麦克斯韦玻尔兹曼分布
麦克斯韦—玻尔兹曼分布的简单推导与应用
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用来解决各种物理学问题，例如计算分子的平均速度、平均能量、热容等。它也可以用来解决化学问题，例如计算分子的碰撞率、反应速率等。
在统计物理学中，麦克斯韦-玻尔兹曼分布也被广泛应用，例如用来描述粒子的能谱、分子的能谱等。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布（Maxwell-Boltzmann distribution）是经典物理学中用来描述热力学系统中分子的运动分布的分布函பைடு நூலகம்。它是由美国物理学家约翰·麦克斯韦和奥地利物理学家爱因斯坦·玻尔兹曼共同提出的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布的公式为：
f(v)=4πnv^2e^(-mv^2/2kT)
总的来说，麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一种重要的物理学分布，它在许多方面都有广泛的应用。
84麦克斯韦玻尔兹曼分布
三、三种统计速率
1、最可几速率
•定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。 •物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率 最大。
• vP的值： df v 0
dv
vp
2kT m
2RT 1.41 M
RT M
2、平均速率
•定义：
大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。
法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进 而得到了阿伏伽德罗常数，于1922年获得了诺 贝尔物理奖。
五、重力场中等温气压公式
假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等
利用：p = nkT
可得:
n n0emgh kT n0e Mgh RT
p p0e Mgh RT p0emgh kT
每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念， 建立了经典电磁理论，预言了以光 速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世， 这是一本划时代巨著，它与牛顿时 代的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的一 个里程碑。
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
4. v2 f (v)dv N (v2 ) dN
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布
在物理学（特别是统计力学）中，麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。
这是第一次定义，并且用于描述颗粒速度在理想化的气体，其中所述颗粒的固定容器内自由移动，而不会彼此互动，除了非常简短的碰撞，其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。
在该上下文中，术语“颗粒”仅指气态颗粒（原子或分子），并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。
[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。
在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别
为：,所以能级的粒子总和为。
那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为：
通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，下面给出熵的定义：
其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。
把带进上式的：
现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低
能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即：
，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为：
得到：
我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以
把化简为：
然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式;
联立和两式的到：
化简得到为：
从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，上式就称为玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。
当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。
玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。
L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。
在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。
经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。
这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。
热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。
他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。
他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。
在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。
在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。
当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。
粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。
分布取决于系统温度和颗粒质量。
Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
第四章麦克斯韦波尔兹曼分布律
x
又
dI p m ni v ix 2 dAdt i
_____ 2 x
v
n1v1 x 2 n2 v 2 x 2 n1 n2
2 n v i ix i
表示vx2对所有 分子求平均值
p mn v
_____ 2 x
在平衡态时 v
v
_____ 2 x _____ 2 y
right :
整理可得
f (v 2 ) df (v 2 ) v 2 df (v 2 ) 2v x 2 v x dv v x dv 2
df (v 2 ) df (v x ) f (v y )f (v z ) 2 dv 2v x dv x
df (v x ) = f (v y )f (v z ) 2 dv x
若 f (v ) 已知，可求得分布任一区间内 v1 v2 的分子 数△N占总分子数的比率，即
v2 N f (v )dv v1 N
计算过程中的积分问题－误差函数（详见课本P127~128） vz
三、麦克斯韦速率分布律
由速度直角坐标系中，如图，分 子热运动速度出现在速度 v 空间 体积元 dv内的概率为
(v x 2 v y 2 v z 2 )
分布函数必满足归一化条件，即
f (v x ,v y ,v z )dv x dv y dv z 1
可得
32 C ( ) 3 2 (v f (v )=f (v x ,v y ,v z )=( ) e 32 v ( ) e
在速度区间 v ~ v dv ,
其中dv dv x dv y dv z
高二物理竞赛课件：麦克斯韦–玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒子按高度的分布(14张PPT)
10-6…… 50 ……
若超过了容器的线度 l, >> l ----真空。 在这种情况下,可以认为 l 。
12 返回 退出
例 已知： O2，d 3.6×10-10m， T = 273K、 p = 1atm
求： z ? ?
解： v 8RT 425m/s
πM
n p 2.691025 /m3 kT
0
m0 2π kT
3
2 m0v2
e 2kT
4π
v2dv
1
可得：
Ep
dNB n0e kT dxdydz
玻耳兹曼分布律
上式表示位置处于 x x+dx, y y+dy, z z+dz 内 的分子数(包括各种速度的分子)。
返回 退出
二、重力场中粒子按高度的分布
Ep
dNB n0e kT dxdydz
z u n π d 2nu
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
1 返回 退出
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
1
2 πd 2n
O2
1.94
3.19 1013 4.62 1012
N2
1.39
CO2
1.45
5.45 1012 5.34 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
返回 退出
ln P g h
P0
RT
P
gh
e RT
P0
RT P h ln
g P0
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布
什么是玻尔兹曼分布？
麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
玻尔兹曼分布的应用：
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。
它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。
如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
O
v p
v
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一温度下不同种气体速率分布比较
大时， v 的统计平均值可表示为
Nivi
v i N
因为速率连续分布， 所以有
v 0 vdNv N
关于 v 的任意函数 g(v) 在 v1 v2 速率区间的统计平均值为
v2 g(v)dN v2 g(v) f (v)dv
g(v) v1 v2 dN v1 v2 f (v)dv
麦克斯韦
3
f
(v)
4
m
2k T
2
e mv2
v ( 2kT ) 2
T ——热力学温度
m ——单个分子的质量
k ——玻尔兹曼常量
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
v
p
v
v
p
vp 100
v
p
vp 100
vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率
分布律改写成如下简单形式：
麦克斯韦波尔茨曼分布定律
麦克斯韦波尔茨曼分布定律麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个基本定律，用于描述粒子在热平衡态下能量分布的概率。
该定律是从统计力学的角度推导出来的，可以用来解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律是描述粒子速度分布的定律之一。
它指出，在热平衡状态下，理想气体中的粒子速度分布服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
这个分布的特点是，速度较小的粒子数目多，速度较大的粒子数目少，呈现出“钟形曲线”的形状。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的推导过程相对复杂，涉及到统计力学的相关知识。
但是我们可以从直观的角度来理解这个分布定律。
首先，我们知道在一个封闭的系统中，粒子的速度是随机的，存在着各种不同的速度。
其次，由于热运动的存在，粒子的速度会在一定范围内变化，即存在一定的速度分布。
最后，根据统计力学的理论，证明了这个分布的概率密度函数是一个关于速度的二次函数，也就是麦克斯韦波尔茨曼分布定律。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律可以用来解释一些重要的物理现象。
首先是气体分子的速度分布。
根据这个定律，我们可以知道在热平衡状态下，气体分子的速度分布是呈现出一定规律性的。
速度较小的分子数目多，速度较大的分子数目少，符合高斯分布的特点。
这也就解释了为什么我们观察到的气体分子速度分布呈现出“钟形曲线”的形状。
其次是能量分布。
根据麦克斯韦波尔茨曼分布定律，粒子的能量分布也是符合一定规律的。
能量较低的粒子数目多，能量较高的粒子数目少。
这个定律的应用非常广泛，可以用来解释气体的热力学性质，如内能、压强等。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的应用不仅限于理想气体，还可以推广到其他粒子系统。
例如，可以用来描述固体晶格中的声子的能量分布，以及等离子体中电子的能量分布等。
在这些系统中，粒子的速度分布和能量分布也会服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
总结起来，麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个重要定律，用于描述粒子在热平衡状态下的速度分布和能量分布。
它的应用范围广泛，可以解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.
相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p
0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m
3 2
e
mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
信息学院 物理教研室
例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
麦克斯韦分布
热学的宏观理论是热力学，热学的微观理论是 气体动理论，它指出了热现象的本质是大量分 子的热运动。
气体分子动理论是统计物理学的一部分，它是 从统计的观点出发，去研究气体热现象的一门 微观理论。
•阿伏伽德罗引入“分子”概念
•克劳修斯提出了理想气体分子运动模型 、引进统计概念推导理想气体压强公式
气体动理论的建立
1、理想气体分子运动模型
2、理想气体压强、 温度公式
3、麦克斯韦速率分布律 理想气体分子运动模型
理想气体的温度 动能 Kinetic energy
t
1 mv2 2
3 kT 2
温度的微观解释
热平衡的微观解释
• 温度表示分子热运动的激烈程度
• 温度只对系统而言，对一个分子无意义
麦克斯韦速度、速率分布——从抛硬币得出的规律
P 1 N
信息量I ：
I
log2 N
1 ln2
lnN
信息量也可表示为： I 1 lnN 1 ln 1 1 lnP
ln2
ln2 P ln2
S k lnP
k 1 ln2
Shannon把信息量 I 视为信息熵 S
变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚 所需要的信息量也就越大。
一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一 个系统越是混乱，信息熵就越高。
所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一 个度量。
熵与信息的联系
若N种可能性的概率不一样，第 i 种可能性出现的概率为Pi，
N
定义信息熵为： S K Pi ln Pi i 1
实例：天气预报 明天下雨概率为P1 =0.80, 不下雨概率为P2 =0.20
信息熵为：
w8-5麦克斯韦—玻尔兹曼分布(M—B分布)
i 2
2
s=0
kT
3. 理想气体的内能 平均平动动能
t 2
r 2 s 2 kT kT
kT
1）平均总动能
k
1 2 ( t r s ) kT i 2 kT
平均转动动能
平均振动动能
2） 理想气体内能：（分子数 N） E
分子动能：
N N i 2 s 2 kT kT
M i
T 一定, m
vp
2 kT m
f(v)
m2> m1 m1
曲线峰值左移，总面积不 变，曲线变尖锐。
O
vp2
vp1
v
T一定
3.分子速率的三种统计平均值
一般情况：
M
M dw
g (v )
g (v ) f (v )dv
0
1） 平均速率
v
vf ( v ) d v
0
8 kT
2
RT
1 2
原子振动势能：
单原子分子 E
N ( t r 2 s ) kT
M 3
2
RT
刚性双原子分子 E
E M
M 5
2
RT
刚性多原子分子
3 RT
§8.5 麦克斯韦分子速率分布定律
重点：将M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律
一、麦克斯韦分子速率分布定律
条件： 理想气体，平衡态（热动平衡）
同学们好！
上节小结 1.自由度 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数 总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由度
itrs
麦克斯韦-玻耳兹曼分布PPT课件
解： v ( 1 / 2)h
gv 1
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) q
N e
(v 0 ) kT
N0
0, 1, 2,
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
Nj / N
粒子处于j 能级的概率
gj越大，Nj /N越大
j越大，Nj /N越小
N j
N g je j /(kT ) g e i /(kT )
ii
N g je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
上述系统中 麦玻分布 = 最概然分布 = 平衡分布
g je j /kT 玻耳兹曼因子 与平衡时系统中能量为j 的分子数成正比
求取未定乘数 和
ln
gj Nj
j
0
N j g jee j
N
j N j e
j g je j
e N
j g je j
玻耳兹曼常数
kR L
E
j N j j N
g e j
j jj
j g je j
1 / (kT )
麦克斯韦–玻尔兹曼分布
e N
j g je j
N j gie e j
N!
(
gNj j
)
j N j!
ln = lnN! j N jlng j j lnN j!
斯特林近似式 N 1时，ln N ! N ln N N
N!
2 N N N
exp(
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布Maxwell-Boltzmann分布是一种概率分布，在物理和化学中都有应用。
最常见的应用是统计力学领域。
任何（宏观）物理系统的温度都是组成系统的分子和原子运动的结果。
这些粒子具有不同的速度范围，并且任何单个粒子的速度由于与其他粒子的碰撞而不断变化。
但是，对于大量粒子，如果系统处于或接近于平衡状态，则在一定速度范围内的粒子比例几乎不变。
Maxwell-Boltzmann分布针对任何速度范围指定了该比率，该比率是系统温度的函数。
它以James Clark Maxwell和Ludwig Boltzmann的名字命名。
Maxwell-Boltzmann分布构成了分子动力学理论的基础。
它解释了许多基本气体性质，包括压力和扩散。
Maxwell-Boltzmann分布通常是指气体中分子速度的分布，但也可以指分子的速度，动量和动量的分布。
每个都有不同的概率分布函数，并且它们都是相关的。
一起。
Maxwell-Boltzmann分布可以使用统计力学方法得出（请参阅Maxwell-Boltzmann统计数据）。
它对应于由大量非相互作用粒子组成的基于碰撞的系统中最可能的速度分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用通常很小，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布提供了非常好的气体状态近似值。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别是对于电子，复合和碰撞激发（即辐射过程）很重要。
如果在这种情况下应用Maxwell-Boltzmann分布，将会得到错误的结果。
Maxwell-Boltzmann分布不适用的另一种情况是，当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于明显的量子效应，无法使用Maxwell-Boltzmann 分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布无法预测分子速度大于光速的概率为零。
26麦克斯韦速率分布率玻尔兹曼分布定律
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率 全部分子速率之和 分子总数
v
vdN
0
1
v Nf (v)dv
N
N0
v v f (v)dv
8kT 1.59
RT
0
π
M
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
k
R N0
8.31 6.022 1023
1.381023 J/K
减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。
p nkT
gh
n0kTe kT
gh
p0e kT
式中 p0 是高度为零处的压强
(等温气压公式)
例 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压 约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面 上大气压按1.013×105 Pa 计，温度取273K）。
间内分子数的比率为 dN N
单位速率区间内分子数的比率称为速率分布函数
f (v) dN Ndv
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总
分子数的比率。
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置 2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
麦克斯韦-玻耳兹曼分布Maxwe...
麦克斯韦-玻耳兹曼分布Maxwe...1)Maxwell-Boltzmann distribution 麦克斯韦-玻耳兹曼分布2)microphone 麦克风1.A design is proposed for an all-fiber microphone which utilizes optical interference to sense the sound-induced motion of a thin diaphragm. 设计了一种新型的全光纤干涉型型麦克风。
3)McHarg 麦克哈格4)Maxwell 麦克斯韦1.Relation between Maxwell′s Theory and Relativity,and its Application in Electromagi ... ; 狭义相对论与麦克斯韦电磁理论的关系及其在电磁学中的应用2.On the Historic Position of Maxwell in the Development of the Cavendish Experimental Laboratory; 论麦克斯韦在卡文迪什实验室发展中的历史地位3.Maxwell and the Advancement of Physics; 麦克斯韦与物理学的发展5)marker drawing 麦克笔画1.The product design drawing methods mainly include the pale color painting,gouache,watercolor picture,color powder picture,marker drawing and the puter aided design. 产品设计绘画 ... 主要包括淡彩画、水粉画、色粉画、麦克笔画和计算机辅助设计。
6)MIEX “麦克氏”1.MIEX magic ion exchange water trea tment technology; “麦克氏”离子置换水处理技术补充资料：麦克斯韦－玻耳兹曼分布律全同粒子在平衡态的统计分布律。
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m ——分子的质量 T ——热力学温度 k ——玻耳兹曼常量
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3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
麦克斯韦速 率分布曲线
f (v)
面积= dN/N
f (v)
o dv
v
曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速 率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N 。
•定义：
大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。
•计算：
v＝ Nivi Nivi
Ni
N
v vdN
N
dN Nf (v)dv
v
vdN N
＝
vNf (v)dv N
vf
(v)dv
v 8kT 8RT 1.60 RT
m M
M
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3、方均根速率
•定义：
大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。
通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过
圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能
通过S达到D
l v
v l
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3、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
v1
N (v1 )
v1 ~ v2 内的分子数。
6.0 f (v)dv 1 7. v2 f (v)dv v2
0
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区间 内的分子数占总分子数的比率。 （ 归一化条件）
—— v2 的平均值。
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四、玻尔兹曼能量分布律
麦克斯韦速度分布函数
3
dN v xv yvz N
m
2kT
2
e m
v
2 x
v
2 y
v
2 z
2kT dv xdv ydvz
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念， 建立了经典电磁理论，预言了以光 速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世， 这是一本划时代巨著，它与牛顿时 代的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的一 个里程碑。
N
0
dN N
0
f vdv
1
归一化条件
速率分布曲线
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2、麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，
分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数
的比率为
3
dN v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2dv
N
2kT
麦克斯韦速率分布函数
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
•都含有统计的平均意义，反映 大量分子作热运动的统计规律。
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说明下列各量的物理意义：
1. f (v)dv
2.Nf (v)dv
3.nf (v)dv
4. v2 f (v )dv v1
5. v2 Nf (v)dv v1
6.0 f (v)dv
7. v 2 f (v)dv 0 第15页/共25页
dN f (v)dv N
速率分布函数
f (v) dN Ndv
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物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总 分子数的概率，或概率密度。
f (v)dv dN N
N ＝ v2 f (v)dv N
v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
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二、麦克斯韦气体分子速率分布律
1、速率分布函数
速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在 某区间 v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此 区间内的分子数占总分子数的比率。
实验规律：
•dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小成正比。
T2 T1
T2
T1
f (v)
m
1
m1 m2
o vP1 vP2
v
m2
o vP1 vP2
v
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•三种速率的大小顺序为
v p v vrms
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•三种速率的意义 •讨论速率分布时——用最 概然速率 •讨论分子碰撞时——用平 均速率 •讨论分子平均平动动能 时——用方均根速率
•在气体动理论方面，他还提出气体 分子按速率分布的统计规律。
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一、测定气体分子速率的实验 1、实验装置
O——蒸汽源 S ——分子束射出方向孔 R ——长为 l 、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒 D ——检测器，测定通过细槽的分子射线强度
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2、实验原理
当圆盘以角速度ω转动时，每转动一周，分子射线
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三、三种统计速率
1、最可几速率
•定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。
•物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率 最大。
• vP的值： df v 0
dv
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
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2、平均速率
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
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4. v2 f (v)dv N (v2 ) dN
v1
N N (v1 )
—— 分布在有限速率区间 v1 ~ v2 内的分子数占总分 子数的比率。
5. v2 Nf (v)dv N (v2 ) dN —— 分布在有限速率区间
解：
f (v) d N
N dv
1. f (v)dv dN N
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
•计算：
v2
N ivi2
N ivi2
Ni
N
v2dN v2 Nf (v)dv
v2
v2 f (v)dv
N
N
vrms
v2
3kT m
3RT 1.73 RT
M
M
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4、讨论
2kT 2RT
RT
vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
1.41
M
M
•vp 随 T 升高而增大， 随m 增大而减小。
f (v)