集合知识点归纳

v1.0 可编辑可修改1 高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 1 —高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．集合知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.2 高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 2 —[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补. 【并集】在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

基本定义 ：若 A 和 B 是集合，则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。

A 和B 的并集通常写作 "A ∪B"。

形式上：x 是 A ∪B 的元素，当且仅当 x 是 A 的元素，或 x 是 B 的元素。

举例：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。

数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。

形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C。

代数性质：二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。

事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。

即 {} ∪A = A，对任意集合 A。

可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。

例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。

若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

【交集】数学上，两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。

A 和B 的交集写作 "A ∩B"。

形式上： x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A且 x 属于 B。

例如：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。

数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11｝的交集。

若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。

例如，集合 A，B，C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C∩D ＝A ∩(B ∩(C ∩D))。

交集运算满足结合律，即 A ∩(B∩C)＝(A∩B) ∩C。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。

若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则 x 属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素 A，x 属于 A。

一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作CsA.3 高中数学高考总复习高三数学总复习一—集合— 3 —在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

1：若 A，B，C 是集合，则下列恒等式成立：C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)(B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)(B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)A − A = ØØ− A = ØA −Ø = A若给定全集 U，则 A 在 U 中的相对补集称为 A 的绝对补集（或简称补集），写作 AC，即：AC = U − A与补集有关的运算规律求补律A∪CsA=SA∩CsA=Φ集合的性质：确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。

不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}。

无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

集合有以下性质：若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。

1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。

{1，2，3，……}4 高中数学高考总复习高三数学总复习一—集合— 4 —5 高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 5 —2.描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。

{x|P}（x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}3.图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

常用数集的符号：（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N （2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*） （3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z （4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q （5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R （6）复数集合计作C{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律： 1.交换律 A ∩B=B ∩A A ∪B=B ∪A 2.结合律(A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) (A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) 3.分配律6 高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 6 —A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C) A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C) 2德.摩根律 Cs(A ∩B)=CsA ∪CsB Cs(A ∪B)=CsA ∩CsB列举法和描述法是表示集合的常用方式。

吸收律 A ∪(A ∩B)=A A ∩(A ∪B)=A 求补律 A ∪CsA=S A ∩CsA=Φ(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.x（自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.v1.0 可编辑可修改7 高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 7 —0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.。