新教材苏教版高中数学必修第二册课件向量概念

(4)对于向量 a、b、c，若 a∥b，且 b∥c，则 a∥c； (5)若非零向量A→B与C→D是平行向量，则直线 AB 与直线 CD 平行； (6)非零向量A→B与B→A是模相等的平行向量．
[思路点拨] 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、 平行向量等概念入手，逐一判断真假．
[解] (1)错误．因为两个单位向量只是模都等于 1 个单位，方向 不一定相同或相反；
第9章 平面向量
9.1 向量概念
学习目标
核心素养
1.了解向量的实际背景，理解平面向 1.通过学习向量的有关概念，
量的概念．(重点) 培养数学抽象素养．
2．理解零向量、单位向量、相等向 2．通过学习共线向量，相等向
量、共线(平行)向量、相反向量的含 量，零向量等概念及表示，培
义．(重点、难点) 养学生的数学运算素养.
(2)错误．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的； (3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量D→E与C→B方向 相反，是平行向量；
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(4)错误．b 为零向量时，有 a∥b 且 b∥c，但 a 与 c 的方向可以 任意变化，它们不一定是平行向量；
(5)错误．A、B、C、D 四点也可能在同一条直线上； (6)正确．非零向量A→B与B→A的模相等，方向相反，二者是平行向 量．
①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的 两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和 方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有 方向，所以不是向量．]
合作 探究 释疑 难
向量的概念
【例 1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)任何两个单位向量都是平行向量； (2)零向量是没有方向的； (3)在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则向量D→E与C→B是 平行向量；
1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的 向量，再确定哪些是同向共线．
2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线 的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的 有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
课堂 小结 提素 养
1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的 向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．
提示：因为向量A→B和向量B→A方向不同，所以二者不相等．又表 示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考 5：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线 相同吗？
提示：不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于 任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共 线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
【例 3】 如图，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，把各边三 等分后，共有 16 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行 且长度为 2 2的向量个数有______个．
[思路点拨] 结合向量相等、平行的条件求解．
8 [如图所示，
满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A，E→C，C→E，G→H，H→G， →IJ ，→JI 共 8 个．]
[解] (1)如图：
(2) 由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线，即 AB∥CD. 又∵|A→B|＝|C→D|，∴在四边形 ABCD 中，AB CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向 量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识，求出 向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．
2．要重点掌握向量的三个问题 (1)向量有关概念的辨析． (2)向量的表示． (3)相等向量与共线向量的应用．
3．本节课要注意两个区别 (1)向量与数量 ①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向． ②数量可以比较大小，向量不能比较大小．
(2)向量与有向线段 ①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段 有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中， 有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的． ②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线 段．
1．(变条件)本例中，与向量A→C同向且长度为 2 2的向量有多少 个？
[解] 与向量A→C同向且长度为 2 2的向量占与向量A→C平行且长 度为 2 2的向量中的一半，共 4 个．
2．(变条件)本例中，如图，与向量A→O相等的向量有多少个？
[解] 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量A→O方 向相同的向量与其相等，共有 8 个．
相等向量
a 与 b 相等，记作 a＝b
向量
长度相__等__且方向_相_反__的
相反向量
a 的相反向量记作－a
向量
思考 3：零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线 吗？
提示：零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．
思考 4：已知 A，B 为平面上不同两点，那么向量A→B和向量B→A相 等吗？它们共线吗？
甲
乙
问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中，我们接
触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有
方向的量？
1．向量的定义及表示
定义
既有_大__小_又有方__向__的量叫作向量
(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向
表示 线段的长度表示向量的_大_小__，箭头所指的方向表示 方法 向量的_方__向_，以 A 为起点、B 为终点的向量记为A_→_B；
3．理解向量的几何表示．(重点)
情景 导学 探新 知
1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的 航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各 不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．
2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平 均出手角度 θ＝43.242°，平均出手速度大小为 v＝28.35 m/s(如图乙)．
所以 D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1 000 2 km.
共线向量
[探究问题] 1．两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？ [提示] 不一定平行．
2．若向量 a 与 b 平行(或共线)，则向量 a 与 b 相等吗？反之， 若向量 a 与 b 相等，则向量 a 与 b 平行(或共线)吗？
提示：数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
2．向量的有关概念及其表示
名称
定义
零向量 长度为_0_的向量
长度等于_1_个单位长度
单位向量 的向量
表示方法 记作 0
方向_相_同__或_相_反__的_非_零__ a 与 b 平行(或共线)，记作
平行向量
向量
a∥b
长度_相_等__且方向相__同__的
①作出向量A→B，B→C，C→D，D→A； ②问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
[解] (1)画出所有的向量A→C，如图所示．
(2)①由题意，作出向量A→B，B→C，C→D，D→A，如图所示，
②依题意知，三角形 ABC 为正三角形，所以 AC＝2 000 km.又因 为∠ACD＝45°，CD＝1 000 2，所以△ACD 为等腰直角三角形，即 AD＝1 000 2 km，∠CAD＝45°.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)有向线段就是向量． (2)两个向量的模能比较大小． (3)有向线段可以用来表示向量． (4)若 a＝b，b＝c，则 a＝c． (5)单位向量的模都相等．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
() () () () ()
2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度； ⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．
[跟进训练] 1．判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)由于 0 方向不确定，故 0 不能与任意向量平行；
5 [因为|B→C|2＝|A→B|2＋|A→C|2＝5，所以|B→C|＝ 5.]
3．(一题多空)如图所示，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c.在以 A， B，C，D，E，F，O 为起点或终点的向量中：
(1)模与 a 的模相等的向量有________个． (2)长度与 a 的长度相等，方向相反的向量有________． (3)与 a 共线的向量有________． (4)请一一列出与 a，b，c 相等的向量________．
1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大 小)，又要考虑其形(即方向性)．
2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否 为非零向量．
3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐 一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
[跟进训练] 2．(1)如图的方格由若干个边长为 1 的小 正方形并在一起组成，方格纸中有定点 A， 点 C 为小正方形的顶点，且|A→C|＝ 5，画出 所有的向量A→C.
(2)已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地， 再从 B 地按南偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 C 地，再从 C 地按 西南方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地．
[提示] 向量 a 与 b 平行(或共线)，则向量 a 与 b 不一定相等； 向量 a 与 b 相等，则向量 a 与 b 平行(或共线)．
3．向量平行具备传递性吗？举例说明．
[提示] 向量的平行不具备传递性，即若 a∥b，b∥c，则未必有 a∥c，这是因为，当 b＝0 时，a，c 可以是任意向量，但若 b≠0，必 有 a∥b，b∥c⇒a∥c.
1．下列说法不正确的是( ) A．零向量的长度为零 B．零向量与任一向量都是共线向量 C．零向量没有方向 D．零向量的方向是任意的
C [零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C 错．]
2．在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，则|A→B|＝1，|A→C|＝2，则|B→C| ＝________.
(2)字母表示：用小写字母 a，b，c 来表示
模
向量A→B的大小称为向量的_长_度__(或称为模)，记作
→
__|A_B_|__
思考 1：在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等， 这些量有什么区别？
提示：面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小 又有方向．
思考 2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
(1)23 (2)O→D，B→C，A→O，F→E (3)E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O， A→O，D→A，A→D (4)与 a 相等的有E→F，D→O，C→B；与 b 相等的有D→C，E→O， F→A；与 c 相等的有E→D，F→O，A→B [(1)满足条件的向量有 23 个．
(2)长度与 a 的长度相等，方向相反的向量有O→D，B→C，A→O，F→E. (3)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A， → AD. (4)与 a 相等的有E→F，D→O，C→B；与 b 相等的有D→C，E→O，F→A；与 c 相等的有E→D，F→O，A→B.]
向量的表示
【例 2】 一辆汽车从 A 点出发，向西行驶了 100 千米到达点 B， 然后又改变方向向西偏北 50°行驶了 200 千米到达点 C，最后又改变 方向，向东行驶了 100 千米到达点 D.
(1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[思路点拨] 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向 确定有关向量，进而求解．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向， 所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的 方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可 得 a＝b.
(4)不正确．依据规定：0 与任一向量平行．