大学物理难题集
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1、质量为m的小球可沿半径为r的圆形环轨道运动，环面为
水平面。小球带有固定的正电荷q。设在以环形轨道为其截
面的柱体内有均匀的随时间t变化的磁场，磁感应强度B的方
向 垂 直 于 环 面 。 已 知 t=0 时 ， B=0 ， 小 球 静 止 于 环 上 ；
0<t<T时，B随时间t线性增长；t=T时，B=B0。设重力和
a
y
x2
2a
dxk
精品PPT
dB
0 I 4r 3
a
ydxk
r 2 x 2 (a y)2 x 2 4ay
r 2 (a y)2
a y
1
1
r3
(a y)2
a
2
1
x
2
2
2a
0 r
d x
a
(x) Dx
U h
0 r
d x
a
导体板上X到x+dx窄条上的电量为
dQ ( x)dS
U h
Βιβλιοθήκη Baidu
0 r bdx
d x
a
a
Q ( x)dS 0
U h
0 r bdx
d x
a
0
r
bU
a h
ln
d
d
h
精品PPT
C
Q U
0
r
b
a ln h
d
d
h
若 ln d h h
t2
2
2
带电质点由x=2d运动到x=0过程中所需的时间为
arctan 2
t t2 t1 2
2 0m q
2.03 0m q
精品PPT
5、两块长为a宽为b的平行导体板在制成电容器时稍有偏?,使 两对宽度一过相距d,另一宽过相距为d+h,且h<<d.若此电容 器内充满了相对介电常数为r 的电介质,试求电容器的电容.
R
2
1
0
2L LC
C 160F
应再并联的电容为 C 160 10 150F
精品PPT
4、在-d<x<d的空间区域内，电荷密度>0为常数，其它区 域均为真空。若在x=2d处将质量为m,电量为q（<0）的带 电质点自静止释放。试问经过多少时间它能到达x=0的位置。
d
0
d
x
x
解、由高斯定理可得电场分布
0
时电路处于临阻尼状态;
当
R 2L
2
1 LC
0
时电路处于阻尼振荡状态;
由题目所给数据，有
R 2L
2
1 LC
0
,所以电路处于阻尼振荡状态;
（2）设电路处于临界阻尼状态时的总电阻为R’，则
R
2
1
0
2L LC
R 400 应再串联的电阻为100
精品PPT
设电路处于临界阻尼状态时的总容为C’，则
简谐振动的初始条件为
k q
m
0m
x0 d Acos
V0 V1 A sin tan V0 2
x0
q 0m
cos 0 初相位在第一象限
精品PPT
带电质点由x=d运动到x=0过程中,所需的时间为满足方程
x(t2 ) Acos(t2 ) 0
t 2
2
arctan 2
d
E
0 E x
0
xd
d xd
精品PPT
带电质点由x=2d运动到x=d过程中
d
a q
m 0
方向向左
t1
2d a
2 0m q
t1
2d a
2 0m q
带电质点由x=d运动到x=0过程中
q
F qE x kx
k q 0 0
精品PPT
带电质点在线性恢复力作用下作简谐振动
x Acos(t )
dd
C 0 r ba
d
若
ln
d
h
h
1
h 2
d d 2d
C 0 r ba 1 h
d 2d
电容的一级近似
精品PPT
6、抛物线形状的无穷长导线载有电流I.若焦点到顶点的距离 为a.试求焦点处的磁感应强度B.
y
Idl
P a x
解:抛物线方程 x 2 2 py
a p 2
x 2 4ay
V
at t
qB0 r 2Tm
t
精品PPT
FL
r
B(t)
F qE
N
V
at t
qB0 r 2Tm
t
小球受的磁场力指向圆心
FL
BqV
q 2 B02r 2T 2m
t2
圆环对小球的法向支持力为N，则
FL
N
V2 m
r
N q 2 B02r t 2 4T 2m
FL
r
B(t)
F qE
N
精品PPT
a dh
l(x)
0 d a
o
x
解:两块间的等势面是一系列不同.对应的平面,而电场线则是一系列以o 点为中心的圆弧线,每条线上的电场强度大小近似相同.不同圆弧线上的电 场强度不同.
l(x)
(a
x) 0
d
h a
x
U
U
E(x)
l(x) d h x
精品PPT
a
D( x) 0 r E( x)
U h
摩擦力可忽略。试求：在0<t<T时间内小球运动状态及小球
对轨道的作用力。
F qE
N
FL
r
B(t)
精品PPT
解、在0<t<T时间内
B(t )
B0
t
T
在环上产生的感生电场为
E2r d d(Br 2 )
dt
dt
E B0r 2T
感生电场力产生的切向加速度为
at
qE m
qB0 r 2Tm
解、（1）这是一个RCL串联的放电电路，电路的微分方程为
d 2q R dq q
0
dt 2 L dt LC
上述微分方程的特征方程为
P2 R P 1 0 L LC
P R R 2 1 L 2L LC
当
R 2L
2
1 LC
0
时电路处于过阻尼状态;
精品PPT
当
R 2L
2
1 LC
精品PPT
x 2 4ay
dB
0 I 4 r 3
dl r
r xi ( y a) j
dl dxi dyj
dB
0 I
(dxi dyj )
xi ( y a) j
4r 3
0 I
dx( y a)k xdyk
4r 3
0 I 4r 3
a
y
x
dy dx
dxk
0 I 4r 3
2、半径为1cm的两根足够长的平行导线相距20cm,在两导线 中有20A的方向相反 的电流。（1）若将两导线分开到40cm, 试求磁场对单位长度导线所作的功。（2）分开两导线时， 单位长度的磁能改变了多少？增加还是减少？说明能量的来 源或去向。
解、（1）当两导线分开到相距40cm时，磁场对单位
导线作的功为
A
0.4
Il
0 I
dr
0I 2l
5.5 105 J
0.2 2r
2
（2）单位长度导线的磁能改变可由自感磁能的改变求得
L1
0l
ln
d1 a
L2
0l
ln
d2 a
W
1 2
L2 I 2
1 2
L1 I 2
5.5 105 J
能量的来源电源做功 精品PPT
3、把10F的电容器充电充到100V,再通过100的电阻和0.4H的电感串 联放电。试问：（1）此时电路处理于什么状态？（2）为使电路处理于 临界阻尼状态，应再串联或并联一个多大的电阻？或者应再串联或并联 一个多大的电容？
水平面。小球带有固定的正电荷q。设在以环形轨道为其截
面的柱体内有均匀的随时间t变化的磁场，磁感应强度B的方
向 垂 直 于 环 面 。 已 知 t=0 时 ， B=0 ， 小 球 静 止 于 环 上 ；
0<t<T时，B随时间t线性增长；t=T时，B=B0。设重力和
a
y
x2
2a
dxk
精品PPT
dB
0 I 4r 3
a
ydxk
r 2 x 2 (a y)2 x 2 4ay
r 2 (a y)2
a y
1
1
r3
(a y)2
a
2
1
x
2
2
2a
0 r
d x
a
(x) Dx
U h
0 r
d x
a
导体板上X到x+dx窄条上的电量为
dQ ( x)dS
U h
Βιβλιοθήκη Baidu
0 r bdx
d x
a
a
Q ( x)dS 0
U h
0 r bdx
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a
0
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ln
d
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精品PPT
C
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0
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b
a ln h
d
d
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若 ln d h h
t2
2
2
带电质点由x=2d运动到x=0过程中所需的时间为
arctan 2
t t2 t1 2
2 0m q
2.03 0m q
精品PPT
5、两块长为a宽为b的平行导体板在制成电容器时稍有偏?,使 两对宽度一过相距d,另一宽过相距为d+h,且h<<d.若此电容 器内充满了相对介电常数为r 的电介质,试求电容器的电容.
R
2
1
0
2L LC
C 160F
应再并联的电容为 C 160 10 150F
精品PPT
4、在-d<x<d的空间区域内，电荷密度>0为常数，其它区 域均为真空。若在x=2d处将质量为m,电量为q（<0）的带 电质点自静止释放。试问经过多少时间它能到达x=0的位置。
d
0
d
x
x
解、由高斯定理可得电场分布
0
时电路处于临阻尼状态;
当
R 2L
2
1 LC
0
时电路处于阻尼振荡状态;
由题目所给数据，有
R 2L
2
1 LC
0
,所以电路处于阻尼振荡状态;
（2）设电路处于临界阻尼状态时的总电阻为R’，则
R
2
1
0
2L LC
R 400 应再串联的电阻为100
精品PPT
设电路处于临界阻尼状态时的总容为C’，则
简谐振动的初始条件为
k q
m
0m
x0 d Acos
V0 V1 A sin tan V0 2
x0
q 0m
cos 0 初相位在第一象限
精品PPT
带电质点由x=d运动到x=0过程中,所需的时间为满足方程
x(t2 ) Acos(t2 ) 0
t 2
2
arctan 2
d
E
0 E x
0
xd
d xd
精品PPT
带电质点由x=2d运动到x=d过程中
d
a q
m 0
方向向左
t1
2d a
2 0m q
t1
2d a
2 0m q
带电质点由x=d运动到x=0过程中
q
F qE x kx
k q 0 0
精品PPT
带电质点在线性恢复力作用下作简谐振动
x Acos(t )
dd
C 0 r ba
d
若
ln
d
h
h
1
h 2
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C 0 r ba 1 h
d 2d
电容的一级近似
精品PPT
6、抛物线形状的无穷长导线载有电流I.若焦点到顶点的距离 为a.试求焦点处的磁感应强度B.
y
Idl
P a x
解:抛物线方程 x 2 2 py
a p 2
x 2 4ay
V
at t
qB0 r 2Tm
t
精品PPT
FL
r
B(t)
F qE
N
V
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qB0 r 2Tm
t
小球受的磁场力指向圆心
FL
BqV
q 2 B02r 2T 2m
t2
圆环对小球的法向支持力为N，则
FL
N
V2 m
r
N q 2 B02r t 2 4T 2m
FL
r
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F qE
N
精品PPT
a dh
l(x)
0 d a
o
x
解:两块间的等势面是一系列不同.对应的平面,而电场线则是一系列以o 点为中心的圆弧线,每条线上的电场强度大小近似相同.不同圆弧线上的电 场强度不同.
l(x)
(a
x) 0
d
h a
x
U
U
E(x)
l(x) d h x
精品PPT
a
D( x) 0 r E( x)
U h
摩擦力可忽略。试求：在0<t<T时间内小球运动状态及小球
对轨道的作用力。
F qE
N
FL
r
B(t)
精品PPT
解、在0<t<T时间内
B(t )
B0
t
T
在环上产生的感生电场为
E2r d d(Br 2 )
dt
dt
E B0r 2T
感生电场力产生的切向加速度为
at
qE m
qB0 r 2Tm
解、（1）这是一个RCL串联的放电电路，电路的微分方程为
d 2q R dq q
0
dt 2 L dt LC
上述微分方程的特征方程为
P2 R P 1 0 L LC
P R R 2 1 L 2L LC
当
R 2L
2
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0
时电路处于过阻尼状态;
精品PPT
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R 2L
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dB
0 I 4 r 3
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y
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2、半径为1cm的两根足够长的平行导线相距20cm,在两导线 中有20A的方向相反 的电流。（1）若将两导线分开到40cm, 试求磁场对单位长度导线所作的功。（2）分开两导线时， 单位长度的磁能改变了多少？增加还是减少？说明能量的来 源或去向。
解、（1）当两导线分开到相距40cm时，磁场对单位
导线作的功为
A
0.4
Il
0 I
dr
0I 2l
5.5 105 J
0.2 2r
2
（2）单位长度导线的磁能改变可由自感磁能的改变求得
L1
0l
ln
d1 a
L2
0l
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d2 a
W
1 2
L2 I 2
1 2
L1 I 2
5.5 105 J
能量的来源电源做功 精品PPT
3、把10F的电容器充电充到100V,再通过100的电阻和0.4H的电感串 联放电。试问：（1）此时电路处理于什么状态？（2）为使电路处理于 临界阻尼状态，应再串联或并联一个多大的电阻？或者应再串联或并联 一个多大的电容？