显然()g x 不是周期函数，故选项A 正确，B 错误，C 错误;()g x x =，当()0g x =时，0x =方程有一个实数根，当()1g x =时，x =π212⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，方程没有实数根，当()2g x =时，πx =，此时()π02g =≠，方程没有实数根，()g x x =只有1个实数根，故D 正确；故选：AD.10．答案：AD解析：对于A,函数()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==,()()πf x f x +=,A正确;对于B,由πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线x =对于C,由πππ2π32066332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,C 错误;对于D,当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,πππ2,322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,而正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此函数()f x 在区间5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.故选：AD.11．答案：ACD解析：函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =ππ3π42k ϕ∴⨯+=+,k ∈Z ,ππ4k ϕ∴=-+,k ∈Z因为ππ22ϕ-<<,所以ϕ=π()sin(3)4f x x =-．函数πππ()sin 3sin 312124f x x x ⎡⎤⎛⎫+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,故A 正确;当[,123ππx ∈,π3π0,434x ⎡-∈⎤⎢⎥⎣⎦,函数()f x 没有单调性,故B 错误;若12|()()|2f x f x -=,因为[]()1,1f x ∈-,所以()()1211f x f x =⎧⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x f x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,则12|x x -2π3=5π5ππsin 3sin 012124f π⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故D 正确故选：ACD ．.解析：由题意得：DCE ACE ∠+∠=π2CAE ACE +∠=所以DCE CAE ∠=∠，故sin sin DCE CAE ∠=∠=cos CAE ∠==因为sin CAB ∠=45CAB ∠=故()sin sin sin cos cos sin EAB CAE CAB CAE CAB CAE CAB∠=∠+∠=∠∠+∠∠343455=⨯=因为5AB =，ACB ∠=CAB ∠=3BC =，4AC =又因为AEC ∠=CAE ∠=，所以cos 4AE AC CAE =∠==的cos 11cos sin cos tan 131cos cos θθθθθθθ====+++所以ABE △的面积是11sin 522S AB AE EAB =⋅⋅∠=⨯=14．答案：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z 解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为360120k ⋅︒+︒,k ∈Z ,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,k ∈Z .所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.故答案为：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z .15．答案：（1）π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：（1）由题意得1052A ==.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以最小正周期为2s ，即2T ==π=，所以π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，当t =最高点.因为小球在0s t 0149504T tT +≤<+.因为2T =，所以01984t ≤<所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．答案：(1)π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)36045k ⋅︒-︒36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z解析：(1)与角α终边相同的角的集合为π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)令π4π2π2π3k -<+<,得136k -<<又k ∈Z ,2k ∴=-,-1,0,∴在()4π,2π-内与角α终边相同的角是17．答案：（1）π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z（2）a =5=解析：（1）由题意解题思路知A =5ππ126=-=所以πT =，2π2πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2π2k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又||πϕ<，所以ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3π2π22π62k x k +≤+≤+，k ∈Z 2πππ3k x k +≤≤+，k ∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z .（2）由（1）可得π()sin (0)6g x ax a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()g x 的图象关于直线x =πππ62k =+，k ∈Z ，即51544a k =+，k ∈Z ，当π0,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππππ,66156a ax ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由()g x 在[π0,15ππ62+≤，即5a ≤.又0a >且51544a k =+，k ∈Z ，所以a =5=.18．答案：（1）π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）35-解析：（1）ππππcos 2cos 2π2tan 22333()ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为()00πcos 23f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以000ππππsin 2sin 2cos(2)6323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0002πππcos 2cos 2πcos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故00π2π33sin 2cos 2631010x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．答案：（1）1-（2）3225-解析：（1）由题意得π2βα=+sin sin cos cos αβαβ=πsin sin sin cos 21πcos sin cos cos 2αααααααα⎛⎫+⎪⎝⎭==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.35α=，sin α=则πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭所以442sin cos 255αβ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭。

三精考点之高中数学(一轮复习)最基础考点系列：考点2 函数的解析式含解析

专题1 函数的解析式函数的解析式★★★○○○○求函数解析式的四种方法在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－x B ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12x 2－2x [解析] 设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝d ＝0，f ＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ＝c ＝－1，f ＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x . [答案]A1.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.2.(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] 用1x 代替3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3f x ＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f x ＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)． [答案] f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0) 3．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( )A ．2B ．0C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ②联立①②得f (1)＝2.1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，则f (x )＝________.2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2f x ＋f －x ＝2x ，2f －x ＋f x ＝－2x ，解得f (x )＝2x .答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12. 所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R. 5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2023版高考数学一轮总复习2-1函数及其性质习题

专题二函数的概念与基本初等函数2.1 函数及其性质基础篇固本夯基考点一函数的概念及表示1.(2020西藏山南二中一模,3)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )答案 B2.(2021陕西榆林一模,4)下列四个函数:①y=2x+3;②y=1x;③y=2x;④y=x12,其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 C3.(2022届昆明第一中学检测,4)给出下列三个条件:①函数是奇函数;②函数的值域为R;③函数图象经过第一象限.则下列函数中满足上述三个条件的是( )A.f(x)=x14B.f(x)=x+1xC.f(x)=sinxD.f(x)=2x-2-x答案 D4.(2022届江西新余第一中学二模,13)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f(x2)+f(x-1)的定义域是.答案(0,2)5.(2020北京,11,5分)函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是.答案(0,+∞)考点二分段函数1.(2021河南安阳4月模拟,4)已知函数f(x)={3x-1-1,x≥1,-1-log3(x+7),x<1且f(m)=-2,则f(8+m)=( )A.-16B.16C.24D.26答案 D2.(2020四川双流中学模拟,5)已知函数f(x)={e x -3,x <1,ln x ,x ≥1,则关于函数f(x)的说法不正确的是( )A.定义域为RB.值域为(-3,+∞)C.在R 上为增函数D.只有一个零点答案 B3.(2021安徽蚌埠三模,7)已知函数f(x)={e 2−x ,x ≤1,lg (x +2),x >1,则不等式f(x+1)<1的解集为( )A.(1,7)B.(0,7)C.(1,8)D.(-∞,7) 答案 B4.(2021浙江,12,4分)已知a∈R,函数f(x)={x 2-4,x >2,|x -3|+x ,x ≤2.若f(f(√6))=3,则a= .答案 25.(2022届河南重点中学调研一,14)已知f(x)={x 2-ax,x >0,-x +x +1,x ≤0,若方程f(x)=-x 有实根,则a 的取值范围是 . 答案 {a|a=-1或a>1}6.(2022届山西长治第八中学阶段测,13)已知函数f(x)={ln (−x ),x <0,2x (x -3),x ≥0,则f(1)= . 答案 2ln2考点三函数的单调性与最值1.(2022届广西玉林育才中学10月月考,8)函数g(x)=2x-√x +1的最小值为( ) A.-178B.-2C.-198D.-94答案 A2.(2022届黑龙江八校期中联考,8)已知函数f(x)=x·|x|-2x,则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数,单调增区间是(-∞,0) B.f(x)是偶函数,单调减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,单调减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,单调增区间是(0,+∞) 答案 C3.(2020四川宜宾四中月考,7)下列函数中,同时满足:①图象关于y 轴对称;②∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),x (x 2)-f(x 1)x 2-x 1>0的是( )A.f(x)=x -1B.f(x)=log 2|x|C.f(x)=cosxD.f(x)=2x+1答案 B4.(2021广州番禺象贤中学期中,4)已知函数f(x)={(2x -1)x -1,x ≤1,log x x +1,x >1,若函数f(x)在定义域R 上单调递增,则实数a 的取值范围为( ) A.{x |1<a <32} B.{x |1<a ≤32}C.{x |a >32}D.{x |a ≥32} 答案 B5.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x -2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 答案 D6.(2021河南十所名校阶段检测,5)已知函数f(x)=1x x +1-12(a>0,且a≠1),则f(x)是( ) A.偶函数,值域为(0,12) B.非奇非偶函数,值域为(-12,12) C.奇函数,值域为(-12,12) D.奇函数,值域为(0,12) 答案 C7.(2021江西重点中学协作体联考,7)已知f(x)=(35)|x -1|,则下列不等关系正确的是( )A.f(log 27)<f(log 0.52.5)<f(1)B.f(log 0.52.5)<f(log 27)<f(1)C.f(1)<f(log0.52.5)<f(log27)D.f(1)<f(log27)<f(log0.52.5)答案 B8.(2021全国百强名校“领军考试”,13)函数f(x)=√2−x+√x2-6x+10的值域为. 答案[√2,+∞)考点四函数的奇偶性1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,3)已知定义在R上的函数f(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)有极小值B.f(x)有最大值C.f(x)是奇函数D.f(x)是偶函数答案 A2.(2022届江西新余第一中学模拟,3)已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,且f(x)+g(x)=2x3+x2+3x+1,则f(1)+g(2)=( )A.5B.6C.8D.10答案 D3.(2021陕西渭南一模,4)已知函数f(x)=3-x+a·3x是奇函数,则f(2)=( )A.829B.-829C.809D.-809答案 D4.(2020课标Ⅱ,10,5分)设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)( )A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减答案 A5.(2021银川重点高中一模,6)已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a的值为( )A.2B.-1C.2或-1D.2或1答案 C,则下列函数中为奇函数的是( )6.(2021全国乙,4,5分)设函数f(x)=1−x1+xA.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案 B7.(2020江苏,7,5分)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是.答案-48.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3·(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .答案 1考点五函数的周期性1.(2021吉林调研三,2)若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),则f(8)的值为( )A.1B.2C.0D.-1答案 C2.(2020江西鹰潭二模,7)偶函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,当-1≤x≤0时,f(x)=-x2+1,则f(2020)=( )A.2B.0C.-1D.1答案 D3.(2021广西名校联考三,9)已知f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(1+x)=f(1-x),f(1)=2,则f(2)+f(3)+f(4)=( )A.0B.-2C.2D.6答案 B4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0, 则f(f(15))的值为 . 答案√22综合篇知能转换考法一函数定义域的求法1.(2021湖北荆州中学四模,4)定义域是函数的三要素之一,已知函数Jzzx(x)的定义域为[211,985],则函数shuangyiliu(x)=Jzzx(2018x)+Jzzx(2021x)的定义域为( ) A.[2112018,9852021] B.[2112021,9852018] C.[2112018,9852018] D.[2112021,9852021]答案 A2.(2021山西临汾一中期中,5)若函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=√x -1的定义域是( )A.[1,4]B.(1,4]C.[1,2]D.(1,2] 答案 B3.(2021黑龙江省实验中学测试,3)若函数f(x 2+1)的定义域为[-1,1],则f(lgx)的定义域为( )A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg2] 答案 C4.(2022届湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x-1|)的定义域为( ) A.(-∞,1) B.(-1,1) C.(0,+∞) D.[0,1) 答案 A5.(2022届河南重点中学调研一,9)若函数f(x)=2x2+1+aln (2x 2+1+a)的定义域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(-2,+∞)B.(-1,+∞)C.(-2,-1)D.(-2,-1)∪(-1,+∞)答案 B考法二函数解析式的求法1.(2022届湖南名校10月联考,7)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,则( )A.f(x)的最小值为2B.∃x∈R,2x2+4x+3x(x)>2C.f(x)的最大值为2D.∀x∈R,2x2+4x+5x(x)>2答案 D2.(2022届宁夏青铜峡第一次月考,11)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3答案 A3.(2021东北三省四市联考,8)已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=e x-1,则2≤x≤3时,f(x)的解析式为( )A.f(x)=1-e x-2B.f(x)=e x-2-1C.f(x)=1-e x-1D.f(x)=e x-1-1答案 A4.(2021天津南开中学模拟,13)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f(1x)√x-1,则f(x)= .答案23√x+13考法三分段函数问题的解题策略1.(2022届江西新余重点高中第二次月考,5)已知函数f(x)={x2-ax+14,x≥1,log x x,0<x<1是(0,+∞)上的单调函数,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.(1,54]C.[54,2) D.(1,+∞) 答案 B2.(2022届广西玉林育才中学10月月考,7)已知函数f(x)={-x 3+2,x <0,-x +3,x ≥0,g(x)=kx+5-2k(k>0),若对任意的x 1∈[-1,1],总存在x 2∈[-1,1]使得f(x 1)≤g(x 2)成立,则实数k 的取值范围为( )A.(0,2]B.(0,23] C.(0,3] D.(1,2] 答案 A3.(2021黑龙江顶级名校一模,12)已知定义在R 上的函数f(x)满足:f(x)={-x 2,x ≤0,x (x -1)-x (x -2),x >0,则f(2020)+f(2021)的值等于( )A.-5B.-4C.-3D.-2 答案 D4.(2021贵州毕节期末,11)已知函数f(x)={(4-x )x +3x ,x <1,log 3x,x ≥1的值域为R,则实数a 的取值范围是( ) A.(-2,4) B.[-2,4) C.(-∞,-2] D.{-2} 答案 B5.(2017课标Ⅲ,15,5分)设函数f(x)={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f(x)+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . 答案 (-14,+∞)考法四函数单调性的判断及应用1.(2022届江西新余第一中学模拟,7)已知函数f(x)在定义域R 上单调,且x∈(0,+∞)时均有f(f(x)+2x)=1,则f(-2)的值为( ) A.3 B.1 C.0 D.-1 答案 A2.(2022届安徽安庆怀宁中学模拟一,10)定义:[x]表示不大于x 的最大整数,已知函数f(x)=[x ]x 2-2x+1,x∈[0,3],则( ) A.函数f(x)在(0,1]上单调递增B.函数f(x)的最大值为0C.函数f(x)在(0,3]上单调递减D.函数f(x)的最小值为-203答案 B3.(2021东北三省三校联合模拟,9)下列函数中,既是奇函数,又在(0,1)上单调递减的是( )A.f(x)=ln(e x+e -x)-ln(e x-e -x) B.f(x)=sinx+1sin xC.f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)D.f(x)=e x-1ex答案 B4.(2021河南南阳期末,9)已知函数g(x)=e x-e -x+sinx,若不等式g(2x+a)+g(x 2-1)>0对任意x∈[-1,1]恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(-2,+∞) D.[-2,+∞) 答案 B5.(2020课标Ⅱ,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( ) A.是偶函数,且在(12,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(-12,12)单调递减C.是偶函数,且在(-∞,-12)单调递增D.是奇函数,且在(-∞,-12)单调递减答案 D6.(2021江西五市九校协作体联考,9)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数x 1,x 2,都有x 2f(x 1)-x 1f(x 2)x 1-x 2<0,记a=x (3)3,b=f(1),c=-x (-2)2,则( )A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b 答案 D7.(2022届安徽淮南第一中学月考三,14)已知f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,则满足不等式f(a)<f(2a-1)的a的取值范围是.(用区间表示)答案[0,13)8.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=|x+4x-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是.答案(-∞,92]考法五函数奇偶性的判断及应用1.(2020海南第一次联考,3)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2(a>0且a≠1),若g(2)=a,则函数f(x2+2x)的单调递增区间为( ) A.(-1,1) B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)答案 D2.(2021山西晋中二模,8)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)=g(x)-g(-x)+2,对任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为( )A.(-14,+∞) B.(-14,0)C.(-∞,-14) D.(-23,0)答案 B3.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案 D4.(2019课标Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )A.f(log314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(log314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f(log314)D.f(2-23)>f(2-32)>f (log 314) 答案 C5.(2021内蒙古赤峰二中月考,12)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,若A,B 是锐角三角形ABC 的两个内角,则下列各式一定成立的是( )A.f(sinA)>f(cosB)B.f(sinA)<f(cosB)C.f(sinA)>f(sinB)D.f(cosA)>f(cosB)答案 A6.(2022届长春重点高中月考一,10)对于任意的实数a 、b,记max{a,b}={x (x ≥x ),x (x <x ).设F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中g(x)=13x,y=f(x)是奇函数.当x≥0时,y=f(x)的图象与y=g(x)的图象如图所示.则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是( )A.y=F(x)有极大值F(-1)且无最小值B.y=F(x)为奇函数C.y=F(x)的最小值为-2且最大值为2D.y=F(x)在(-3,0)上为增函数答案 A7.(2022届湖南名校10月联考,15)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(4-x)=16,且当x∈(0,1]时,2f(2x)=[f(x)]2,则f(-3)= .答案 12考法六函数周期性的判断及应用1.(2021河南新乡二模,10)已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称,且对任意的x∈R,f(x+2)=f(-x)恒成立,当-1≤x<0时,f(x)=2x ,则f(2021)=( )A.-1B.-12C.12D.1答案 B2.(2021全国甲,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax 2+b.若f(0)+f(3)=6,则f (92)=( )A.-94B.-32C.74D.52答案 D3.(2022届乌鲁木齐第二十中学月考一,12)已知定义在R 上的函数f(x)满足①f(x+2)=f(x);②f(x -2)为奇函数;③当x∈[0,1)时,x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)恒成立.则f (-152)、f(4)、f (112)的大小关系正确的是( ) A.f (112)>f(4)>f (-152) B.f(4)>f (112)>f (-152) C.f (-152)>f(4)>f (112)D.f (-152)>f (112)>f(4)答案 C创新篇守正出奇创新 “新定义型”函数1.(2022届云南大理统一检测,5数学成就)在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x 0,使得f(x 0)=x 0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是( )A.f(x)=lnx-1B.f(x)=e x +1C.f(x)=x+1xD.f(x)=x 2+2x-1 答案 D2.(2021陕西宝鸡渭滨二模,情境创新)设定义在R 上的函数y=f(x),对于任一给定的正数p,定义函数f p (x)={x (x ), x (x )≤x ,x , x (x )>x ,则称函数f p (x)为f(x)的“p 界函数”.关于函数f(x)=x 2-2x-1的2界函数,结论不成立的是( )A.f 2(f(0))=f(f 2(0))B.f 2(f(1))=f(f 2(1))C.f 2(f(2))=f(f 2(2))D.f 2(f(3))=f(f 2(3))答案 B3.(2021山西怀仁期末,14情境创新)黎曼函数是一个特殊函数,由德国数学家黎曼发现并提出,黎曼函数定义在[0,1]上,其定义为R(x)={ 1x ,当x =x x (p,q 都是正整数,xx 是不可以再约分的真分数)时,0,当x =0,1或者[0,1]上的无理数时.若函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f (103)+f (√33)= .答案 -134. (2021上海虹口二模,8情境创新)设函数f(x)的定义域为D.若对于D 内的任意x 1,x 2(x 1≠x 2),都有(x 2-x 1)[f(x 2)-f(x 1)]>0,则称函数f(x)为“Z 函数”.有下列函数:①f(x)=1;②f(x)=-2x+1;③f(x)=x 3;④f(x)=lgx.其中“Z 函数”的序号是 (写出所有的正确序号). 答案 ③④。

高中数学第三章函数的概念与性质知识汇总大全(带答案)

高中数学第三章函数的概念与性质知识汇总大全单选题1、设f (x )为定义在R 上的函数，函数f (x +1)是奇函数.对于下列四个结论：①f (1)=0；②f (1−x )=−f (1+x )；③函数f (x )的图象关于原点对称；④函数f (x )的图象关于点(1,0)对称；其中，正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：令g (x )=f (x +1)，①：根据求解出f (1)的值并判断；②：根据g (x )为奇函数可知g (−x )=−g (x )，化简此式并进行判断；根据y =f (x +1)与y =f (x )的图象关系确定出f (x )关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.令g (x )=f (x +1)，①因为g (x )为R 上的奇函数，所以g (0)=f (0+1)=0，所以f (1)=0，故正确；②因为g (x )为R 上的奇函数，所以g (−x )=−g (x )，所以f (−x +1)=−f (x +1)，即f (1−x )=−f (1+x )，故正确；因为y =f (x +1)的图象由y =f (x )的图象向左平移一个单位得到的，又y =f (x +1)的图象关于原点对称，所以y =f (x )的图象关于点(1,0)对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④，故选：C.小提示：名师点评通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若f (x +a )为偶函数，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；（2）若f (x +a )为奇函数，则函数y =f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称.2、已知函数f (x )=2x 2−6x +3，x ∈[−1，2]，则函数的值域是（）()00g =A ． [−32，11）B ． [ 32，11）C ． [ −1，11]D ．[−32，11]答案：D分析：根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.∵f(x)=2x 2−6x +3=2(x −32)2−32,对称轴x =32,当x ∈[−1，2],f (x )min =f (32)=−32,又因为f (−1)=11,f (2)=1,∴f (x )max =f (−1)=11,所以函数的值域为[−32，11]. 故选:D3、若函数f (x )=2x+m x+1在区间上的最大值为52，则实数m =（） A ．3B ．52C ．2D ．52或3答案：B分析：函数f (x )化为f (x )=2+m−2x+1，讨论m =2，m >2和m <2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．函数f (x )=2x+m x+1，即f (x )=2+m−2x+1，x ∈[0,1]，当m =2时，f (x )=2不成立；当m −2>0，即m >2时，f (x )在递减，可得f (0)为最大值，即f (0)=0+m 1=52，解得m =52成立；当m −2<0，即m <2时，f (x )在递增，可得f (1)为最大值，即f (1)=2+m 2=52，解得m =3不成立；综上可得m =52．故选：B ．4、若函数y =f (x )在R 上单调递增，且f (2m −3)>f (−m )，则实数m 的取值范围是（）A ．(−∞,−1)B ．(−1,+∞)C ．(1,+∞)D ．(−∞,1)答案：C[]0,1[]0,1[]0,1分析：由单调性可直接得到2m −3>−m ，解不等式即可求得结果.∵f (x )在R 上单调递增，f (2m −3)>f (−m )，∴2m −3>−m ，解得：m >1，∴实数m 的取值范围为(1,+∞).故选：C.5、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.6、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（）A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2xC ．f (x )=−x 2−x +1D ．f (x )=2−3x答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对．对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对．对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对．故选：D7、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=（）A ．−3B ．−2C ．0D ．1答案：A分析：法一：根据题意赋值即可知函数f (x )的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)的值，即可解出．[方法一]：赋值加性质因为f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，令x =1,y =0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x =0可得，f (y )+f (−y )=2f (y )，即f (y )=f (−y )，所以函数f (x )为偶函数，令y =1得，f (x +1)+f (x −1)=f (x )f (1)=f (x )，即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x −1)，f (x −1)=−f (x −4)，故f (x +2)=f (x −4)，即f (x )=f (x +6)，所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cosxcosy ，可设f (x )=acosωx ，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,acosω=1，解得cosω=12，取ω=π3，所以f (x )=2cos π3x ，则 f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3xcos π3y =f (x )f (y )，所以f (x )=2cos π3x 符合条件，因此f(x)的周期T =2ππ3=6，f (0)=2,f (1)=1，且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)−2=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，从而可求出m的取值范围解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)−2=1−m，因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，解得m≤−3，所以m的取值范围为(−∞,−3]，故选：D多选题9、关于函数f(x)=xx−1，下列结论正确的是（）A．f(x)的图象过原点B．f(x)是奇函数C．f(x)在区间(1,+∞)上单调递减D．f(x)是定义域上的增函数答案：AC分析：作出f(x)=xx−1的图像，根据图像逐一判断即可.解：f(x)=xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1，将f(x)=1x 的图像向右平移一个单位，然后向上平移1个单位即可得到f(x)=xx−1，图像如下：观察图像可得A,C正确，故选:AC.小提示：思路点睛：本题考查函数的性质的判断，如果能画出函数图像，根据图像观察则快速而准确. 10、下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．f(x)=x3B．f(x)=x C．f(x)=x12D．f(x)=x−1答案：AB分析：根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.解：对于A，函数f(x)=x3的定义域为R，且f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数f(x)=x3在区间(0,+∞)上单调递增，故A正确；对于B，函数f(x)=x的定义域为R，且f(−x)=−x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，易知f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，故B正确；对于C，函数f(x)=x 12的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)为非奇非偶函数，故C错误；对于D，函数f(x)=x−1在区间(0,+∞)上单调递减，故D错误. 故选：AB.11、已知函数f(x)=2x−12x+1，下面说法正确的有（）A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的值域为(−1,1)D．∀x1,x2∈R，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立答案：BC解析：判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB，求f(x)的值域可判断C，证明f(x)的单调性可判断选项D，即可得正确选项.f(x)=2x−12x+1的定义域为R关于原点对称,f(−x)=2−x−12−x+1=(2−x−1)2x(2−x+1)2x=1−2x1+2x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，因为2x>0，所以2x+1>1，所以0<12x+1<1，−2<−22x+1<0，所以−1<1−22x+1<1，可得f(x)的值域为(−1,1)，故选项C正确；设任意的x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，因为2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2<0，所以2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0，即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故选项D不正确；故选：BC小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；（2）作差变形：即作差，即作差f(x1)−f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差f(x1)−f(x2)的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.12、我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”：（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f(x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.下列判断正确的是（）A．若f(x)为“Ω函数”，则f(0)=0B．函数g(x)={0,x∈Q1,x∉Q在[0,+∞)上是“Ω函数”C．函数g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函数”D．若f(x)为“Ω函数”，x1>x2≥0，则f(x1)≥f(x2)答案：ACD分析：根据“Ω函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“Ω函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差f(x1)−f(x2)=f((x1−x2)+x2)−f(x2)，可判断D.A选项，由（1）知f(0)≥0，由（2）得x=y=0时，f(0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0，∴f(0)=0，故A 正确；B选项，显然g(x)满足（1），若x，y∈Q，则g(x+y)=0，g(x)+g(y)=0+0=0，若x，y∉Q，设x=√2，y=√3，则g(x+y)=1，g(x)+g(y)=1+1=2，与（2）不符，故B不正确；C选项，g(x)=x2+x=x(x+1)，∵x∈[0,+∞)，∴g(x)≥0，满足（1），g(x+y)−g(x)−g(y)=(x+y)2+x+y−x2−x−y2−y=2xy≥0，满足（2），故C正确；D选项，∵x1>x2≥0，∴f(x1)−f(x2)=f((x1−x2)+x2)−f(x2)≥f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)，∵x1−x2>0，∴f(x1−x2)≥0，∴f(x1)≥f(x2)，故D正确.故选：ACD.13、已知函数f(x)=x|x|，若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，则整数t的取值可以是（）A．−1B．1C．3D．5答案：CD分析：首先判断f(x)在R上为增函数，将不等式转化为x+t≥√3x，即t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.f(x)=x|x|，当x≥0时，f(x)=x2，在[0,+∞)递增，当x≤0时，f(x)=−x2，在(−∞,0]上递增，且f(0)=0，f(x)为连续函数，所以f(x)在R上为增函数，且3f(x)=f(√3x)，由对任意的x∈[t，t+1]，不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，即f(x+t)≥f(√3x)，即x+t≥√3x，所以t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，由y=(√3−1)x在[t，t+1]上递增，可得y=(√3−1)x的最大值为(√3−1)(t+1)，即t≥(√3−1)(t+1)，解得t≥√3+1.故选：CD小提示：关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力. 填空题14、若幂函数y=(m2−m−1)x m为偶函数，则m= ________ .答案：2分析：利用幂函数和偶函数的定义即可求解.∵函数y=(m2−m−1)x m为幂函数，∴m2−m−1=1，解得m=2或m=−1，又∵y=x m为偶函数，∴m=2，所以答案是：2.15、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数；③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案：x−1（答案不唯一，符合条件即可）分析：根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)=f(x1)f(x2)，故可选，f(x)=xα,α<0,且α为奇数，所以答案是：x−116、函数y=√3−x−√2x+4的值域为_______________．答案：[−√10，√5]分析：根据函数的单调性确定最值即可.解：因为{3−x≥02x+4≥0所以−2≤x≤3，所以此函数的定义域为[−2，3]，又因为y=√3−x−√2x+4是减函数，当x=−2时y=√3−x−√2x+4取得最大值√5，当x=3时y=√3−x−√2x+4取得最小值−√10，所以值域为[−√10，√5]所以答案是：[−√10，√5]．解答题17、已知函数f(x)=x+mx，且f(1)=5．（1）求m；（2）判断并证明f(x)的奇偶性；（3）判断函数f(x)在(2,+∞)，上是单调递增还是单调递减？并证明．答案：（1）m=4；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.分析：（1）根据题意，将x=1代入函数解析式，求解即可；（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．（1）根据题意，函数f(x)=x+mx，且f(1)=5，则f(1)=1+m=5，解得m=4；（2）由（1）可知f(x)=x+4x，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又由f(−x)=−x−4x =−(x+4x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数；（3）f(x)在(2,+∞)上是单调递增函数．证明如下：设2<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)⋅x1x2−4x1x2，因为2<x1<x2，所以x1x2>4，x1−x2<0，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(2,+∞)上是单调递增函数．18、2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足P(x)=1+kx（k为正常数）．该商品的日销售量Q(x)（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①Q(x)=ax+b，②Q(x)=a|x−25|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入f(x)（1≤x≤30，x∈N∗）（元）的最小值．答案：(1)k =1(2)选择②，Q(x)=125−|x −25|，（1≤x ≤30，x ∈N ∗）(3)121元分析：（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；（2）由表中数据的变化可确定Q(x)=a|x −25|+b 描述该商品的日销售量Q(x)与时间x 的关系，代入表述数据可求得其解析式；（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以P(10)⋅Q(10)=(1+k 10)⋅110=121，解得k =1；（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:Q(x)=a|x −25|+b代入数据可得：{110=a |10−25|+b 120=a |20−25|+b，解得a =−1，b =125，所以Q(x)=125−|x −25|，（1≤x ≤30，x ∈N ∗）（3）由（2）可得，Q (x )=125−|x −25|={100+x,1≤x <25,x ∈N ∗150−x,25≤x ≤30,x ∈N ∗，所以，f (x )=P (x )⋅Q (x )={101+x +100x ,1≤x <25,x ∈N ∗149+150x−x,25≤x ≤30,x ∈N ∗，所以当1≤x <25，x ∈N ∗时，f(x)=101+x +100x 在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当x =10时，f(x)有最小值，且为121；当25≤x ≤30，x ∈N ∗时，f(x)=149+150x −x 为单调递减函数，所以当x =30时，f(x)有最小值，且为124，综上，当x =10时，f(x)有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．。