西南大学 高等代数第一次作业参考答案
高等代数(一)试题及参考答案汇编
高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ） 三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100200100D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分） 2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
西南大学2014年春《高中数学课程标准导读》作业及答案(已整理)(共4次)
西南大学2014年春《高中数学课程标准导读》作业及答案(已整理)第一次作业1：[填空题]（3）简述数学在现代社会发展中的地位和作用。
参考答案：答：纵观近代科学技术的发展，可以看到数学科学是使科学技术取得重大进展的一个重要因素，同时它提出了大量的富有创造性并卓有成效的思想。
本世纪的数学成就，可以归入数学史上最深刻的成就之列，它们已经成为我们这个工业技术时代发展的基础。
数学科学的这些发展，已经超出了它们许多实际应用的范围，而可载入人类伟大的智力成就的史册。
数学科学是集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一身的一门科学。
这个领域已被称作模式的科学。
其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
无论是探讨心脏中的血液流动这种实际的问题还是由于探讨数论中各种形态的抽象问题的推动，数学科学家都力图寻找各种模型来描述它们，把它们联系起来，并从它们作出各种推断。
部分地说，数学探讨的目的是追求简单性，力求从各种模型提炼出它们的本质。
2：[填空题]（2）谈谈你自己对于我国数学课程教学"双基”的认识。
参考答案：答：《普通高中数学课程标准（实验）》要求：一方面保持我国重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。
另一方面，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的"双基”。
例如，高中数学课程增加"算法”内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能。
同时，应删减烦琐的计算、人为的技巧化难题和过分强调细枝末节的内容，克服"双基”异化的倾向。
强调数学的本质，注意适度形式化。
数学课程教学中，需要学习严格的、形式化的逻辑推理方式。
但是数学教学，不仅限于形式化数学，学生还必须接触到生动活泼、灵活多变的数学思维过程。
要让学生追寻数学发展的历史足迹，体念数学的形成过程和数学中的思想方法。
(0158)《高等代数》西南大学21年6月限时资料
西南大学培训与继续教育学院课程一、填空题(本大题共8小题，每道题2.0分，共16.0分)1.设2阶矩阵。
42.设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则A的行列式等于。
63.设。
4.2阶行列式 。
65.设A为3阶矩阵，则A的特征多项式的次数是。
36.设。
27.5级排列23145的逆序数= 。
28.设W是3维线性空间，若V与W同构，那么V的维数等于。
3二、判断题(本大题共8小题，每道题2.0分，共16.0分)1.对任意实数a，向量(a,0,1)与向量(-1,1,a)都是线性无关的.对错2.在欧氏空间中，如果两个非零向量正交，那么它们线性无关。
对错3.若两个向量组的秩相等，则这两个向量组一定等价.对错4.数域P上n阶方阵在初等行变换之下行列式的值不变.对错5.A为n阶方阵，若A的行列式不等于0，则A一定可逆。
对错6.与对称矩阵合同的矩阵一定是对称矩阵。
对错7.一个3次实系数多项式至少有一个实根。
对错8.数域P上任何非零多项式的次数都大于零.对错三、计算题(本大题共4小题，每道题15.0分，共60.0分)1.在数域P上3维线性空间中，求由基到基的过渡矩阵。
2.设3.设4.计算行列式。
四、证明题(本大题共1小题，每道题8.0分，共8.0分)1.设A为n阶矩阵，证明为对称矩阵，其中为A的转置矩阵。
高等代数上册习题集答案
高等代数上册习题集答案高等代数是数学中的一门重要课程，它涉及到代数结构、线性代数、向量空间等概念和理论。
学习高等代数需要掌握一定的数学基础和逻辑思维能力，而习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为高等代数上册习题集提供一些答案和解析，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
一、代数结构1. 什么是代数结构？代数结构是指在一个集合上定义了一种或多种运算，并满足一定的性质。
常见的代数结构有群、环、域等。
群是指一个集合上定义了一种运算，并满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
环是指一个集合上定义了两种运算，并满足封闭性、结合律、分配律等性质。
域是指一个集合上定义了两种运算，并满足封闭性、结合律、分配律以及存在加法单位元和乘法单位元等性质。
2. 什么是子群？子群是指一个群的非空子集，且在该子集上定义的运算仍然满足群的性质。
子群必须满足封闭性、单位元和逆元等性质。
例如，对于整数集合Z，假设A是Z的子集，如果A在整数加法运算下封闭，并且包含0和每个元素的负元素，则A是Z的子群。
3. 什么是同态映射？同态映射是指两个代数结构之间的映射，保持运算结构不变。
具体来说，如果存在两个代数结构A和B，定义了运算*和'，并且存在一个映射f：A→B，对于A中的任意元素a和b，有f(a*b) = f(a)'f(b)，则称f为从A到B的同态映射。
同态映射可以保持代数结构之间的某些性质，例如同态映射可以保持群的单位元、逆元等性质。
二、线性代数1. 什么是向量空间？向量空间是指一个集合V，其中定义了向量的加法和数乘运算，并满足一定的性质。
具体来说，对于向量空间V中的任意向量u、v和w，以及任意标量a和b，满足以下性质：- 加法交换律：u + v = v + u- 加法结合律：(u + v) + w = u + (v + w)- 存在零向量：存在一个零向量0，使得u + 0 = u- 存在相反向量：对于任意向量u，存在一个相反向量-v，使得u + (-v) = 0- 数乘结合律：a(bu) = (ab)u- 数乘分配律：(a + b)u = au + bu- 数乘分配律：a(u + v) = au + av- 存在单位向量：存在一个单位向量1，使得1u = u2. 什么是线性相关和线性无关？线性相关是指向量组中存在一组不全为零的系数使得线性组合等于零向量。
西南大学高等数学教材答案
西南大学高等数学教材答案1. 第一章1.1 函数与极限在高等数学教材中，第一章通常介绍函数与极限的概念。
函数是研究数学问题的基本工具之一，它描述了自变量与因变量之间的关系。
极限是衡量函数在某点附近的变化趋势的概念。
1.1.1 函数的定义与性质函数的定义包括定义域、值域以及函数值的计算方法。
在教材中，会介绍如何通过图像和解析式来描述函数，并讨论一元函数与多元函数的特性。
1.1.2 极限的概念与运算法则极限是研究函数变化趋势的重要工具。
教材中会介绍极限的定义、性质以及相关的运算法则。
通过极限的运算法则，可以简化复杂函数的计算过程。
1.2 导数与微分导数与微分是高等数学中的关键概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，微分则是导数的几何意义。
1.2.1 导数的定义与计算方法教材中会详细介绍导数的定义以及计算方法，包括通过导数的定义式和基本导数法则来求解导数。
此外，还会讨论常见函数的导数计算方法。
1.2.2 微分的定义与应用微分是导数的几何意义，描述了函数在某点附近的变化情况。
在教材中，会介绍微分的定义、性质以及微分的应用，例如近似计算和最值问题等。
2. 第二章2.1 不定积分不定积分是高等数学中的重要概念，其定义和应用十分广泛。
通过不定积分，可以求解函数的原函数和确定积分的结果。
2.1.1 不定积分的定义与计算方法教材中会详细介绍不定积分的定义以及常见函数的不定积分计算方法，包括基本积分法则、换元积分法和分部积分法等。
2.1.2 特殊函数的不定积分在教材中，会介绍一些特殊函数的不定积分，如三角函数、指数函数和对数函数等。
这些特殊函数的不定积分是解决复杂函数积分问题的基础。
2.2 定积分与其应用定积分是对函数在一定区间上的求和过程，并具有面积、物理量和概率等应用。
通过定积分，可以求解曲线下面积、物理问题中的总量以及统计学中的概率等。
2.2.1 定积分的定义与计算方法教材中会详细介绍定积分的定义以及计算方法，包括积分上限和下限的确定，以及基本积分法则在定积分中的应用。
高等代数(上)_习题集(含答案)
《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。
4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21Λ是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j Λ21的逆序数为k ，则排列11j j j n n Λ-的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。
16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21Λ是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。
高等代数习题解答(第一章)
高等代数习题解答第一章 多项式补充题1．当,,a b c 取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++2(2)c x x +-+相等？提示：比较系数得6136,,555a b c =-=-=.补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈，2232()()()f x xg x x h x =+，证明：()()()0f x g x h x ===．证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ∂为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ∂+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ∂为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===．1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3-3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法．由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，所以商q (x )必是首项系数为13的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设q (x ) =13x +a ,r (x ) =bx +c根据 f (x ) = q (x )g (x )+r (x )，即x 3-3x 2 -x -1= (13x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得2333a -=-,1123a b -=-++,1a c -=+解得79a =- , 269b =- , 29c =- ，故得17(),39q x x =-262().99r x x =--解法二 带余除法．3 -2 1 1 -3 -1 -11379- 1 23-1373-43- -1 73-14979- 269-29- 得17(),39q x x =-262().99r x x =--2）2()1,()57.q x x x r x x =+-=-+262().99r x x =-- 2．,,m p q 适合什么条件时，有 1）231;x mx x px q +-++ 2）2421.x mx x px q ++++1）解 21x mx +-除3x px q ++得余式为：2()(1)()r x p m x q m =+++-，令()0r x =，即 210;0.p m q m ⎧++=⎨-=⎩故231x mx x px q +-++的充要条件是2;10.m q p m =⎧⎨++=⎩ 2）解 21x mx ++除42x px q ++得余式为：22()(2)(1)r x m p m x q p m =-+-+--+，令()0r x =，即 22(2)0;10.m p m q p m ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩ 解得2421x mx x px q ++++的充要条件是0;1m p q =⎧⎨=+⎩ 或 21;2.q p m =⎧⎨=-⎩ 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x ： 1）53()258,()3;f x x x x g x x =--=+ 2）32(),()12.f x x x x g x x i =--=-+ 1）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -3 2 0 -5 0 -8 0 + -6 18 -39 117 -327 2 -6 13 -39 109 -327 所以432()261339109,()327.q x x x x x r x =-+-+=-2）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：()f x1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i 1 -2i -5-2i -9+8i 所以2()2(52),()98.q x x ix i r x i =--+=-+4．把()f x 表成0x x -的方幂和，即表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式：1）50(),1;f x x x ==2）420()23,2;f x x x x =-+=-3）4320()2(1)37,.f x x ix i x x i x i =--+-++=- 注 设()f x 表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式，则0c 就是()f x 被0x x -除所得的余数，1c 就是()f x 被0x x -除所得的商式212030()()c c x x c x x +-+-+再被0x x -除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到01,,,.n c c c1）解 用综合除法进行计算 1 1 0 0 0 0 0 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 + 1 3 6 1 3 6 101 + 1 4 1 4 10 1 + 1 1 5所以 5234515(1)10(1)10(1)5(1)(1).x x x x x x =+-+-+-+-+-2）3）略5．求()f x 与()g x 的最大公因式：1）43232()341,()1;f x x x x x g x x x x =+---=+-- 2）4332()41,()31;f x x x g x x x =-+=-+3）42432()101,()6 1.f x x x g x x x =-+=-+++ 1）解 用辗转相除法()g x ()f x 2()q x 12-141 1 -1 -1 1 1 -3 -4 -1 1()q x 1 0 132121 1 -1 -1 12-32- -1 1()r x -2 -3 -13()q x 8343 12-34-14- -2 -2 2()r x 34-34- -1 -1 -1 -13()r x 0所以((),()) 1.f x g x x =+2）((),()) 1.f x g x =3）2((),()) 1.f x g x x =--6．求(),()u x v x 使()()()()((),()):u x f x v x g x f x g x += 1）432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---； 2）43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+； 3）4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--． 1）解 用辗转相除法()g x ()f x2()q x 11 1 1 -1 -2 -2 1 2 -1 -4 -2 1()q x 110-20 1 1 -1 -2 -2 11 -2 -21()r x 10 -2 0 3()q x 10 1 0-2 0 1 0 -22()r x 1 0 -2 3()r x 0由以上计算得11()()()(),f x q x g x r x =+212()()()(),g x q x r x r x =+ 132()()(),r x q x r x =因此22((),())()2f x g x r x x ==-，且2((),())()f x g x r x =21()()()g x q x r x =-21()()[()()()]g x q x f x q x g x =-- 212()()[1()()]()q x f x q x q x g x =-++所以212()()1,()1()()2u x q x x v x q x q x x =-=--=+=+．2）((),())1f x g x x =-，21122(),()13333u x x v x x x =-+=--．3）((),())1f x g x =，32()1,()32u x x v x x x x =--=+--．7．设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 略．8．证明：如果()(),()()d x f x d x g x 且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由于()(),()()d x f x d x g x ，所以()d x 为()f x 与()g x 的一个公因式．任取()f x 与()g x 的一个公因式()h x ，由已知()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，所以()()h x d x ．因此，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．9．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =，（()h x 的首项系数为 1）． 证明 因为存在多项式()u x 和()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，所以((),())()()()()()()()f x g x h x u x f x h x v x g x h x =+，这表明((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个组合，又因为((),())(),((),())()f x g x f x f x g x g x ， 从而((),())()()(),((),())()()()f x g x h x f x h x f x g x h x g x h x ，故由第8题结论，((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式．注意到((),())()f x g x h x 的首项系数为1，于是(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =．10．如果(),()f x g x 不全为零，证明：()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．证明存在多项式()u x 和()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，因为(),()f x g x 不全为零，所以((),())0f x g x ≠，故由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．11．证明：如果(),()f x g x 不全为零，且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=，那么((),())1u x v x =．证明 因为(),()f x g x 不全为零，故 ((),())0f x g x ≠，从而由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以((),())1u x v x =．12．证明：如果((),())1f x g x = ，((),())1f x h x =，那么((),()())1f x g x h x =． 证法一 用反证法．假设()((),()())1d x f x g x h x =≠，则(())0d x ∂>，从而()d x 有不可约因式()p x ，于是()(),()()()p x f x p x g x h x ，但因为((),())1f x g x =，所以()p x 不整除()g x ，所以()()p x h x ，这与((),())1f x h x =矛盾．因此((),()())1f x g x h x =．证法二 由题设知，存在多项式1122(),(),(),()u x v x u x v x ，使得11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=，两式相乘得12121212[()()()()()()()()()]()[()()]()()1u x u x f x v x u x g x u x v x h x f x v x v x g x h x +++=，所以((),()())1f x g x h x =．13．设11(),,(),(),,()m n f x f x g x g x 都是多项式，而且 ((),())1(1,2,,;1,2,,).i j f x g x i m j n ===求证：1212(()()(),()()()) 1.m n f x f x f x g x g x g x =证法一 反复应用第12题的结果 证法二 反证法14．证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +=． 证明 由于((),())1f x g x =，所以存在多项式()u x 和()v x 使()()()()1u x f x v x g x +=，由此可得()()()()()()()()1,u x f x v x f x v x f x v x g x -++= ()()()()()()()()1,u x f x u x g x u x g x v x g x +-+=即[][]()()()()()()1,u x v x f x v x f x g x -++=[][]()()()()()()1,v x u x g x u x f x g x -++=于是((),()())1f x f x g x +=，((),()())1g x f x g x +=，应用第12题的结论可得(()(),()())1f x g x f x g x +=．注 也可以用反证法．15．求下列多项式的公共根：32432()221;()22 1.f x x x x g x x x x x =+++=++++提示 用辗转相除法求出2((),()) 1.f x g x x x =++于是得两多项式的公共根为16．判别下列多项式有无重因式： 1）5432()57248f x x x x x x =-+-+-； 2） 42()443f x x x x =+--1）解 由于432'()5202144f x x x x x =-+-+，用辗转相除法可求得2((),'())(2)f x f x x =-，故()f x 有重因式，且2x -是它的一个 3 重因式．2）解 由于3'()484f x x x =+-，用辗转相除法可求得((),'())1f x f x =，故()f x 无重因式．17．求t 值使32()31f x x x tx =-+-有重根． 解 2'()36f x x x t =-+．先用'()f x 除()f x 得余式 1263()33t t r x x --=+． 当3t =时，1()0r x =．此时'()()f x f x ，所以21((),'())'()(1)3f x f x f x x ==-，所以1是()f x 的3重根．当3t ≠时，1()0r x ≠．再用1()r x 除'()f x 得余式215()4r x t =+．故当154t =-时，2()0r x =．此时，121((),'())()92f x f x r x x =-=+，所以12-是()f x 的2重根．当3t ≠且154t ≠-时，2()0r x ≠，则((),'())1f x f x =，此时()f x 无重根． 综上，当3t =时，()f x 有3重根1；当154t =-时，()f x 有2重根12-．18．求多项式3x px q ++有重根的条件． 解 略．19．如果242(1)1x Ax Bx -++ ，求,A B ．解法一设42()1f x Ax Bx =++，则3'()42f x Ax Bx =+．因为242(1)1x Ax Bx -++，所以1是()f x 的重根，从而1也是'()f x 的根．于是(1)0f =且'(1)0f =，即10;420.A B A B ++=⎧⎨+=⎩解得1,2A B ==-．解法二 用2(1)x -除421Ax Bx ++得余式为(42)(31)A B x A B ++--+，因为242(1)1x Ax Bx -++，所以(42)(31)0A B x A B ++--+=，故420;310.A B A B +=⎧⎨--+=⎩ 解得1,2A B ==-．20．证明：212!!nx x x n ++++没有重根．证法一设2()12!!nx x f x x n =++++，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 因为()'()!nx f x f x n -=，所以((),'())((),)1!nx f x f x f x n ==．于是212!!nx x x n ++++没有重根． 证法二 设2()12!!nx x f x x n =++++ ，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 假设()f x 有重根α，则()0f α=且'()0f α=，从而0!nn α=，得0α=，但0α=不是()f x 的根，矛盾．所以212!!nx x x n ++++没有重根． 21．略．22．证明：0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是 (1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．证明（必要性）设0x 是()f x 的k 重根，从而0x 是'()f x 的1k -重根，是''()f x 的2k -重根，…，是(1)()k f x -的单根，不是()()k f x 的根，于是(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．（充分性）设(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠，则0x 是(1)()k f x -的单根，是(2)()k f x -的2重根，…，是()f x 的k 重根．23．举例说明断语“如果α是'()f x 的m 重根，那么α是()f x 的m +1重根”是不对的．解 取1()()1m f x x α+=-+，则()'()1()m f x m x α=+-．α是'()f x 的m 重根，但α不是()f x 的m +1重根．注：也可以取具体的，如0,1m α==．24．证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -． 证明 略．25．证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么12(1)(),(1)()x f x x f x --．证明 2121()()x x x x ωω++=--，其中12ωω==． 由于23312(1)()()x x f x xf x +++，故存在多项式()h x 使得33212()()(1)()f x xf x x x h x +=++，因此112122(1)(1)0;(1)(1)0.f f f f ωω+=⎧⎨+=⎩ 解得12(1)(1)0f f ==，从而12(1)(),(1)()x f x x f x --．26．求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解．解 多项式1n x -的n 个复根为22cos sin ,0,1,2,,1k k k i k n n n ππω=+=-，所以1n x -在复数范围内的分解式为1211(1)()()()n n x x x x x ωωω--=----．在实数范围内，当n 为奇数时：222112211221(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x ωωωωωω---+-=--++-++-++，当n 为偶数时：222112222221(1)(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x x ωωωωωω---+-=-+-++-++-++．27．求下列多项式的有理根：1）3261514x x x -+-；2）424751x x x ---；3）5432614113x x x x x +----．1）解 多项式可能的有理根是1,2,7,14±±±±．(1)40f =-≠，(1)360f -=-≠．由于44444,,,,1(2)171(7)1141(14)-------------都不是整数，所以多项式可能的有理根只有2．用综合除法判别：2 1 15 -14+ 2 -8 142 1 -4 7 0+ 2 -41 -2 3≠0所以2是多项式的有理根（单根）．注：一般要求指出有理根的重数．计算量较小的话，也可以直接计算，如本题可直接算得(2)0f =，说明2是()f x 的有理根，再由'(2)0f ≠知． 2是单根．用综合除法一般比较简单．2）答 12-（2重根）． 3）答 1-（4重根），3（单根）．28．下列多项式在有理数域上是否可约？1）21x -；2）4328122x x x -++；3）631x x ++；4）1p x px ++，p 为奇素数；5）441x kx ++，k 为整数．1）解 21x -可能的有理根是1±，直接检验知，都不是它的根，故21x -不可约．2）解 用艾森斯坦判别法，取2p =．3）解 令1x y =+，则原多项式变为6365432(1)(1)1615211893y y y y y y y y ++++=++++++，取3p =，则由艾森斯坦判别法知多项式65432615211893y y y y y y ++++++不可约，从而多项式631x x ++也不可约．4）提示：令1x y =-，取素数p ．5）提示：令1x y =+，取2p =．。
高等代数 习题及参考答案
解易知 有三重根 时， 。若令
，比较两端系数，得
由（1），（3）得 ，解得 的三个根为 ，将 的三个根分别代入（1），得 。再将它们代入（2），得 的三个根 。
当 时 有3重根 ；当 时， 有2重根 。
18．求多项式 有重根的条件。
解令 ，则 ，显然当 时，只有当 才有三重根。
3） 。
解利用剩余除法试根，可得
1）有一个有理根2。
2）有两个有理根 （即有2重有理根 ）。
3）有五个有理根 （即一个单有理根3和一个4重有理根 ）。
28．下列多项式在有理数域上是否可约？
1） ；
2） ；
3） ；
4） 为奇素数；
5） 为整数。
解1）因为 都不是它的根，所以 在有理数域里不可约。
2）利用艾森斯坦判别法，取 ，则此多项式在有理数域上不可约。
指数组
对应 的方幂乘积
4 2 0
4 1 1
3 3 0
3 2 1
2 2 2
原式= (1)
只要令 ,则原式左边 。另一方面，有 ，
代入（1）式，得 。再令 ，得 。
令 ，得
（2）
令 得
（3）
由（2），（3）解得 。因此
原式 。
4）原式=
指数组
对应 的方幂乘积
2 2 0 0
2 1 1 0
1 1 1 1
设原式
高等代数
第一章多项式
1．用 除 ，求商 与余式 ：
1） ；
2） 。
解1）由带余除法，可得 ；
2）同理可得 。
2． 适合什么条件时，有
1） ，
2） 。
解1）由假设，所得余式为0，即 ，
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
[0158]《高等代数》西南大学
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0158 20191判断题1、一个线性变换的两个不变子空间之和仍是它的不变子空间。
1. A.√2. B.×2、线性空间上的线性变换是单射当且仅当是它满射。
1. A.√2. B.×3、数域P上任何非零多项式的次数都大于零.1. A.√2. B.×4、一个3次实系数多项式至少有一个实根。
1. A.√2. B.×5、与对称矩阵合同的矩阵一定是对称矩阵。
1. A.√2. B.×6、两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相等。
1. A.√2. B.×7、交换正交矩阵的任意两列所得到的矩阵仍是正交矩阵。
1. A.√2. B.×8、A为n阶方阵，若A的行列式不等于0，则A一定可逆。
1. A.√2. B.×9、数域P上n阶方阵在初等行变换之下行列式的值不变.1. A.√2. B.×10、欧式空间中保持向量夹角不变的线性变换是正交变换。
1. A.√2. B.×11、若两个向量组的秩相等，则这两个向量组一定等价.1. A.√2. B.×12、若n阶方阵A和B的特征多项式相同, 则A与B相似.1. A.√2. B.×13、对任意实数a，向量(a,0,1)与向量(-1,1,a)都是线性无关的.1. A.√2. B.×14、n维线性空间V中任意n个线性无关的向量都是V的基.1. A.√2. B.×15、如果两个n阶矩阵相似，那么它们一定合同。
1. A.√2. B.×主观题16、高等代数第一次作业.doc参考答案：高等代数第一次作业参考答案.doc17、高等代数第二次作业.doc参考答案：高等代数第二次作业参考答案.doc18、高等代数第三次作业.doc参考答案：高等代数第三次作业参考答案.doc。
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
西南大学2016年春《高等几何》第一次作业及答案
1 写出下列点的齐次坐标（1）（2,0），（0，2），（1，5）;（2）2x+4y+1=0的无穷远点.2 求下列直线的齐次线坐标（1）x 轴 （2）无穷远直线 （3）x+4y+1=0.3 求下列各线坐标所表示直线的方程：（1）[0,-1,0] (2) [0,1,1]4 求联接点（1,2,－1）与二直线[2,1,3]，[1，－1，0]之交点的直线方程.5 经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P 点，求简比(ABP).6 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线的线坐标.7 求直线[1,－1,2]与二点[3，4，－1],[5,－3,1]之联线的交点坐标. 答案：1、解:(1)(2,0,1) ,(0,2,1),(1,5,1); (2) (2,-1,0).2、解:(1)[0,1,0] (2)[0,0,1] (3)[1,4,1]3、解:(1)02=x (2)032=+x x4、解: 二直线[2,1,3]，[1，－1，0]的交点坐标为(3,3,-3),故两点（1,2,－1）,(3,3,-3)联线的方程为0333121321=--x x x ,即021=+x x .5、解: 设AP PB =λ，则点P 的坐标为P （361－＋λ＋λ，21＋λ＋λ），因为点P 在直线x ＋3y －6＝0上，所以有361－＋λ＋λ+3（21＋λ＋λ）－6=0 ,有1=λ,1)(-=-=λABP . 6 、解: 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线方程是0113223321=--x x x ,即0934321=+-x x x .故线坐标为[4,-3,9].7 、解: 二点（3，4，－1）,(5,－3,1)联线的方程是 0135143321=--x x x ,即0298321=--x x x ，该直线的线坐标为[1,-8,-29]. 直线[1,-8,-29].与直线[1,－1,2]的交点为(13,31,9).。
高等代数习题及答案(1)
高等代数试卷一、判断题〔下列命题你认为正确的在题后括号内打“√〞，错的打“×〞；每小题1分，共10分〕1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。
〔 〕2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。
〔 〕3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。
〔 〕4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。
〔 〕 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。
〔 〕 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
〔 〕 7、零变换和单位变换都是数乘变换。
〔 〕 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。
〔 〕 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
〔 〕10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==ni i i x 1αβ，那么∑==ni ix12β。
〔 〕二、单项选择题〔从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分〕 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是〔 〕 ①()()()()()()n n nx g x f x g x f,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是一个n 阶行列式，那么〔 〕①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。
西南大学高等代数第一次作业参考答案
1 高等代数第一次作业参考答案
叙述下列概念
1．数域P 上多项式p (x )在P 上不可约。
答：p (x )为数域P 上多项式，(())1p x ∂≥，如果()p x 不能表成数域P 上两个次数比()p x 的次数低的多项式的积，则称()p x 为数域P 上不可约多项式。
2．数域P 上n 维向量组12,,
,m ααα线性相关。
答：若存在不全为零的数12,,
,m k k k P ∈，使得11220m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,,m ααα线性相关。
3．数域P 上n 维向量组12,,,m ααα的秩。
答：向量组12,,
,m ααα的极大无关组所含向量的个数称为12,,
,m ααα的秩。
4．矩阵A 可逆。
答：设A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使得
AB BA E ==，
则称A 是可逆的，也称A 为可逆矩阵。
5．线性空间V 的维数
答：设V 为P 上线性空间，若在V 中有n 个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量，则称V 为n 维的，也说V 的维数为n 。
6．线性空间V 的线性变换。
答： 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足
（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；
（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= k A (α)。
则称A 为V 的线性变换。
20年6月西南大学课程考试[0158]《高等代数》大作业(资料)
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学期：2020年春季
课程名称【编号】：高等代数【0158】 A卷
考试类别:大作业 满分：100 分
一、给出下面两个概念的定义（共2小题，15分/小题，共30分）
1．数域P上多项式p(x)在P上不可约。
答：在数域P上，p(x)无法写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。
可以写为
这样的形式，
即
由于
因此过渡矩阵 即为
六、（10分）设 是数域P上全体n阶方阵关于矩阵加法及数与矩阵的数乘构成的线性空间， 。证明：W是V的子空间。
答：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要证明W是V的子空间，即证明W对于矩阵数乘和矩阵加法运算封闭。
，满足 与 ，若证明 ，则说明对于矩阵加法运算封闭
由于
得证
若证明 ，则说明对于矩阵数乘封闭
得证
综上，由于W对于矩阵数乘和矩阵加法都满足，因此W是V的子空间。
，之后将第二行乘-1加到第一行 ，最后将第三行乘上2加到第二行，乘上-1加到第一行
因此
四、（15分）求下面的齐次线性方程组的一个基础解系
。
答：该方程组可以化为
左边矩阵可以变形为：
，
若设 ， 那么就可以求得一个基础解系
其中
五、（15分）设 ， ，
，
求由基 到基 的过渡矩阵。
答：
设过渡矩阵为 ，则依题意有
2．数域P上n维向量组 线性相关。
答：若系数 满足公式 ，且 不全为0，则称n维向量组 线性相关。
二、（15分）设 ， ，求 除 的商式与余式。
答：
商式：
余式：
三、（15分）设 ，求 。
答：
使用初等行变换，可以得到
西南大学线性代数第一次作业最后一题
行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 正 号。
2．排列45312的逆序数为 8 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 4．行列式102325403--中元素-2的代数余子式是 -11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 -5 。
6．计算0000dc ba = 0 行列式部分计算题1．计算三阶行列式381141102--- 解：381141102---=（-4）⨯221+-（）2111= -42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列.解：i 和j 等于5或8。
（1）当i =5，j =8时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 5 6 8 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。
（2）当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 8 6 5 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。
所以当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。
3．(7分)已知0010413≠xx x，求x 的值．解：D =31401xx x=2x （x -2） 当x =0或x =2时，D=0，所以，当x 0≠或2x ≠时，0010413≠xx x 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解： D=1111111λλ=2(1)λ- 如果方程组有非零解，则D =0，即1λ=。
5．用克莱姆法则求下列方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：计算行列式D =124512270311=-≠- 131242912811011D ==-- 2131452921083101D ==- 3124512135311D ==-- 所以：13D x D==，24D y D==，35D z D ==。
西南大学中学数学课堂教学答案第一次作业 (3)
请以自身曾经历过的一个数学教学活动为基础，撰写一个体现以学生为主体的数学教学案例。
要点：(1)注意主题是体现以学生为主；(2)要反映在数学教学过程中教师是如何进行教学设计的，设计的想法或者意图是什么，在具体实施过程中所作的设计进行得如何？如果教学事件的发展与设计不完全一致，思考是什么原因造成的？如果顺利，对以后的活动中或者对他人的教学有什么可以启示？(3)既然是案例，则应该有教学事件发生发展的过程，注意案例的故事性！以第一人称，对教学过程进行比较生动的描述：试图要反映的问题、事件发生的背景交代清楚；事件发展过程中主角、配角关系明确；语言明晰，角色的心理感受、体验表现得淋漓尽致；反映教育中出现的具体问题，探讨的问题具有普遍性，其他人也是可能遇到的，具有一定的时代特征。
国内有学者按照引起思考力水平高低将数学课堂教学分成记忆型、解释性理解型、探究型，请问探究性理解型课堂有什么特点？要点：教师有目的地引起新问题情景地认知冲突，促使学生积极卷入学习过程，教师学生共同活动，增强数学观点和作有效地思考。
在获得知识方面，重视培养学生对新问题地敏感性，从实际问题中抽象出数学模型或者作出归纳假设，探索新知识。
在应用知识方面，则重视对数学内容地扩展，通过推理获得通性通法，或者是通过对数学问题地广泛延伸，使之同时具有对解决问题过程地合理性、完整性、简洁性作出评价和追求的态度。
简述‘课例'是教师表述‘课堂'教学实践的形式”的主要原因?课例”立足于课堂，将理论思想置于鲜活的教学之中，将宏大的理论转化为个体的教育经验或事件，它的意义不仅在于通过表达实践经验，诠释宏大理论，促进人们对教育及其意义的理解。
它的更重要的意义可能还在于打破长期是专家统领的"理论研究”和教师的"实践操作”的藩篱，创造了一个理论与实践之间的思考空间。
"课例”以叙述的方式蕴含着教师对教学经验的重构，引发教师实践的变革和专业自觉，进而获得专业的发展。
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高等代数第一次作业
叙述下列概念
1．数域P上多项式p(x)在P上不可约。
如果数域p上一个次数>0的多项式，除平凡因式外它没有别的因式，则称p(x)为p 上的一个不可约多项式。
不可约多项式的性质
1）若 p(x) 不可约，则cp(x)(0≠c∈p)也不可约
证同p(x)cp(x)有相同的因式
2）若p(x)不可约则对
证设d(x)=(p(x)f(x))，若d(x)=1，则结论成立。
若d(x)≠1则d(x)|p(x).
因为p(x)不可约所以d(x)=cp(x)。
于是由d(x)|f(x)得d(x)|f(x)。
3）设p(x)不可约对有p(x)|f(x)g(x)则p(x)|f(x)或
p(x)|g(x)。
证若p(x)|f(x)，则由性质2）(p(x)f(x))=1 从而p(x)|g(x)。
2．数域P上n维向量组线性相关。
若零向量能够被向量组α1α2α3…αr非平凡地表示即存在不全为零
的数k1k2…，kr使得k1α1+k2α2+…+krαr=0则称向量组α1，α2α3…αr是
线性相关的向量组；否则称α1α2α3…αr线性无关的向量组
3．数域P上n维向量组的秩。
在一个m×n的λ-矩阵中，不等于零多项式的子式的最大阶数r
叫做p(λ)的秩.若p(λ)没有不等于零多项式的子式则称为p(λ)的秩为零。
根据定义直接得到：
1.A(λ)的秩 min（mn）;
2.A(λ)的秩=0 A(λ)=0
4．矩阵A可逆。
n阶方阵A设为可逆的，如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E
成立，其中E为n阶单位矩阵。
B称为A的逆矩阵，记为A-1。
5．线性空间V的维数
数域F上的的线性空间V中若有n个向量α1，α2，α3，…αn线性无关，
并且V中任一向量α均可由α1，α2，α3，…αn线性表出：
则设有序的向量组α1α2α3…αn为
向量空间V的一个基由α唯一决定的数组(x1，x2，…，xn)称为α在基α1α2
α3…αn下的坐标这时称向量空间V是n维的，记为dimV=n.
6．线性空间V的线性变换。
定义1 设V是数域F上的一个线性空间是V到V的一个映射。
这时我们称是
线性空间V的一个变换。
定义2 设V是数域F上的一个线性空间是V的一个变换如果满足下列条件
则称是V的一个线性变换。
（1）对于任意，有
；
（2）对于任意及，有
.
如不声明时，以后，所讨论的线性空间，都是某一固定数域F上的线性空间。