运筹学 指派问题课件

类似有：有n项加工任务，怎样指派到n 台机床上分别完成的问题；有n条航线，怎样 指定n艘船去航行问题……。对应每个指派问 题，需有类似表1那样的数表，称为效率矩阵 或，其元素cij≥0(i,j=1,2，…，n)表示指派 第i人去完成第j项任务时的效率(或时间、成 本等)。解题时需引入变量xij；其取值只能 是1或0。并令
例1 有一份中文说明书，需译成英、日、德、 俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、 丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不同语种 的说明书所需时间如表1所示。问应指派何人去 完成何工作，使所需总时间最少?
表1
任务 E 人员 耗时 甲 2 乙 10 丙 9 丁 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
行 min 2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 例如(cij ) 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7 0 13 11 2 0 6 0 10 11 6 0 5 7 4 0* 0 1 4 2 0 4 2列 min 13 0* 5 1
（xij）是n×n矩阵,对应于效率矩阵(cij).
工作
x11 人 x i1 xn1
x1 j xij xnj
x1n xin xnn
x
i 1
n
ij
1,
j 1, 2,
,n ②
表明各列之和为1 。
x
j 1
n
ij
1, i 1, 2,
指派问题的最优解有这样性质，若从效率矩 阵(cij)的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的 最小元素，得到新矩阵(bij)，那么以(bij)为效率 矩阵求得的最优解和用原效率矩阵求得的最优解 相同 。即 定理2 设给定了以C = (cij)为效率矩阵指派问题G， 现将C的元素cij 改变为 bij cij i j , i 与 j 为常数 则以B= ( bij )为效率矩阵指派问题G’与G有相同的最 优解。
行列都有 零元素
7 6 3 0*
0 * 9 (b ) ij 2 0
0 0 最优解为 ( xij ) 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
i j i j j i
z i j
i j
即z和 z’只相差一个常数,故它们有相同的最优解.
• 利用这个性质，可使原效率矩阵变换为含有很
多0元素的新效率矩阵，而最优解保持不变，在
效率矩阵(bij)中，我们关心位于不同行不同列
的0元素，以下简称为独立的0元素。
• 若能在效率矩阵 (bij)中找出n个独立的0元素；
则令解矩阵(xij)中对应这Leabharlann Baidu个独立的0元素的元
素取值为 1 ，其他元素取值为 0 。将其代入目标
函数中得到 z ' bij xij 0 ，它一定是最小。
i j
这就是以(bij)为效率矩阵的指派问题的最优解。
也就得到了原问题的最优解。
以下用例1来说明指派问题的解法。
第一步：使指派问题的效率矩阵经变换，在各 行各列中都出现0元素。 (1) 从效率矩阵的每行元素减去该行的最小元 素； (2) 再从所得效率矩阵的每列元素中减去该列 的最小元素。 若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。 例1的计算为
1, 当指派第 i 人去完成第 j 项任务 xij 0, 当不指派第 i 人去完成第 j 项任务
当问题要求极小化时数学模型是：
目标函数 min z cij xij
i 1 j 1 n n
①
n xij 1, j 1, 2, , n ② i 1 （表示一项工作只能由一个人完成） n 约束条件 xij 1, i 1, 2, , n ③ (表示每人仅做一件事情) j 1 x 1或 0 ④ ij
,n
③
可行解矩阵
表明各行之和为1 。
满足约束条件②～④的可行解xij构成的可行解矩阵， 矩阵中有n个为1,其余都为0,而且这n个1必位于矩阵的不
同行不同列上。对应于可行解xij的目标值是这n个cij之和.
指派问题是0-1规划的特例，当然可 用整数线性规划、0-1规划的解法去求解， 但可以利用指派问题的特点设计更简便 的解法，下面介绍匈牙利法。
第四节 指 派 问 题
assignment problem
在生活中经常遇到这样的问题，某 单位需完成n项任务，恰好有n个人可承 担这些任务。由于每人的专长不同，各 人完成任务不同(或所费时间)，效率也 不同。于是产生应指派哪个人去完成哪 项任务，使完成n项任务的总效率最高 (或所需总时间最小)。这类问题称为指 派问题或分派问题。
证: 首先效率矩阵的这种变化只是目标值在变换，并
不影响约束方程组，其次用z和 z`分别记问题G
与G`的目标函数值,则
z ' bij xij (cij i j ) xij
i j i j
cij xij i xij j xij
min z bij xij
i 1 j 1
n
n
定理1 设 B (bij ) nn 是效率矩阵,若可行解x*的n个1(在解矩 阵的不同行不同列上)对应的n个bij都为0, 则x*是最优解. (显然z(x*)=0) 1 0 0 0 0* 14 9 3 则xij是最 0 0 1 0 如效率矩阵为 9 20 0* 23 优解 令 ( xij ) 0 1 0 0 23 0* 3 8 , 0 12 14 0* 0 0 0 1 因此需对效率矩阵作变换,使变换后效率矩阵 (bij ) nn 含有n个不同行不同列个0.由此求得最优解矩阵的n个1是 对应于效率矩阵的这n个0.