《数学物理方法》第一章 复变函数解析

o
x
x
z 0时， tan(Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 z=0时，辐角不确定。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x x 0, y 0
i z i ( x iy ) y ix Re (i z ) y y3
O 2
x
(0, -1)
故 Re (i z ) 3图 形 为 平行于实轴的直线
(三 角 不 等 式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
x r cos 由 得 y r sin
4. 指数表示法
再 由Euler公 式: e i cos i sin得
z r (cos i sin )
z re i
引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。 y (z ) 例1 用复数方程表示: （1）过两点 zj=xj+iyj
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
( z1 z2 ) z1 z2
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z i 2 z2 | z2 | | z2 |2 ( z2 0)
•运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即， z1+z2=z2+z1；
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y )

数z与点z同义.
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y } 可用向量OP表示z x iy .
x y 0
2 2
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z ) Im( z ) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算
定义
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
L z1 z
z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1),
半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
(2)
z (i ) 2
y
例2 方程 Re(i z ) 3 表示 什么图形？ 解 设 z x iy
( z)
Re (iz ) 3
第一章 复变函数
第一节 复数
§1.1.1复数及其代数运算

1. 复数的概念 2. 代数运算
3. 共轭复数


1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。 •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) • 复数的模 | z | • 判断复数相等
§1.1.2 复数的表示方法


1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数 ( x, y ),
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 标， 则 任意点 P( x, y) 一 对 有 序 实 数 ( x, y) z x iy 平 面 上 的 点 P ( x, y )

当z落于一,四象限时，不变。


当z落于第二象限时，加
当z落于第三象限时，减
。
。
y arctan 2 x 2

由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
z 5 5i (5 5i )( 3 4i ) 1 解: z 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) 2 35 5i 7 i 25 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i (1 i )(1 i ) i 1 i (1 i )(1 i )
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z ( 3) z z Re(z ) Im( z ) x y 2 z |z|
2 2 2 2
z1 z1 ( ) z2 z2
例1 : 设z1 5 5i , z2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 向量OP为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y (z)
模： | z || OP 百度文库 r 辐 角 : Argz
记作
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r


z 0 OP 0